【浙教版】九年级数学上册 第四章 相似三角形综合训练题B卷(附详细解析)

第四章相似三角形单元测试B 一.选择题

1﹒若y

x ＝3

4

,则x y

x

+的值为（）

A.1

B.4

7 C.5

4

D.7

4

2﹒已知a

b c

+＝b

a c

+

＝c

a b

+

＝k,则抛物线y＝kx2+2kx的顶点坐

标为（）

A.（－1,－1

2） B.（1,－1

2

）

C.（－1,1

2） D.（1,1

2

）

3﹒下列各组图形不一定相似的是（）

A.两个等腰直角三角形

B.各有一个角是100°的两个等腰三角形

C.两个矩形

D.各有一个角是50°的两个直角三角形

4﹒如图,每个小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影）与左图中△ABC相似的是（）

A. B. C. D.

5﹒如图,△ABC中,P为AB上一点,在下列四个条件中：①∠ACP

＝∠B ；②∠APC ＝∠ACB ；③AC 2＝AP AB ；④AB CP ＝AP CB ,能满足△ACP 与△ACB 相似的条件是（ ）

A.①②③

B.①③④

C.②③④

D.①②④

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6﹒如图,在△ABC 中,AB ＝AC ,∠A ＝36°,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,若AC ＝2,则AD 的长是（ ） A.

51

2

- B. 512+ C.51- D. 51+

7﹒如图,在△ABC 中,点D .E .F 分别在边AB .AC .BC 上,且

DE ∥BC ,EF ∥AB .若AD ＝2BD ,则CF BF

的值为（ ）

A.12

B.13

C.14

D.23

8﹒如图,点F 是平行四边形ABCD 的边CD 上一点,直线BF 交

AD 的延长线与点E ,则下列结论错误的是（ ）

A.ED EA

＝DF AB

B.DE BC

＝EF FB

C.BC DE

＝BF BE

D.BF BE

＝BC AE

9﹒如图,AB ∥CD ∥EF ,AC 与BD 相交于点E ,若CE ＝5,CF ＝4,AE ＝BC ,则CD AB

的值是（ ）

A.2

3 B.1

2

C.1

3

D.1

4

第9题图第10题图第11题图第12题图10.如图,D.E分别是△ABC的边AB.BC上的点,DE∥AC,若S△BDE：

S△CDE＝1：3,则S△DOE：S△AOC的值为（）

A.1

3 B.1

4

C.1

9

D.1

16

11﹒如图,AB是半圆O的直径,D.E是半圆上任意两点,连结AD,DE,AE与BD相交于点C,要使△ADC与△ABD相似,可以添加一个条件.下列添加的条件中错误的是（）

A.∠ACD＝∠DAB

B.AD＝DE

C.AD2＝BD CD

D.CD AB＝AC BD

12.在平行四边形ABCD中,点E为AD的中点,连结BE,交AC于点F,则AF

CF

的值为（）

A.1

2 B.1

3

C.2

3

D.2

5

13.如图,在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,连结AE.BD,

且AE.BD交于点F,S△DEF：S△ABF＝4：25,则DE：EC等于（）

A.2：5

B.2：3

C.3：5

D.3：2

第13题图第14题图第15题图14.小明在测量楼高时,先测出楼房落在地面上的影长BA为15

米,如图所示,然后在A处树立一根高2米的标杆,测得标杆的影长AC为3米,则楼高为（）

A.10米

B.12米

C.15米

D.22.5米

15.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF.若AD＝

OA,则△ABC与△DEF的面积之比为（）

A.1：2

B.1：4

C.1：5

D.1：6

16.如图,在边长为12的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,

其中E.F.G分别在AB.BC.FD上.若BF＝3,则BE的长为（）

A.1

B.2.5

C.2.25

D.1.5

第16题图第17题图第18题图第19题图17.如图,正方形ABCD的面积为1,M是AB的中点,则图中阴影

部分的面积是（）

A.3

10 B.1

3

C.2

5

D.4

9

18.如图,在四边形ABCD中,DE∥EF∥AB,EC∥AF,四个三角形

的面积分别为S1,S2,S3,S4,若S2＝1,S4＝4,则S1+S3等于（）

A.2

B.2.5

C.3

D.3.5

19.如图,⊙O是△ABC的外接圆,已知AD平分∠BAC交⊙O于点

D,AD＝5,BD＝2,则DE的长为（）

A.3

5 B.4

25

C.2

25

D.4

5

20.如图,AB是⊙O的直径,AB＝43,点C是OA的中点,过点C

作CD⊥AB交⊙O于D点,点E是⊙O上一点,连结DE,AE交DC的延长线于点F,则AF AE的值为

（）

A.83

B.12

C.63

D.93

二.填空题

21.比例尺为1：1000的图纸上某区域面积为400cm2,

则实际面积为________.

