第1章 数学建模与误差分析
第1章数学建模与误差分析
1.1 数学与科学计算
数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。
科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。
随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。
1.2 数学建模及其重要意义
数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。
1.2.1 数学建模的过程
数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。
表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
才能保证其正确性。因此，归纳和演绎是辨证统一的过程：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。
图1.2.1 数学建模过程示意图
图1.2.2 数学模型求解方法示意图
解释是把数学模型的解答“翻译”回到现实对象，给出分析、预报、决策或控制的结果。最后作为这个过程重要的一个环节，这些结果需要用实际的信息加以验证。
图1.2.1也揭示了现实问题和数学建模的关系。一方面，数学模型是将现实生活中的现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实。另一方面，只有当数学模型的结果经受住现实问题的检验时，才可以用来指导实际，完成实践→理论→实践这一循环。
1.2.2 数学建模的一般步骤
一般说来，建立模型需要经过哪几个步骤并没有一定的模式，通常与问题的性质和建模的目的等因素有关。下面介绍建立数学模型的一般过程，如图1.2.3所示：
图1.2.3 数学建模的一般步骤
分析问题了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息，如数据和现象等，弄清楚所要研究对象的主要特征，形成一个比较清晰的“数学问题”。
提出假设根据现象的特征和建模的目的，抓住问题的本质、忽略次要因素，做出必要的、合理的、简化的假设，并且要在合理和简化之间做出恰当的折中。
通常，假设的依据一是处于对问题内在规律的认识，二是来自对现象、数据的分析，以及二者的结合。
建立模型根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量等的数学模型，如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图论模型等。在建模过程中要遵循尽量采用简单的数学工具这一原则，以便更多的人了解和使用。
模型求解可以采用解方程、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是当前迅猛发展的数学软件和计算机技术。
解的分析对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健性分析等。
检验和验证把求解和分析的结果翻译回到实际问题中，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。如果结果与实际不符，问题常常出现在模型假设上，此时应该修改、补充假设，重新建立模型和求解。
应用与推广应用的方式与问题性质、建模目的以及最终的结果有关。应当指出的是，并不是所有问题的建模都要经过这些步骤，有时几个步骤之间的界限也不是那么分明，建模时不要拘泥于形式上的按部就班，要采用灵活的表述形式。
1.2.3 数学建模的重要意义
作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及计算机的出现和飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重要意义。
（1）在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地。
在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，数学建模的普遍性和重要性不言而喻。虽然这里的基本模型是已有的，但是由于新技术、新工艺的不断涌现，提出许多需要用数学方法解决的新问题；高速、大型计算机的飞速发展，使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题（如大型水坝的应力计算，中长期天气预报等）迎刃而解；建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术，以其快速、经济、方便等优势，大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段。
（2）在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具。
无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身，还是将高新技术用于传统工业区创造新工艺、开发新产品，计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段。数学建模、数值计算和计算机图形学等相结合形成的计算机软件，已经被固化于产品中，在许多高新技术领域起着核心作用，被认为是高新技术的特征之一。在这个意义上，数学不仅仅作为一门科学，是许多技术的基础，而且直接走向了技术的前台。有人认为“高技术本质上是一种数学技术”。
（3）数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。
