第16讲 直线形面积

各种具有一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，其中包括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系．

1．图16-1

中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍， EF 的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 ABD ， ABC 等高，所以面积的比为底的比，有

1

2

ABD ABC S BD S BC == ,所以ABD S =11

22

ABC S ?=? 180=90(平方厘米)．

同理有13ABE ABD AE S S AD =

?= ×90=30(平方厘米)，3

4

AFE

ABE FE S S BE =?= ×30=22.5(平方厘米)．

即三角形AEF 的面积是22.5平方厘米．

2．如图16-2，把四边形ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，

有 EAD 、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EAD ABD ABD EA

S S S AB

=

= ．同理36EAH EAD EAD ABD AH

S S S S AD

=

== ．

类似的，还可得 6FCG BCD S S = ，有()66EAH FCG ABD BCD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米． 连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFB ABC S S = ，6DHG ACD S S = ，

有()66EFB DHG ABC ACD ABCD S S S S S +=+= =30平方厘米.

有四边形EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)

方法二：连接BD ，有 EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，

EA AH

AB AD

??=2×3=6，所以EAH S =6ABD S ．

类似的，还可得FCG S =6BCD S ，有EAH S +FCG S =6（ABD S +BCD S )=6ABCD S =30平方厘米．

连接AC ，还可得EFB S =6ABC S ，DHG S =6ACD S ，有EFB S +DHG S =6（ABC S +ACD S ）=6ABCD S =30平方厘米．

有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．

评注：方法二用到了一个比较重要的性质，若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°)，那么构成这个角

的两边乘积的比为面积比．

这个原则，我们可以在中学数学中的三角部分学到，当然我们也可以简单的利用比例性质及图形变换来说明，有兴趣的同学可以自己试试．

3．图16-3中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?

【分析与解】 方法一：如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．

因为△ADE 、△DEC 高相同，所以面积比为底的比，有

ADE DEC S S =AE EC ，所以ADE S =AE

EC

×6.同理有

ABE BCE S S =AE EC ，所以ABE S =AE

EC

×7．

所以有△ADE 与△ABE 的面积比为6：7．又有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷.)

所以ADE S =

767+×39=18(公顷)，ABE S =767

+×39=21(公顷.)

显然，最大的三角形的面积为21公顷．

方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE ，△CDE 中有∠AEB=∠CED ，所以△ABE ，△CDE 的面积比为(AE×EB)：(CE×DE)．

同理有△ADE ，△BCE 的面积比为(AE ×DE)：(BE×EC)． 所以有ABE S ×CDE S =ADE S ×BCE S ，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积． 即ABE S ×6=ADE S ×7，所以有△A BE 与△ADE 的面积比为7：6，ABE S =

7

67

+×39=21公顷，

ADE S

=

6

67

×39=18公顷． 显然，最大的三角形的面积为21公顷．

评注：在方法二中，给出一个很重要的性质：在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、

左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．希望大家牢牢记住，并学会在具体问题中加以运用.

4. 如图16-4，已知．AE=

15AC

，CD=14BC ，BF=1

6

AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?

【分析与解】 如下图，连接AD ，BE ，CF.

有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有

ABE ABC S S =AE AC ，所以ABE S =AE AC ×ABC S =15

ABC S 同理有AEF S =AF AB ABE S ,即=AEF S =15×56ABC S =1

6

ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =1

8

ABC S ．

所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S

=

61

120

ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61

120

．

5．如图16-5，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，EC=2DE ，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

【分析与解】 如下图，连接

FC ，△DBF 、△BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;△FGC 、△DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么△DEF 的面积为

1

3

y 平方厘米．

BCD S =2x+2y=1，BDE S =x+13y=l ×13=13

． 所以有x+y=0.53x+y=1???①②

．

比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25．

而阴影部分面积为y+

23y=53×0.25=5

12

平方厘米．

评注：将这种先利用两块独立的图形来表达相关图形的面积，再根据已知条件列出一个二元一次方程组，最终求

出解的方法称为“凌氏类蝶形法”．

类蝶形问题必须找好两块独立的图形，还必须将边的比例关系转化为面积的比例关系．

类似的还有一道题：△ABC 中，G 是AC 的中点，D 、F 是BC 边上的四等分点，AD

与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已△ABM 的面积比四边形FCGN 的面积大1.2平方厘米，则△ABC 的面积是_______平方厘米? 有兴趣的同学可以自己试试．

6．如图16-6，

已知D

是BC 中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点．三角形ABC 由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC 的面积是多少平方厘米?

【分析与解】因为E是DC中点，F为Ac中点，有AD=2FE且阳平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=A2

D：F2E=4．

又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4：8，所以②×⑤=④×④：16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18．

有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1：4．所以△ADC面积为梯形ADEF面积

的

4

4-1

=

4

3

，即为18×

4

3

=24．

因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，

即为24+24=48平方厘米．

三角形ABC的面积为48平方厘米．

评注：梯形中连接两条对角线．则分梯形为4部分，称之为：上、下、左、右．如下图：

运用比例知识，知道：

①上、下部分的面积比等于上、下边平方的比．

②左、右部分的面积相等．

③上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积．

7．图16-7是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如图16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图16—8中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?

【分析与解】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．

有∠ABC为直角，而∠CED=∠ABC，所以∠CED也为直角.而CE=CB=5.

