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3.2 解的延拓

§3.2 解的延拓

教学内容与目标：了解解的延拓的必要性；掌握解的延拓定理，并用于解答简单问题。

§3.1中解得存在唯一性定理是局部性的，它只肯定了解至少在区间0,min ,b x x h h a M ??-≤= ???

上存在。可能出现这样的情况，即随着(),f x y 定义区间的增大，我们能肯定的解存在的区间反而缩小。例如，3.1.2中例1，担负定义区域为:11,11R x y -≤≤-≤≤时，1;2

h =当定义区域为:22,22

R x y -≤≤-≤≤时，218,min 2,.84M h ??=== ???这种局部性使我们感到非常不满意，而且实践上也要求解的存在区间能尽量扩大，解得延拓的概念据自然产生了。下面讨论解得延拓的概念，通过它我们可以将§3.1中存在唯一性定理中的局部结果变为适用于较大的范围。假设方程（3.1）右端函数(),f x y 在某一区域G 内连续，且关于y 满足局部的利普希茨条件，即对于区域G 内的每一点，有以其为中心的完全含于G 内的闭矩形R 存在，在R 上(),f x y 关于y 满足利普希茨条件（对于不同的点，域R 的大小和常数L 可能不同）。

设方程（3.1）的解()y x ?=已定义在区间0x x h -≤上，现在取10,x x h =+然后以()11,x y 为中心，（这里()11,x y 即图

（3.2）中的1Q 点，()10y x h ?=+）作一小的矩形，使它连同其边界都含在区域G 的内部。

再运用§3.1中存在唯一性定理，知道存在10,h >使得在区间11x x h -≤上，方程（3.1）有过()11,x y 的解()y x ψ=和解()y x ?=，且在1x x =处有()()11.x x ψ?=由于唯一性，显然在解()y x ψ=和解()y x ?=都有定义的区间111

x h x x -≤≤上，()().x x ψ?=但是在区间111x x x h ≤≤+上，解()y x ψ=仍有定义，我们把它看成是原来定义在区间0x x h -≤上的解()y x ?=向右方的延拓，这样，我们就在区间[]001,x h x h h -++上确定方程的一个解

()00001(),,

,,x x h x x h y x x h x x h h ?ψ-≤≤+??=?+<≤++??

即将解延拓到较大的区间001x h x x h h -≤≤++上。再令()211211,,x x h y x h ψ=+=+如果()22,x y G ∈,我们又可以取

()22,x y 为中心，作一小矩形，使它连同其边界都含在区域G 内。仿前，又可以将解延拓到更大的区间

022012x h x x h x h h h -≤≤+=+++上，其中2h 是某一个正常

数。对于x 值减小的一边可以同样讨论，使解向左方延拓。用几何的语言来说，上述解的延拓，就是在原来的积分曲线()y x ?=左右两端各接上一个积分曲线段（参看图（3.2））的上述解的延拓的办法还可以继续进行，最后我们将得到一个解，它已经再也不能向左右方继续延拓了。这样的解称为方程（3.1）的饱和解。任一饱和解()y x ?=的最大存在区间必定是一个开区间x αβ<<。因为如果这个区间的右端是闭的，那么β便是有限数，且点(,())G β?β∈。这样一来，解()y x ?=就还能继续向右方延拓，从而它是非饱和的。对左端点α可同样讨论。我们要问，究竟解()y x ?=向两边延拓的最终情况如何呢？这一问题可以由下面的解得延拓定理来回答。

现在我们不加证明地引进下面的定理。

解的延拓定理如果方程（3.1）右端的函数(,)f x y 在有界区域G 中连续，且在G 内关于y 满足局部的利普希茨条件，那么方程（3.1）的通过G 内任何一点00(,)x y 的解()y x ?=可以延拓，直到点(,())x x ?任意接近区域G 的边界。以向x 增大的一方的延拓来说，如果()y x ?=只能延拓到区间0x x d ≤<上则当x d →时，(,())x x ?趋于区域G 的边界。

推论如果G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下，方程（3.1）的通过点00(,)x y 的解()y x ?=可以延拓，以向x 增大的一方的延拓来说，有下面的两种情况：

（1）解()y x ?=可以延拓到区间0[,)x +∞；

或

（2）解()y x ?=只可以延拓到区间 0[,)x d ，其中d 为有限数，则当x d →时，或者()y x ?=无界，或者点(,())x x ?趋于区域G 的边界。