随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。当用数学方法研究许多领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤，同时也是这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过：“一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。”展望21世纪，
数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。
美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义”，因而“计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径”。
1.3 数值方法与算法稳定性
数值计算已成为科学研究的第三种基本手段。所谓数值方法，是指将欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的“算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来直观地描述算法的全貌。
选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如，当计算多项式
0111)(a x a x a x a x P n n n n ++++=--
的值时，若直接计算(0,1,i i a x i n = 再逐项相加，共需做2
)1()1(21+=+-+++n n n n 次乘法和n 次加法。10n =时需做55次乘法和10次加法。若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式()P x 改成
12210()(((())))n n n P x a x a x a x a x a x a --=++++++
来计算时，只要做n 次乘法和n 次加法即可。
对于小型问题，计算速度的快慢和占用计算机内存的多寡似乎意义不大。但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度，甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题。 数值计算过程中会出现各种误差，它们可分为两大类：一类是由于算题者在工作中的粗心大意而产生的，例如笔误以及误用公式等，这类误差称为“过失误差”或“疏忽误差”。它完全是人为造成的，只要工作中仔细、谨慎，是完全可以避免的；而另一类为“非过失误差”，在数值计算中这往往是无法避免的，例如近似带来的误差、模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差等。对于“非过失误差”，应该设法尽量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后误差的积累，以确保计算结果的精度。
下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差和算法的选择对计算结果所产生的巨大影响。
例1.3.1计算 3
x = 可用下面四种算式算出：
61)x =，99x =-6
x =，x =。
且计算过程没有误差，则上列四个算式的计算结果是相等的；
75 1.4≈=1712 1.4166≈= 按上列四种算式计算x 值，其结果如表1.3.1所示。
表1.3.1 四个算式的计算结果
由表1.3.1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。可见近似值和算法的选定对计算结果的精确度影响很大。因此，在研究算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念、误差在数值运算中的传播规律、误差分析的基本方法和算法的数值稳定性。否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。
衡量一个算法的好坏时，计算时间的多少是非常重要的一个标志。由于实际的执行时间依赖于计算机的性能，因此所谓算法所花时间是用它执行的所有基本运算的总次数来衡量的。这样时间与运算的次数直接联系起来了。当然，即使用一个算法计算同一类型的问题时，由于各问题的数据不同，计算快慢也会不同，一般是用最坏情况下所花的时间来作讨论。设输入数据的规模是l (在网络问题中，l 一般与节点数及弧数有关，而对一般极值问题，l 往往与变量数及约束数有关)。设在最坏情况下运算次数是()f l ，则()f l 称为算法的计算复杂性。 具有什么样的计算复杂性的算法被认为是好的呢？目前计算机科学中广为接受的观点是：多项式时间算法，即()f l 是关于l 的一个多项式，或者以一个多项式为上界的。例如，23,,log l l l l l +等是好的算法；而指数时间算法，即()f l 是关于l 的指数式或以一个指数式为下界的，例如3,!l l 等情况，则是坏的。这个看法的依据是很明白的，因为当l 增大时，指数函数比多项式函数增长快。
1.4 误差的种类及其来源
数值计算中，除了可以避免的过失误差外，还有不少来源不同而又无法避免的非过失误差存在于数值计算过程中，主要有如下几种：
1.4.1 模型误差
在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数学模型实际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别，这种误差称为“模型误差”。
1.4.2 观测误差
在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为“观测误差”或“初值误差”。
1.4.3 截断误差
在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和等，它们需用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断”，即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为“截断误差”或“方法误差”。例如，函数sin x 和ln(1)x +可分别展开为如下的无穷幂级数：