22.若

2

a

a b

＝2

3

,则b

a

＝_________.

23.如图,AD∥BE∥CF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点

A,B,C和点D,E,F,若AB

BC ＝2

3

,DE＝6,则EF＝________.

第20题图

第23题图第24题图第25题图第26题图

24.如图,已知点O是△ABC中BC边上的中点,且AB

AD ＝2

3

,则AE

AC

＝_________.

25.如图,已知在Rt△OAC中,O为坐标原点,直角顶点C在x轴

的正半轴上,反比例函数y＝k

x

（k≠0）在第象限的图象经过OA的中点B,交AC于点D,连结OD.若△OCD∽△ACO,则直线OA的表达式为___________.

26.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,点E在AD上,且AE

＝3ED,连结BE并延长交AC于F,则CF：AC＝______________.

27.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积

等于△DEF的面积的4

9

,则AB：DE＝___________.

第27题图第28题图第29题图第30题图28.如图,⊙O的直径AB＝8,AC＝3CB,过点C作AB的垂线交⊙O

于M,N两点,连结MB,则BM的长为___________.

29.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B＝90°,AD＝2,BC＝3,AB＝

7,点P是AB边上一动点,当AP＝_____________时,△ADP 与△PBC相似.

30.如图,在△ABC中,AB＝AC,以AC为直径的⊙O交AB于点D,

交BC于点E.若

BD＝2,BE＝3,则AC＝__________.

三.解答题（本题共8小题,第19.20每小题各8分；第21.22

每小题各6分；第23.24每小题各8分；第25题10分,第26小题12分,共66分）

31.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,按下列要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.

（1）以O为位似中心,在点O的同侧作△A1B1C1,使得它与原三角形的位似比为1：2；

（2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2,并求出点A旋转的路径的长.

32.如图,在平行四边形ABCD中,AE：EB＝2：3,DE交AC于点

F.

（1）求证：△AEF∽△CDF；

（2）求△AEF与△CDF周长之比；

（3）如果△CDF的面积为20cm2,求△AEF的面积.

33.如图,在正方形ABCD中,E为边BC的中点,GH平分AE,GH分

的值.

别交AB.AE.CD于点G.F.H.求GF

FH

34.如图,在平行四边形ABCD中,延长CD到E,使DE＝CD,连结

BE,交AD于点F,交AC于点G.

（1）求证：AF＝DF；

（2）若BC＝2AB,且DE＝1,∠E＝30°,求BE的长.

35.如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连结CP并延长

交AD于E,交BA的延长线于点F.

（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由；

（2）求证：△APE∽△FPA；

（3）猜想：线段PC,PE,PF之间存在什么关系？并说明理由.

36.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AD∥BC,P为BD上一点,∠APB ＝∠BAD.

（1）求证：AB＝CD；

（2）求证：DP BD＝AD BC；

（3）求证：BD2＝AB2+AD BC.

37.如图,△ABC中,BC＝2AB,点D.E分别是BC.AC的中点,过点

A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F,取AF的中点G,连结DG,GD与AE交于点H.

（1）求证：四边形ABDF是菱形；

（2）求证：DH2＝HE HC.

38.如图1,在四边形ABCD中,点E.F分别是AB.CD的中点,过

点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA.GB.GC.GD.EF,若∠AGD＝∠BGC.

第23题图1第23题图2

（1）求证：AD＝BC；

（2）求证：△AGD∽△EGF；

的值. （3）如图2,若AD.BC所在直线互相垂直,求AD

EF

答案与解析一.选择题

1﹒【知识点】比例的性质.

【分析】掌握比例的性质：①a

b ＝c

d

?ab＝cd；②a

b

＝

c d ?

a b

b

+＝c d

d

+或

a b

b

-＝c d

d

-；③a

b

＝c

d

＝e

f

＝k?a c e

b d f

++

++

＝a

b

＝k,根据比例性质②求解即可；也可用设参数法求解.

【解答】∵y

x

＝3

4

,

∴x y

x

+＝43

4

+＝7

4

.

故选：D.

2﹒【知识点】比例的性质；抛物线的顶点坐标求法.