例1 讨论方程212

dy y dx -=的分别通过点(0,0),(ln 2,3)-的解的存在区间。

解此方程右端函数确定在整个Oxy 平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。容易确定此方程的通解为11x x ce y ce +=-。故通过点(0,0)的解为11x

e y e -=+，这个解的存在区间为x -∞<<+∞。通过点(ln 2,3)-的解为11x x e y e +=-，这

个解的存在区间为0x <<+∞（参看图（3.3））

注意，通过点(ln 2,3)-的解为11x

e y e +=-向右方可以延拓到+∞，但对于x 减少的一方来说，向左方这能延拓到0，因为当0x +→时y →-∞，这相当于解的延拓定理推论中（2）的第一种情况。

例2 讨论方程1ln y x x '=+满足条件(1)0y =的解的存在区间。

解方程右端函数于右半平面0x >上有定义且满足解的延拓定理的条件。这里区域G （右半平面）是无界开域，y 轴是它的边界。容易求得问题的解ln y x x =，它于区间0x <<+∞上有定义、连续且当0x →时0y →，即所求问题的解向右方可以延拓到+∞，但向左方只能延拓到0，且当0x →时积分曲线上的点(,)x y 趋向于区域G 的边界上的点，这对应于延拓定理推论中（2）的第二种情况。

最后我们指出，应用上述定理推论的结果不难证明：如果函数(),f x y 于整个Oxy 平面上右定义、连续和有界，同时存在关于y 的一阶连续偏导数，则方程（3.1）的任一解均可以延拓到区间x -∞<<+∞。

试证明方程：22dx t x dt

=+ 的任意解的存在区间都是有限的。证明显然000(,)p t x R R ?∈?，方程过0p 的解均存在唯一，而且均可延伸至无穷，但这并不意味解关于t 可以无限延拓。下证它的存在区间有限。

设()x x t =是方程适合初始条件00()x t x =的解。令其右方的最大存在区间为0[,)t b 。若0b <，则存在区间显然有限。若0b >，取1t 适合10t b <<，则在1

[,)t b 上有 221()()dx t t x t dt ≥+ 或 221()()

dx t dt t x t ≥+，10t t b <≤<，两端从1t 到t 积分得

11111()1()arctan arctan x t x t t t t t t ??-≥- ???

。由此可得 110t t t π≤-≤，1t t b ≤<。因此，解的最大存在区

间有限。同理可证左方最大存在区间也是有限的。

博士生入学考试泛函分析考试大纲

博士生入学考试《泛函分析》考试大纲第一章度量空间 §1 压缩映象原理 §2 完备化 §3 列紧集 §4 线性赋范空间 4.1 线性空间 4.2 线性空间上的距离 4.3 范数与Banach空间 4.4 线性赋范空间上的模等价 4.5 应用（最佳逼近问题） 4.6 有穷维* B空间的刻划 §5 凸集与不动点 5.1 定义与基本性质 5.2 Brouwer与Schauder不动点原理* 5.3 应用* §6 内积空间 6.1 定义与基本性质 6.2 正交与正交基 6.3 正交化与Hilbert空间的同构 6.4 再论最佳逼近问题第二章线性算子与线性泛函 §1 线性算子的概念 1.1 线性算子和线性泛函的定义 1.2线性算子的连续性和有界性 §2 Riesz定理及其应用 Laplace方程f ? -狄氏边值问题的弱解 u= 变分不等到式 §3 纲与开映象定理 3.1 纲与纲推理 3.2 开映象定理 3.3 闭图象定理 3.4 共鸣定理 3.5应用 Lax-Milgram定理 Lax等价定理 §4 Hahn-Banach定理

4.1线性泛函的延拓定理 4.2几何形式----凸集分离定理 §5 共轭空间·弱收敛·自反空间 5.1 共轭空间的表示及应用（Runge） 5.2 共轭算子 5.3弱收敛及*弱收敛 5.4弱列紧性与*弱列紧性 §6 线性算子的谱 6.1 定义与例 6.2 Γелbφaнд定理第三章紧算子与Fredholm算子 §1 紧算子的定义和基本性质 §2 Riesz-Fredholm 理论 §3 Riesz-Schauder理论 §4 Hilbert-Schmidt定理 §5 对椭圆方程的应用 §6 Fredholm算子参考文献 1．张恭庆林源渠，“泛函分析讲义”，北京大学出版社，1987。 2．黄振友杨建新华踏红刘景麟《泛函分析》，科学出版社， 2003。

