双曲线练习题带答案_知识点总结(基础版)

双曲线重难点复习

一．知识点总结

双曲线：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （其中122a F F <）

的点的轨迹叫做双曲线. 集合语言表示为：{}

12122,2P M MF MF a a F F =-=<.

当双曲线焦点在x 轴上时

当双曲线焦点在y 轴上时

标准

方程

22

221(0,0)x y a b a b -=>> 22

22

1(0,0)y x a b a b -=>> 图形

范 围 x a ≤-，或x a ≥

y a ≤-，或y a ≥

对称轴 x 轴、y 轴

x 轴、y 轴

对称 中心 坐标原点(0,0)O 坐标原点(0,0)O 实轴 虚轴 实轴长2a ，虚轴长2b

实轴长2a ，虚轴长2b

顶点 坐标 (,0)a ±

(0,)a ±

焦点 坐标 (,0)c ±，其中222c a b =+

(0,)c ±，其中222c a b =+

渐近线

0x y a b ±=，即x a b y ±= 0y x a b ±=，即x b

a y ±= 通径 22

b a 2

2b a

离心率

(c e a =其中1)e > (c e a

=其中1)e > 1 a 半实轴长；b 半虚轴长；c 半焦距；a 、b 、c 之间满足c a b =+. e 叫做椭圆

的离心率，c

e a

=且1e >. e 越大，双曲线的张口就越大.

2.实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率2e =渐近线方程为y x =±

3.y y=0b a

x x y x a b

±=±焦点在轴上和在轴上的渐近线方程分别为和，容所以常把双曲线标准方程右边的常数写成，分解因式即得渐近易记错，

线方程。 4.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.

122

ta 5n

2

.PF F S b θ=V 焦点三角形的面积

2222

2222222222226.1010x y x y a b a b x y x y

b a b a

λλλλ-=-=≠-=-=≠与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）；

与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可以表示为（）.

1.已知F 为双曲线C ：

116

92

2=-y x 的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A （5,0）在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 44

2．已知双曲线22

221(0)x y a b a b

-=>>的焦距为20x y +=垂直，则双曲线的方程为

A. 2214x y -=

B. 22

14y x -= C. 22331205x y -= D. 22331520

x y -= 【答案】A

【解析】由题可知2c =，则c =

．渐近线方程为12y x =

，则1

2

b a =．又2

2

2

c a b =+ 可得， 2

2

4,1a b ==．所以双曲线的方程为2

214

x y -=；故本题答案选

A ．

视频

3．已知O 为坐标原点，设F 1,F 2分别是双曲线x 2?y 2=1的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH|=（ ）

A. 1

B. 2

C. 4

D. 1

2

【答案】A

【解析】延长F 1H 交PF 2于点Q ，由角分线性质可知|PF 1|=|PQ|,根据双曲线的定义，||PF 1|?|PF 2||=2，从而|QF 2|=2，在ΔF 1QF 2中，OH 为其中位线，故|OH|=1.故选A. 点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.

4.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2

＝16x 的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为( )

A B ．．4 D ．8

5.设双曲线

22

22

1(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为11

3

OF ，则渐近线的斜率为

（A （B 或

（C ）1或1-

（D ）

2或2

- D

6．已知双曲线x 2

－2

3

y ＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则

1PA u u u r ·2PF u u u u r

的最小值为________．

-2

7.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为M (－12，－15)，则E 的方程为( )

A.x 23－y 26＝1

B.x 24－y 25

＝1

C.x 26－y 2

3＝1 D.x 25－y 2

4

＝1 答案 B

解析 由已知易得l 的斜率为k ＝k FM ＝1.设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)，A (x 1，

y 1)，B (x 2，y 2)，则有?

??

x 21a 2－y 21

b

2＝1，x 22a 2－y 22

b 2

＝1，两式相减并结合x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，得

y 1－y 2

x 1－x 2＝4b 25a

2，从而4b 2

5a 2＝1，即4b 2＝5a 2.又a 2＋b 2＝9，解得a 2＝4，b 2＝5，故选B.

8．若直线2+=kx y 与双曲线62

2

=-y x 的左支交于不同的两点，则k 取值范围为

（

A ．()

11-， C

试题分析：联立方程22

26

y kx x y =+??

-=?

得()22

14100k x kx ---=…① 若直线y=kx+2与双曲线62

2

=-y x 的左支交于不同的两点，则方程①有两个不等的负

k 9．经过双曲线4

?y 2=1右焦点的直线与双曲线交于A,B 两点，若|AB |=4，则这样的直线的条数为（ ）

A. 4条

B. 3条

C. 2条

D. 1条 【答案】B

【解析】由双曲线x 24?y 2=1，可得a =2,b =1，若AB 只与双曲线右支相交时，AB 的最小值距离是通径长度为

2b 2a

=1,∵AB =4>1,∴此时有两条直线符合条件；若AB 只与

双曲线两支相交时，此时AB 的最小距离是实轴两顶点的即距离长度为2a =4，距离无最大值；∵AB =4,∴此时有1条直线符合条件；综上可得，共有3条直线符合条件，故选B. 10．P 是双曲线C:x 2?y 2=2左支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线， P 在l 上的射影为Q,F 2是双曲线C 的右焦点，则|PF 2|+|PQ |的最小值为（ ） A. √2