【分析】根据比例的等比的性质即可得出k＝1

2

,将k值代入二次函数的表达式中,然后将表达式化为顶点式（也可直接用求顶点公式）即可得出结论.

【解答】由a

b c

+＝b

a c

+

＝c

a b

+

＝k,得k＝

222

a b c

a b c

++

++

＝1

2

,

∴抛物线的表达式为：y＝1

2x2+x＝1

2

(x+1)2－1

2

,

∴此抛物线的顶点坐标为（－1,－1

2

）,

故选：A.

3﹒【知识点】相似三角形的判定；相似多边形.

【分析】本题考查的是相似图形。根据相似图形的定义,对应边成比例,对应角相等对各选项分析判断.

【解答】A.两个等腰直角三角形,对应边成比例,对应角相等,符合定义,一定相似,故正确；

B.各有一个角是100°的两个等腰三角形,100°的角一定

是顶角,其余两角一定相等,故一定相似,故正确；

C.两个矩形,四个角都是直角,但四条边不一定对应成比例,不一定相似,故错误；

D.各有一个角是50°的两个直角三角形,都有一个直角,根

据两角对应相等,两三角形相似,故正确.

故选：C.

4﹒【知识点】相似三角形的判定.

【分析】本题考查两个三角形相似的判定定理：三边对应相等的两个三角形的相似,分别对各选项进行分析即可得出答案.

【解答】由已知网格图即可得出三角形的各边AB.CB.AC分别为2.2.10,

只有选项B的各边为1.2.5与它的各边对应成比例.

故选：B.

5﹒【知识点】相似三角形的判定.

【分析】根据相似三角形的判定方法对各个条件进行分析,从而得出最后答案.

【解答】∵∠A＝∠A,

∴①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB时都相似；

∵③AC2＝AP AB,且∠A＝∠A,所以可得两三角形相似；

∵④AB CP＝AP CB,此两个对应边的夹角不是∠A,所以不能相似.

所以能满足△ACP与△ACB相似的条件①②③,

故选：A.

6﹒【知识点】相似三角形的判定与性质；黄金分割.

【分析】根据两角对应相等,判定两个三角形相似.再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长.

【解答】∵∠A＝∠DBC＝36°,∠C＝∠C,

∴△ABC∽△BDC,

且AD＝BD＝BC.

设BD＝x,则BC＝x,CD＝2﹣x.

由于BC

CD ＝AC

BC

,

∴

2x

x

＝2

x

.

整理得：x2+2x﹣4＝0, 解方程得：x＝﹣1±5,

∵x为正数,

∴x＝﹣1+5.

故选：C.

7﹒【知识点】平行线分线段成比例.

【分析】平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.根据平行线分线段成比例定理

得出AD

BD ＝AE

EC

＝BF

CF

＝2,即可得出答案.

【解答】∵DE∥BC,EF∥AB,AD＝2BD,

∴AD

BD ＝AE

EC

＝2,AE

EC

＝BF

CF

＝2,

∴CF

BF ＝1

2

,

故选：A.

8﹒【知识点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质.

【分析】由四边形ABCD是平行四边形,可得CD∥AB,AD∥BC,CD＝AB,AD＝BC,然后平行线分线段成比例定理,对各项进行分析即可求得答案.

【解答】∵四边形ABCD是平行四边形,

∴CD∥AB,AD∥BC,CD＝AB,AD＝BC,

∴ED

EA ＝DF

AB

,故A正确；

∴DE

BC ＝EF

FB

,故B正确；

∴BC

DE ＝BF

EF

,故C错误；

∴BF

BE ＝BC

AE

,故D正确.

故选：C.

9﹒【知识点】平行线分线段成比例.

【分析】设AE＝x,则BC＝x,根据平行线分线段成比例定理,

由EF∥AB得到5

5x

+＝4

x

,解得x＝20,然后根据如果一条直

线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边,由CD∥AB得

到△ECD∽△EAB,故CD

AB ＝CE

AE

＝1

4

.

【解答】设AE＝x,则BC＝x,

∴CE

CA ＝CF

CB

,即5

5x

+

＝4

x

,

解得：x＝20,

即AE＝20,

∵CD∥AB,

∴△ECD∽△EAB,

∴CD

AB ＝CE

AE

＝1

4

.

故选：D.

10.【知识点】相似三角形的判定与性质.

【分析】证明BE：EC＝1：3,进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC,得到

DE AC ＝BE

BC

＝1

4

,借助相似三角形的性质即可解决问题.