第三章一微分方程的解的存在定理

第三章一阶微分方程的解的存在定理教学目的讨论一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理教学要求掌握存在与唯一性定理及其证明，会用皮卡逼近法求近似解，理解解对初值的连续性与可微性定理，解对参数的连续性定理，了解奇解及其求法。教学重点几个主要定理的条件及其证明教学难点逐次逼近法的应用及其思想；应用存在与唯一性定理及解的延拓定理来研究方程的解；奇解及其求法教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。课题导入在上一章我们讨论了一阶方程的解的初等积分法。解决了几个特殊的方程。但是，对许多微分方程，为22'y x y +=，不可能通过初等积分法求解，这就产生了一个问题，一个不能用初等积分法求解的微分方程是否意味着没有解呢？或者说，一个微分方程的初值问题在何种条件下一定有解呢？当有解时，农的解是否是唯一的呢？毫无疑问，这是一个很基本的问题，不解决这个问题对微分方程的进一步研究，就无从谈起，本章将重点讨论一阶微分方程的解存在问题的唯一定理， §3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法教学目的讨论Picard 逼近法及一阶微分方程的解的存在与唯一性定理，解的延拓定理，解对初值的连续性与可微性定理。教学要求熟练掌握Picard 逼近法，并用它证明一阶微分方程初值问题解的存在与唯一性定理及其证明，会用Picard 逼近法求近似解，教学重点 Picard 存在唯一性定理及其证明

教学难点逐次逼近分析法的应用及其思想. 教学方法讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。一．存在唯一性定理 1．定理1，考虑初值问题 ),(y x f dx dy = （3.1） 00)(y x y = 其中f(x,y)在矩形区域 R ： b y y a x x ≤-≤-||,||00 （3.2）上连续，并且对y 满足Lipsthits 条件：即存在常数L>0，使对所有 R y x y x ∈),(),,(21常存成立， |||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤- 则初值问题（cauchy 问题）（3.1）在区间h x x ≤-||0上解存在唯一，这里 |),(|max ),, min(),(y x f M M b a h R y x ∈== 证明思路：1.初值问题（3.1）的解存在等价一动积分方程?+=x x dy y x f y y 0 ),(0（3.5）的连续解。 2.构造（ 3.5）所得解函数序列{)(x n ?} 任取一连续函数)(0x ?，b y x ≤-|)(|00?代入（3.5）左端的y ，得 ?+=x x dx x x f y x 0 ))(,()(01??)(x n ?)(x n ? Λ2,1,))(,()(0 01=+=?+n dx x x f y x x x n n ?? 3.函数序列{)(x n ?}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ?。这里为3 ?∞→∞ →+x x n n n dx x x f y x 0 ))(,(lim )(lim 0?

(完整版)泛函分析复习与总结,推荐文档

《泛函分析》复习与总结 (2014年6月26日星期四 10:20--- 11:50) 第一部分空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。一．空间（1）距离空间（集合+距离）！验证距离的三个条件：称为是距离空间，如果对于 (,)X ρ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当 (,)0x y ρ≥(,)0x y ρ=【正定性】； x y =(ii) 【对称性】； (,)(,)x y y x ρρ=(iii) 【三角不等式】。 (,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+距离空间的典型代表：空间、空间、所有的赋范线性空间、 s S 所有的内积空间。（2）赋范线性空间（线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：称为是赋范线性空间，如果 (,||||)X ?是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,x y X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正定性】 ||||0x ≥||||0x =0x =； (ii) 【齐次性】； ||||||||||ax a x =?

(iii) 【三角不等式】。 ||||||||||||x y x y +≤+赋范线性空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡）、空间（）、空间（1,2,3,n =L p l 1p ≤≤∞([,])p L a b ）、空间、空间、Banach 空间、所有的1p ≤≤∞[,]C a b [,]k C a b 内积空间（范数是由内积导出的范数）。（3）内积空间（线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：称为是内积空间，如果 (,(,))X ??是数域（或）上的线性空间，对于和 X K =?K =￡a K ∈，成立 ,,x y z X ∈(i) 【非负性】，并且当且仅当【正 (,)0x x ≥(,)0x x =0x =定性】； (ii) 【第一变元可加性】； (,)(,)(,)x y z x z x z +=+(iii) 【第一变元齐次性】； (,)(,)ax z a x z =(iv) 【共轭对称性】。 (,)(,)x z z x =内积空间的典型代表：空间（）、空间（n ?1,2,3,n =L n ￡）、空间、空间。1,2,3,n =L 2l 2([,])L a b 注. 1) 从概念的外延来理解, 有如下的关系: {内积空间}{赋范线性空间}{距离空间}. ??2) 内积可导出范数, 范数可导出距离, 反之未必. 例如在赋范线性空间中, 如果范数满足平行四边形公式, 则由范数可以定义内积. 3) 在距离空间中，，当 0k x x ρ??→?0(,)0k x x ρ→； k →∞赋范线性空间中，，当；|||| 0k x x ???→?0||||0k x x -→k →∞