2

B. √2

C. 3√2

D. 2+

√22

【答案】C

【解析】

由题知|PF 2|?|PF 1|=2a =2√2，则|PF 2|+|PQ|=|PF 1|+|PQ|+2√2，由对称性，当F 1,P,Q 在同一直线上时|PF 1|+|PQ|最小，由渐近线方程y =x ，|F 1O|=2知|F 1Q|=√2

则|PF 2|+|PQ|的最小值为3√2．故本题答案选C ．

11．点P 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>上的点， 12,F F 是其焦点，双曲线的离心

率是5

4

，且12?0PF PF =u u u v u u u u v ，若12F

PF ?的面积是9，则a b +的值等于（ ） A. 4 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B

【解析】双曲线的离心率是53

44

c b a a a =

=?= ， 120PF PF ?=u u u r u u u u r Q 1212,PF PF PF F ∴⊥∴u u u r u V u u u r 的面积12121

9182

S PF PF PF PF =?=∴?=，．

在12PF F V 中，由勾股定理可

得

2222

22221212124||2?4369c PF PF PF PF PF PF a a b a =+=-+=+∴+=+（），，

34b a ∴=∴=，，

7a b ∴+=， 故选 C ． 12．若双曲线C : x 2a 2?y 2

b 2=1（a >0，b >0）的一条渐近线被圆(x ?2)2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ） A. 2 B. √3 C. √2 D.

2√33

【答案】A

【解析】由几何关系可得，双曲线x 2

a 2?y 2

b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为bx ±ay =0，圆心(2,0)到渐近线距离为d =√22?12=√3，则点(2,0)到直线bx +ay =0的距离为d =√a 2+b 2=

2b c

=√3，

即

4(c 2?a 2)

c =3，整理可得c 2=4a 2，双曲线的离心率e =√c 2a =√4=2．故选A ．

13．右焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于两点，若点A 平分1F B ，则该双曲线的离心率

是（

A.

C. 2

D.

2c 33a

14．22

x y 右焦点分别为12,F F ，焦距为2(0)c c >，且120AOB ∠=o ，其中O 为原点，

A. 2

B.

C.

【答案】C

【解析】如下图：

，

选

（0

a>，0

b>），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲

若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范A.

B. ()

1,2 D. ()

2,+∞

【解析】AB是双曲线通径，即2222

a ac

b

c a

+<=-，22

20

c ac a

-->，即，故选D．

16．设

1

F，

2

F分别为椭圆

1

C：

22

11

22

11

1(0)

x y

a b

a b

+=>>与双曲线

2

C：22

22

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，12

90

F MF

∠=?，若椭圆的离心率

1

3

4

e=，则双曲线

2

C的离心率

2

e的值为（）

A.

9

2

B.

2

C.

3

2

D.

5

4

【答案】B

【解析】设

12

,

m MF n MF

==，所以112

212

2

{{

2

m n a m a a

m n a n a a

+==+

∴

-==-

，由12

90

F MF

∠

=o得

()()()()

222

2222

121212

22

c m n a a a a a a

=+=++-=+，

2222

2221212

1222222

12

11

22

a a a a

c a a

c c c e e

+

∴=+∴==+=+，

12

3

4

e e

=∴=

Q

17．已知双曲线C:x

2

a2

?y2

b2

=1(a>0,b>0)，F1,F2分别为其左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A,B两点，若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5，则双曲线C的离心率为（）

A. 2

B. 4

C. √13

D. √15

【答案】A

【解析】

∵ |AB|:|BF 2|:|AF 2|=3:4:5，不妨令|AB |=3，|BF 2|=4，|AF 2|=5， ∵|AB|2+|BF 2|2=|AF 2|2 ，∴∠ABF 2=90°

又由双曲线的定义得：|BF 1|?|BF 2|=2a ，|AF 2|?|AF 1|=2a ∴|AF 1|+3?4=5?|AF 1|,∴|AF 1|=3 ，

|BF 1|?|BF 2|=3+3?4=2a,∴a =1 在RtΔBF 1F 2 中，|F 1F 2|2

=|BF 1|2+|BF 2|2=62+42=52， 又|F 1F 2|2=4c 2，∴4c 2=52,∴c =√13

所以双曲线的离心率e =c

=√13 ，故选C.

18．已知12,F F 是双曲线

的左右焦点，过2F 作双曲线一条渐

近线的垂线，垂足为点A ,交另一条渐近线于点B ，

则该双曲线的离心

A.

B. D. 2

【解析】F 为双曲线的左焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个

端点，

设()(),0,0,F c A b -，直线 根据题意知，直线AF 与渐近线

联立两直线： ，消去x 得：

由3AB FA =u u u r u u u r ，得y 4?B b =，所以