集合间的基本关系学案

集合间的基本关系

学习目标︰了解集合之间包含与相等两关系的含义，能识别给定集合的子集；理解子集、真子集的概念；能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；了解空集的含义

学习重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念.

学习难点：难点是属于关系与包含关系的区别．

学习过程

一、课前准备（预习教材,找出疑惑之处）

复习1：集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的正倍数；（2）1000以内3的倍数. 复习2：用适当的符号填空.

（1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R.

（2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A.

二、新课导学

学习探究

探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

{3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且；

1}x |{x >=C 与5}x |{x >=D

{|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =.

新知：子集、相等、真子集、空集的概念.

① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ??或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A. 当集合A 不包含于集合B 时，记作B A ?

② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ??或

子集性质：（1）任何一个集合是 的子集；即：Ａ?Ａ；

（2）若B A ?，C B ?，则 。

③ 集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 是集合B 的子集（B A ?），且集合B 是集合A 的子集（B A ?），此时集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，称集合A 与集合B 。记作：A ＝B ；若A B B A ??且，则A B = ④ 真子集：若集合A B ?，存在元素x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?;规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

⑥集合间的基本关系

(1)任何集合是 的子集，即A A ；对于集合A,B,C,若C B B A ??,,那么A C ；

(2)含n 个元素的集合，其子集的个数 ，真子集的个数 ，非空真子集的个数 ⑦知识拓展︰如果一个集合含有n 个元素，那么它的子集有2n 个，真子集有21n -个

课内自测：

1.用适当符号填空：（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）? 2{|30}x x +=，? R ；

（3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=；（5）2

___{10}xR x φ∈+=；

（6）20___{0}x x =；（7）2{2,1}__{320}x x x -+= （8）{（2，4）} {（x ，y ）|y ＝2x}

2.下列关系正确的有

（1）{,}={b ,a }a b ；（2）{,}{,}a b b a ?；（3）{}φφ=；（4）{0}φ=；（5）{0}φ?；（6）0{0}∈；（7）0φ∈；

（8）{1}{0,1,2}∈；（9）{0,1,2}{0,2,3}?；（10）{}{}a φ∈；（11）{0,1,2}φ?；（12）{}{}

a φ?；（13）空集是任何一个集合的真子集；（14）任何一个集合必有两个或两个以上的子集；（15）如果集合B A ?，那么若有元素不属于A ，则必不属于B ；（16）空集的元素个数为0；（17） 若集合A 与B 相等，则A 、B 元素可以具有不同的特征性质；（18）下列4个命题，①如果集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中至少有一个元素；②如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素少于集合的B 元素；③如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素不多于集合B 的元素；④如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 和B 不可能相等，其中错误的命题有2个.

3.说出下列每对集合之间的关系

(1) 2{|1}A xx ==,{|||1}B x x ==，则 _________

(2)A={ x| x 是12的约数}， B={ x| x 是36的约数}, 则 ___________

⑶{|3}A xx =>，{|5}B xx =>，则 ____________

4.子集的应用

(1)集合｛1，2，3｝的子集共有多少个

(2)已知集合M 满足}5,4,3,2,1{}2,1{??M ，写出集合M

(3)满足{}a M ?{},,,a b c d 的集合Ｍ共有多少个

5.集合相等

(1)集合},,1{b a A =，},,{2ab a a B =，且A=B ，求a+b

(2)已知集合 A={x ，y ，x+y} , B={0，x 2，xy} , 且 A=B 求实数 x ，y 的值

6.由集合间关系解下列各题

(1)已知A=﹛1，4，a ﹜，B=﹛1，a 2﹜且B A ?,求A ，B

(2)设{}{}1,Ax x Bx xa =>=>，且A B ?，求实数a 的取值范围

(3)已知集合{|5}A x a x =<<，{|2}B xx =≥，且满足A B ?，求实数a 的取值范围

(4)已知集合A=﹛x ︱0＜x ＜3﹜,B=﹛x ︱m ＜x ＜4-m ﹜,且B A ?，求实数m 的取值范围

(5)已知集合}31{，=A ，}03{=-=mx x B ，且A B ?，求m 的值

B?，求实数的取值范围

(6)已知集合，，且A

7.思考下列问题.