357
sin 3!5!7!
x x x x x =-+-+ （1.4.1） 234
ln(1)(11)234
x x x x x x +=-+-+-<≤ (1.4.2) 若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取
35
sin 3!5!
x x x x ≈-+ (1.4.3) 23
ln(1)23
x x x x +≈-+ (1.4.4) 则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。这就是由于截断了无穷级数自第四项起的后段而产生的截断误差。(1.4.3)和(1.4.4)的截断误差是很容易估算的，因为幂级数(1.4.1)和(1.4.2) 都是交错级数，当1x <时的各项的绝对值又都是递减的，因此，这时它们的截断误差()4R x 可分别估计为：
74()7!x R x ≤和()4
44
x R x ≤。 1.4.4 舍入误差
在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，例如无理数和有理数中某些分数化出的无限循环小数，如
3.14159265
1.41421356
11
0.166666
3!6
π=
=
==
由于受计算机机器字长的限制，它所能表示的数据只能有有限位数，这时就需把数据按四舍五入舍入成一定位数的近似有理数来代替。由此引起的误差称为“舍入误差”或“凑整误差”。
综上所述，数值计算中除了可以完全避免的过失误差外，还存在难以避免的模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差。数学模型一旦建立，进入具体计算时所要考虑和分析的就是截断误差和舍入误差。在计算机上经过千百次运算后所积累起来的总误差不容忽视，有时可能会大得惊人，甚至达到“淹没”欲求解真值的地步，而使计算结果失去根本意义。因此，在讨论算法时，有必要对其截断误差的估算和舍入误差的控制作适当的分析。
1.5 绝对误差和相对误差
1.5.1 绝对误差和绝对误差限
定义1.5.1设某一个准确值（称为真值）为x，其近似值为*x，则x与*x的差
*
()x x x
ε=-（1.5.1）称为近似值*x的“绝对误差”，简称“误差”。当()0
x
ε>时，称为亏近似值或弱近似值，反之则称为盈近似值或强近似值。
由于真值往往是未知或无法知道的，因此，()x
ε的准确值（真值）也就无法求出。但一般可估计此绝对误差的上限，即可以求出一个正值η，使
()*
x x x
εη
=-≤（1.5.2）此η称为近似值*x的“绝对误差限”，简称“误差限”，或称“精度”。有时也用
*
x xη
=±（1.5.3）来表示（1.5.2）式，这时等式右端的两个数值*xη+和*
xη
-代表了x所在范围的上、下限。η越小，表示该近似值*x的精度越高。
例1.5.1用有毫米刻度的尺测量不超过一米的长度l。读数方法如下：如长度l接近于毫米刻度*l，就读出该刻度数*l作为长度l的近似值。显然，
这个近似值的绝对误差限就是半个毫米，则有
*1()2
l l l ε=-≤（毫米） 如果读出的长度是513毫米，则有
5130.5l -≤（毫米）
这样，虽仍不知准确长度l 是多少，但由（1.5.3）式可得到不等式：
512.5513.5()l ≤≤毫米
这说明l 必在[512.5,513.5]毫米区间内。
1.5.2 相对误差和相对误差限
用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。例如测量10米的长度时产生1厘米的误差与测量1米的长度时产生1厘米的误差是大有区别的。虽然两者的绝对误差相同，都是1厘米，但是由于所测量的长度要差十倍，显然前一种测量比后一种要精确得多。这说明要评价一个近似值的精确度，除了要看其绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大小，这就需要引进相对误差的概念。 定义1.5.2 绝对误差与真值之比，即
*
()
()r x x x x x x εε-== （1.5.4） 称为近似值*x 的“相对误差”。
在上例中，前一种测量的相对误差为11000，而后一种测量的相对误差则为1100
，是前一种的十倍。 由（1.5.4）可见，相对误差可以从绝对误差求出。反之，绝对误差也可由相对误差求出，其相互关系式为：
()()r x x x εε=? （1.5.5）
相对误差不仅能表示出绝对误差来，而且在估计近似值运算结果的误差时，它比绝对误差更能反映出误差的特性，且相对误差是个纯数字，它没有量纲。因此在误差分析中，相对误差比绝对误差更为重要。
相对误差也无法准确求出。因为（1.5.4）中的()x ε和x 均无法准确求得。也和绝对误差一样，可以估计它的大小范围，即可以找到一个正数δ，使
()r x εδ≤ （1.5.6）
δ称为近似值*x 的“相对误差限”。
例1.5.2 称100 千克重的东西若有1千克的误差和量100米长的东西有1米的
误差，这两种测量的相对误差都是
1100
。与此相反，由于绝对误差有量纲，上例中两种测量的绝对误差1千克和1米的量纲不同，两者就无法进行比较。 在实际计算中，由于真值x 总是无法知道的，因此往往取
**()()r x x x
εε= （1.5.7） 作为相对误差的另一定义。 下面比较*
()r x ε与()r x ε之间的相差究竟有多大： *2**1
11()()()()[()]r r x x x x x x x x
εεεε-=-=-? 22
22
1(())(())**
(())()
1()(())1()r r r r r x x x x xx x x x x x x x εεεεεε=-
=-=--=-- 一般地，()r x ε很小，不会超过0.5。这样
11()r x ε-不大于2，因此，上式右
端是一高阶小量，可以忽略。 *2()()2[()](())r r r r x x x x εεεοε-≤=
故可用*()r x ε来代替()r x ε。
相对误差也可用百分数来表示：
