第十章 第十节 离散型随机变量的均值与方
差、正态分布(理)
1.
其中m ,n ∈[0,1),且EX =1
6,则m ,n 的值分别为 ( )
A.112,12
B.16,16
C.14,13
D.13,14 解析:由p 1+p 2+…+p 6=1,得m +n =712
, 由EX =16,得12-m =16,∴m =13,n =14.
答案:D
2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X 表示取到次品的个数,则EX 等于________.
解析:X =0时,P =C 27C 210;X =1时,P =C 17C 1
3
C 210
;
X =2时,P =C 23
C 210
,
∴EX =0×C 27C 210+1×C 17C 1
3C 210+2×C 23
C 210=7×3+2×3C 2
10=35
. 答案:3
5
3.(2009·重庆高考)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的12,13,1
6.现有3
名工人独立地从中任选一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(2)记X 为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求X 的分布列
及数学期望.
解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 A i ,B i ,C i ,i =1,2,3.由题意知A 1,A 2,A 3相互独立,B 1,B 2,B 3相互独立,C 1,C 2, C 3相互独立,A i ,B j ,C k (i ,j ,k =1,2,3,且i ,j ,k 互不相同)相互独立,且P (A i )=12,
P (B i )=13,P (C i )=1
6
.
(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P =3!P (A 1B 2C 3)=6P (A 1)P (B 2)P (C 3) =6×12×13×16=1
6
.
(2)法一:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为Y ,由已知,Y ~B (3,1
3),
且X =3-Y ,所以
P (X =0)=P (Y =3)=C 33(13)3=1
27, P (X =1)=P (Y =2)=C 23(13)2(23)=29, P (X =2)=P (Y =1)=C 13(13)(23)2=49, P (X =3)=P (Y =0)=C 03(23)3=827. 故X 的分布列为:
X 的数学期望
EX =0×127+1×29+2×49+3×8
27
=2.
法二:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ,i = 1,2,3.由已知,D 1,D 2,D 3相互独立,且P (D i )=P (A i +C i )=P (A i )+P (C i )=12+16=2
3,
所以X ~B (3,2
3
),
即P (X =k )=C k 3(23)k (13
)3-k
,k =0,1,2,3.
故X 的分布列是:
X 的数学期望EX =3×2
3
=2.
4.设X 是服从二项分布B (n ,p )的随机变量,又EX =15,DX =
45
4
,则n 与p 的值为( ) A .60,34 B .60,14 C .50,34 D .50,1
4
解析:由X ~B (n ,p ),有EX =np =15, DX =np (1-p )=454,∴p =1
4
,n =60. 答案:B
5.已知随机变量X 的分布列为
若EX =15
8,则DX 等于 ( )
A.3364
B.5564
C.732
D.932 解析:由分布列的性质得x +y =0.5,
又EX =158,所以2x +3y =118,解得x =18,y =38.
所以DX =(1-158)2×12+(2-158)2×18+(3-158)2×38=5564
. 答案:B
6.袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有10个,记上n 号的有n 个(n =1,2,3,4).现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求X 的分布列、期望和方差;
(2)若Y =aX +b ,EY =1,DY =11,试求a ,b 的值. 解:(1)X 的分布列为:
∴EX =0×12+1×120+2×110+3×320+4×1
5
=1.5,
DX =(0-1.5)2×12+(1-1.5)2×120+(2-1.5)2×110+(3-1.5)2×320+(4-1.5)2×1
5=2.75.
(2)由D (Y )=a 2DX ,得a 2×2.75=11,即a =±2. 又E (Y )=aEX +b ,
∴当a =2时,由1=2×1.5+b ,得b =-2; 当a =-2时,由1=-2×1.5+b ,得b =4.
∴????? a =2,b =-2或?????
a =-2,
b =4,
即为所求.
