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波动方程非线性传播仿真

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波动方程非线性传播仿真

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波动方程非线性传播仿真

西南交通大学希望学院 孟 艳

【摘要】波动方程是波动传播过程中,介质中各个质点振动物理特性的数学描述。非线性作用是介质的一种固有属性,与衰减作用类似,在波动传播的过程中改变波源的振动波形。通过对波动方程的非线性仿真,为进一步的研究波的非线性特性提供了基础

【关键词】波动方程 非线性 仿真

一、引言

非线性现象是指波在传播过程中,产生波源整数倍的高次频率,非线性是传播介质的基本特性。 本文以三维Westervelt 波动方程为基础, 利用其时间域有限微分解, 通过计算机仿真的方式,完成对波动场内任意点的波动仿真, 为仿真研究非线性特性提供基础。

二、非线性波动方程的数值解

常见波动方程都是非常复杂的偏微分方程,其中声场描述参数声压p 是一个与时空都有关系的物理量,在笛卡尔坐标系下可以表示为:P(x,y,z,t)。时域有限微分法的基本思想是使用微分替换方程中的导数,将未知的时间空间变量用已知时间或者空间变量表达。通过不断的重复,计算时间和空间上未来的结果。

为了研究方便,我们首先将Westervelt

方程在一维坐标下展开化简为仅含对p 的偏导数,其中拉普拉斯算子定义为空间的偏导数:

对于

的导数,代入Westervelt 方程得到:

上式中包含压强P 在时间和空间上的偏导数,在时间t 区间内,振动的函数。每个坐标点代表了t 时刻,x 轴上的坐

标点i

的压强。

的一阶导数表示为:

使用上面的微分形式替换导数形式,可以获得

的精

度,其中h 为时间或空间的步长。上面两个公式中时间和空间步长都为

1。从上面的两个公式可以化解出:

从上面两个公式可以看出,空间上点i+1在时间t 的值可以通过上一空间点(i-1)以及点i 处的导数获得。在给定初始条件条件下,使用前一个公式在x 轴方向上计算下一个坐标

位置的值,使用后一个公式计算t+1时刻的坐标值,这样在x-t 平面延伸,最后获得x 轴方向上,t 时间区间内,所有的点的压强。

三、仿真结果 从公式可以看出,非线性系数和液体黏滞系数分别作用到不同的压强分量上,我们可以将β与η分别设置为0来研究衰减和非线性对波动传播的影响。

首先我们以人体组织介质的物理参数值作为模拟的基础,假设x 方向的长度为200,在

100

处放置一个振源,振源的

激励波为:

我们首先假设介质黏滞系数η及非线性系数β都为0,使用FDTD 计算波动在x 轴方向传播。经过400

时刻后,x 轴方向

上质点的振幅如图4.1所示:

图4.1 线性介质与非线性介质中t=400时,x 轴方向上的

介质振动

对比图4.1中波形可以看出,在线性介质中,波动波形能够保持振源振动波形的光滑特性,但是,在非线性介质中,质点压缩周期的斜率高于线性作用下的传播。下面,我们对比非线性介质与线性介质中,距离振源长度为10和20

处,质点

在[0,400

]时间周期内,振动的波形曲线和频谱曲线。

图4.2 距离振源点10处,质点的振动波形以及频谱 图4.2中,振动波形图的前半部分为0,因为振源的波动需要经一段时间才能传播到10

处,对比图4.1可以发现,波形

曲线中,为0的部分更长,因为波动传播到20位置的时间更长。对比线性传播和非线性传播下,质点的振动曲线发现:在时间区域[100,150],[250,350]内,在非线性介质中传播的质点要比

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