△A DE 与△CED 同高，所以面积比为底的比，及

ADE CED S S =AE EC =13-55=8

5

，设△ADE 的面积为“8”，则△CED 的面积为“5”．

△CED 是由△CDB 折叠而成，所以有△CED、△CDB 面积相等，△ABC 是由△ADE、△CED、△CDB 组成，所以ABC S =“8”+“5”+“5”=“18”对应为

12×5×12=30，所以“1

”份对应为5

3

，那么△ADE 的面积为8×53=131

3

平方厘米． 即阴影部分的面积为131

3

平方厘米．

8．如图16-9，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的2

3

．那么余下阴影部分的面积是多少?

【分析与解】 不妨设上底长2，那么下底长3，则上面部分的三角形的高为10÷2×2=10，下面部分的三角形的高为

12÷3×2=8，则梯形的高为lO+8=18．

所以梯形的面积为

1

2

×(2+3)×18=45，所以余下阴影部分的面积为45-10-12=23．

评注：这道题中上下底、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的面积却是确定的值，所以面积值与上下底、高的确定值无关，所以可以大胆假设，当然也可以谨慎的将上底设为2x 下底为3x ．

9．

图16-10中ABCD 是梯形，三角形ADE 面积是1．8，三角形ABF 的面积是9,三角形BCF 的面积是27．那么阴影部分面积是多少?

【分析与解】 设△A DF 的面积为“上”，△BCF 的面积为“下”， △ABF 的面积为“左”，△DCF 的面积为“右”．

左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3.

△ADE 的面积为1.8，那么△A EF 的面积为1.2，则EF ：DF=AEF S ：AED S =1.2：3=0.4．

△CEF 与△CDF 的面积比也为EF 与DF 的比，所以有ACE S =0.4×ACD S =0.4×(3+9)=4.8．

即阴影部分面积为4.8．

10．如图16-11，梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米，下底BC 长为9厘米，而三角形ABO 的面积为12平方厘米．则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米?

【分析与解】 △ADD 与△BCO 的面积比为AD 平方与BC 平方的比，即为9：81=19

．

而△DCO 与△ABO 的面积相等为12，又BCO S ABO S ×DCO S =ADO S ×BCO S =12×12=144，

因为144÷9=4×4，所以ADO S =4，则BCO S =4×9=36，

而梯形ABCD 的面积为△ADO、△B CO 、△ABO、△CDO 的面积和，即为4+36+12+12=64平方厘米．

即梯形ABCD 的面积为64平方厘米．

11．如图16-12，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?

【分析与解】 连接BF ，四边形BCDF 为梯形，则 BFE 的面积与黄色 CDE 的面积相等为 6.

6636FED BCE BFE CDE S S S S ?=?=?= ，所以3649BCE S =÷= .

9615BCD BEC CDE S S S =+=+= .

又因为BD 是长方形ABCD 的对角线，15ABD BCD S S == 所以FED 15411ABD S S S =-=-= 绿色四边形ABEF 红色. 绿色四边形面积为11平方厘米．

12．如图16-13，平行四边形ABCD 周长为75厘米．以BC 为底时高是14厘米；以CD 为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD 的面积．

【分析与解】 因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC =16 ×CD，即BC ：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC 为底，对应高为14，20×14=280，所以平行四边形ABCD 的面积为280平方厘米．

13．如图16-14，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、3

10

平方米和

2

5

平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米?

【分析与解】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如下图：

大正方形的面积为3211

1105510

+++=，所以大正方形的边长应为1.

上面两个长方形的面积之比为32:105=3：4，所以IG=47．

下面两个长方形的面积之比为11:510=2：l ，所以IG=13

． 那么LI=4157321-=，那么阴影小正方形的面积为5525

2121441

?=

．

14．图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．

【分析与解】 如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH ．设阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米．

DGH 、 HMG 的面积相等， GCF 与 GPF ； FBE 与 EOF ， HAE 与 HNE 这3对三角形的面积也相等．

阴一空=2×3=6，阴+空=lO×10=100． 阴=(6+100)÷2=53．

即阴影部分的面积为53平方厘米．

15．如图16-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少?

【分析与解】 如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为“阴”：

(49+①+35)+(13+②)= 1

2

矩形的面积， ①+阴+②=

1

2

矩形的面积． 比较上面两个式子可得阴影部分的面积为97．

正余弦定理的应用_三角形面积公式公开课一等奖

正余弦定理的应用——三角形面积公式 一、教学容解析 本课教学容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学5》第一章1.2节。 1.教材容 本节容是正弦定理与余弦定理知识的延续，借助正弦定理和余弦定理，进一步解决一些有关三角形面积的计算。教材中先结合已知三角形面积公式推导新的三角形面积公式，然后借助正弦定理和余弦定理求三角形面积，最后给出三角形面积实际问题的求解过程。 2.教学容的知识类型 在本课教学容中，包含了四种知识类型。三角形面积公式的相关概念属于概念性知识，三角形面积公式的符号语言表述属于事实性知识，利用正弦定理和余弦定理求解三角形面积的步骤属于程序性知识，发现问题——提出问题——解决问题的研究模式，以及从直观到抽象的研究问题的一般方法，属于元认知知识。 3.思维教学资源与价值观教育资源 已知三角形两边及其夹角求三角形面积的探索过程能引发提出问题——分析问题——解决问题的研究思维；生活实际问题求解三角形面积，是培养数学建模思想的好契机；引出海伦公式和秦九韶“三斜求积”公式，激发学生学习数学的兴趣，探究数学史材料，培养学生对数学的喜爱。 二、学生学情分析 主要从学生已有基础进行分析。 1.认知基础：从学生知识最近发展区来看，学生在初中已经学习过用底和高表示的三角形面积公式，并且掌握直角三角形中边和角的关系。现在进一步探究两边及其夹角表示的面积公式符合学生的认知规律。此外在前面两节的学习中学生已经掌握了正余弦定理，这为求解三角形的边和角打下了坚持基础。 2.非认知基础：通过小学、初中和高中阶段三角函数和应用题的学习，学生具有一定的分析问题、类比归纳、符号表示的能力。具备相当的日常生活经验，能够从实际问题抽象出数学问题并建立数学模型解决问题。 三、教学策略选择 《普通髙中数学课程标准(2017年版)》强调基于核心素养的教学,特别重视

