当前位置：文档库 › 西交大计算方法上机报告

西交大计算方法上机报告

计算方法（B）实验报告

姓名：

学号：

学院：

专业：

实验一三对角方程组Tx f =的求解

一、实验目的

掌握三对角方程组Tx f =求解的方法。二、实验内容

求三对角方程组Tx f =的解，其中：

4 -1 -1 4 -1 -1 4 1 -1 4T ????????=??

???? ， 3223f ?? ? ? ?= ? ? ???

三、算法组织

设系数矩阵为三对角矩阵

11222333111

b c a b c a b c a b c b n n n n T ---????????

=??????

??????

则方程组Tx f =称为三对角方程组。

设矩阵T 非奇异，T 可分解为T=LU ，其中L 为下三角矩阵，U 为单位上三角矩阵，记

212

313

1111

,11n n n n n r l r l r L U l r l μμμμμ---????

? ? ? ? ? ?==

? ? ? ? ? ? ? ? ??

可先依次求出,L U 中的元素后，令Ux y =，先求解下三角方程组Ly f =得出

y ，再求解上三角方程组Ux y =。追赶法的算法组织如下：

1.输入三对角矩阵T 和右端向量f ；

2.将Tx f =压缩为四个一维数组{}{}{}{}i i i i a b c d 、、、，{}{}{}i i i a b c 、、是T 的三对角线性方程组的三个对角，{}i d 是右端向量。将分解矩阵压缩为三个一维数组

{}{}{}i i i l r μ、、。

3.对T 做Crout 分解（也可以用Doolittle 分解）导出追赶法的计算步骤如下：

1111,b r c μ==

for 2i n =

111, ,

,i i i i i i i i i i i i i l a b a r r c y d l y μμ---==-==-

end

4.回代求解x

/n n n x y μ=

for 11i n =-

1()/i i i i i x y c x μ+=-

end

5. 停止，输出结果。四、 MATLAB 程序 MATLAB 程序见附件1. 五、结果及分析实验结果为：

(1.0000 1.0000

1.0000 1.0000)T x =

实验二 Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代解线性方程组

一、实验目的

掌握Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代解线性方程组的方法。二、实验内容

用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代解电路电流方程组，使各部分电流误差均小于310-。

12132343452328103831001025150154503050i i i i i i i i i i i i -=??-+-=??

-+-=??-+=?

-+=?? 三、算法组织

形如Ax b =的方程组，用Jacobi 迭代求解x ，算法组织如下：

1. 将系数矩阵A 分解成对角元D 、下三角部分元E -和上三角部分元F -,于是

A D E F =--.

2. 由11()()()Ax b D E F x b Dx E F x b x D E F x D b --=?--=?=++?=++。

3. 从而构成形如(1)()k k x Gx d +=+迭代格式：

(1)1()1()k k x D E F x D b +--=++

其中

()

G D E F d D b

--?=+?=? 4. 选取初始向量(0)x 进行迭代计算。

5. 当迭代后的解满足题中的约束条件(1)()1max k k i i i n

x x ε+≤≤-<时迭代停止。

形如Ax b =的方程组，用Gauss —Seidel 迭代求解x ，算法组织如下： 1. 将系数矩阵A 分解成对角元D 、下三角部分元E -和上三角部分元F -,于是

A D E F =--.

2. 由

11()()()()Ax b D E F x b D E x Fx b x D E Fx D E b --=?--=?-=+?=-+-。 3. 从而构成形如(1)()k k x Gx d +=+迭代格式：

(1)1()1()()k k x D E Fx D E b +--=-+- 其中

()()G D E F

d D E b

--?=-?=-? 4. 选取初始向量(0)x 进行迭代计算。

5. 当迭代后的解满足题中的约束条件(1)()1max k k i i i n

x x ε+≤≤-<时迭代停止。

四、 MATLAB 程序

MATLAB 程序见附件2，其中1为Jacobi 迭代，2为Gauss —Seidel 迭代。五、结果及分析 Jacobi 迭代结果:

方程组的解为(0.36070.03350.01630.00540.0055)T x = 迭代次数8i =

Gauss —Seidel 迭代结果：

方程组的解为(0.36070.03350.01660.00550.0056)T x = 迭代次数4i =

由以上结果可知,达到相同的计算精度，Gauss —Seidel 迭代比Jacobi 迭代的速度快，Gauss —Seidel 迭代比Jacobi 迭代次数少。

实验三多项式插值及误差计算

一、实验目的

掌握多项式插值的原理和基本方法。二、实验内容

已知2

()(11)125f x x x

=-≤≤+，对5,10,20n = a. 计算函数()f x 在点2

1,(0,1,2,,)i x i i n n

=-+=处的值()i f x ;

b. 求插值数据点(){}

,(0,1,2,,)i i x y i n =的Newton 插值多项式()n N x 和三

次样条插值多项式()n S x ; c. 对5,20n =，计算2

1,(110,9099)100

k x k k =-+

=和相应的函数值()

,(),()k n k n k k y f x N x S x =;

d. 计算()()

max n n k k k

E N y N x =-，()()

max n n k k k

E S y S x =-，解释所得到

结果。

三、算法组织

（一）本题第一问是简单的用matlab 程序可以计算，算法很简单。

（二）本题在算法上第二问中的Newton 插值多项式)(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。计算两种插值多项式的算法如下： 1. 求Newton 插值多项式

)

(x N n ，算法组织如下：

Newton 插值多项式的表达式如下：

010011()()()()()n n n N x c c x x c x x x x x x -=+-+???+--???-

其中每一项的系数c i 的表达式如下：

12011010

(,,,)(,,,)

(,,,)i i i i i f x x x f x x x c f x x x x x -???-???=???=

根据上述公式，为了得到系数需计算：

1) 一阶差商01[],[],,[]n f x f x f x ??? 2) 二阶差商01121[,],[,],[,]n n f x x f x x f x x -??? … … … …

3) n 阶差商01111[,,,],[,,,]n n n f x x x f x x x --?????? 4) n+1阶差商011[,,,,]n n f x x x x -???

2. 求三次样条插值多项式，算法组织如下：

所谓三次样条插值多项式()n S x 是一种对区间进行分段的分段函数，然后在每一段上进行分析，即它在节点i x 011()n n a x x x x b -=<

1[,]i i x x -上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：

2233

1111111()[()()]()()666[,]1,2,,.

i i i i i i i i i i i i i i i

i i h x x h x x S x x x M x x M y M y M h h h x x x i n --------=-+-+-+-∈=???，

，因此，只要确定了i M 的值，就确定了整个表达式，i M 的计算方法如下：令：

111

11111116()6(,,)i i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i h h h h h h y y y y d f x x x h h h h μλμ++++--+++?

===-?++??

--?=-=?+?

，则i M 满足如下n-1个方程：

1121,2,,1i i i i i i M M M d i n μλ-+++==???-，

方程中有n+1个未知量，则令0M 和n M 分别为零，则由上面的方程组可得到(11)i M i n ≤≤-的值，可得到整个区间上的三次样条插值多项式()n S x 。（三）第三问和第四问的算法与第二问的算法类似，不再赘述。

四、 MATLAB 程序 MATLAB 程序见附件3。五、结果及分析第一问

当n=5时,各节点及f(x)值为： x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02

x(1)=-6.000000e-01,y(1)=1.000000e-01 x(2)=-2.000000e-01,y(2)=5.000000e-01 x(3)=2.000000e-01,y(3)=5.000000e-01 x(4)=6.000000e-01,y(4)=1.000000e-01 x(5)=1,y(5)=3.846154e-02

当n=10时,各节点及f(x)值为：

x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02

x(1)=-8.000000e-01,y(1)=5.882353e-02 x(2)=-6.000000e-01,y(2)=1.000000e-01 x(3)=-4.000000e-01,y(3)=2.000000e-01 x(4)=-2.000000e-01,y(4)=5.000000e-01 x(5)=0,y(5)=1

x(6)=2.000000e-01,y(6)=5.000000e-01 x(7)=4.000000e-01,y(7)=2.000000e-01 x(8)=6.000000e-01,y(8)=1.000000e-01 x(9)=8.000000e-01,y(9)=5.882353e-02 x(10)=1,y(10)=3.846154e-02

当n=20时,各节点及f(x)值为：

x(0)=-1,y(0)=3.846154e-02

x(1)=-9.000000e-01,y(1)=4.705882e-02 x(2)=-8.000000e-01,y(2)=5.882353e-02 x(3)=-7.000000e-01,y(3)=7.547170e-02 x(4)=-6.000000e-01,y(4)=1.000000e-01 x(5)=-5.000000e-01,y(5)=1.379310e-01 x(6)=-4.000000e-01,y(6)=2.000000e-01 x(7)=-3.000000e-01,y(7)=3.076923e-01