解对初值的连续性和可微性定理

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理在初值问题?????==) (),(00x y y y x f dx dy 中我们都是把初值),(00y x 看成是固定的数值，然后再去讨论方程 ),(y x f dx dy =经过点),(00y x 的解.但是假如00(,)x y 变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值00(,)x y .例如：y y x f =),(时,方程y y ='的解是x ce y =,将初始条件00)(y x y =带入,可得00x x e y y -=.很显然它是自变量和初始条件00(,)x y 的函数.因此将对初值问题?????==) (),(00x y y y x f dx dy 的解记为),,(00y x x y ?=,它满足0000(,,)y x x y ?=. 当初值发生变化时，对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时，方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质. 1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解是唯一的,记为),,(00y x x y ?=,则在此关系式中,(,)x y 与00(,)x y 可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式 00(,,)y x x y ?= 证明在方程(3.1)满足初始条件00()y x y =的解的存在区间内任取一点,显然1100(,,)y x x y ?=,则由解的唯一性知,过点11(,)x y 的解与过点00(,)x y 的解是同一条积分曲线,即此解也可写为 11(,,)y x x y ?= 并且,有0011(,,)y x x y ?=.又由11(,)x y 是积分曲线上的任一点,因此关系式00(,,)y x x y ?=对该积分曲线上的任意点均成立. 2、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的，肯定存在误差. 有的时候误差比较大，有的时候误差比较小，在实际应用中我们当然希望误差较小，也就是说当00(,)x y 变动很小的时候，相应的方程的解也只有微小的变动，这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前，我们先来看一个引理：引理：如果函数(,)f x y 于某域内连续，且关于满足Lipschtiz 条件（Lipschtiz 常数为），则对方程（3.1）的任意两个解()x ?及()x ψ，在它们公共存在的区间内成立着不等式 0||00|()()||()()|L x x x x x x e ?ψ?ψ--≤- （3.17）

泛函分析复习提要

泛函分析复习提要一、填空 1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果，则称集M 在集E 中稠密。如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是空间。 2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若，则称M 是第一纲集。 3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =，则T 为算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是。) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则 T 为算子。 ( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是。) 5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈= ，如果存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有，则称{}n f 弱*收敛于f 。 6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n = ，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有，则称{}n T 强收敛于T 。 7. 完备的赋范线性空间称为空间，完备的内积空间称为空间 8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T = 9. 设X 是内积空间，则称是由内积导出的范数。 10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是。 11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足。 12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ?→的线性算子，当T 满足时，则T 是闭算子。二、叙述下列定义及定理 1. 里斯（Riesz ）定理； 2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；

泛函分析——武大精品课2-4

1 第12讲 Hahn －Banach 延拓定理教学目的掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论。授课要点 1、实空间线性泛函的控制延拓定理。 2、复空间线性泛函的控制延拓定理。 3、保范延拓定理。 4、延拓定理的推论及其意义。对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多，对这个空间本身就了解得越多（参见第9讲思考题1）. 有时候为了某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在，Hahn －Banach 定理为这样的线性泛函的存在提供了保证. 定义1 设()D T 与()1D T 分别是算子T 与1T 的定义域，若 ()()1D T D T ?，并且1,T x Tx =()x D T ?∈，则称算子1T 是T 的延拓. 定义2 线性空间X 上的实泛函()p x 称为是次可加的，若 ()()()p x y p x p y +≤+，,x y X ?∈ 称为是正齐性的，若 ()()p x p x αα=，x X ?∈，0α≥. 显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函. 定理1（Hahn －Banach ）设X 是实线性空间，:p X R →是X 上的正齐性次可加泛函，M X ?是线性子空间，则（1）对于M 上定义的每个线性泛函0f ，存在0f 从M 到X 的延