【解答】∵S△BDE：S△CDE＝1：3, ∴BE：EC＝1：3；

∴BE：BC＝1：4；

∵DE∥AC,

∴△DOE∽△AOC,

∴DE

AC ＝BE

BC

＝1

4

,

∴S△DOE：S△AOC＝(DE

AC )2＝1

16

,

故选：D.

11.【知识点】相似三角形的判定；圆周角定理.

【分析】由∠ADC＝∠ADB,根据有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似,即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用.

【解答】如图,∠ADC＝∠ADB,

A.∵∠ACD＝∠DAB,

∴△ADC∽△BDA,故A选项正确；

B.∵AD＝DE,

∴AD＝DE,

∴∠DAE＝∠B,

∴△ADC∽△BDA,故B选项正确；

C.∵AD2＝BD CD,

∴AD：BD＝CD：AD,

∴△ADC∽△BDA,故C选项正确；

D.∵CD AB＝AC BD,

∴CD：AC＝BD：AB,

但∠ACD＝∠ABD不是对应夹角,故D选项错误.

故选：D.

12.【知识点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【分析】根据四边形ABCD是平行四边形,求证△AEF∽△BCF,然后利用其对应边成比例即可求得答案.

【解答】∵四边形ABCD是平行四边形,

∴△AEF∽△BCF,

∴AE

BC ＝AF

CF

,

∵点E为AD的中点,

∴AE

BC ＝AF

CF

＝1

2

,

故选：A.

13.【知识点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.

【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出：△DEF∽△BAF,再根据S△DEF：S△ABF

＝4：25即可得出其相似比,由相似三角

形的性质即可求出DE：AB的值,由AB＝

CD即可得出结论.

【解答】∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥CD,

∴∠EAB＝∠DEF,∠AFB＝∠DFE,

∴△DEF∽△BAF,

∵S△DEF：S△ABF＝4：25,

∴DE：AB＝2：5,

∵AB＝CD,

∴DE：EC＝2：3.

故选：B.

14.【知识点】相似三角形的应用.

【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形,然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.根据相似三角形的对应边的比相等,即可求解.

【解答】∵标杆的高

标杆的影长＝楼高

楼影长

即：2

3＝

15

楼高,

∴楼高＝10米.

故选：A.

15.【知识点】图形的位似.

【分析】利用位似图形的性质首先得出位似比,进而得出面积比.

【解答】∵以点O为位似中心,

将△ABC 放大得到△DEF ,AD ＝OA , ∴OA ：OD ＝1：2,

∴△ABC 与△DEF 的面积之比为：1：4. 故选：B.

16.【知识点】三角形相似的应用.

【分析】先证得△BEF ∽△CFD ,从而BE BF

＝CF CD

,将相关线段

长代入即可求出BE 的长.

【解答】∵四边形ABCD 和四边形EFGH 均为正方形, ∴∠BFE +∠CFD ＝∠CFD +∠CDF ＝90°, ∴∠BFE ＝∠CDF , 又∵∠B ＝∠C ＝90°, ∴△BEF ∽△CFD , ∴BE BF

＝CF CD

,

∵BF ＝3,CF ＝BC －BF ＝12－3＝9,CD ＝12, ∴3

BE ＝

912

, 解得：BE ＝2.5. 故选：C.

17.【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质. 【分析】先证△AMG ∽△CDG ,得出AG CG

＝AM CD

＝12

,即AG ＝12

CG .

因而得AG AC

＝13

,根据“正方形的对角线将正方形面积分成

两个面积相等的三角形”和“三角形的中线将三角形面积

分成两个面积相等的三角形”,分别得出S△ADM＝S△AMC＝1

4

,再用S阴影＝

S△ADM+S△ACM－2S△AMG求即可.

【解答】∵四边形ABCD是正方形,

∴AM∥CD,

∴△AMG∽△CDG,

∴AG

CG ＝AM

CD

＝1

2

,即AG＝1

2

CG.

∴AG

AC ＝1

3

,

∵点M是AB边上的中点, ∴S△ADM－S△AMC＝1

4

,

∴S△AMG＝1

12

,

∵S阴影＝S△ADM+S△ACM﹣2S△AMG,

∴S阴影＝1

4+1

4

﹣2

12

＝1

3

,

因此图中的阴影部分的面积是1

3

.

故选：B.

18.【知识点】相似三角形的判定与性质.

【分析】先通过两角对应相等的两个三角形相似,证得△EFC∽△AFB,然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得结论.

【解答】∵DC∥EF∥AB,EC∥AF,