【猿辅导】组合图形的面积(一)第4讲

猿辅导五年级秋季·能力班第四讲 组合图形的面积（一） 一、知识点汇总 知识点1： 组合图形是由几个简单的图形组合而成的，其面积既可以看作几个简单图形的面积和，也可以看作几个简单图形的面积差。 知识点2： 计算组合图形的面积，要运用割补法，根据已知条件，对图形进行割补，转化成已学过的简单图形，分别计算它们的面积，再求和或差。 知识点3： 网格线法：利用网格线将图形分成很多个小格，每个小格的面积均相等，在由已知部分求整体或者已知整体求部分。知识点4： 求不规则阴影部分的面积，常用整体减部分的方法。 二、练习 1、填空 （1）如图所示，该图形的面积为_________。

（2）下列图形的面积为______。44 （3）计算下面图形的面积，列式是_______。 （4）已知正六边形ABCDEF的面积为72，则图中阴影部分的图形为______。 （5）两个完全一样的三角形重叠在一起，阴影部分面积是______。 （6）如图，梯形的面积是__________（单位：厘米）

（7）已知大的正六边形面积是平方厘米，按下图中的方式切割（切割点均为等分点），形成的阴影部分面积是_______平方厘米 (8)如图，每个小网格都是边长为的小正方形，如果正方形和正方形的顶点都在网格点上，那么，阴影部分的面积是_______。 2、应用题 （1）如图是由一个大正方形和一个小正方形拼成的图形，已知小正方形的边长是6厘米，空白部分的面积是66平方厘米，则阴影部分的面积是多少？

（2）如图所示，大正方形和小正方形的边长分别是4cm、3cm，求阴影部分的面积。 （3）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （4）正方形ABCD与正方形CDEF水平放置组成如图所示的组合图形，已知该组合图形的周长是62厘米，DG长2厘米，那么，图中阴影部分三角形的面积是多少？

五年级数学组合图形的面积(一)

第18讲组合图形面积（一） 一、知识要点 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几 点： 八、、? 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4.采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 二、精讲精练 【例题1】一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 练习1:1.求四边形ABCD勺面积。（单位：厘米）

2.已知正方形ABCD勺边长是7厘米，求正方形EFGH勺面积 3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米, 那么面积就增加 4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 【例题2】正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 练习2： 1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。

2.正图长方形ABCD勺面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积 3.求下图（上右图）长方形ABCD勺面积（单位：厘米） 【例题3】四边形ABCD和四边形DEFGfE是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？ 练习3: 1.图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积 6 4

第二讲不规则图形面积的计算(二)精选.

第二讲不规则图形面积的计算（二） 不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。 例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。 解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。 解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半. 例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。 解：由容斥原理 S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD

例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。 解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD ＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。 例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。 分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长. ＝（157-7）×2÷20 =15（厘米）。 例5 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

三角形的面积

《三角形的面积》教学设计 教学内容： 人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》五年级上册P84～P85的内容，三角形的面积。 教材分析： 三角形面积的计算方法是小学阶段学习几何知识的重要内容，也是学生今后学习的重要基础。《数学课程标准》中明确指出：利用方格纸或割补等方法，探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。学生在学习三角形面积的计算方法之前，已经亲身经历了平行四边形面积计算公式的推导过程，当学生面临三角形面积计算公式的推导过程时，可以借鉴前面“转化”的思想，且为今后逐渐形成较强的探索能力打下较为扎实的基础。 教学目标： 1、使学生理解三角形面积公式的推导过程，并能正确的计算三角形的面积。 2、培养学生分析、推理的能力和实际操作的能力。 3、通过三角形面积计算公式的推导，引导学生运用转化的思考方法探索规 律，培养学生思维的灵活性，发展学生的空间观念。 4、培养学生学习数学的情感和兴趣，懂得运用数学知识解决生活中的问题。教学重、难点： 重点：用转化的方法探索三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积。 难点：理解三角形面积公式的推导过程和公式的含义，根据计算公式灵活解决实际问题。 教学关键： 让学生经历操作、合作交流、归纳发现和抽象公式的过程。 教具准备： CAI课件、红领巾、信封若干（内有三角形）、实验报告表