2 拓f ：X R →， ()()0f x f x =，x M ?∈ （2）若()()0f x p x ≤，x M ?∈，可选取f 满足 ()()f x p x ≤，x X ?∈ ()1 证明 1 设M X ≠，取0\x X M ∈，记'M =span {}0,x M ，则 x M ′′?∈，0x x tx ′=+，其中x M ∈，t R ∈. 此分解式是唯一的，否则另有110x x t x ′=+，1x M ∈，则()110x x t t x ?=??，若1t t ≠，则 1 01 x x x t t ?= ?M ∈，与0x 的取法矛盾，于是1t t =，并且1x x =. 对于任何常数c ，令 ()()0f x f x tc ′=+，0x x tx ′?=+. 则容易验证f 是M ′上的线性泛函. 实际上f 是0f 从M 到M ′的延拓，因为当x M ′∈时，0t =，从而()()0f x f x ′=. 2 我们将证明当x M ?∈，()()0f x p x ≤时，适当选择c ，可使 ()()f x p x ′′≤，x M ′′?∈. 实际上,x y M ?∈，由于 ()()()()000f x f y f x y p x y +=+≤+ ()()00p x x p x y ≤?++，即 ()()()()0000f x p x x p x y f y ??≤+?，故存在c 满足 ()()00sup x M f x p x x c ∈??≤ ()()00inf y M p x y f y ∈≤+? ， ()2

泛函分析中的概念和命题

泛函分析中的概念和命题赋范空间，算子，泛函定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach 空间. 定理：M 是赋范线性空间()||||,?X 的一个真闭线性子空间，则,1||||,,0=∈?>?y X y ε使得： M x x y ∈?->-,1||||ε 定理：设X 是赋范线性空间，f 是X 上的线性泛函，则 1.* X f ∈()()的闭线性子空间是X x f X x f N }0|{=∈=? 2.()()中稠密在是不连续的非零线性泛函X f N x f ? 定理：()空间是空间是则是赋范空间，Banach ,Banach },{,Y X B Y X Y X ?≠θ ()()()||||||||||||,,,,,,,,B A AB Z X B AB Z Y B Y X B A Z Y X ≤∈∈∈且则是赋范空间，可分B 空间：()()[]可分b a C c c p l L p P ,,,,1,1,00∞<≤ ()∞∞l L ,10，不可分 Hahn-Banach 泛函延拓定理设X 为线性空间，上的实值函数是定义在X p ，若： (1)()()()()为次可加泛函则称p X y x y p x p y x p ,,,∈?+≤+ (2)()()() 为正齐性泛函，则称p X x x p x p ∈?≥?=,0,ααα (3) ()()() 为对称泛函，则称p X x x p x p ∈?∈?=,K ,||ααα 实Hahn-Banach 泛函定理: 设X 是实线性空间，()x p 是定义在X 上的次可加正齐性泛函，0X 是X 的线性子空间，0f 是定义在0X 上的实线性泛函且满足()()()00X x x p x f ∈?≤，则必存在一个定义在X 上的实线性泛函f ，且满足： 1．()()()X x x p x f ∈?≤0

第二章基本定理第二讲解的延拓

第二讲解的延拓（3学时）教学目的：讨论解的延拓定理。教学要求：理解解的延拓定理，并用解的延拓定理研究方程的解教学重点：解的延拓定理条件及其证明教学难点：应用解的延拓定理讨论解的存在区间。教学方法：讲练结合教学法、启发式相结合教学法。教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。教学过程：解的存在唯一性定理的优点是:在相当广泛的条件下,给定方程:),(y x f dx dy =有满足初值条件00)(y x y =的唯一解存在,但也有缺点,即它是局部的,它只能肯定这种解在0x x =附近的一个区间), min(,||0m b a h h x x =≤-上存在,有时所得的区间很小,因而相应的微分曲线也只是很短的一段,如初值问题 22(3.1)(0)0dy x y dx y ?=+???=? 当定义域为R:11≤≤-x 时,解存在的唯一区间.21}21 ,1min{||= =≤h x 当定义域为R:21≤≤-x 时,解的顾在唯一区间.4 1}41 ,1min{||==≤h x 这样随着),(y x f 的定义域的增大,解存在的唯一区间反而缩小,这显然是我们不想看到的,而且实际要求解存在下载向尽量大,这就促使我们引进解的延拓概念.扩大解存在不在此区间. 1．局部利普希茨(Lipschitz )条件. 若函数),(y x f 在区域G 内连续且对G 内的每一点P,有以P 为中心完全含于G 内的闭矩形Rp 存在,在Rp 上),(y x f 在G 内关于y 满足Lipschitz 条件,(对不同的点,域Rp 的大小和常数L 尽可能不同),则称 ),(y x f 在G 内对y 满足局部Lipschitz 条件. 2. 解的延拓定理. 如果方程( 3.1)在奇函数),(y x f 在有界区域G 中连续,且在G 内关于y 满足局部Lipschitz 条件,那么方程(3.1)的通解过G 内任何一点(00,y x )的解)(x e y =可以延拓.直到点))(,,(x x ?任意接近G 的边界.以向X 增大的一方延拓来说,如果)(x y ?=它的延拓到区间m x x ≤≤0时.则当m x →时,))`(,(x x ?趋于区间G 的边界.