（1）符号“a A

?”有什么区别？试举例说明.

∈”与“{}a A

（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.

（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？

①若,,

a b b a a b

且则；

≥≥=

②若,,

且则.

a b b c a c

≥≥≥

课堂达标

1.写出集合{,,}

a b c的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集

2.写出集合{0,1,2}的所有真子集组成的集合

3.判断下列集合间的关系：

（1）{|32}

=-≥；

B x x

=->与{|250}

A x x

（2）设集合A={0,1}，集合{|}

=?，则A与B的关系如何？

B x x A

4.已知A＝｛x︱x2+px+q＝0｝，B＝｛x︱x2-3x+2＝0｝且A B

?，求实数p、q所满足条件

5.若集合{|}

?，求实数a的取值范围

=-≥，且满足A B

A x x a

=>，{|250}

B x x

6.已知集合2{|320}A x x x =-+=，B ＝{1,2}，{|8,}C x x x N =<∈，用适当符号填空： A B ，A C ，{2} C ，2 C

7.已知集合{|5}A x a x =<<，{|2}B x x =≥，且满足A B ?，则实数a 的取值范围为

8.①下列结论正确的是（ ）A. ? A B. {0}?∈ C. {1,2}Z ? D. {0}{0,1}∈

②设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ?，则实数a 的取值范围为（ ）A.1a < B.1a ≤ C.1a > D.1a ≥ ③若2{1,2}{|0}x x bx c =++=，则（ ）A.3,2b c =-= B.3,2b c ==- C.2,3b c =-= D.2,3b c ==- ④集合A={x|x=2n ，n ∈Z}，B={y|y=4k ，k ∈Z}，则A 与B 的关系为（ ）A ．A ≠

?B B ．A ≠?B C ．A=B D ．A ∈B ⑤满足},,,{},{d c b a A b a ??的集合A 有 个

9.已知集合A={－3，4}，B={x|x 2－2px ＋q=0}，B ≠φ，且B ?A ，求实数p ，q 的值

10.已知集合A ＝｛x ︱-2＜x ≤5｝，B ＝｛x ︱m+1≤x ≤2m-1｝,且A B ?，求实数m 的取值范围

11.已知集合A ＝｛x ︱（a-1）x 2-2x+1＝0｝，且集合A 有且仅有两个子集，求实数a 的值及对应的两个子集

12.已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-⑴若B A ?，求实数m 的取值范围；⑵当Z x ∈时，求A 的非空真子集个数；⑶当R x ∈时，没有元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围

集合间的基本关系教案及练习

1.2集合间的基本关系 1．Venn图 (1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． (2)适用范围：元素个数较少的集合． (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部． 2．子集、真子集、集合相等的概念 (1)子集的概念 文字语言符号语言图形语言 对于两个集合A，B，如果集合A中任意 A?B(或B?A) 一个元素都是集合B中的元素，就称集合 A为集合B的子集 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A?B，且B?A，则A＝B． (3)真子集的概念 文字语言符号语言图形语言 如果集合A?B，但存在元素x∈B，且 A B(或 B A) x?A，就称集合A是集合B的真子集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为?. (2)规定：空集是任何集合的子集． 4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A.

(2)对于集合A，B，C，若A?B且B?C，则A?C. 1．集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有() A．2个B．4个 C．6个D．8个 B解析：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 共4个，故选B. 2．已知集合A＝{x|－1B B．A

《1.2 集合间的基本关系》优秀教案教学设计

《集合间的基本关系》教案 教材分析 类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系，了解空集的含义． 本节内容是在学习了集合的概念、元素与集合的从属关系以及集合的表示方法的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也为下一节学习集合的基本运算打好基础．因此本节内容起着承上启下的重要作用． 教学目标 【知识与能力目标】 1．了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 2．理解子集、真子集的概念； 3．能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 【过程与方法目标】 让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义． 【情感态度价值观目标】 感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义． 教学重难点 【教学重点】 集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念． 【教学难点】 属于关系与包含关系的区别． 课前准备 学生通过预习，观察、类比、思考、交流、讨论，发现集合间的基本关系． 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 复习回顾： 1．集合有哪两种表示方法？ 2．元素与集合有哪几种关系？ 问题提出：集合与集合之间又存在哪些关系？ （二）研探新知 问题1：实数有相等、大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