教学过程： 一、情境导入，揭示课题 师：在我们美丽的校园里，有块平行四边形的空地，它的面积怎样计算的？（课件出示校园图，根据学生回答，老师贴出平行四边形并板书：平行四边形的面积=底×高） 师：你还记得平行四边形面积的计算方法怎样推导的吗？（生：是通过把平行四边形转化成长方形推导出来的；老师根据学生回答板书：转化） [设计意图：在课的开始，先让学生回忆平行四边形面积的计算方法，使学生复习旧知，为探究三角形面积的计算打下基础，使学生在后面的探究中很容易想到采用像研究平行四边形面积计算方法一样来探讨三角形的面积的计算方法。] 师：现在园丁叔叔要把它沿着对角线斜着平分成2块，一块种菊花，一块种牵牛花，请看，每块花地是什么形的？（课件出示分法：分出2个三角形）师：每块花地的面积是多少，该如何计算？大家想知道吗？（生：想）好，咱们就一起来研究三角形的面积计算方法。（老师出示课题：三角形的面积）[设计意图：通过园丁叔叔分花地，学生在观察的基础上通过与平行四边形及面积的比较，直觉感知三角形面积计算规律，增强了整体意识，同时为下面的进一步探究，诱发了心理动机；又用学生身边的具体事物——校园花地为媒介，引出要探讨的问题：三角形的面积怎样计算，不仅设置了悬念，同时还让学生感受到生活中处处都有数学问题，可以激发学生的探知欲望，从而将“教”的目标转化为学生“学”的目标。] 二、操作“转化”，推导公式 1、寻找思路 师：我们能不能也学学推导平行四边形面积的方法，把三角形也转化成已学过的图形来推导呢？ 师：想一想，将三角形转化成学过的什么图形？ [设计意图：学生由于有平行四边形面积公式的推导经验，必然会产生：能不能把三角形也转化成已学过的图形来求它的面积呢？从而让学生自己找到新旧知识间的联系，使旧知识成为新知识的铺垫。]

五年级奥数举一反三-第18讲 --组合图形面积(一)

组合图形面积（一） 知识要点 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 【例题1】 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形 的面积是多少平方厘米？ 练习1：1.求四边形ABCD的面积。（单位：厘米）

2.已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加 4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 【例题2】 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。

练习2： 1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2.正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。 3.求下图（上右图）长方形ABCD的面积（单位：厘米）。

例3：图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 练习3： 1、 计算下面图形的面积（单位：厘米） 2、 求图中阴影部分的面积。 3、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD的面积。

五年级奥数举一反三-第18讲--组合图形面积(一)

- - 1 组合图形面积（一） 知识要点 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1.切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2.仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3.适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。 【例题1】 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 练习1：1.求四边形ABCD 的面积。（单位：厘米） 2.已知正方形ABCD 的边长是7厘米，求正方形EFGH 的面积。 3.有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加 4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 【例题2】 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。

- - 2 练习2： 1.（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2.正图长方形ABCD 的面积是16平方厘米，E 、F 都是所在边的中点，求三角形AEF 的面积。 3.求下图（上右图）长方形ABCD 的面积（单位：厘米）。 例3 ： 图中的甲和乙都是正方形，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 练习3： 1、 计算下面图形的面积（单位：厘米） 2、 求图中阴影部分的面积。 3、如图，已知四条线段的长分别是：AB=2厘米，CE=6厘米，CD=5厘米，AF=4厘米，并且有两个直角。求四边形ABCD 的面积。

三角形中线等分面积应用

第5讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，则S △ABD ＝ 1 2 BD·AE，S △ADC ＝ 1 2 DC·AE，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积. 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ= 4 ab ，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等，问题得解。 解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ= 4 ab ，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等且等于 31×4ab =12 ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ =ab －4× 12ab =3 2ab 。 例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ． （1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1， 则S 1=________（用含a 的代数式表示）； （2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结 DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由； （3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍． 图1 图 2 图 4 F 图5 图 3

第17讲-圆的组合图形面积计算

圆的组合图形面积计算 1．熟练掌握基本图形（圆、扇形、三角形、长方形、正方形、梯形等）的面积计算公式； 2．会利用基本图形的面积公式求组合图形的面积． （此环节设计时间在10－15分钟）回顾上次课的预习思考内容 1．有一个著名的希波克拉蒂月牙问题．如图：以AB 为直径作半圆，C 是圆弧上一点，（不与A 、B 重合），以AC 、BC 为直径分别作半圆，围成两个月牙形（阴影部分）．已知直径AC 为6cm ，直径BC 为8cm ，直径AB 为10cm ． （1）将直径分别为AB 、AC 、BC 所作的半圆面积分别记作S AB 、S AC 、S BC ．分别求出三个半圆的面积。 （2）请你猜测：这两个月牙形（阴影部分）的面积与三角形ABC 的面积之间的数量关系，并说明理由。 解析：（1）21 512.539.252AB S ππ=??==cm 2． 21 3 4.514.132AC S ππ=??==cm 2． 21 4825.122 BC S ππ=??==cm 2． （2）相等 AC BC AB ABC ABC S S S S S S =++-=月牙三角形三角形． （此环节设计时间在40－50分钟） 例题1： 如果，直径AB 为3厘米的半圆以A 点为圆心逆时针旋转60°，使AB 到达AC 的位置，求图中的阴影部分的面积。