**()()100%r x x x
εε=? 这时称它为百分误差。
1.6 误差的传播与估计
1.6.1 误差估计的一般公式
在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些近似值，带有误差，这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差，而确定计算结果所能达到的精度显然是十分重要的，但往往很困难。不过，对计算误差作出一定的定量估计还是可以做到的。下面利用函数泰勒（Taylor ）展开式推出误差估计的一般公式。
考虑二元函数12(,)y f x x =，设*1x 和*2x 分别是1x 和2x 的近似值，*y 是函数值y 的近似值，且***12(,)y f x x =，函数12(,)f x x 在点**12(,)x x 处的泰勒展开式为：
****1212112212
2**2***1111222112
2**21222
(,)(*,*)[()()()()]1[()()2()()()2!()()]f f f x x f x x x x x x x x f f x x x x x x x x x f x x x ??=+-+-????+?-+?--????+?-+? 式中，)()(1*11x x x ε=-和)()(2*22x x x ε=-一般都是小量值，如忽略高阶小量，则
上式可简化为：
****12121212
(,)(,)()()()()f f f x x f x x x x x x εε??≈+?+??? 因此，*y 的绝对误差为
**12121212()*(,)(*,*)(
)()()()f f y y y f x x f x x x x x x εεε??=-=-≈?+??? （1.6.1） 式中，)(1x ε和前面)(2x ε的系数*1)(x f ??和*2
)(x f ??分别是*1x 和*2x 对*y 的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差)(1x ε和)(2x ε经过传播后增大或缩小的倍数。 由（1.6.1）可得出*y 的相对误差：
***1212*
*****1
212**12()()()()()()***()()()()r r r x x y f f y y x y x y x x f f x x y x y x εεεεεε??=
≈+????=?+??? （1.6.2）
式中，*1()r x ε和*2()r
x ε前面的系数**1*1()x f y x ??和**2*2()x f y x ??分别是*1x 和*2x 对*y 的相对误差增长因子，它们分别表示相对误差*1()r x ε和*2()r x ε经过传播后增大或缩小的倍数。
例1.6.1 用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为 2200±=V （伏特)和1.010±=I （安培),求这个电阻的阻值R ，并估算其绝对误差和相对误差。
解 由欧姆定律，有 V R I
= 可以求出R 的近似值 *22022()10
R ==欧姆 由（1.6.1）可计算*R 的绝对误差：
()
*
**2**1()()()()()()()R R V R V I V I V I I I εεεεε??≈?+?=?-??? 令*220()V =伏，()2V ε≤（伏）；*10I =（安），()0.1I ε≤（安）
。将它们带入上式，即可估算出的绝对误差：
***22
11220()()()20.10.42()10(10)V R V I I I εεε≤?+?≤?+?= 因此，*R 的相对误差**()
0.42()0.0191 1.91%22
r R R R εε=≤== （1.6.1）和（1.6.2）可推广到更为一般的多元函数12(,,)n y f x x x = 中，只要
将函数),,(21n x x x f 在点),,(**2*1n x x x 处作泰勒展开，并略去其中的
)(,),(),(21n x x x εεε 等小量的高阶项，即可得到函数的近似值的绝对误差和相对 误差的估算式分别为：
*1()()()n
i i i f y x x εε=???≈??????∑ （1.6.3） 和 *****1()()()n
i r r i i i x f y x y x εε=???≈??????∑ （1.6.4） 上两式中的各项*()i f x ??和***()(1,2,,)i i
x f i n y x ?=? 分别为各个*(1,2,,)i x i n = 对*y 的绝对误差和相对误差的增长因子。
从（1.6.3）和（1.6.4）可知，误差增长因子的绝对值很大时，数据误差在运算中传播后，可能会造成结果的很大误差。凡原始数据i x 的微小变化可能引起结果y 的很大变化的这类问题,称为病态问题或坏条件问题。
1.6.2 误差在算术运算中的传播
可以利用(1.6.3) 和（1.6.4）对算术运算中数据误差传播规律作具体分析。
（1）加减运算
由(1.6.3) 和（1.6.4）有
11
()n n
i i i i x x εε==??≈ ???∑∑ （1.6.5）
及 ***11
n n i r
i n i i i i x x x ε==??≈ ???∑∑∑ (1.6.6) 由(1.6.5)可知：近似值之和的绝对误差等于各近似值绝对误差的代数和。
两数2x 和1x 相减，由(1.6.6)有
()()()*****121212****1212r
r r x x x x x x x x x x εεε-≈--- 即 ()()()***
**121212****1212
r r r x x x x x x x x x x εεε-≤?+?-- 当**12
x x ≈，即大小接近的两个同号近似值相减时，由上式可知，这时()*12r x x ε- 可能会很大，说明计算结果的有效数字将严重丢失，计算精度很低。
因此在实际计算中，应尽量设法避开相近数的相减。当实在无法避免时，可用变换计算公式的办法来解决。
例1.6.2
1.7349352=
1.7320508=
这样
32.884410-=?