让学生自由发言，教师不要急于做出判断．而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察、研探． 投影问题2：观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==； （2）设A 为国兴中学高一（3）班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合； （3）设{|},{|};C x x D x x ==是两条边相等的三角形是等腰三角形 （4）{2,4,6},{6,4,2}E F ==． 组织学生充分讨论、交流，使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系： ①一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集． 记作：()A B B A ??或 读作：A 含于B （或B 包含A ）． ②如果两个集合所含的元素完全相同，那么我们称这两个集合相等． 教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处，强化学生对符号所表示意义的理解．并指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图．如图1和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图． 图1 图2 投影问题3：与实数中的结论“若,,a b b a a b ≥≥=且则”相类比，在集合中，你能得出什么结论? 教师引导学生通过类比，思考得出结论： 若,,A B B A A B ??=且则． 问题4：请同学们举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例，并用Venn 图表示． 学生主动发言，教师给予评价．

高中数学必修一集合的基本运算教案

数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ?

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x

《集合之间的关系》参考教案

1.2.1 集合之间的关系 （一）教学目标； 1．知识与技能 （1）理解集合的包含和相等的关系. （2）了解使用Venn图表示集合及其关系. （3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. 2．过程与方法 （1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. （2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3．情感、态度与价值观 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. （二）教学重点与难点 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. （三）教学方法 在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.

（四）教学过程 教学环 节 教学内容师生互动设计意图 创设情境提出问题思考：实数有相关系，大小关系， 类比实数之间的关系，联想集合 之间是否具备类似的关系. 师：对两个数a、b，应有a ＞b或a = b或a＜b. 而对于两个集合A、B它们也 存在A包含B，或B包含A， 或A与B相等的关系. 类比生疑， 引入课题 概念形 成分析示例： 示例1：考察下列三组集合， 并说明两集合内存在怎样的关 系 （1）A = {1，2，3} B = {1，2，3，4，5} （2）A = {新华中学高（一）6 班的全体女生} B= {新华中学高（一）6 班 的全体学生} （3）C = {x | x是两条边相等 的三角形} D = {x | x是等腰三角形} 1．子集： 生：实例（1）、（2）的共同 特点是A的每一个元素 都是B的元素. 师：具备（1）、（2）的两个 集合之间关系的称A是B的 子集，那么A是B的子集怎 样定义呢？ 学生合作：讨论归纳子集的 共性. 生：C是D的子集，同时D 是C的子集. 师：类似（3）的两个集合称 为相等集合. 师生合作得出子集、相等两 通过 实例的共 性探究、感 知子集、相 等概念，通 过归纳共 性，形成子 集、相等的 概念. 初步 了解子集、 相等两个 概念.

人教A版精编数学必修1学案：1.1.2集合间的基本关系课堂导学案(含答案)

