清华大学版理论力学课后习题集标准答案全集第6章刚体平面运动分析
6章 刚体的平面运动分析
6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。
解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A +=
（2）
α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22
1t α?=
（3）
起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过
θ??+=A
因动齿轮纯滚，故有?
?
=CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R =
， ??r
r R A += （4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：
???
?
??
???
+=+=+=22
2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα
6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。
解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为
h
v AC v AP v AB
θθω2
000cos cos ===
6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。
解：R v R v A A ==
ω R v
R v B B 22==ω
B A ωω2=
6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。
习题6-1图
A
B
C
v 0
h
θ
习题6－2图
P
ωAB
v C
A
B
C
v o
h
θ
习题6－2解图
习题6-3解图
习题6-3图
v A = v
v B = v ωA
ωB
习题6-6图
l ?
υ
l
2B
O 1ωA
B
υO
1
O AB
ωω
习题6-6解图
解：杆BC 的瞬心在点P ，滚子O 的瞬心在点D BD
v B ?=ωBP
BD BP v B BC ?==
ωω ???=
30sin 27030cos 36012 rad/s 8=
PC v BC C ?=ω
m/s 87.130cos 27.08=??=
6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。
图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆AD 做瞬时平移。
6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B =
2
1
AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。试求当示。?= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。
解：杆AB 的瞬心在O
3===ωωOA
v
A AB
rad/s ωl v B 3= 2.531===ωωl
v B
B O rad/s
ω
ω
习题6-5图
O
O 1
A
B
C
O
O 1
A
B
D
C
B
O
?
θ ω
C
B
O ?
θ
ω
v C v B
P
D
习题6-4图
习题6-4解图
ωBC
ω
ω
习题6-5解图
O
O 1
A
B
C
O
O 1
A
B
D
v B
v C v A v A v B v C
v D
P
(a) (b)
90D
C
v B
v C
A v A B
ω
O
E
(a)
DE
D v v =A
C
B
C
v ω
A
v D
O
E
(b)
6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？
解：如图
333.16
.08
.03.09.0==-=
A O v ωrad/s
2.16
8
9.09.0=?==O O v ωm/s
卷轴向右滚动。
6－8 图示两齿条以速度1v 和2v 作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r ，求齿轮的角速度及其中心O 的速度。
解：如图，以O 为基点： r v v O O ω+=1
r v v O O ω-=2
解得：
22
1v v v O +=
r v v O 221-=ω
6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度ω= 20rad/s ，试求当曲柄OA 在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE 的速度。已知OA = 400mm ，AC = CB = 20037mm 。
解：OA 定轴转动；AB 、CD 平面运动，DE 平移。 1．当?= 90°，270°时，OA 处于铅垂位置，图（a ）表示?= 90°情形，此时AB 瞬时平移，v C 水平，而v D 只能沿铅垂， D 为CD 之瞬心 v DE = 0
同理，?= 270°时，v DE = 0
2．?= 180°，0°时，杆AB 的瞬心在B ?= 0°时，图（b ），A C v v 2
1
=（↑）
此时CD 杆瞬时平移
42
1====A C D DE v v v v m/s （↑） 同理?= 180°时，v DE = 4m/s （↓）
6－10 杆AB 长为l = 1.5 m ，一端铰接在半径为r = 0.5 m 的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O 速度的大小为v O = 20 m/s 。试求图示瞬时（OA 水平）B 点的速度以及轮和杆的角速度。
习题6-7图
A
1v
O
B
2v
A
1v
O
B
2v
v O
ωO
习题6－8图 习题6－8解图
习题6－9图
习题6－9解图
r υο60ωD
E G υO
A
e
υA
υe ωC D
υF
υF
E υG
解：轮O 的速度瞬心为点C ，杆AB 的速度瞬心为点P 405
.020===
r v O O ωrad/s 2202==r v O A ωm/s
θωcos 5.145sin 220?
==
AP v A AB 210==14.1 rad/s
)45cos(cos θθ+?=A B v v
9.12)tan 45sin 45(cos 220=?-?=θB v m/s
6－11 图示滑轮组中，绳索以速度v C = 0.12m/s 下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B 的角速度与重物D 的速度。
解：轮B 瞬心在F 点 v E = v C 112
.012
.0102603
==
??=
-E
B v ωrad/s 06.02
1
21====C E B D v v v v m/s
习题6－11图
6－12 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA 为一摇杆，且CA ⊥DE 。曲柄OA = 200mm ，CO = CE = 250mm ，曲柄转速n = 70r/min ，CO = 2003mm 。试求当?= 90°时（这时OA 与CA 成60°角）F 、G 两点的速度的大小和方向。
解：动点：OA 上A ；动系：DCEA ；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。
3π4.130π2.0=?