分析：从图中可以看出，阴影部分的面积等于图形总面积 减去空白部分的面积（半圆） 以AB （或AC ）为直径的半圆面积称为a 扇形ABC 的面积称为b 则图形总面积为：a b + 阴影部分的面积为：a b a b +-= 260 3 4.71360 b π= ??= 答：阴影部分的面积是4.71平方厘米。 试一试：如图，ABCD 是一个正方形，2ED DA AF ===，阴影部分的面积是多少？ 解：S S S S S S S ??=-+-+-正阴扇扇小扇 S S S =-正阴小扇 2 2 4522 2.43360 S π??=-=阴 或分步列式计算： （1）211222 1.1442π??-??= （2）12240.864π?-??= （3）2145 2220.432360 π??-?= 1.140.860.43 2.43S =++=阴 答：阴影部分的面积是2.43。 例题2：如图，正方形的边长为10，那么图中阴影部分的面积是多少？ 解析：图中阴影部分的面积是以AD 为直径的半圆面积减去 E C D B A

五年级奥数举一反三-第19讲--组合图形的面积(二)

第19讲组合图形的面积（二） 一、知识要点 在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点： 1.两个三角形等底、等高，其面积相等； 2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系； 3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。 二、精讲精练 【例题1】如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米） 【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减 去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要连接AC，显然三角形 AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部 分合成了一个三角形ABC。面积是：6×3÷2=9平方厘米。 练习1： 1.求下图中阴影部分的面积。 2.求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 3.下图的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。 【例题2】下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。 【思路导航】三角形ADC的面积是10×15÷2=75，而三角形ABC 的高是三角形BCD高的15÷10=1.5倍，它们都以BC为边为底，所以， 三角形ABC的面积是三角形BCD的1.5倍。阴影部分的面积是：7.5÷ （1＋1.5）×1.5=45。 练习2： 1.下图中，三角形ABC的面积是36平方厘米，三角形ABE与三角形AEC的面积相等，

如果AB=9厘米，FB=FE，求三角形AFE的面积。 2.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。 3.图中三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影部分的面积（ADFC不是正方形）。 【例题3】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米） 【思路导航】1.因为三角形ABD与三角形ACD等底等高，所以面积相等。因此，三角形ABO的面积和三角形DOC的面积相等，也是6平方厘米。 2.因为三角形BOC的面积是三角形DOC面积的2倍，所以BO 的长度是OD的2倍，即三角形ABO的面积也是三角形AOD的2倍。 所以，三角形AOD的面积是6÷2=3平方厘米。 练习3： 1.如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？ 2.下图的梯形ABCD中，下底是上底的2倍，E是AB的中点。那么梯形ABCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？ 3.下图梯形ABCD中，AD=7厘米，BC=12厘米，梯形高8厘米，求三角形BOC的面积比三角形AOD的面积大多少平方厘米？ 【例题4】在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米，求三角形ABC的面积。

三角形的综合运用-面积问题

§5-3三角形的综合应用--面积问题 【课前预习】阅读教材P-完成下面填空 1、 三角形面积公式： (1) C S ?AB = = = = (2) C S ?AB = (海伦公式) 【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1.若 x ，x+1，x+2是钝角三角形的三边，则实数 x 的取值范围是( ). （A ） 0a C bsinA则A 一定大于B ，对吗？填_________（对或错） 4．在锐角△ABC 中，若2,3a b ==，则边长c 的取值范围是_________。 5、在△ABC 中，已知b=1，c=3，A=600， 则S △ABC = 。 6．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ． 2 21 C ．28 D ．36

【课中35分钟】边听边练边落实 7、在ABC ?中，1660=?=b A ，，面积3220=S ，求a 。 8.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为2 3，求b 。 9.在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =． （Ⅰ）求sin A 的值； （Ⅱ）设ABC △的面积332 ABC S = △，求BC 的长 10.在△ABC 中，a 、b 是方程x 2－23x +2=0的两根，且2cos(A +B )=－1.

第四讲 组合图形的面积

第四讲 组合图形的面积 【例1】 如图是两个完全相同的直角三角形叠放在一起，求阴影部分的面积。(单位：厘米) 【例2】 如图，乙三角形面积比甲三角形面积少4平方厘米，求a 的长度。 【例3】 如图，已知BC=5厘米，AD=3厘米，AE=4厘米，CF=6厘米，,90 =∠AEB 90=∠CFD ，求阴影部分的面积。 【例4】 求右图长方形中，阴影部分的面积和。(单位：厘米) 【例5】 下面长方形的长为12厘米，宽为6厘米，把它的长3等分，宽2等分，然后在长方形内任取一点，把这一点与等分点及顶点连结。求图中阴影部分的面积。 【例6】 如图，△ABC 的周长是20厘米，三角形内一点到三角形三条边的距离都是3厘米，求△ABC 的面积。

第四讲习题检测 1.两个完全一样的直角三角形叠放在一起如下图所示，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 2.两个完全相同的梯形叠放在一起如下图所示，求图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 。 3.BC长为8厘米，EC长为6厘米，求阴影部分面比△EFC的面积大8平方厘米。求S ABCD 4.长方形ABCD的长AD=14厘米，宽AB=8厘米，长方形BEFG的长EF=20厘米，宽BE=4厘米。求△DCM与△MGF的面积相差多少。 5.下图中，已知AB=8厘米，CD=6厘米，DF=2厘米，BE=4厘米。求四边形BEDF的面积。(∠A，∠C均为直角) 6.求阴影部分的面积。(单位：厘米)

7.下图中，长方形的长为12厘米，宽为8厘米，图中阴影部分的面积与空白面积哪个大？ 8.求有图中阴影部分的面积。(单位：厘米) 9.下图中，正方形的变长是6厘米，E，H是所在边的二等分点，F、G、L、M是所在边的三等分点，求阴影部分的面积。 10.从一块正方形木板锯下宽为1 2米的一块木条以后，剩下的面积是65 18 平方米，求锯下的木 条面积是多少平分米？ 11.一个直角三角形中的两条直角边分别长6厘米和4厘米，在这个三角形中画一个最大的正方形，这个正方形的变长是多少厘米？ 12.求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米)

