2. 4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、教材分析
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义,理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律,然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点:平面向量数量积的定义及几何意义;平面向量数量积的5个重要性质;平面向量数量积的运算律. 二.教学目标
1.了解平面向量数量积的物理背景,理解数量积的含义及其物理意义;
2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系,理解掌握数量积的性质和运算律,并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算;
3.体会类比的数学思想和方法,进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
三、教学重点难点
重点: 1、平面向量数量积的含义与物理意义,2、性质与运算律及其应用。
难点:平面向量数量积的概念
四、学情分析
我们的学生属于平行分班,没有实验班,学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚,所以讲解时需要详细
五、教学方法
1.实验法:多媒体、实物投影仪。
2.学案导学:见后面的学案。
3.新授课教学基本环节:预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
六、课前准备
1.学生的学习准备:预习学案。
2.教师的教学准备:多媒体课件制作,课前预习学案,课内探究学案,课后延伸拓展学案。。
七、课时安排:1课时
八、教学过程
(一)预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑,使教学具有了针对性。
(二)情景导入、展示目标。
创设问题情景,引出新课
1、提出问题1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?期望学生回答:向量的加法、减法及数乘运算。
2、提出问题2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的?
期望学生回答:物理模型→概念→性质→运算律→应用
、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向3.量数量积的物理背景及其含义(三)合作探究,精讲点拨探究一:数量积的概念:1、给出有关材料并提出问题3
F
S,(1)如图所示,一物体在力F的作用下产生位移α那么力F所做的功:W= |F| |S| cos。(2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空:αS
量,①W(功)是量,F②(力)是
(位移)是③S 量,。④α是?
)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗(3 期望学生回答:功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义数量积的定义:(1)??aabb b叫做,我们把数量cos已知两个非零向量︱︱与,它们的夹角为︱·︱?aaaabbbb,即:︱·︱·cos=与的数量积(或内积),记作:︱·︱)定义说明:(2ab?”代替。①记法“”不可以省略,也不可以用“·”中间的“·②“规定”:零向量与任何向量的数量积为零。:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小)提出问题4(3 的因素有哪些?期望学生回答:线性运算的结果是向量,而数量积的结果则是数,这个数值的大小不
ab仅和向量的模有关,还和它们的夹角有关。与)学生讨论,并完成下表:(4????°的范围°≤0°°≤0° <90< =90180 ab·的符
aaaabbbb的夹角⊥,③与1 例:已知||=3,||=6,当①∥,②ab.·60°时,分别求是
aabb同向,则它们的夹角θ解:①当与∥=0°,时,若aabb|·|18|∴cos0°=3×6×1=·;=|abθ=180°,与反向,则它们的夹角若aabb|||cos180°=3×6×(·-1)=-=|18∴;ab⊥时,它们的夹角θ②当=90°,ab∴·=0;ab与③当60°时,有的夹角是1aabb9 =||·|cos60°=3×6×=|2,因此,两个向量的数量积与它们的夹角有关,其范围是[0°,180°]评述:
ab.
180°两种可能∥时,有当0°或aaabbbb ttt的、,求使与|+变式:值,并求此时对于两个非零向量+|最小时的夹角。
探究二:研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念:
??ab如图,我们把│cos│cos)(││aabb在方向上)的投影,叫做向量方向上(在?b 记做:│︱=OB︱│cos12.提出问题:数量积的几何意义是什么?5aaaabb的方向上的投影期望学生回答:数量积在·等于的长度︱︱与?b。的乘积 cos︱︱.