才能达到具有五位有效数字的要求。如果变换算式：
30.01 2.8843101.7349 1.7321
-===?+
也能达到结果具有五位有效数字的要求，而这时
所需的有效位数只要五位，远比直接相减所需有效位数（八位）要少。
例1.6.3 当x 很小时，cos 1x →，如要求1cos x -的值，可利用三角恒等式
21cos 2sin 2x x ??-= ???
进行公式变换后再来计算。同理，也可把cos x 展开成泰勒级数后，按
24
1cos 2!4!
x x x -=-+ 来进行计算。这两种算法都避开了两个相近数相减的不利情况。
（2）乘法运算
由（1.6.3）及（1.6.4）有
()*111n n n
i j i i i j j i x x x εε===≠???????? ?≈ ??? ??? ???????∑∏∏ （1.6.7） 和 ()**11n n r
i r i i i x x εε==??≈ ???∑∏ （1.6.8） 因此，近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和。
当乘数*
i
x 的绝对值很大时，乘积的绝对值误差1n i i x ε=?? ???∏可能会很大，因此也应设法避免。
（3）除法运算
由（1.6.3）及（1.6.4）有
()()
()()()****11112122***22221[]r r x x x x x x x x x x x εεεεε??≈-=- ??? （1.6.9） 和 ()()***1122r r r x x x x εεε??≈- ???
（1.6.10） 由（1.6.10）可知，两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差之差。
又由（1.6.9）可知，当除数*2x 的绝对值很小，接近于零时，商的绝对误差12x x ε?? ???
可能会很大，甚至造成计算机的“溢出”错误，故应设法避免让绝对值太小的数作为除数。
（4）方及开方运算
由（1.6.3）及（1.6.4）有
()()()1*p p x p x x εε-≈ （1.6.11）
及 ()()**p r r x p x εε≈ （1.6.12） 由（1.6.12）可知，乘方运算将使结果的相对误差增大为原值x 的p （乘方的方
次数）倍，降低了精度；开方运算则使结果的相对误差缩小为原值x 的1q
（q 为开方的方次数），精度得到提高。
综上分析可知，大小相近的同号数相减，乘数的绝对值很大，以及除数接近于零等，在数值计算中都应设法避免。
1.6.3 算式误差实例分析
应用上述误差估计的公式，可对例1.3.1中提出的各种算式作出误差估计和分析，从而可以比较出它们的优劣来。结果见表1.6.1。
习 题1
1.下列各数都是对真值进行四舍五入后得到的近似值，试分别写出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数：
（1）*10.024x =（2）*20.4135x =（3）*357.50x =（4）*460000x =（5）*55
810x =? 2.如用级数0!n
x n x e n ∞
==∑来求5e -的值，为使相对差310-<，问至少需取几项？
3.用观测恒星的方法求得某地纬度4502?'''= （读到秒）， 问计算sin ?将有多大误差？
4.正方形的边长约为100厘米，问测量时误差最多只能到多少，才能保证面积的误差不超过1平方厘米？
5. 已测得直角三角形的斜边580.2c =±毫米，一直角边250.1a =±毫米，如图所示。试计算A ∠的近似值，并估算出其绝对误差和相对误差限。
6.已知2()1150y p x x x ==+-,1003
x =,*33x = 计算1003y P ??= ???