1.1.2 集合间的基本关系 课堂导学 三点剖析 一、集合间的关系 【例1】判断下列各式是否正确. (1)2?{x|x≤2}; (2)2∈{x|x≤2}; (3){2}{x|x≤2}; (4)?∈{x|x≤2}; (5)??{x|x≤2}; (6){a,b,c,d}?{e,f,b,d,g}. 思路分析：要注意元素与集合之间、集合与集合之间关系符号的不同，绝对不能混淆. 解：根据元素与集合、集合与集合之间的有关规定，(1)(4)(6)不正确，(2)(3)(5)正确. 温馨提示 一般来说，元素与集合之间应该用“?”或“∈”；而“?，”应该出现于集合与集合之 间；?作为特殊集合应遵从??A，?A(非空).但这不是绝对的，选择的关键在于具体 分析二者的关系.例{1,2}∈{{1,2},{1}}，而?∈{?,1},?{?,1}都是对的. 二、运用集合间的关系解题 【例2】 {a,b}?A{a,b,c,d,e},求所有满足条件的集合A. 思路分析：从子集、真子集的概念着手解答. 解：因为{a,b}?A,所以，A中必有元素a,b. 因为，A是{a,b,c,d,e}的真子集，所以，A中元素可以有2个，3个，4个三种情形.具体为：{a,b};{a,b,c};{a,b,d};{a,b,e};{a,b,c,d};{a,b,c,e};{a,b,d,e}共7个. 温馨提示 1.按顺序摆，做到不重不漏. 2.正确地把集合语言表述的问题“翻译”成普通数学语言. 【例3】集合A={1,3,a},B={a2},且B A，求实数a的取值集合. 思路分析：在利用B A这一条件时要注意对a进行讨论. 解：由于B={a2}A={1,3,a}, 因此，①a2=1,得a=1(不合题意舍去)或a=-1; ②a2=3得a=±3； ③a2=a得a=1(不合题意舍去)或a=0. 综上，实数a的取值集合为{-1,3,-3,0}. 温馨提示 1.分类讨论思想是很重要的思想方法，注意掌握分类方法；

高中数学集合间的基本关系教案3 新课标 人教版 必修1(A)

集合间的基本关系 教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型：新授课 教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用Venn 图表达集合间的关系； （4）了解与空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别； 教学过程： 一、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N ；（2 ；（3）-1.5 R 2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题） 二、新课教学 （一） 集合与集合之间的“包含”关系； A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：)(A B B A ??或 读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作 A B 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 )(A B B A ??或 （二） 集合与集合之间的 “相等”关系； A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A = 即 ?? ????=A B B A B A 练习 结论： 任何一个集合是它本身的子集 （三） 真子集的概念 若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。 记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） ?

1.1.3集合的基本运算教案

1.1.3 集合的基本运算 学习目标： （1）理解交集与并集的概念； （2）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法； （3）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使 学生认识由具体到抽象的思维过程； （4）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养 成良好的学习习惯。 教学重点：交集和并集的概念 教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系 合作探究展示： 一、 问题衔接 我们知道两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算， 两个集合是否也可以“相加”呢？ 思考（P8思考题），引入并集概念。 二、新课教学 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并 集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合 （重复元素只看成一个元素）。 例题（P 8-9例4、例5） 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分） 还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集 （intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 A ∪B B A ?

高中数学 1.2.1 集合之间的关系学案三 新人教B版必修1

1.2.1集合之间的关系 教学目的：1、使学生掌握子集、真子集、空集、两个集合相等等概念，会写出一个集合的所有子集。 2、能过与不等式类比学习集合间的基本关系，掌握类比思想的应用。 教学重难点：重点是掌握集合间的关系，难点是子集与真子集的区别。 教学过程： 一、复习提问 1、元素与集合之间有什么关系？a与{a}有什么区别？ 2、集合的表示方法有几种？分别是什么？ 二、新课 5<7 例1、A={1,2,3}，B={1,2,3,4,5} 或7>5 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。 称为：集合A是集合B的子集。 记作：A?B，或B?A。 例2、A为高一(2)班女生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合。 特点：A有的元素，B都有，即集合A的任何一个元素都是集合B的元素。 定义：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset)。 记作：A?B，或B?A。用Venn图表示(右上图)。 5=5 例3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形} a≤b 特点：集合C中的任何一个元素都是集合D中的元素，集合D中的任何一

且b ≥a 个元素都是集合C 中的元素，即C ?D ，或D ?C 。 则a=b 所以，C=D 。 定义：如果集合A 是集合B 的子集(A ?B)，且集合B 是集合A 的子集(B ?A)，此时 集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作：A=B 定义：若集合A ?B ，但在在元素x ∈B ，且x ?A ，我们称集合A 是集合B 的真子集 B ，或B A 记作：A 例1中，集合A 是集合B 的真子集。例2呢？ 方程x 2+1=0没有实数根，所以方程x 2+1=0的实数根组成的集合中没有元素。 定义：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为?，并规定：空集是任何集合的子 集。 两个结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A ?A 。 (2)对于集合A 、B 、C ，如果A ?B ，且B ?C ，那么A ?C 类比：a

《集合间的基本关系》教学设计(精品)

集合间的基本关系 （一）教学目标； 1．知识与技能 （1）理解集合的包含和相等的关系. （2）了解使用Venn图表示集合及其关系. （3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. 2．过程与方法 （1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. （2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3．情感、态度与价值观 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. （二）教学重点与难点 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. （三）教学方法 在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质. （四）教学过程

图表示为： =2}. }.

