【30天大冲刺之12月29日】数学运算之概率问题和抽屉原理
12/29 数学运算之概率问题和抽屉原理
一、概率问题
（一）概率问题基本知识点：
1、单独概率=满足条件的情况数/总的情况数。
2、总体概率=满足条件的各种情况概率之和。
3、分步概率=满足条件的每个不同概率之积。
（二）例题和解析
1、有一个摆地摊的摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里，让人们摸球中奖。只需2元就可以从袋子里摸3个球，如果摸到的3个球都是黑球，可得10元回扣，那么中奖率是多少？如果一天有300人摸奖，摊主能骗走多少元？A 1/40 ,350 B 1/20 ,450 C 1/30 , 420 D 1/10 ,450
解析：方法一：摸出三个球的可能性一共是C36=20种，而摸到的3个球都是黑球的可能性只有一种，所以中奖率是1/20。300人摸奖，平均中奖的人数是300/20=15人，摊主能骗走300*2-15*10=450元。
方法二：袋子里有3个白球，3个黑球，第一个球摸出来是黑球的概率是：3/6=1/2
随后袋子里有3个白球，2个黑球，第二个球摸出来是黑球的概率是2/5
袋子里剩3个白球，1个黑球。第三个球摸出来是黑球的概率是1/4
因此全部都是黑球的概率是1/2*2/5*1/4=1/20
2、盒中有4个白球6个红球，无放回地每次抽取1个，则第2次取到白球的概率是多少？
A 2/15
B 4/15
C 2/5
D 4/5
解析：第二次取到白球的情况分为2种。
（1）第一次取到白球，第二次又取到白球：4/10*3/9=2/15
（2）第一次取到红球，第二次取到白球：6/10*4/9=4/15
因此第二次取到白球的概率为4/15+2/15=2/5
其实，细心点可以发现，第一次取到白球的概率是2/5.第2次取到白球的概率也是2/5.再往下推算，其实本题的结果与第几次取到白球是无关的。就和我们平时抽签一样，无论是先抽还是后抽，抽到好签的机会是一样的。^_^
3、乒乓球比赛的规则是五局三胜制。甲、乙两球员的胜率分别是60%和40%，在一次比赛中，若甲先连胜了前两局，则甲最后获胜的概率：
A、为60%
B、在81%—85%之间
C、在86%—90%之
D、在91%以上
解析：乙如果想要获胜的话，则以后的三场都要获胜。
那么乙获胜的概率是（40%）^3=6.4%
则甲获胜的概率是1-6.4%=93.6%。选D
4、某单位共有36人。四种血型的人数分别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人。如果从这个单位随机地找出两个人，那么这两个人具有同血型的概率为多少?
A 7/45
B 9/45
C 11/45
D 13/45
解析：两个人都是A，B，AB，O型血的可能性分别为C2 12, C2 10, C2 8，C2 6
而所有可能的结果是C2 36
因此，两个人具有相同血型的概率是（C2 12+C2 10+ C2 8+C2 6）/C2 36=11/45。选C
5、某射击运动员每次射击命中10环的概率是80%，5次射击有4次命中10环的概率是（）
A 80%
B 63.22%
C 40.96%
D 32.81%
解析：先从5次射击中选取4次，是命中10环概率的：C54*（80%）^4
还有一次没有命中10环：（1-80%）
因此一共是C54*（80%）^4*（1-80%）=40.96%
二、抽屉原理
（一）基本概念
（1）将多于n件物品任意放到n个抽屉里，那么中欧少有一个抽屉中的物品件数不少于2个。
（2）将多于m*n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
抽屉原理解题的关键是营造“最不利情况”。
（二）例题与解析
6、在一个口袋里有10个黑球，6个白球，4个红球，至少取出几个球才能保证其中有白球？（）
A 14
B 15
C 17
D 18
解析：最不利的情况是：前面取球的时候都没有白球。也就是将问题转化成为“至多取多少个球仍能满足其中没有白球”。很显然，前面至多可以取10个黑球+4个红球=14个球。然后第15个球就必然能取到白球。
因此选B。
7、有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒？（）
A 3
B 4
C 5
D 6
解析：营造最不利情况：前面取的珠子都没有相同颜色的。直到取到相同颜色的为止。
也就是把问题转化为：至多摸出几粒，仍能满足“至多1粒颜色相同”
不难看出，摸出红、黄、蓝、白珠子各一粒以后，再摸一粒，就有重色了。
因此，选C。
8、一个袋内有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，现在从袋中任意摸球出来，如果要使摸出的球中，至少有15个球的颜色相同，问至少要摸出几个球才能保证满足上述要求？（）A 78 B 77 C 75 D 68
解析：最不利条件：前面取的球都没有达到15个球颜色相同的状况。
也就是：黄球，白球，黑球全部都取完了（这些同颜色的都在15个球以下，全部取完也不会有15个球颜色相同），一共是12+10+10=32个球
然后红球，绿球，蓝球各取14个。14*3=42个。依然没有15个球颜色相同。
然后再取任意一个球，就能达到至少有15个球的颜色相同了
因此一共有32+42+1=75个球。选C
9、从一副完整的扑克牌中，至少抽出多少张牌，才能保证至少有6张牌的花色相同。
A 21
B 22 C23 D 24
解析：最不利状况：各个花色都取了5张花色相同的牌，一共是5*4=20
然后取了大、小王共2张牌
然后任取一张，就可以保证至少有6张牌的花色相同了。
因此是20+2+1=23张牌。
10、现在有64个乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子最多可以放6个乒乓球（最少也要放1个乒乓球），至少有几个乒乓球盒子里的乒乓球数目相同。
A 4
B 38
C 33
D 10
解析：最不利状况：前面1-6个乒乓球盒子里的乒乓球个数互不相同。分别是1，2，3，4，5，6个乒乓球（最少1个，最多6个），一共装了21个球
第7-12个盒子的情况也一样。也分别为1~6个球。
第13-18个盒子也一样。
这样装完以后，一共装了63个球，此时有3个盒子装的乒乓球数量是一样多的。而第64个乒乓球算上以后，则应该有4个盒子装的乒乓球数量一样多。选A
11、新年晚会上，老师让每位同学从一个装有许多玻璃球的口袋中摸2个球，这些球给人的手感相同，只有红、黄、白、蓝、绿之分，结果发现总有2个人取的球颜色相同。由此可知，参加取球的至少有多少人？
A 13
B 14
C 15
D 16
解析：最不利情况是：前面大家取的球颜色各不相同。
也就是大家每人摸球，摸到的情况都不一样。
那么，摸出2个球，两球颜色相同的情况一共有5种。而两球颜色不同的情况一共有C2 5=10种
因此，前面15个人各摸了一种情况。第16个人摸的时候，必然会和前面的15个中的一个情况是一样的。所以参加取
球的至少有16人。