及()*33y P =，并求*x 和*y 的相对误差。 7.求方程24010x x -+=的两个根，使它们至少具有四位有效数字（已
知
19.975≈）
。 8.设近似数*x 的绝对误差为ε，当分别计算下列两式时，问误差对计算结果的影响如何？
（1）*11000x y ε±=， （2）*20.001
x y ε±= 9.下列各题怎样计算才合理（即计算结果的精度高）？
（1）1cos1- （四位函数表求三角函数值）；
（2
）ln(30（开方用六位函数表）；
（3）
1cos sin x x
-（其中充分小）； （4）121N N dx x ++?（其中N 充分大）； 10.下面计算y 的公式中，哪一个算得更准确些？为什么？
（1）已知1x <<： (a)11121x y x x -=-++, (b)2
2(12)(1)
x y x x =++； （2）已知1x >>：
(a) y =
(b)y = （3）已知1x <<：(a)22sin x y x
=，(b)1cos 2x y x -=-； （4）已知0,0,p q p q >>>>：
(a)2(y q p =，
(b)y p =-+
11.设0,0,p q p q >>>>，计算
:y p =-+算法(1)
：2,,;s p t s q u y p u ==+==-+
算法(2)
：2,,,.q s p t s q u v p u y v
==+==+=
试分析上述两种算法的好坏。
12.用四位尾数浮点数计算
20
2
1
1
i
i
=
∑，要求分别按递增顺序和按递减顺序相加，所得
结果不同，为什么？哪个更接近真值？
学生成绩分析数学建模优秀范文
2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员 (签名) ： 队员1： 队员2： 队员3：
2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）： 2012年暑期培训数学建模第二次模拟
题目学生成绩的分析问题 摘要 本文针对大学高数和线代，概率论成绩进行建模分析，主要用到统计分析的知识及SPSS软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，以及课程之间的相关性。最后利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 问题一：每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检验，首先应该对数据进行正态分布检验，结论是各个专业的分数都服从正态分布，之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S检验）原理，利用SPSS软件进行单因素方差分析，得出方差分析表，进行显著性检验，最后得出的结论是高数1、高数2、线代和概率这四科成绩在两个专业中没有显著性差异。 问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，以每个专业不同班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。 问题三：我们通过对样本数据进行Spss的“双变量相关检验”得出相关系数值r、影响程度的P值，从而来分析出高数1、高数2与概率论、现代的相关性。 问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和 excel以及matlab软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影响学生成绩的相关因素, 以及大学生如何进行数学课程的学习。 问题一针对每门课程分析两个专业的数学成绩可以通过excel工具得出各门功课的平均值、方差 进行比较分析。 问题二针对专业分析两个专业的数学成绩的数学水平有无明显差异，可以运用平均数、方差进行 比较。并对两专业的数学成绩进行T检验，进一步分析其有无显著性差异。 问题三针对各班高数成绩和线代、概率论成绩进行散点图描述建立一元回归线性模型，然后对模 型进行求解，对模型进行改进。包括分析置信区间，残差等。 关键词：平均值方差 T检验一元回归线性模型置信区间残差 excel matlab
初中学生数学建模能力调查与分析
初中学生数学建模能力调查与分析 （一）调查目的 《全日制义务教育课程标准》指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展”，“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释和应用的过程，使学生获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”。 因此培养学生运用数学知识分析和解决实际问题的能力成为初中阶段数学教学的 首要任务之一，而数学建模教学正是为培养学生解决实际问题能力提供的一种有效途 径。笔者为了了解碧莲学区初级中学学生数学建模能力的现状及存在的问题，选取二所初中八年级各一个教学班学生进行测试和问卷调查，并对调查结果加以整理,以便为开展数学建模教学研究提供较可靠的资料。 （二）调查的对象 碧莲镇中学与大若岩镇中学初二年级的各一个教学班，共96名学生。（三）调查方式 采用数学建模能力测试题（共有3题，每题满分为20分）及数学建模学习状况问卷调查。 （四）学生的测试题及结果分析 测试要求学生在45分钟内完成三道数学建模题，每题满分为20分，要求学生在解答过程中，无论用什么方法解答，无论解答对否，均要写下解题过程或思考过程。 1、测试题 (1)某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去旅游，甲旅行社说:“如果校长买全价票一张，则其余学生可享受半价优待”，乙旅行社说:“包括校长在内全部按全 票价的6折优惠”（即按全票价的60%收费），若全票价为240元， ①设学生数为x，甲旅行社收费为y 甲，乙旅行社收费为y 乙 ，分别计算两家旅行 社的收费（建立表达式）； ②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?
