运筹学习题答案
第一章习题
1.思考题
（1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？
（2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？
（3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？
（4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？
（5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？
（6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？
（7）如何进行换基迭代运算？
（8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？
（9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。
（10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？
2.建立下列问题的线性规划模型：
（1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示：
润最大的模型。
（2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。
如何安排配方，使成本最低？
（3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20
假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？
（4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？
图1-6
3. 用图解法求下列线性规划的最优解：
??????
?≥≤+-≥+≥++=0
,425.134 1
2 64 min )1(21212
12121x x x x x x x x x x z
??????
?≥≤+≥+-≤++=0
,82 5 1032 44 max )2(21212
12121x x x x x x x x x x z
?????
????≥≤≤-≤+-≤++=0
,6
054 4 22232 96 max )3(2122
1212121x x x x x x
x x x x x z
???
??≥≤+-≥+
+=0,1 12
34 3 max )4(2
12
12121x x x x x x x x z
4. 把下列线性规划化为标准形式：
??????
?≥≤=-++-≥-+≤-+-+-=无约束
432143213
214313
210,,01 32 21
2 min )1(x x x x x x x x x x x x x x x x x z
??????
?≤≤≥+-≤++=无约束
2112
12121,02
1
82 32 max )2(x x x x x x x x x z
5. 判定下列集合是否凸集：
（1）R 1=｛(x 1,x 2)|x 12+2x 22≤2｝
（2）R 2=｛(x 1,x 2)|x 12－2x 2+3≥0,x 2≥0,|x 1|≤1｝ （3）R 3=｛(x 1,x 2)|x 1x 2≥1,x 1≥1,x 2≥0｝
6. 求出下列线性规划的所有基本解，并指出其中的基可行解和最优解。
???
???
?=≥=++=+=++=5,,1 ,018
2 312 2 48
53 max 52142312
1 j x x x x x x x x x x z j
7. 求下列线性规划的解： （1）
（2）
??????
?≥≤+≤≤+=0
,182 36 8
2 5
3 max 2121212
1x x x x x x x x z
???
??≥≤+-≤++=0,1 4
2 42 max 2
121212
1x x x x x x x x z
（3）
（4）
???
??≥≤+--≥+-+=0,12
2 2 max 2
121212
1x x x x x x x x z
??????
?≥≤≥≤--≤++≤+-++=0
,0,020102603 2 max 3213213213213
21x x x x x x x x x x x x x x x z
8. 利用大M 法或两阶段法求解下列线性规划： （1）
（2）
???????≥≥+≥-≤++=0
,217
2 2
3 max 212121
212
1x x x x x x x x x x z
??????
?≥=-+≤+≥++--=0
,,54 218
23 2 max 321321213213
21x x x x x x x x x x x x x x z （3）
（4）
???????≥≥≤-≥++-=0
,2 6 312
34 max 21221
212
1x x x x x x x x x z
???
??≥≥+++≥++++++=0,,,1223615
263 343 min 4
321432143214
321x x x x x x x x x x x x x x x x z 9. 对于问题
??
?≥==0
b max X AX CX z （1）设最优解为X *，当C 改为C 时，最优解为X ，则0))((*
≥--X X C C 。
（2）如果X 1，X 2均为最优解，则对于α∈[0，1]，αX 1+（1－α）X 2均为最优解。 10. 用单纯形法求解问题2（4）（合理下料问题）。
11. 表1-21是一个求极大值线性规划的单纯形表，其中x 4，x 5，x 6是松弛变量。
（2）要使上表成为最优表，a 应满足什么条件？ （3）何时有无穷多最优解？ （4）何时无最优解？
（5）何时应以x 3替换x 1？
第二章习题
1.思考题
（1）如何在以B为基的单纯形表中，找出B－1？该表是怎样由初始表得到的？
（2）对偶问题的构成要素之间，有哪些对应规律？
（3）如何从原问题最优表中，直接找到对偶最优解？
（4）叙述互补松弛定理及其经济意义。
（5）什么是资源的影子价格？它在经济管理中有什么作用？
（6）对偶单纯形法有哪些操作要点？它与单纯形法有哪些相同，哪些地方有区别？
（7）灵敏度分析主要讨论什么问题？分析的基本思路是什么？四种基本情况的分析要点是什么？
2.已知某线性规划的初始单纯形表和最终单纯形表如表2-21，请把表中空白处的数字填上，并指出最优基B及B－1。
3.某个线性规划的最终表是表2-22：
表2-22
初始基变量是1，4，5。
（1）求最优基B=（P1，P2，P3）；
（2）求初始表。
4.写出下列线性规划的对偶问题：
??????
?≤≥=+-≥-+-≤+++-=无约束3213213
21321321,0,0131
4242 3 max )1(x x x x x x x x x x x x x x x z ??????
?≤≥≥++=++-≤--+++-=无约束
43214313
2143214321,,0,012
22 242 32 min (2)x x x x x x x x x x x x x x x x x x z ???
??
??????????+=≤+==≥+=≥+===≤=∑∑∑∑====n
n j x n n j x n j x m
m i b x a m m i b x a m i b x a x c z j
j j i n
j j ij i n
j j ij i n
j j ij n
j j
j ,,1,0,,1,,,1,0,,1,,,1,,,2,1, max (3)22112
12
11
111
无约束 ??????
?????==≥=====∑∑∑∑====n
j m i x n
j b x m i a x x c z ij j m i ij i n
j ij m i n
j ij
ij ,,1 ,,10,,1 ,,1
min (4)1
111
5. 已知线性规划
???
??≥≥++≥++++=0,, min 3
212
3232221211
313212111332211x x x b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c z （1）写出它的对偶问题；
（2）引入松弛变量，化为标准形式，再写出对偶问题； （3）引入人工变量，把问题化为等价模型：
???
??≥=+-++=+-+++-++=0
,,
)( max 71
2
7532322212116431321211176332211x x b x x x a x a x a b x x x a x a x a x x M x c x c x c z 再写出它的对偶问题。
试说明上面三个对偶问题是完全一致的。由此，可以得出什么样的一般结论？ 6. 利用对偶理论说明下列线性规划无最优解：
???
??≥≤≥≥+--≥++-+-=0
,0,03224
2 max 321
3213213
21x x x x x x x x x x x x z 7. 已知表2-23是某线性规划的最优表，其中x 4，x 5为松弛变量，两个约束条件为≤
型。
j （2）写出原问题的对偶问题； （3）由表2-23求对偶最优解。 8. 已知线性规划问题
?????
??
??=≥≥+≥+≥+++≥+++++=4
,3,2,1,02 2 633 2 6368 min 314343214214321j x x x x x x x x x x x x x x x x z j
（1）写出对偶问题；
（2）已知原问题的最优解为X *=（1，1，2，0）T ，求对偶问题的最优解。 9*. 已知线性规划
??????
?≥=+-≥++≤--+-=无约束
3213213
21321321,0,41
632532 34 max x x x x x x x x x x x x x x x z 的最优解为X *=（0，0，4）T 。
（1）写出对偶问题； （2）求对偶问题最优解。
10. 用对偶单纯形法解下列各线性规划：
?????≥≥+-≥++++=0,,4
3232 432 min (1)3
21321321321x x x x x x x x x x x x z
?????≥≥++≥++++=0,,10
536423 425 min (2)3
213213213
21x x x x x x x x x x x x z
11. 设线性规划问题
????
?=≥=≤=∑∑==n j x m i b x a x c z j
i n
j j ij n
j j
j ,,2,1 ,0,,2,1 max 11
（2.41）
的m 种资源的影子价格为y 1*，y 2*，…，y m *。 线性规划