沪教版五年级 组合图形的面积,最新版-带答案

1 组合图形的面积 典题探究 例1 1．两个完全一样的三角形都能拼成一个（ ）形。 2．一个平行四边形的面积是4.5平方米，底边上的高是1.5米，底长是（ ）米。 3．两个完全一样的直角梯形能拼成一个（ ）形，也能拼成一个（ ）形。 4．一个三角形的面积是2.5平方米，与它等底等高的平行四边形的面积是（ ）平方米。 例2估计下面图形的面积。（每个小方格的面积表示1cm2） 面积约为（ ） 面积约为（ ） 面积约为（ ） 例3小丽家装修需要30块木板，木板的形状如下图。 1、一块木板的面积是多少？（用两种方法计算） 2、如果每块木板需要15元，那么小丽需要花多少钱？ 例4一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 演练方阵 A 档（巩固专练） 1、填空 （1）一个直角三角形的两条直角边分别是3分米、4分米，这个三角形的面积是（ ）平方分米。 （2）一个梯形的高是1.2米，上下底的和是3.6米，这个梯形的面积是（ ）平方米。 （3）一个平行四边形的面积是9平方分米，底扩大4倍，高不变，它的面积是（ ）平方分米。 （4）一个等腰直角三角形，腰长16厘米，面积是（ ）平方厘米。 （5）如图，平行四边形的面积24.8平方厘米，阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 30cm 48cm 72cm 60cm

2、判断 （1）一个三角形底长8厘米，高5厘米，它的面积是40平方厘米。（） （2）下面三个三角形的面积都相等。（） （3）任意两个三角形都可以拼成一个平行四边形。（） （4）任意一个梯形都能分成两个一样的平行四边形。（） （5）如果两个三角形的形状不同，它们面积一定不相等。（） 3、选择 （1）一个三角形的底扩大3倍，高不变，它的面积（）。 A．扩大3倍 B．不变、 C．扩大6倍 （2）用木条钉成一个长方形，沿对角线拉成一个平行四边形。这个平行四边形与原来的长方形相比：平行四边形的周长（），平行四边形的面积（）。 A．不变 B．变大 C．变小 （3）三角形的底和高都扩大2倍，它的面积扩大（）。 A．2倍 B．4倍 C．8倍 （4）下面第（）组中的两个图形不能拼成平行四边形。 A B C （5）图中，甲、乙两个三角形的面积比较，（）。 A．甲比乙大 B．甲比乙小 C．甲乙面积相等 （6）一堆钢管，最上层4根，最下层10根，相邻两层均相差1根，这堆钢管共（） A．35根 B．42根 C．49根 4、如下图，在长方形中，已知三角形的面积是30平方厘米，求阴影部分的面积。 8厘米

(完整版)三年级数学组合图形面积

长方形与正方形的面积 1.右图是一幢楼房的平面图形,它的面积是 平方米. (单位:米) 2.北京某四合院子正好是个边长10米的正方形,在院子中央修了一条宽2米的“十字形”甬路,如图.这条“十字形”甬路的面积是 平方米? 3.右图中有四个正方形,图①的边长是32厘米,图②的边长是 图①边长的一半;图③的边长是图②边长的一半;图④的边长是图③边长的一半. 图中图①(最大的正方形)的面积是图④(最小的正方形) 面积的 倍? 4.右图中有3个长方形,图①长32厘米,宽16厘米;图②的长、宽分别是图①长、宽的一半;图③的长、宽分别是图② 长、宽的一半. 图①的面积是图③面积的 倍? 5.有大、小两个长方形,对应边的距离均为1厘米,如果两个长 方形之间(阴影部分)部分的面积是16平方厘米,且小长方形的长 是宽的2倍.求大长方形的面积是小长方形的 倍. 7.一个长方形原来的长是12厘米,宽是7厘米.现在把长和宽都减少2厘米,那么面积减少了 平方厘米? 8.把20分米长的线段分成两段,并在每一段上作一正方形(如下图).已知两个正方形的面积差为40平方分米,求每个正方形的面积. 9.右图中有六个正方形,较小的正方形都由较大的正方形的四边中点连接而成.已知最大的正方形的面积为32cm 2 , 那么最小的正方形的面积等于 2cm . 1 2 4 5 ④ ① ② ③ ① ③ ② 20分米

拓展部分 例1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。这个正方形木板的面积是多少平方米？ 练习. 把一张长6厘米，宽4厘米的长方形纸剪成一个面积最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少平方厘米？ 例2 计算下面图形的面积。（单位：厘米） (1) 15 20 3040 (2)31122 (3)1 11 25 1 4 例3 .有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？ 练习. 两张边长8厘米的正方形纸，一部分叠在一起放在桌上（如下图），桌面被盖住的面积是多少？ 8 88 448 3米4米

五年级奥数组合图形面积一

第18周组合图形面积（一） 例1 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 1，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 2，已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。3，有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。 例2 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中 间长方形的面积。 1，（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。

2，如下图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。 3，求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。 例3 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。三角形CDH的面积是多少平方厘米？ 1，图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。 2，下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。（单位：厘米） 3，下图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？ 例4 下图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多 少平方厘米？

