[A 基础达标]
1.当x ∈[-1,1]时,f (x )=3x -2的值域是( )
A.???
?-53,1 B .[-1,1] C.????1,53 D .[0,1]
解析:选A.f (x )在R 上是增函数,由f (-1)=-53
,f (1)=1得当x ∈[-1,1]时,f (x )=3x -2的值域是???
?-53,1. 2.设f (x )=????12|x |,x ∈R ,那么f (x )是( )
A .奇函数且在(0,+∞)上是增函数
B .偶函数且在(0,+∞)上是增函数
C .奇函数且在(0,+∞)上是减函数
D .偶函数且在(0,+∞)上是减函数
解析:选D.f (x )的定义域为R ,f (-x )=f (x ),所以f (x )为偶函数,排除A 、C ;当x >0时,y =????12x 为减函数,排除B.故选D.
3.函数y =6x 与y =-6-x 的图像( )
A .关于x 轴对称
B .关于y 轴对称
C .关于原点对称
D .关于直线y =x 对称
解析:选C.y =f (x )与y =-f (-x )的图像关于原点对称.
4.函数y =????12x 2-2在下列哪个区间上是减少的( )
A .(-∞,0]
B .[0,+∞)
C .(-∞,2]
D .[2,+∞)
解析:选B.设u =x 2-2,u 在(-∞,0]是减函数,在[0,+∞)上是增加的,y =????12u 是
减函数,
所以y =????12x 2
-2在[0,+∞)上是减少的.
5.下列图像中,二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y = ????b a x
的图像只可能是( )
解析:选A.由指数函数图像可以看出0
,顶点坐标为????-b 2a ,-b 2
4a .又由0
<0.四个选项的图像中,只有A 选项中抛物线的顶点坐标在???
?-12,0内. 6.满足方程4x +2x -2=0的x 值为________.
解析:设t =2x (t >0),则原方程化为t 2+t -2=0,
所以t =1或t =-2.
因为t >0,所以t =-2舍去.
所以t =1,即2x =1,所以x =0.
答案:0
7.已知函数y =????13x 在[-2,
-1]上的最小值是m ,最大值是n ,则m +n 的值为________. 解析:函数y =????13x 在定义域内是递减的,所以m =????13-1=3,n =???
?13-2=9.所以m +n =12.
答案:12
8.若函数f (x )=2x 2+2ax -a -1的定义域为R ,则a 的取值范围是________. 解析:因为f (x )的定义域为R ,所以2x 2+2ax -a -1≥0恒成立,即x 2+2ax -a ≥0恒成立,所以Δ=4a 2+4a ≤0,即-1≤a ≤0.
答案:[-1,0]
9.已知函数f (x )=ax 2-1(a >0且a ≠1).
(1)若函数f (x )的图像经过点P (3,4),求a 的值;
(2)判断并证明函数f (x )的奇偶性;
(3)比较f (-2)与f (-2.1)的大小,并说明理由.
解:(1)因为函数f (x )的图像经过点P (3,4),
所以f (3)=a 2=4,所以a =2.
(2)函数f (x )为偶函数.
因为函数f (x )的定义域为R ,且f (-x )=a (-x )2-1=ax 2-1=f (x ),
所以函数f (x )为偶函数.
(3)因为y =x 2-1在(-∞,0)上是递减的,
所以当a >1时,f (x )在(-∞,0)上是递减的,
所以f (-2)<f (-2.1);
当0<a <1时,f (x )在(-∞,0)上是递增的,
所以f (-2)>f (-2.1).
10.已知函数f (x )=1-2
5x +1.
(1)证明:f (x )是R 上的增函数;
(2)当x ∈[-1,2)时,求函数f (x )的值域.
解:(1)证明:在R 内任取x 1, x 2,且设x 1 因为f (x 1)-f (x 2)=5x 1 -15x 1+1-5x 2-15x 2+1=2(5x 1-5x 2) (5x 1+1)(5x 2+1) , 又因为x 1 所以5x 1-5x 2<0,而5x 1+1>0,5x 2+1>0, 所以f (x 1) 所以f (x )是R 上的增函数. (2)因为f (-1)=-23,f (2)=1213, 所以f (x )的值域为????-23,1213. [B 能力提升] 1.若函数f (x )=2x +a ×2-x ,则对任意实数a ,函数f (x )在R 上不可能是( ) A .增函数 B .减函数 C .奇函数 D .偶函数 解析:选B.当a =0时,f (x )=2x 为增函数;当a =1时,f (x )=2x +2-x 为偶函数;当a =-1时,f (x )=2x -2-x 为奇函数,排除A 、C 、D ,故选B. 2.已知函数f (x )=a x 在[-1,1]上恒有f (x )<2,则实数a 的取值范围为________. 解析:当a >1时,f (x )在[-1,1]上是增函数. 因为在x ∈[-1,1]上恒有f (x )<2,所以1<a <2. 当0<a <1时,f (x )在[-1,1]上是减函数. 因为在x ∈[-1,1]上恒有f (x )<2, 所以1a <2且0<a <1,所以12 <a <1. 综上所述,实数a 的取值范围是12 <a <1或1<a <2. 答案:????12,1∪(1,2) 3.已知函数f (x )=b ·a x ,(其中a ,b 为常数且a >0,a ≠1)的图像经过点A (1,6),B (3, 24). (1)求f (x )的解析式; (2)若不等式????1a x +????1b x +1-2m ≥0在x ∈(-∞,1]上恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)由题意得? ????a · b =6,b ·a 3=24?a =2,b =3, 所以f (x )=3·2x . (2)设g (x )=????1a x +????1b x =????12x +????13x ,则y =g (x )在R 上为减函数, 所以当x ≤1时,g (x )min =g (1)=56 , 所以????1a x +????1b x +1-2m ≥0在x ∈(-∞,1]上恒成立,即2m -1≤56?m ≤1112 , 所以m 的取值范围为m ≤1112 . 4.(选做题)已知函数f (x )=3-x 2+2x +3, (1)求f (x )的定义域和值域; (2)请写出f (x )的单调区间,不需证明. 解:(1)f(x)的定义域为R. 设u=-x2+2x+3=-(x-1)2+4≤4, 又y=3u在(-∞,4]上是增加的, 所以0 (2)u=-x2+2x+3在(-∞,1]上是增加的,在(1,+∞)上是减少的,又y=3u在u∈R 上是增加的. 所以f(x)=3-x2+2x+3在(-∞,1]上是增加的,在(1,+∞)上是减少的.