备选训练题 例1 能满足关系{a ，b }?{a ，b ，c ，d ，e }的集合的数目是（ A ） A ．8个 B ．6个 C ．4个 D ．3个 【解析】由关系式知集合A 中必须含有元素a ，b ，且为{a ，b ，c ，d ，e }的子集，所以A 中元素就是在a ，b 元素基础上，把{c ，d ，e }的子集中元素加上即可，故A = {a ，b }，A = {a ， b ， c }，A = {a ，b ， d }，A = {a ，b ， e }，A = {a ，b ，c ，d }，A = {a ，b ，c ，e }，A = {a ，b ，d ，e }，A = {a ，b ，c ，d ，e }，共8个，故应选A. 例2 已知A = {0，1}且B = {x |x A ?}，求B . 【解析】集合A 的子集共有4个，它们分别是：?，{0}，{1}，{0，1}. 由题意可知B = {?，{0}，{1}，{0，1}}. 例3 设集合A = {x – y ，x + y ，xy }，B = {x 2 + y 2，x 2 – y 2，0}，且A = B ，求实数x 和y 的值及集合A 、B . 【解析】∵A = B ，0∈B ，∴0∈A . 若x + y = 0或x – y = 0，则x 2 – y 2 = 0，这样集合B = {x 2 + y 2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y ≠0，x – y ≠0. ∴22 220 xy x y x y x y x y =?? -=-??+=+? （I ） 或22 220xy x y x y x y x y =?? -=+??+=-? （II ） 由（I ）得：00x y =?? =?或01x y =??=?或1 0x y =??=? 由（II ）得：00x y =?? =?或01x y =??=-?或1 0x y =??=? ∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去. 当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去. ∴01x y =?? =?或0 1x y =??=-? ， ∴A = B = {0，1，–1}. 例4 设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若B A ?，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集. 【解析】A = {3，5}，∵B A ?，所以

《1.3 集合的基本运算》优秀教学教案教学设计

第一章集合与常用逻辑用语 第3节集合的基本运算 本节是新人教A版高中数学必修1第1章第1节第3部分的内容。在此之前,学生已学习了集合的含义以及集合与集合之间的基本关系,这为学习本节内容打下了基础。本节内容主要介绍集合的基本运算一并集、交集、补集。是对集合基木知识的深入研究。在此,通过适当的问题情境,使学生感受、认识并掌握集合的三种基本运算。本节内容是函数、方程、不等式的基础，在教材中起着承上启下的作用。本节内容是高中数学的主要内容，也是高考的对象，在实践中应用广泛，是高中学生必须掌握的重点。 1.教学重点：交集、并集、补集的运算； 2.教学难点：交集、并集、补集的运算性质及应用，符号之间的区别与联系。 多媒体

Venn 图表示： （2）“或”的理解：三层含义： 的并集。 与是的所有元素组成的集合，，由且。即：又属于元素既属于但。即：但不属于元素属于但。即：但不属于元素属于B A B A B x A x B A A x B x x A B B x A x x B A 321}{.3},{.2},{.1?=∈∈?∈?∈ （3）思考：下列关系式成立吗？ （1） A A A =Y （2）A A =φY 【答案】成立 （4）思考：若，B A ?,则A ∪B 与B 有什么关系？ 【答案】 。，则若B B A B A =?Y 3、典型例题 例1．设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求AUB ． }8,7,6,5,4,3{}8,7,5,3{}8,6,5,4{==Y Y B A 解： 例2．设集合A={x|-1

人教版数学高一-集合间的基本关系 教案

课题:§1.2集合间的基本关系 教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型：新授课 教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用Venn 图表达集合间的关系； （4）了解与空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别； 教学过程： 一、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N ；（2 ；（3）-1.5 R 2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣 布课题） 二、新课教学 （一） 集合与集合之间的“包含”关系； A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：)(A B B A ??或 读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B 用Venn )(A B B A ??或 （二） A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A = 即 ??????=A B B A B A 练习 结论： 任何一个集合是它本身的子集 （三） 真子集的概念 若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper ?