数学建模比赛的选拔问题
数学建模比赛的选拔问题 卢艳阳 王伟 朱亮亮 （黄河科技学院通信系，） 摘要 本文是关于全国大学生数学建模竞赛选拔的问题，依据数学建模组队的要求，每队应具备较好的数学基础和必要的数学建模知识、良好的编程能力和熟练使用数学软件等的综合实力，在此前提下合理的分配队员，利用层次分析法，建立合理分配队员的数学模型，利用MATLAB ，LONGO 工具求出最优解。、 问题一：依据建模组队的要求，合理分配每个队员是关键，主要由团队精神、建模能力、编程能力、论文写作能力、思维敏捷以及数学知识等等，经过讨论分析，确定良好的数学基础、建模能力，编程能力为主要参考因素。 问题二：根据表中所给15人的可参考信息，我们对每个队员的每一项素质进行加权，利用层次分析法选出综合素质好的前9名同学，然后利用0-1规划的相关知识对这9人进行合理分组，利用MATLAB 、LINGO 得到其中一个如下的分 组：'1s 、10s 、4s ；2s 、11s 、14s ；6s 、13s 、8s 问题三：我们将所选出的这9名同学和这个计算机编程高手的素质进行量化加权，然后根据层次分析法，利用MATLAB 工具进行求解，得出了最佳解。由于我们选取队员参考的是这个人的综合素质，而不是这个人的某项素质，并由解出的数据可以看出这个计算机编程高手不能被直接录用。所以说只考虑某项素质，而不考虑其他的素质的同学是不能被直接录用的。 问题四：根据前面三问中的分组的思路，我们通过层次分析法先从所有人中依据一种量化标准选出符合要求的高质量的同学，然后利用0-1变量进行规划，在根据实际问题的约束，对问题进行分析，然后可以得出高效率的分组。
对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测
2012年北京师范大学珠海分校数学建模竞赛 题目：对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的分析与预测 摘要 本文研究的是对自数学建模竞赛开展以来各高校建模水平的评价比较和预测问题。我们将针对题目要求，建立适当的评价模型和预测模型，主要解决对中国大学生数学建模竞赛历年成绩的评价、排序和预测问题。 首先我们用层次分析法来评价广东赛区各校2008年至2011年及全国各大高校1994至2011年数学建模成绩，从而给出广东赛区各校及全国各大高校建模成绩的科学、合理的评价及排序；其次运用灰色预测模型解决广东赛区各院校2012年建模成绩的预测。 针对问题一，首先我们对比了2008到2011年参加建模比赛的学校，通过分析我们选择了四年都参加了比赛的学校进行合理的排序（具体分析过程见表13），同时对本科甲组和专科乙组我们分别进行排序比较。在具体解决问题的过程中，我们先分析得出影响评价结果的主要因素：获奖情况和获奖比例，其中获奖情况主要考虑国家一等奖、国家二等奖、省一等奖、省二等奖、省三等奖，我们采用层次分析法，并依据判断尺度构造出各个层次的判断矩阵，对它们逐个做出一致性检验，在一致性符合要求的情况下，通过公式与matlab求得各大学的权重，总结得分并进行排序（结果见表11）；在对广东赛区各高校2012建模成绩预测问题中，我们采用灰色预测模型，我们以华南农业大学为例，得到该校2012年建模比赛获奖情况为：省一等奖、省二等奖、省三等奖及成功参赛奖分别为5、9、8、8(其它各高校预测结果见表10）。 针对问题二，我们对全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩排序采用与问题一相同的数学模型，在获奖情况考虑的是全国一等奖、全国二等奖。运用matlab求解，结果见表12。 针对问题三，我们通过对一、二问排序的解答及数据的分析，得出在对院校进评价和预测时还应考虑到各院的师资力量、学校受重视程度、学生情况、参赛经验等因素，考虑到这些因素，为以后评价高校建模水平提供更可靠的依据。 关键词：层次分析法权向量灰色预测模型模型检验 matlab
学生成绩分析数学建模优秀范文汇编
学习-----好资料 2012年暑期培训数学建模第二次模拟 承诺书 我们仔细阅读了数学建模联赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。 我们的参赛报名号为： 参赛队员(签名) ： 队员1： 队员2： 队员3： 更多精品文档． 学习-----好资料 2012年暑期培训数学建模第二次模拟 编号专用页 参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：
竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）： 竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：年暑期培训数学建模第二次模拟2012更多精品文档．学习-----好资料