泛函中三大定理的认识

泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。 1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足： (1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) X G F f =；其中X F 表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；G f 表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中． 2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ?，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ： ()G X Y ?→满足 (1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子，则称T 为正则算子(normal operator)．注： ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质1 若T ：()G X Y ?→是线性算子，则1T -是线性算子．证明：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知： 1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+-- 1212()y y y y αβαβ=+--0= 由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□ 定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．

常微分方程考研讲义第三章一阶微分方程解的存在定理

2dy y dx = 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1 x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）上连续。定理1：如果函数),(y x f 满足以下条件：1）在R 上连续：2）在R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数0L >，使对于R 上任何一对点1(,)x y ， 2(,)x y 均有不等式1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤-成立，则方程（3.1）存在唯一的解()y x ?=，在区间0||x x h -≤上连续，而且满足初始条件 00()x y ?= （3.3）

[整理]一阶微分方程解的存在定理.

第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1. 理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。 2. 了解解的延拓定理及延拓条件。 3. 理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。例如方程 dy dx =过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 y x =或更一般地，函数 2 0 0() c<1x c y x c x ≤≤?=?-≤? 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有重要的意义，而解的存在唯一性是进行近似计算的前提，如果解本身不存在，而近似求解就失去意义；如果存在不唯一，不能确定所求的是哪个解。而解的存在唯一性定理保证了所求解的存在性和唯一性。 1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程 ),(y x f dx dy = （3.1）这里),(y x f 是在矩形域：00:||,||R x x a y y b -≤-≤ （3.2）

泛函分析作业

泛函分析在地球物理勘探中的应用地球探测科学与技术学院相丽娜 2015652005

泛函分析（Functional Analysis）是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其研究的主要对象是函数构成的空间。泛函分析是由对函数的变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫（Stefan Banach）是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家维多?沃尔泰拉（Vito Volterra）对泛函分析的广泛应用有重要贡献。一、泛函分析基本原理泛函分析综合运用函数论、几何学，现代数学的观点来研究无线维向量空间上的泛函，算子和极限理论，它可以看作无线维向量空间的解析几何和数学分析。其中线性泛函分析是发展较成熟的部分，主要包括抽象空间理论，线性算子理论、线性泛函分析的“四大定理”和广义函数理论。 1.1 抽象空间理论抽象空间理论是对一般有限维向量空间的推广，以集合的为基础。度量空间，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。距离是一个抽象的概念，在一集合中，只需满足正定性、对称性及三角不等式这三条性质，即称为一个距离。定义了线性运算（加法和数乘）的集合为线性空间，赋范空间是定义了范数的线性空间，泛函中的收敛性与范数有关。进而，若赋范线性空间按范数所成的度量空间是完备的，此即完备赋范线性空间，即巴拿赫（Banach）空间。在巴拿赫空间中，相当部分的研究涉及其共轭空间，即巴拿赫空间上所有连续线性泛函所构成的空间。内积空间是定义了内积运算的线性空间。完备的赋范内积空间，称为希尔伯特（Hilbert）空间，Hilbert空间具有良好的性质。 1.2 线性算子理论最基本的算子是保持拓扑线性空间结构的算子，称作线性算子。如果像空间是拓扑线性空间所在的数域，那么这样的算子成为线性泛函。几个重要的线性算子：距离空间上的连续映射(算子)，巴拿赫空间上的线性算子与线性泛函，共轭算子希尔伯特空间上的线性泛函与自共轭算子。 1.3 线性泛函分析的“四大定理” Hahn-Banach泛函延拓定理，该定理研究了如何讲一个算子保范数的从一个子空间延拓到整个空间；共鸣定理（一致有界定理），该定理描述一族有界算子的性质；逆算子定理描述的是两个Banach空间之间相互的算子都是线性有界的；闭图像定理是通过图像定义的闭算子和闭集，说明算子的有界性。 1.4 广义函数广义函数是某个指定空间上的线性连续泛函。古典函数在描述物理问题中（如在原点放置一个单位质量的质点，求证过数轴上的质量分布线密度）和偏微分方程的求解中存在局限性，因此产生了Dirac函数和偏微分方程的广义解，这都是广义函数的产物。广义函数是古典函数的推广，它的出现从根本上改变了函数概念。如果定义在各点的函数只是一些物理量的近似描述，则广义函数就成为描述很多物理现象的更自然的工具，推动了科学研究的进展。二、泛函分析在地球物理勘探中的应用 2.1基于工程地震模型的反演理论中的泛函分析在薄储集层地质条件下,由于地震频带宽度的限制,基于普通地震分辨率的直接反演方法,其精度和分辨率都不能满足油田开发的要求。基于模型地震反演技术以测井资料丰富的高频信息和完整的低频成分补充地震有限带宽的不足,可获得高分辨率的地层波阻抗资料, 为薄层油(气)藏精细描述创造了有利条件。