1，如下图，正方形ABCD中，AB=4厘米，EC=10厘米，求阴影部分的面积。 2，在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形，并使正方形面积尽可能大，正方形的面积是多少？（单位：厘米）3，图中BC=10厘米，EC=8厘米，且阴影部分面积比三角形EFG的面积大10平方厘米。求平行四边形的面积。 例5 图中ABCD是长方形，三角形EFD的面积比三角形ABF的面积大6平方厘米，求ED的长。 练习五 1，如图，平行四边形BCEF中，BC=8厘米，直角三角形中，AC=10厘米，阴影部分面积比三角形ADH的面积大8平方厘米。求AH 长多少厘米？

五年级奥数举一反三-第19讲--组合图形的面积(二)

第19讲组合图形的面积（二) 一、知识要点 在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多,解题时我们还可以记住下面三点: １．两个三角形等底、等高，其面积相等； ２．两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系; 3.两个三角形高相等，底成倍数关系,面积也成倍数关系。 二、精讲精练 【例题1】如图,AＢCD是直角梯形,求阴影部分的面积和。（单位：厘米) 【思路导航】按照一般解法,首先要求出梯形的面积，然后减 去空白部分的面积即得所求面积。其实，只要连接AC,显然三角形 AEＣ与三角形ＤEＣ同底等高其面积相等,这样,我们把两个阴影部 分合成了一个三角形ABＣ。面积是:6×3÷２＝９平方厘米。 练习1: 1.求下图中阴影部分的面积。 2．求图中阴影部分的面积。(单位:厘米） 3．下图的长方形是一块草坪,中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。 【例题2】下图中，边长为１0和15的两个正方体并放在一起，求三角形ＡＢC（阴影部分）的面积。 【思路导航】三角形ＡDC的面积是10×１5÷2=75,而三角形ABＣ 的高是三角形BＣD高的15÷10＝１.５倍，它们都以ＢＣ为边为底,所 以，三角形ABＣ的面积是三角形ＢＣD的1.５倍。阴影部分的面积是： 7．5÷(１+1.5）×1.5=45。 练习２： １.下图中，三角形ABＣ的面积是36平方厘米,三角形ABE与三角形AEC的面积相等，如果ＡＢ=９厘米,FB=FＥ，求三角形AFE的面积。 ２.图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。 3.图中三角形ＡBC的面积是36平方厘米,ＡC长8厘米，ＤE长3厘米，求阴影部分

的面积（ADFC不是正方形)。 【例题3】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示)，求另两个三角形的面积各是多少?（单位:平方厘米） 【思路导航】1.因为三角形ＡＢD与三角形AＣD等底等高，所以面积相等。因此,三角形ＡBO的面积和三角形ＤＯC的面积相等,也是６平方厘米。 2.因为三角形BOC的面积是三角形ＤOC面积的2倍，所以BＯ 的长度是OD的２倍,即三角形ＡBO的面积也是三角形ＡＯD的２ 倍。所以,三角形AＯD的面积是6÷２=3平方厘米。 练习3： 1.如下图,图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ＡBCD的面积是多少平方厘米？ 2.下图的梯形ＡBCD中,下底是上底的2倍，E是ＡB的中点。那么梯形ＡBCD的面积是三角形BDE面积的多少倍？ ３．下图梯形AＢCD中,AD=7厘米，BC=12厘米,梯形高8厘米,求三角形BOC的面积比三角形AOＤ的面积大多少平方厘米? 【例题4】在三角形ABC中，DC＝2BD,ＣＥ=3ＡE,阴影部分的面积是2０平方厘米,求三角形AＢC的面积。 【思路导航】（1）因为CＥ=3ＡE，所以，三角形AＤC的面 积是三角形ＡDE面积的4倍,是20×（1+３)=８０平方厘为； (２）又因为DC=2BD，所以,三角形ABD的面积是三角形ADC 面积的一半，是80÷２=4０平方厘米。因此,三角形ABC的面积是 80＋4０=１２0平方厘主。 练习4: １.把下图三角形的底边ＢC四等分,在下面括号里填上“＞”、“＜”或“＝”。 甲的面积（)乙的面积。 2.如图,在三角形ABC中，D是BC的中点,E、F是AC的三等分点。已知三角形的面积是10８平方厘米，求三角形CDＥ的面积。 3.下图中,BD＝２厘米，DE=4厘米,ＥC=2厘米,F是ＡE的中点，三角形ＡBC的ＢC边上的高是4厘米，阴影面积是多少平方厘米？

小学奥数五年级举一反三第18周组合图形面积(一)

第18周组合图形面积（一） 专题简析： 组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼合组合，二是重叠组合。由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点： 1，切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念； 2，仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的； 3，适当采用增加辅助线等方法帮助解题； 4，采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。

例1 一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？ 分析与解答由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正方形的面积是12×12，那么，一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。 练习一 1，求四边形ABCD的面积。（单位：厘米） 2，已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。 3，有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。

例2 正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。 分析与解答图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和4×2=8（厘米）。中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。即：12×12－（4×4＋8×8）=64（平方厘米） 练习二 1，（如下图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。 2，正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。 3，求下图长方形ABCD的面积（单位：厘米）。