集合间的基本关系学案

集合间的基本关系 学习目标︰了解集合之间包含与相等两关系的含义，能识别给定集合的子集；理解子集、真子集的概念；能利用Venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；了解空集的含义 学习重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念. 学习难点：难点是属于关系与包含关系的区别． 学习过程 一、课前准备（预习教材,找出疑惑之处） 复习1：集合的表示方法有 、 、 . 请用适当的方法表示下列集合. （1）10以内3的正倍数；（2）1000以内3的倍数. 复习2：用适当的符号填空. （1） 0 N ；2 Q ； -1.5 R. （2）设集合2{|(1)(3)0}A x x x =--=，{}B b =，则1 A ；b B ；{1,3} A. 二、新课导学 学习探究 探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： {3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； 1}x |{x >=C 与5}x |{x >=D {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F =. 新知：子集、相等、真子集、空集的概念. ① 如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ），记作：()A B B A ??或，读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含(contains)A. 当集合A 不包含于集合B 时，记作B A ? ② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图. 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：()A B B A ??或 子集性质：（1）任何一个集合是 的子集；即：Ａ?Ａ； （2）若B A ?，C B ?，则 。 ③ 集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 是集合B 的子集（B A ?），且集合B 是集合A 的子集（B A ?），此时集合A 与集合B 的元素是一样的，因此，称集合A 与集合B 。记作：A ＝B ；若A B B A ??且，则A B = ④ 真子集：若集合A B ?，存在元素x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作：A B （或B A ），读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） ⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?;规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. ⑥集合间的基本关系 (1)任何集合是 的子集，即A A ；对于集合A,B,C,若C B B A ??,,那么A C ； (2)含n 个元素的集合，其子集的个数 ，真子集的个数 ，非空真子集的个数 ⑦知识拓展︰如果一个集合含有n 个元素，那么它的子集有2n 个，真子集有21n -个 课内自测： 1.用适当符号填空：（1）{,}a b {,,}a b c ，a {,,}a b c ；（2）? 2{|30}x x +=，? R ； （3）N {0,1}，Q N ；（4）{0} 2{|0}x x x -=；（5）2 ___{10}xR x φ∈+=； （6）20___{0}x x =；（7）2{2,1}__{320}x x x -+= （8）{（2，4）} {（x ，y ）|y ＝2x} 2.下列关系正确的有 （1）{,}={b ,a }a b ；（2）{,}{,}a b b a ?；（3）{}φφ=；（4）{0}φ=；（5）{0}φ?；（6）0{0}∈；（7）0φ∈；

集合的概念教学设计

集合的概念及相关运算教学设计 一、教材分析 1.知识来源：集合的概念选自湖南教育出版社必修一中第一章集合与函数概念的第一小节； 2. 知识背景：作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，作为一种数学简单符号来探究。通过本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 3.知识外延：集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。 二、学情分析 1．学生心理特征分析：集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，存在部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。 2．学生知识结构分析：对于高一的新生来说，能够顺利进入高中知识的学习，基本功还是较扎实的，有良好的学习态度，也有一定的自主学习能力和探究能力。对集合概念的知识接纳和理解打下了良好的