Banach延拓定理及其应用(精)

Hahn - Banach延拓定理及其应用 [论文摘要]本文首先概述Hahn - Banach延拓定理发展的历史、其对泛函分析及微分方程乃至物理学的重要意思，然后介绍了Hahn - Banach延拓定理包括它的推论和推广，最后以例题的形式给出了Hahn - Banach延拓定理的一些应用。 [关键字]Hahn - Banach定理Zorn引理延拓 [Abstract]In this passage,we introduce the history of Hahn-Banach theorem.Then we introduce the Hahn-Banach theorem and the deduction.At the end,we introduce some application of the Hahn-Banach theorem. [Key Word]Hahn-Banach theorem Zorn lemma application

目录摘要 1目录 2 1 引言 3 1.1 选题背景 3 1.2 本文的主要内容 3 2 Hahn—Banach定理 5 2.1 Hahn—Banach定理的定义 5 2.2 Hahn—Banach定理的推论 6 3 Hahn—Banach定理的推广 13 4 Hahn—Banach定理的应用 43参考文献45

1引言 1.1 选题背景 Banach空间理论是由波兰数学家S.Banach在192O年创立的，数学分析及泛函分析中许多常用的空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。以Banach空间为基础的Hahn - Banach定理跟共鸣定理及闭图象定理是泛函分析的三大基本定理。其应用十分广泛, 而且越来越深入地渗透于现代数学的各个领域乃至物理等其它学科。其中Hahn - Banach延拓定理，在泛函分析中扮演着重要的角色。该定理保证了赋范线性空间上具有“足够多”的连续线性泛函，并且还刻划了连续线性泛函的值可以事先被指定的程度，这就使得建立共轭空间具有实质性的意义。而这些理论也是赋范空间一般理论的根本部分。从这个意义上来说，Hahn－Banach定理是关于有界线性算子最重要的定理之一。 Hahn - Banach定理是1923年S.Banach在研究不变测度时，首先提出来的。在1929年S.Banach又得出了定理的一般形式。而Hahn在1927年及Ascoli在1932年也相互独立的得出了一般定理。随后H．F．Bahnenblust与Sobczyk(1938)将其推广到复向量空间上。从几何上看该定理表现成凸集的分离性质，而这个分离性质是研究与凸集有关的Banach空间几何学的基本出发点。由Hahn—Banach定理可以导出一些很有用的结果，如短量定理、最佳逼近的对偶关系和凸集分离定理等等，这些结果在泛函分析理论、远近论、控制论和数学规划中均有重要作用。而且Hahn - Banach延拓定理在偏微分方程及概率论等方面有着广泛的应用，而在确信一般的局部凸线性拓扑空间中非平凡连续线性泛函的存在时也要用到它。 1.2 本文的主要内容本文拟对Hahn - Banach定理进行一点探讨, 分为三大部分。第一部分首先给出Hahn - Banach延拓定理，然后以推论的形式给出本定理的若干特殊形式。第二部分给出本定理的推广。第三部分则以例题的形式给出Hahn - Banach定理的一些应用。值得注意的是, Hahn-Banach 定理的推广实际上也是Hahn - Banach定理的重要应用。