3. 研究数量积的物理意义。请同学们用一句话来概括功的数学本质:功是力与位移的数量积
探究三:探究数量积的运算性质:1、提出问题6aabb·︱×︱︱的大小,你有什么结论?比较︱︱与︱、明晰:数量积的性质2
都是非零向量,
反向时同向时,︱︱;、与
或特别地︱︱= ︱
aabb︱︱×︱︱≤︱·、︱ 3
3.数量积的运算律:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也适(、提出问题1)7
用?预测:学生可能会提出以下猜想:aabb = ··①caacbb) (=·(②·)ccacabb··) =+·+ ③()2 (、分析猜想:猜想①的正确性是显而易见的。猜测②的左右两边的结果各是什么?它们一关于猜想②的正确性,请同学们先来讨论:定相等吗?ac共线的向量,显然在期望学生回答:左边是与向量共线的向量,而右边则是与向量ac不共线的情况下猜测②是不正确的。与向量向量、明晰:数量积的运算律:)3(
cab已知向量、、和实数λ,则: = aaaaabbbbb=λ((·)=λ·)(2)
aabb°,求的夹角为=4, 、(师生共同完成)已知︱=6︱60,︱与︱例2aabb)-3)(·+2(,并思考此运算过程类似于实数哪种运算?aaaaaabbbbbb.+2.-3-6.. -3)((+2=)·解:4 4×4×6×0.5-6× =36-3×
= -72
评述:可以和实数做类比记忆数量积的运算律
aaabbb222 )=(·++21变式:()+aaabbb2
2)()=(+- )·
2—(
(四)反思总结,当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容,并进行当堂检测。设计意图:引导学生构建知识络并对所学内容进行简单的反馈纠正。(课堂实录)(五)发导学案、布置预习。在下一节课我们一起来学习数量积那么,我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义,的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分,着重分析坐标的作用教师课后及时批阅本节的延伸拓并对本节课巩固提高。设计意图:布置下节课的预习作业,展训练。
九、板书设计
几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习,一方面使学生尝试计算数量积,另一方面使学生理解数量积的物理意义,同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸,教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现,为了让学生很好的完成这两个探究活动,我始终按照先创设一定的情景,让学生去发现结论,教师明晰后,再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到,数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到,这样不仅使学生感到亲切自然,同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。.
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
课前预习学案一、预习目标:预习平面向量的数量积及其几何意义;平面向量数量积的重要性质及运算律;二、预习内容: 1.平面向量数量积(内积)的定义:
两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别2.
“投影”的概念:作图3. 4.向量的数量积的几何意义:
.两个向量的数量积的性质:5abb. 同向的单位向量为两个非零向量,设e是与、bb e = e1?? =aabb = ? 2???aab. 是为两个非零向量,设e、与同向的单位向量aa?e = e?=
aaaaaabbbb同向时,与当= ? = 当3?与反向时,?= 特别的?
2aaa?||a? ||或= cos?4?aabb| ||| 5? |?| ≤
三、提出疑惑:
同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中
疑惑点疑惑内容
课内探究学案一、学习目标说出平面向量的数量积及其几何意义;1 学会用平面向量数量积的重要性质及运算律;2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;3.学习重难点:。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景,引出新课:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结1、提出问题1 果是什么?
:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按、提出问题22 照怎样的顺序研究了这种运算的?
、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向3 量数量积的物理背景及其含义探究一:数量积的概念:1、给出有关材料并提出问题3
F
S,1()如图所示,一物体在力F的作用下产生位移W=
所做的功:F那么力)这个公式的有什么特点?请完成下列填空:(S
(功)是量,①W量,(力)是②F
③S(位移)是量,是α。④? )你能用文字语言表述“功的计算公式”吗(3 2、明晰数量积的定义)数量积的定义:1(.
??aabb叫做,我们把数量︱已知两个非零向量︱cos与︱·︱,它们的夹角为?aaaabbbb︱︱︱·︱与的数量积(或内积)·,记作:cos·=,即:
2)定义说明:(ab?①记法“·”代替。”中间的“·”不可以省略,也不可以用““规定”:零向量与任何向量的数量积为零。②
:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小4(3)提出问题的因素有哪些?
(4)学生讨论,并完成下表:????°0°=90°<180≤0的范围°≤ <90°ab·的符
aaaabbbb的夹角|=3,|⊥|=6,当①与∥,②:已知|例1 ,③ab.60°时,分别求·是解:
变式:
aaabbbb的夹角.
值,并求此时最小时的| . 对于两个非零向量、,求使+t|t与+t
探究二:研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念:
??ab cos(│cos)如图,我们把│││aabb在在方向上(叫做向量方向上)的投影,
?b│︱记做:OB=︱│cos1提出问题5:数量积的几何意义是什么?2.
3. 研究数量积的物理意义请同学们用一句话来概括功的数学本质:
探究三:探究数量积的运算性质aabb︱×︱·6︱的大小,你有什么结论?:比较︱︱与︱1、提出问题
、明晰:数量积的性质2
3.数量积的运算律
(1)、提出问题7:我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也用?