7.都要负担这辆车的各种管理费100元,如果在一个月内该车被租的概率是0.8,租金是2 600元,那么公司每月对这辆车收入的期望值为________元. 解析:设公司每月对这辆车收入为X 元,则其分布列为:
故EX =(-100)×0.2+答案:1 980
8.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是________.
解析:利用方案A 1、A 2、A 3、A 4盈利的期望分别是: 50×0.25+65×0.30+26×0.45=43.7; 70×0.25+26×0.30+16×0.45=32.5; -20×0.25+52×0.30+78×0.45=45.7; 98×0.25+82×0.30-10×0.45=44.6. 答案:A 3
9.(2010·徐州模拟)某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每个学生最多也只能参加5次测试.假设某学生每次通过测试的概率都是1/3.每次测试通过与否互相独立.规定:若前4次都没有通过测试,则第5次不能参加测试. (1)求该学生考上大学的概率;
(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束,记该生参加测试的次数为X ,求X 的分布列及X 的数学期望.
解:(1)记“该生考上大学”的事件为事件A ,其对立事件为A ,则P (A )=C 14(13)(23)3(23)+(23)4=64243+1681=112243. ∴P (A )=1-P (A )=
112243=131
243
. (2)该生参加测试次数X 的可能取值为2,3,4,5. P (X =2)=(13)2=1
9,
P (X =3)=C 12·13·23·13=4
27
, P (X =4)=C 13·13·(23)2·13+(23)4=427+1681=2881, P (X =5)=C 14(13)·(23)2=3281. 故X 的分布列为:
EX =2×19+3×427+4×2881+5×3281=32681.
10.111222则有( ) A .μ1<μ2,σ1<σ2
B .μ1<μ2,σ1>σ2
C .μ1>μ2,σ1<σ2
D .μ1>μ2,σ1>σ2
解析:μ反映正态分布的平均水平,x =μ是正态曲线的对称轴,由图知μ1<μ2,σ反 映正态分布的离散程度,σ越大,曲线越“矮胖”,表明越分散,σ越小,曲线越“高
瘦”,表明越集中,由图知σ1<σ2.
答案:A
11.在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若X在(0,1)内取值的概率为0.4,则X在(0,2)内取值的概率为________.
解析:在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),正态分布图像的对称轴为x=1,X在(0,1)内取值的概率为0.4,可知,随机变量X在(1,2)内取值的概率与X 在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机变量X在(0,2)内取值的概率为0.8.
答案:0.8
12.已知随机变量X服从正态分布N(0,σ2),且P(-2≤X≤0)=0.4,则P(X>2)=________.
解析:∵P(-2≤X≤0)=0.4,∴P(-2≤X≤2)=0.8,
∴P(X>2)=P(X<-2)=0.1.
答案:0.1
§12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X (1)均值 称E (X )=x 1p 1+x 2p 2+…+x i p i +…+x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差 称D (X )=∑n i =1 (x i -E (X ))2 p i 为随机变量X 的方差,它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度,其算术平方根D X 为随机变量X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E (aX +b )=aE (X )+b . (2)D (aX +b )=a 2 D (X ).(a ,b 为常数) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X 服从两点分布,则E (X )=__p __,D (X )=p (1-p ). (2)若X ~B (n ,p ),则E (X )=__np __,D (X )=np (1-p ). 4.正态分布 (1)正态曲线:函数φμ,σ(x )=1 2πσ e -x -μ2 2σ2 ,x ∈(-∞,+∞),其中μ和σ为参数(σ>0, μ∈R ).我们称函数φμ、σ(x )的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (2)正态曲线的性质: ①曲线位于x 轴上方,与x 轴不相交; ②曲线是单峰的,它关于直线x =μ对称; ③曲线在x =μ处达到峰值1 σ2π; ④曲线与x 轴之间的面积为__1__; ⑤当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着__μ__的变化而沿x 轴平移,如图甲所示; ⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ__越小__,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中;σ__越大__,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,如图乙所示.