浅谈Hahn-Banach泛函延拓定理及其应用

浅谈Hahn-Banach 泛函延拓定理及其应用 1 引言在函数论中，我们曾经考虑把一些函数从原来的定义域括充出去的问题，例如解析函数的解析开拓，在代数上有域的扩张等等.在泛函分析中，为了使得对于任意的线性空间E ，其上存在非零的有界线性泛函，其简化的方法自然使我们想到了前面所说的“延拓”的方法，既在E 内某一子空间上定义一个有界线性泛函，而且还能够使其延拓为整个E 上的有界线性泛函. 引理设f 是复赋范线性空间E 上的有界线性泛函，令))((Re )(E x x f x ∈=?，则?是E 上的有界实线性泛函. （注意：所谓实线性，是指可加性以及对任何实数α，有)()(x x α?α?=且)()()(ix i x x f ??-=） 2 Hahn-Banach 泛函延拓定理 2.1 Hahn-Banach 泛函延拓定理的几种形式定理1 [1](168) P （赋范线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）设G 是赋范线性空间E 的子空间，f 是定义在G 上的有界线性泛函，则f 可以延拓到整个E 上且保持范数不变，即存在定义在E 上的有界线性泛函0F ，使下列性质成立：（1）对任一x G ∈，有0()()F x f x =；（2）0G F f =.（这里G f 表示f 作为G 上的有界线性泛函的范数）定理2 ) 136](2[P （实线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设（1）E 是“实”线性空间，0E E ?是“实”线性子空间；（2）()p x 是E 上的“次加法、正齐性”泛函，0()f x 是定义在子空间0E 上的（实）线性泛函，并且满足)()(0x p x f ≤)(0E ∈?，那么，必定存在定义在整个空间E 上的（实）线性泛函()f x ，其满足：（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ?∈；（ⅱ）()(),f x p x x E ≤?∈. (并且，称()f x 为0()f x 在全空间E 上的“延拓”)

Chapter4解析延拓函数和函数

Chapter 4 解析延拓 Γ函数和B 函数一、解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性 1. 零点的定义：设)(z f 在a 点及其邻域内解析，如果0)(=a f ，则称a z =为)(z f 的零点。设()0(),n n n f z c z a ∞ ==-∑ (),z a r -< 若0)(=a f ，则必有， 0110====-m c c c Λ，0.m c ≠ 此时，称a z =为)(z f 的m 阶零点。相应地，0)()()()1(==='=-a f a f a f m Λ，()()0.m f a ≠ 零点的阶数都是确定的正整数——在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。 2. 零点的孤立性：解析函数的零点孤立性定理：设a z =为)(z f 的零点，若)(z f 不恒等于0，且在包含a z =在内的区域内解析，则必能找到圆()0z a ρρ-=>，使在圆内除a z =外，)(z f 无其它零点 [在多值非解析函数())()(/1z a z z f m φ-=中， a z =虽然为零点，但是又是枝点]。证明：设a z =为)(z f 的m 阶零点，则())()(z a z z f m φ-=，其中)(z φ解析，且()0.a φ≠ 由)(z φ在a z =连续，即，任给0>ε，存在0>ρ，使得当ρ<-a z 时，()().z a φφε-< 不妨取2)(a φε=，由于 )()()()(a z z a φφφφ-≤-，则得，1()()()0.2 z a a φφεφ>-=> 由此即证得)(z f 在ρ<-a z 内除a z =外无其它零点。推论1：设)(z f 在D ：R a z <-内解析，若在D 内存在)(z f 的无穷多个零点{}n z ，且a z n n =∞ →lim ，但a z n ≠，则)(z f 在D 内恒为0. 证明：)(z f 在D 内连续，lim ()().z a f z f a →= 若取a z →的一个特殊序列，即{}n z ，当然仍有，lim ()().n n f z f a →∞ = 而0)(=n z f ，故0)(=a f ，即a z =为) (z f

【】数学物理方法试卷(全答案)

嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分）在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F （z ）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数F （z ）的可去奇点，极点及本性奇点。判别方法：洛朗级数展开法 A ，先找出函数f(z)的奇点； B ，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m 阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2）()()???==2 1,,C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u ,和()y x v ,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分）

数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分）三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z