=?=n OA v A ωm/s π3
7
.021e ==A v v m/s 12π74.03π7.0e e =?==CA v ωrad/s 48
π
7254.0===e D E v v ωm/s
397.02
348π730cos =?=
?=E G v v m/s （→） 397.0==G F v v m/s （←）
6－13 平面机构如图所示。已知：OA = AB = 20 cm ，半径r = 5 cm 的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时，OA 水平，其角速度ω = 2 rad/s 、角加速度为零，杆AB 处于铅垂。试求该瞬时：
（1）圆轮的角速度和角加速度； （2）杆AB 的角加速度。
A
O A
v O B
A
O A
v O B
C
v A v B P
习题6－10图
习题6－10解图
ωO
ωAB
θ 习题6－12图
习题6－12解图 F
解：
（1） 圆轮的角速度和角加速度
cm /s 40=?=ωOA v A
杆AB 瞬时平移，ωAB = 0
cm /s 40==A B v v
rad/s 8==r v
B B ω
0n
==BA B a a
0==r
a
B B α
（2）杆AB 的角加速度。
0t =-BA A a a ，22t
cm /s 80=?==ωOA a a A BA
2t
rad/s 4==AB
a BA AB
α
6－14 图示机构由直角形曲杆ABC ，等腰直角三角形板CEF ，直杆DE 等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE 杆绕D 轴匀速转动，角速度为0ω，求图示瞬时（AB 水平，DE 铅垂）点A 的速度和三角板CEF 的角加速度。
解：
（1）求点A 的速度
0ωωa DE v E =?=三角板CEF 的速度瞬心在点F
0ωa v v E C ==
曲杆ABC 的速度瞬心在
点O
02ωa OA OC
v v C
A =?=
（2）求三角板CEF 的角加速度
n t n t FE FE E F F a a a a a ++=+
将上式沿水平方向投影
0t n ==FE F a a （因为v F = 0）
0t
==FE
a FE CEF α
6－15曲柄连杆机构在其连杆中点C 以铰链与CD 相连接，DE 杆可以绕E 点转动。如曲柄的角速度rad/s 8=ω，且cm 25=OA ，cm 100=DE ，若当B 、E 两点在同一铅垂线上时，O 、A 、B 三点在同一水平线上，ο90=∠CDE ，求杆DE 的角速度和杆AB 的角加速度。
A O
B C
ω
习题6－13解图
A
O
B C
ω
v A
v B
a A
a A
t
BA a
(a)
(b)
习题6—14解图
v A
v C
v E
a E
a E n FE a t F
a n F
a t FE
a O
(a)
(b)
(b)
解：
（1）求杆DE 的角速度
cm /s 200=?=ωOA v A
杆AB 的速度瞬心在点B
cm/s 1002
==A C v
v
对杆CD 应用速度投影定理
cm /s 5030sin =?=C D v v
rad/s 5.0==
DE
v D
DE ω （2）求杆AB 的角加速度
n
t
BA BA A B a a a a ++= 将上式沿铅垂方向投影
t
0BA a
=， 0t ==AB
a AB AB
α
6－16 试求在图示机构中，当曲柄OA 和摇杆O 1B 在铅垂位置时，B 点的速度和加速度（切向和法向）。曲柄OA 以等角加速度0α= 5rad/s 2转动，并在此瞬时其角速度为0ω= 10rad/s ，OA = r = 200mm ，O 1B = 1000mm ，AB = l = 1200mm 。 解：1．v ：0ωr v A =
v B //v A ∴ 0=AB ω
2102.00=?==ωr v B m/s （1） 2．a ：t
t
n
t
n
BA A A B B a a a a a ++=+ 上式沿AB 方向投影得：
θθθθcos sin cos sin t
n
t
n
A A
B B a a a a +=+
即
169.0169.0tan tan 1202
0n t n t ?-
+?=-+=B
O v
r r a a a a B
B A A B αωθθ
70.352.0169.0)12
102.0(2
2=?+?-
?=m/s 2 （169.04.12
.02
.02.12.0tan 22==-=θ）
41
22n
==B
a m/s 2 B a ：?????==2t 2
n m/s
7.3m/s
4B B
B a a a （方向如图）
6－17 图示四连杆机构中，长为r 的曲柄OA 以等
角速度0ω转动，连杆AB 长l = 4r 。设某瞬时∠O 1OA =∠O 1BA = 30°。试求在此瞬时曲柄O 1B 的角速度和角加速度，并求连杆中点P 的加速度。 解：1．v ：0ωr v A =
由速度投影定理知：v B = 0 01=B O ω 4
00ωωω===
l r AB v A AB ω
习题6—15解图
ω
v A
v C t
BA
a a B
v D
a A
a A
n
BA
a (a)
(b)
习题6－16解图
(a)
v A
v B
t
BA
a n A
a
n
A a n B
a t
A
a t A a t
B a θ
v A
v B
(a)
2．a ：t
n t BA BA A B B a a a a a ++== 上式向a A 投影
n
t 60cos BA A B a a a +=?
