济南第届全国中学生物理竞赛决赛习题及答案

第二十届全国中学生物理竞赛

决赛试题

一、5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为a 的球，静止放在半径为R 的半球形碗内，它们的球心在同一水平面内。另1个半径为b 的球放在4球之上。设接触面都是光滑的，试求碗的半径R 的值满足什么条件时下面的球将相互分离。

二、一人造地球卫星绕地球做椭圆运动，地心是椭圆的一个焦点，在直角坐标系中，椭圆的轨迹方程为 a 、b 分别是椭圆的长半轴和短半轴，为已知常数。当该人造卫星在轨道的远地点时，突然以很大的能量沿卫星运行方向从卫星上发射出一个质量为m 的太空探测器，这探测器在地球引力作用下做双曲线运动，此双曲线的焦点位于地心，实半轴的长度正好等于原来椭圆远地点到地心的距离。试问在发射时，给探测器的能量为多大？设地球的质量E m 、万有引力常量G 为已知，不计地球以外星体的影响。

三、如图决所示，金属飞轮具有n 条辐条，每条辐条长l ，可绕转轴OO ′旋转。飞轮处在匀强磁场中，磁场方向与转轴平行，磁感强度为B 。转轴与飞轮边缘通过电刷与电阻R 、电感L 连成闭合回路。飞轮及转轴的电阻和转动过程的摩擦均不计。

1．现用一恒定的外力矩M 作用于飞轮，使它由静止开始转动，求当飞轮转动达到稳定时，转动角速度0Ω和通过电阻R 的电流I 0。

2．在飞轮转速达到稳定后，突然撤去外力矩M ，则飞轮的角速度Ω和通过电阻R 的电流I 都将随时间变化。当R 取不同值时，角速度随时间变化的图线()t Ω和电流随时间变化的图线()I t 将不同。

现给出了()t Ω图线名6条（附本题后），各图中都把刚撤去外力矩M 的时刻作为起始时刻，即0t =的时刻，此时刻的角速度0Ω=Ω，电流I =I 0。角速度Ω各图的纵坐标单位相同，电流I 各图的纵坐标单位相同，各图的时间轴横坐标的单位均相同。试从这些图线中选出可能正确表示飞轮的角速度Ω随时间变化的图线()t Ω，

以及与所选图线对应的最接近正确的电流I 随时间变化的图线()I t 。把你选出的图线()t Ω与对应的()I t 图线在下面的图线符号之间用直的实线连接起来。

注意：只有全部连接正确的才能得全分，连对但不全的可得部分分，有连错的得零分。

四、如图决所示，y 轴右边存在磁感强度的2B 0的匀强磁场，y 轴左边存在磁感强度为B 0的匀强磁场，它们的方向皆垂直于纸面向里。在原点O 处，一个带正电的电荷量为q 、质量为m 的粒子a ，在0t =时以大小为02v 的初速度沿x 轴方向运动。在粒子a 开始运动后，另一质量和电荷量都与a 相同的粒子b 从原点O 以大小为0v 的初速度沿负x 轴方向开始运动。要想使a 和b 能在运动过程中相遇，试分析和计算它们出发的时间差的最小值应为多大，并求出与此对应的相遇地点的坐标。设整个磁场区域都处于真空中，且不考虑重力及a 、b 两粒子之间相互作用力。

五、一位近视眼朋友不戴眼镜时，能看清的物体都在距眼睛20a =cm 以内。他发现，如果在眼前靠近眼睛处放一个有小圆孔的卡片，通过小圆孔不戴眼镜看远处的物体时也能看得清晰些。

1．若小圆孔直径为D ，试根据几何光学原理求出当近视眼直视远处的一个点物时，眼的视网膜上产生的光斑的直径。

2．再考虑小圆孔的衍射效应，求小圆孔直径最恰当的大小。计算时可取可见光的平均波长为600nm 。

提示：1．人眼是一个结构比较复杂的光学系统，在本题中，可将人眼简化成一个焦距f 可调的薄透镜和一个可成像的视网膜，透镜的边缘为瞳孔，两侧介质均为空气，视网膜与透镜的距离为b 。

2．小圆孔的存在对透镜成像的影响介绍如下：在几何光学中，从远处物点射向透镜的、平行于光轴的平行光束将会聚于透镜的焦点上，这就是像。如果在透镜前放一直径为D 的小圆孔，则将发生光的衍射，在焦点处像屏上将出现如图决所示的衍射图样，其中央是一个明亮的圆斑，圆斑外周是一组亮度逐渐减弱的亮暗相间的同心圆环，由于这些圆环亮度比中央圆斑弱得多，观察时可以不予考虑。中央圆斑的半径对薄透镜中心的张角θ?的大小与D 有关。理论计算得到

式中λ是所用光的波长，这圆斑就是有小圆孔时观察到的物点的“像”，如图决所示。由上式可见，D 越大，像斑就越小，点物的像就越接近一个点，物体的像越清晰；反之，D 越小，点物的衍射像斑就越大，物体的像就越不清晰。如果观察屏不在焦点处而在焦点附近，屏上将出现类似的衍射图样，其中央亮斑对透镜中心的张角θ?可近似地用上式计算。

六、设地球是一个半径为6370km 的球体。在赤道上空离地面1千多公里处和赤道共面的圆与赤道形成的环形区域内，地磁场可看作是均匀的，其磁感强度为B =3.20×10－6

T 。某种带电宇宙射线粒子，其静质量为270 6.6810m -=?kg ，其电荷量为193.2010q -=?C ，在地球赤道上空的均匀地磁场中围绕地心做半径为R =7370km 的圆周运动。

已知在相对论中只要作用于粒子的为F 的方向始终与粒子运动的速度v 的方向垂直，则运动粒子的质量m 和加速度a 与力F 的关系仍为F ma =，但式中的质量m 为粒子的相对论质量。问：

1．该粒子的动能为多大？

2．该粒子在圆形轨道上运动时与一个不带电的静质量为204m m =的静止粒子发生碰撞，并被其吸收形成一个复合粒子，试求复合粒子的静质量1m 。

第二十届全国中学生物理竞赛决赛题参考答案、评分标

准

由以上各式及已知条件204m m =，得

1v =14）

把式（5）代入式（14），得

81 1.4310v =?m·s －1（15）

由式（9）、（11）和（13）得

1m m =16）

由式（5）、（15）和有关数据得

27146.410m -=?kg （17）