(完整版)《组合图形的面积》教案

《组合图形的面积》教学设计 汾西县第一小学武燕红 教学目标： 1.在自主探索的活动中，理解计算组合图形面积的多种方法,并渗透转化的数学思想。 2.能根据各种组合图形的条件，有效地选择计算方法并进行正确的解答。 3.能运用所学的知识，解决生活中组合图形的实际问题。 4．在有效的情境中激发学生学习数学的主动性，培养热爱数学的感情，感受学习的快乐。 教学重点： 学生能够通过自己的动手操作，用分割法和添补法求组合图形的面积。 教学难点： 理解计算组合图形面积的多种计算方法，并选择最适当的方法求组合图形的面积。 教学准备: 多媒体课件 教学过程： 一、提出问题 1.请大家回忆我们学过的平面图形，并说出他们的面积公式。 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 三角形的面积=底×高÷ 2 平行四边形的面积= 底×高 梯形的面积=（上底+下底）×高÷ 2

这些图形都是最简单、最基本的图形，利用这些图形，我们可以组合成很多美丽的图案。（课件演示）像这样，由几个简单的基本图形组合而成的图形，叫做组合图形。 2.怎样求组合图形的面积？ 二、问题探究 1.出示例题 华丰小学校园里有一块草坪（如下图），它的面积是多少平方米？ 12米 4米 10米 15米 2.学路建议： （1）各组成员在课本上画一画，分一分，把这个图形转化成我们学过的基本图形，找到尽可能多的方法。 （2）组内比较各种方法，找出你们组认为比较简单合理的方法，计算出组合图形的面积。 （3）各组把方法和计算过程记录在小黑板上。 3.学生在学路建议的引领下开始小组合作探究。 4.交流汇报，学生可能出现以下几种方法： 方法一：可以将这个图形分割成一个长方形和一个梯形 长方形的面积：12×4 = 48（平方米） 梯形的面积：10-4=6（米） （12+15）× 6 ÷ 2 =27×6÷2 =81（平方米）

完整版五年级上册组合图形的面积练习题

第四课时组合图形的面积测试题 1、下面的图形是由两个三角形组成的，请画出这两个三角形 2、已知平行四边形的面积是48平方分米，求阴影部分的面积 3求下面个图形的面积、（单位：分米） 3dm 8dm 12

2 5 4、如图所示，梯形的周长是52厘米，求阴影部分的面积 16 5、校园里有一块花圃，（如图所示），算出它的面积。（单位：米） 10 (3) (4) 8 3

6大小正方形如图放置，阴影部分为重叠部分，求空白部分面积 7、有一块土地如图所示，你能用几种方法求出它的面积？（单位：米） 7、如图所示，一个平行四边形背分成A B两被封，A的面积比B的面积打40平方米，A勺上底是多少？ 7 7 22 15 （单位：厘米）

7 15 空白部分的面积为：484+225-2X 49=611 （平方厘米） 解：方法 一: 3( 1) 3( 3 ) 3( 4) 解: 【参考答案】 A 解：48十8X 3- 2=9（平方分米） 解：8X 6+(8+12)X 3-2=78 (平方分米) 解：(14+12)X 6- 2+12X 6- 2=114 (平方分米) 解：5.4X 4.2+5.4 X 6-2=38.88 (平方分米) 解：2.5X 1.5+ (2.5+4 )X( 8-3-1.5 )- 2+4X 3=27.125 (平方分米) 解：10X( 52-10-14-16 )- 2=60 (平方厘米) 解：2X 2+ (5-2 )X 6=22 (平方米) 22 X 22=484 (平方厘米) 解：大正方形面积为: 小正方形面积为: 15X 15=225 (平方厘米) 阴影部分面积 为: 7X 7=49 （平方厘米）

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第二讲长方体和正方体（巧算表面积） 例题讲学 例1 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少？ 【思路点拨】先根据题意画图： 从图上可以清楚地看出：两个正方体原先各有6个正方形的面，当把它们拼起来时就少了2个正方形的面。这时，求长方体的表面积只相当于求（12-2=）10个正方形的面积；还可以这样想：当两个正方体拼成一个长方体时，求长方体的表面积，我们可以先分别求出这个长方体的长、宽、高，再求出它的表面积。 技巧 1.当物体拼合时表面积之和少了，可以根据用原来的面去掉减少了的 面，从而求出拼合后物体的面积数量，然后求出表面积。2.还可以求出拼成后大物体的长、宽、高，再根据物体形状直接求表面积。 同步精练 1. 把两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多 少？ 2．把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？ 3．把三个完全相同的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是350平方厘米。每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 例2把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长

方体，使这两个长方体表面积之和最大，这时表面积之和是多少平方厘米？ 【思路点拨】把长方体截成两个长方体后，两个长方体表面积之和等于原长方体表面积再加上两个截面的面积。这个长方体几个面中，上、下面的面积最大，所以要看哪个面的面积最大，于是本题就按平行于上、下面的方式去截，才使表面积之和最大。 技巧 长方体截成两个长方体有三种截法，如图： 每一种截法都会产生不同的面，所以判断怎么样截是解决问题的关键。 同步精练 1.把一个长10厘米、宽8厘米、高6厘米的长方体木料截成两个完全一样的长 方体，怎样截才能使截成之后，得到两个长方体的表面积之和最大？最大是多少？ 2.把两个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体， 这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 3．把两个长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少？ 例3求出下面立体图形的表面积。（单位：厘米） 【思路点拨】从图上看出，这个图形是由一个长方体和一个正方体组成的，求它的表面积时，可以把正方体的右侧面平移到长方体上，这个立体图形的表面积