基础，在教学过程中，充分调动学生已掌握的知识，增强学生的学习兴趣。 三、教学目标 (一)知识与技能目标 1．了解集合的含义与表示，理解集合间的基本关系，掌握集合的基本运算。能从集合间的运算分析出集合的基本关系，同时对于分类讨论问题，能区分取交还是取并． 2．学会在具体的问题中选择恰当的集合表示方法，理解集合有限和无限的特征，理清“元素和集合关系”和“集合与集合关系”符号的区别，不混淆。 3.学会正确使用集合补集思想，即为“正难则反”的思想。 (二)过程与方法目标 1．通过学生自主知识梳理，了解自己学习的不足，明确知识的来龙去脉，把学习的内容网络化、系统化． 2．在解决问题的过程中，学生通过自主探究、合作交流，领悟知识的横、纵向联系，体会集合的本质． 3. 学生通过集合概念的学习，应掌握分类讨论思想、化简思想以及补集思想等。 (三)情感态度与价值观目标 1.在学生自主整理知识结构的过程中，认识到材料整理的必要性，从而形成及时反思的学习习惯，独立获取数学知识的能力。 2.在解决问题的过程中，学生感受到成功的喜悦，树立学好数学的

集合的基本运算教案

课题 《集合间的基本运算》 授课学校 六盘水市特殊教育学校 授课教师 杨霞 授课班级 听障高三年级 课型 数学 教材分析 《集合间的基本运算》是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修一第一章1.1.3，教材9-12页。集合的交、并运算是许多知识的切入点或重要辅助工具，比如后面要学习的函数中对于函数的定义域、值域的求解就要借助函数的并、交运算。 学情分析 学生已经学习了集合的一些基本概念以及集合的基本关系，集合的基本运算是在以上知识的基础上建立起来的，这些集合的基本运算的结果都是集合，因而需要注意运算后的集合需要具备集合的元素的三个性质。学生通过对高中数学中集合的基本知识的学习，从而能够解决一些与集合相关的问题。通过教师启发式引导，学生自主探究完成本节课的学习。

教学目标 知识与技能：理解集合的基本运算的定义，掌握集合的基本运算性质，培养学生熟练运用集合运算的能力。 过程与方法：通过观察和类比，借助韦恩图（Wenn图）理解集合的基本运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想。 情感态度与价值观：在集合的基本运算的学习过程中，体验数学的类比思想和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。 教学重难点 重点：让学生把握如何求出并集、交集。 难点：能用图示法表示出集合的关系，能从图示中看出集合的关系。 教学方法 教法：启发式教学探究式教学 学法：自主探究分组合作交流 教学用具 多媒体（PowerPoint）、展示图、纸质小棒 教学课时 第一课时 教学准备 教学环境：多媒体教室 活动准备：制作幻灯片、准备导学案、道具 教学过程 如下表 师生活动 设计意图 一、课堂小游戏导入 通过复习集合的含义及表示、集合间的基本关系中有关的符号例如：、、等，引入新课中将要学习的两个符号并集、交集。学生根据幻灯片上出现的集合符号快速作答，反应时间不能超过三秒，否则就算错误。 活跃课堂气氛。让学生既巩固了已学过知识，又能培养学生对新知识的学习兴趣。 二、探索新知 并集 学案：

集合间的基本关系试题(含答案)

一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0xy >0等价于????? x <0y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C

[解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的关系是( ) A ．M P B ．P M C ．M ＝P D ．M 、P 互不包含 [答案] D [解析] 由于两集合代表元素不同，因此M 与P 互不包含，故选D. 6．集合B ＝{a ，b ，c }，C ＝{a ，b ，d }；集合A 满足A ?B ，A ?C .则满足条件的集合A 的个数是( ) A ．8 B ．2 C ．4 D ．1 [答案] C [解析] ∵A ?B ，A ?C ，∴集合A 中的元素只能由a 或b 构成．∴这样的集合共有22＝4个． 即：A ＝?，或A ＝{a }，或A ＝{b }或A ＝{a ，b }． 7．设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M N D ．M 与N 的关系不确定 [答案] B [解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得 M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}， ∴M N ，故选B. 解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4 ＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B. [点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若