(2)、明晰:数量积的运算律:
cab、、和实数λ,则:已知向量
= aaaaabbbbb)()=λ(2)(λ·)·)(1=·λ(··
caccabb··+ )·+=(3)(
aabb°,求,︱︱的夹角为=6=4, 60、例2与(师生共同完成)已知︱︱aabb+2,并思考此运算过程类似于实数哪种运算?)·(()-3 解:
aaabbb变式:222·1()+2(++)=aaabbb22—(-)=+ )·)(2(
(三)反思总结
四)当堂检测(
o aaabbb·,求与|=5,的夹角||=4,θ=120 . 1 .已知|
o aaaabbbb) ((+2| |=6,||=4-3,60与的夹角为)·求已知2.
.
aaaabbbb +k互相垂直与. -k,,3 .已知||=3 ||=4 且与不共线,k为何值时,向量
aaaabbbb时,分60°的夹角是与,③⊥,②∥|=6,当①|=3,|已知|4.
ab·. 别求
aaaaabbbbb2;|,求5.°已知∥|+|=1,|,求||=·;(2)若,(1)、若的夹角为60aaabb. 与的夹角(3)与若垂直,求-
ab. nm6.设、n-3是两个单位向量,其夹角为60°,求向量+=2mnm与的夹角=2
课后练习与提高aaaabbb2 ( -的夹角是() 与||=1,|垂直,则|= ,且)与已知1. 45° A.60°B.30° C.135° D.?aaabbb与之间的夹角为),那么向量m,| |=1=,-42.已知|的模为(|=233D.12
A.2
B.2
C.6
aaaabbbb +)与)( 3.已知-、是非零向量,则)|垂直的(|=||是( A.充分但不必要条件必要但不充分条件 B. 既不充分也不必要条件 D.
C.充要条件
?aaaabbbb. |= 4.已知向量-、的夹角为,||=2,||=1,则| + |·|3aabb轴正方向上的单位+16jyx轴、是直角坐标系中,其中5.已知i+-8=2i、j,j-=-8i ab·. 向量,那么= aaaabbbb2______.
=-c),c,|已知6.与⊥、c60°、的夹角均为,且|=1,||=2||=3则(+2
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
第二章平面向量 2.1平面向量的实际背景及基本概念 教学设计 一、内容和内容解析 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具,它有着丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具,在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具,它体现了数学和物理的天然联系。向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系,体会向量在刻画和解决实际问题中的作用,从中感受数学的应用价值。在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较,得出抽象的数学模型,所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。在本节中,学生将了解平面向量丰富的实际背景,理解平面向量的意义,能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。 本节课是一节概念课,在向量基本概念的形成过程中,需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点,在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示,位移的表示,速度的表示为起点,归纳并确定向量的几何表示以及符号表示,而在探索向量间的特殊关系时,引导学生借助图形进行,这样不仅使研究有序,同时更锻炼学生的直观想象能力,有助于感受向量集数与形于一身的特性。通过类比学习数量的过程,让学生自然的获得新知识的探究方向,在基本概念的学习中,要让学生体验概念的生成过程,获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象,认识数学新对象的基本方法,用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。 二、目标和目标解析 1. 通过对平面向量概念的抽象概括,体验数学概念的形成过程,了解平面向量的实际背景; 2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义; 3. 理解平面向量的几何表示和基本要素,会用有向线段表示向量,会判断零向量,单位向量,能做一个向量和已知向量相等,能根据图形判定向量是否是平
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段(向量可以平移)。如已知A (1,2),B (4,2),则把向量AB u u u r 按向量a r =(-1,3)平移后得到的向量是_____(3,0) 2、向量的表示方法:用有向线段来表示向量. 起点在前,终点在后。有向线段的长度表示向量的大小,用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ,b ,…或用AB ,BC ,…表示 (1) 模:向量的长度叫向量的模,记作|a |或|AB |. (2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的; (3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r ); (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性。 (5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量,记作:a ∥b ,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有0r );④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线; (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是-a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法: (1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 如图,已知向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB =u u u r a ,BC =u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况:a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ,有 a 00+=+ a = a (2)法则:____三角形法则_______,_____平行四边形法则______ (3)运算律:____ a +b =b +a ;_______,____(a +b )+c =a +(b +c )._______ 当a 、b 不共线时,