教学过程 一、课堂导入 “离散型随机变量的分步列,均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸,在本讲的学习中,同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念,认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性.要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件,会用分布列来计算这类事件的概率,计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.在高考中,这部分知识通常有一道解答题,占12─14分左右,主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力,凸显数学的应用价值.
二、 复习预习 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定. ( ) (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离变量平均程度越小. ( ) (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的期望,σ是正态分布的标准差. ( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正态分布. ( ) 2.设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=1 5(k =2,4,6,8,10),则D (ξ)等于 ( ) A .5 B .8 C .10 D .16 3.设随机变量ξ服从正态分布N (3,4),若P (ξ<2a -3)=P (ξ>a +2),则a 等于 ( ) A .3 B.5 3 C .5 D.73 4.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X 表示取到次品的件数,则D (X )=________.
离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望,并能解决一些实际问题; 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差,并能解决一些实际问题; 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 要点诠释: (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. (2)一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令=1p =2p …n p =,则有=1p =2p … n p n 1= =,=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 (3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 2.性质: ①()E E E ξηξη+=+; ②若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,有b aE b a E +=+ξξ)(; b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下:: η的分布列为 于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… =+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)=b aE +ξ
∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二:离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念: 已知一组数据1x ,2x ,…,n x ,它们的平均值为x ,那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -+22)(x x -+…+])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD =121)(p E x ?-ξ+22 2)(p E x ?-ξ+…+2()n i x E p ξ-?+…称为随机变量ξ的方差,式中 的ξE 是随机变量ξ的期望. ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ. 要点诠释: ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;方差(标准差)越小,随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值). ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系: 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质: 若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,2 ()D D a b a D ηξξ=+=; 要点三:常见分布的期望与方差 1、二点分布: 若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布,则 期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-
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离散型随机变量的均值与方差 【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望,并能解决一些实际问题; 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差,并能解决一些实际问题; 【要点梳理】 要点一、离散型随机变量的期望 1.定义: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望,简称期望. 要点诠释: (1)均值(期望)是随机变量的一个重要特征数,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平. (2)一般地,在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令=1p =2p …n p =,则有 =1p =2p …n p n 1= =,=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。 (3)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位. 2.性质: ①()E E E ξηξη+=+; ②若b a +=ξη(a 、b 是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,有 b aE b a E +=+ξξ)(; b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下:: η的分布列为
于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… =+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)=b aE +ξ ∴b aE b a E +=+ξξ)(。 要点二:离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念: 已知一组数据1x ,2x ,…,n x ,它们的平均值为x ,那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -+22)(x x -+…+])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差: 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为 则称ξD =121)(p E x ?-ξ+222)(p E x ?-ξ+…+2()n i x E p ξ-?+…称为随机变量ξ的方差,式中的ξE 是随机变量ξ的期望. ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ. 要点诠释: ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的; ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度;方差(标准差)越小,随机变量的取值就越稳定(越靠近平均值). ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系:
高中数学--离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1.已知随机变量X 服从二项分布,且E (X )=2.4,D (X )=1.44,则二项分布的参数n ,p 的值为( ) A .n =4,p =0.6 B .n =6,p =0.4 C .n =8,p =0.3 D .n =24,p =0.1 【解析】 由题意得??? ?? np =2.4, np 1-p =1.44, 解得??? ?? n =6, p =0.4. 【答案】 B 2.设两个正态分布N (μ1,σ21)(σ1>0)和N (μ2,σ2 2)(σ2>0)的密度函数图象 如图所示,则有( ) A .μ1<μ2,σ1<σ2 B .μ1<μ2,σ1>σ2 C .μ1>μ2,σ1<σ2 D .μ1>μ2,σ1>σ2 【解析】 根据正态分布N (μ,σ2)函数的性质:正态分布曲线是一条关于直线x =μ对称,在x =μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线的最高点越低且较平缓;反过来,σ越小,曲线的最高点越高且较陡峭,故选A. 【答案】 A 3.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ,得2分的概率为b ,不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为