1.1.2--集合间的基本关系教案

1.1.2 集合间的基本关系 教学目标分析： 知识目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 2、在具体情景中，了解空集的含义。 过程与方法：从类比两个实数之间的关系入手，联想两个集合之间的关系，从中学会观察、类比、概括和思维方法。 情感目标：通过直观感知、类比联想和抽象概括，让学生体会数学上的规定要讲逻辑顺序，培养学生有条理地思考的习惯和积极探索创新的意识。 重难点分析： 重点：理解子集、真子集、集合相等等。 难点：子集、空集、集合间的关系及应用。 互动探究： 一、课堂探究： 1、情境引入——类比引入 思考：实数有相等关系、大小关系，如55,57,53=<>，等等，类比实数之间的关系，可否拓展到集合之间的关系？任给两个集合，你能否发现每组的前后两个集合的相同元素或不同元素吗?这两个集合有什么关系？ 注意：这里可关系两个数学思想，分别是特殊到一般的思想，类比思想 探究一、观察下面几个例子，你能发现两个集合之间的关系吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==； （2）设A 为新华中学高一（2）班全体女生组成的集合，B 为这个班全体学生组成的集合； （3）设{|}={|}C x x D x x =是两条边相等的三角形，是等腰三角形。 可以发现，在（1）中，集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素。这时，我们就说集合A 与集合B 有包含关系。（2）中集合A ,B 也有类似关系。 2、子集的概念：集合A 中任意一个元素都是集合B 的元素，记作B A ?或A B ?。图示如下符号语言：任意x A ∈，都有x B ∈。读作：A 包含于B ，或B 包含A.当集合A 不包含于集合B 时，记作：A B ? 注意：强调子集的记法和读法； 3、关于Venn 图：在数学中，我们经常用平面上封闭的曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图.这样，上述集合A 与B 的包含关系可以用右图表示 自然语言：集合A 是集合B 的子集

人教B版高中数学必修一教案集合基本运算

§1.1.3 集合的基本运算 一. 教学目标： 1. 知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比，借助Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确. 二.教学重点.难点 重点：交集与并集，全集与补集的概念. 难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系． 三.学法与教学用具 1.学法：学生借助Venn 图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算. 2.教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 问题1：我们知道，实数有加法运算。类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢? 请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A .B 之间的关系吗? (1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};A B C === (2){|},{|},{|}A x x B x x C x x ===是理数是无理数是实数 引导学生通过观察，类比.思考和交流，得出结论。教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 l.并集 —般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集. 记作：A ∪B. 读作：A 并B. 其含义用符号表示为： {|,}A B x x A x B =∈∈U 或 用Venn 图表示如下： 请同学们用并集运算符号表示问题1中A ，B ，C 三者之间的关系. 练习.检查和反馈

高中数学 必修一 集合间的基本关系 教案

集合间的基本关系 【学习目标】 了解子集、真子集、空集的概念，掌握用Venn 图表示集合的方法，通过子集理解两集合相等的意义。 1．一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ?(或B A ?)，读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”)。 2．如果集合A 是集合B 的子集(A B ?)，且集合B 是集合A 的子集(B A ?)，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =． 3．如果集合A B ?，但存在元素x B ∈，且x A ?，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ? (或B A ?)。 4．不含任何元素的集合叫做空集，记作?。 5．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 【学习过程】 写出给定集合的子集 【例1】（1）写出集合{012}，，的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集； （2 由此猜想：含n 个元素的集合{}12,,,n a a a L 的所有子集的个数是多少？真子集的个数

及非空真子集的个数呢？ 解 （1）不含任何元素的集合：?； 含有一个元素的集合：{0}，{1}，{2}； 含有两个元素的集合：{0，1}，{0，2}，{1，2}； 含有三个元素的集合：{0，1，2}。 故集合{0，1，2}的所有子集为?，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}。 其中除去集合{0，1，2}，剩下的都是{0，1，2}的真子集。 这样，含n 个元素的集合{a 1，a 2，…，a n }的所有子集的个数是2n ，真子集的个数是2n －1，非空真子集的个数是2n －2 规律方法 （1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏。 （2）集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集，有(21)n -个真子集，(21)n -个非空子集，(22)n -个非空真子集。 变式迁移1 已知集合M 满足1212{34}{5}M ??，，，，，，写出集合M 。 解 由已知条件知所求M 为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}。 集合基本关系的应用 【例2】（1）已知集合34{|}A x x =≤≤-，211{|}B x m x m =-＜＜＋，且B A ?．求实数m 的取值范围；（2）本例（1）中，若将“B A ?”改为“A B ?”，其他条件不变，则实数