)(2)(22
20n t AB BA A B l r a a a ωω+=+=
20202
2
5)4(42ωωωr r r =???? ??+= 20
20t
t 1t
2
35253530cos 230cos 251
ωωα=?=?=?
==r r r a r a B
O a B B B B
O
2
020t t 435252330cos ωωr r a a B BA =?=
?= t
n PA PA A P a a a a ++=
20ωr a A =，202
n 8
2ωωr r a AB PA =
=，20t t
83521ωr a a BA PA
== 2
220222t 2
n 56.1)()835()811()()(ωωr r a a a a PA
PA
A P =???
????++=++=
6－18 滑块以匀速度v B =2m/s 沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB 带动轮子A 沿水平面作纯滚动。设连杆长l =800mm ，轮子半径r =200mm 。当AB 与铅垂线成角θ =30?时，求此时点A 的加速度及连杆、轮子的角加速度。
解：1．v ：点O 为杆AB 的速度瞬心
rad/s 5sin ===θ
ωl v OB v B
B AB
2．a ：t
n AB AB A a a a +=
22n m /s 20==l a AB AB ω 2n t m/s 320cot ==θAB AB a a
2t
rad/s 3.438
.0320===l a AB AB
α 2n
m/s 40sin ==θ
AB
A a a
2m/s 2002
.040===
r a A A α
6-19 图示曲柄摇块机构中，曲柄OA 以角速度ω0绕O 轴转动，带动连杆AC 在摇块B 内滑动；摇块
及与其刚性连结的BD 杆则绕B 铰转动，杆BD 长l 。求在图示位置时，摇块的角速度及D 点的速度。
习题6－17解图
n
BA
a a A
a A
t
BA
a a B a A
n
PA
a t
PA
a (b)
θ
A
l
B
r
v
θ
A
l
B
r
a A
习题6-18
解图 v A
O
AB a
n
AB
a (a)
(b)
解：
0ω?=OA v A
2
30sin A A BA v v v =
?=
4
20ω
ωω===OA v BA AC 摇块
4
0l
DB v D ωω=?=摇块
6-20 平面机构的曲柄OA 长为2a ，以角速度ω0绕轴O 转动。在图示位置时，AB ＝BO 且 ∠OAD = 90?。求此时套筒D 相对于杆BC 的速度。
解：1．分析滑块B
02ωa v A =，0e ωa v B =
3
230cos 0e a
ωa v v B B =?= 2．杆AD 作平面运动
?=30cos a D A v v ，3
40
a
ωa v D =
3．分析滑块D
320a e ωa v v B D =
=，3
20
e a r ωa v v v D D D =-=
6-21曲柄导杆机构的曲柄OA 长120mm ，在图示位置∠AOB =90?时，曲柄的角速度ω =4rad /s ，角加速度α = 2 rad /s 2。试求此时导杆AC 的角加速度及导杆相对于套筒B 的加速度。设OB =160mm 。
解：1．v ：分析滑块B （动系） ω?=OA v A
r
a cos cos v OA v v v
A B =?===θωθθ
ωθsin sin ?==OA v v A BA θωθ
ωω22
sin sin =?==
OA
OA AB v BA AC 2．a ：分析滑块B （动系）
α?=OA a A t ，2
n ω?=OA a A
r
C t n n t a a a a
a
a a a a +=+++==BA
BA
A A B
将上式沿AC 方向投影)4
3160
120(tan ==θ
2
2
2n n t
r mm/s 28.545sin sin cos sin cos -=+?-?=+-=θ
ωθωθαθθOA OA OA a a a a AC
BA
A A 将加速度的矢量方程沿垂直AC 的方向投影：C A A BA a a a a -=--θθcos sin n
t t
2n t t mm/s 08.574cos sin =-+=C A A BA a a a a θθ，2t
rad/s 87.2==AB
a BA AC α
C
习题6-19解图
习题6-20解图 C
v 习题6-21解图