学生成绩的分析问题题目 摘要主要用到统计分析的概率论成绩进行建模分析，本文针对大学高数和线代，软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从SPSS知识及最后利用分以及课程之间的相关性。而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，析结论表明了我们对大学数学学习的看法。每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检问题一：结论是各个专业的分数都服从正态分布，首先应该对数据进行正态分布检验，验，软件进行原理，检验）利用SPSS之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S、进行显著性检验，最后得出的结论 是高数1单因素方差分析，得出方差分析表，高数2、线代和概率这四科成绩 在两个专业中没有显著性差异。以每个专业不同问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。的“双变量相关检验”得出相关系问题三：我们通过对样本数据进行Spss 与概率论、现代的相关、高数2、影响程度的P值，从而来分析出高数1数值r 性。问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门 课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影matlabexcel以及, 响学生成绩的相关因素以及大学生如何进行数学课程的学习。工具得出各针对每门课程分析两个专业的数学成绩可以通过excel问题一门功课的平均值、方差进行比较分析。可以运针对专业分析两个专业的数学成绩的数学水平有无明显差异，问题二用平均数、方差进行检验，进一步分析其有无显著性差异。比较。并对两专业的数学成绩进行T概率论成绩进行散点图描述建立一元回归针对各班高数成绩和线代、问题三 线性模型，然后对模型进行求解，对模型进行改进。包括分析置信区间，残差等。检验一元回归线性模型置信区间 T 关键词：平均值方差 excel matlab 残差 更多精品文档． 学习-----好资料 关键词：单因素方差分析、方差分析、相关分析、 spss软件、更多精品文档． 学习-----好资料 一、问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题： （1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？
数学课程的成绩分析(数模
数学课程的成绩分析(数模大作业)
2012年4月西安电子科技大学学报（自然科学版） Apr.2012 第X卷第X期JOURNAL OF XIDIAN UNIVERSITY Vol.XX No.X 数学课程的成绩分析 摘要：本文讨论了B题中给出的对大学数学课程的成绩分析的一种分析方 法，根据题目中提供的甲乙两专业4门数学学科的成绩，对成绩进行分类汇 总，再通过数理统计的方法进行对成绩的分析，运用Excel、Matlab绘出图 表，直观的分析甲乙专业，各数学学科的一些统计量。再查找数学教育的相 关资料，建立合理的数学水平评价模型。最后建立数学学科之间的相关回归 模型，利用Matlab进行回归检验，从而讨论各个数学学科之间的关系。 关键词：层次分析法统计回归方法一元线性回归数学水平评估模型 1问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题： （1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？ （3）高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况？ （4）根据你所作出的以上分析，面向本科生同学阐述你对于大学数学课程学习方面的看法。2模型假设和符号说明 2.1模型假设 1）甲专业24号同学高数I成绩433，不属于0-100分，所以当无效数据处理，不考虑它的影响。 2）考试成绩反映的是学生的真实水平。 3）高数成绩和线性代数、概率论与数理统计有相关关系。 4）将高数成绩定义为将高数I的成绩和高数II的成绩取平均。 5）两个专业的老师教课水平是一样的。 6）学生本科前的数学水平是相近的。 7）两专业的人数可以真实反应学生水平。 2.2符号说明 x：把高数成绩作为一元线性回归模型的自变量。
最新数学建模-学生成绩问题
题目1 1．某校60名学生的一次考试成绩如下: 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图； （2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。
一、模型假设 1、假设60名同学的成绩记录准确。 2、假设60名同学的成绩服从正态分布。 二、模型的分析、建立与求解 第（1）小题是求60名同学成绩的均值、标准差、极差、偏度、峰度，并画出直方图。根据题目已给的数据用matlab求解，命令分别为：均值：mean(x) 中位数：median(x) 标准差：std(x) 方差：var(x) 偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x) matlab求解过程如下： 1、数据的输入 x=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]； 2、用相应的命令求解 均值：mean(x) ans =80.1000 标准差：std(x) ans = 9.7106 极差：range(x) ans = 44
数学建模——如何正确、合理的评价学生成绩
数学建模——如何正确、合理的评价学生成绩 我们仔细阅读了曲阜师范大学大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们 将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是B/观、合理地评价学生的学习状况 参赛队员：***0710601079（07级应数一班） ***0710601144（07级应数一班） ***0710601002（07级应数一班） 日期 2009 年 5 月 28 日 客观、合理地评价学生的学习状况 本文以学生的四个学期的考试成绩为依据，从考试的排名的估计和排名的方法两个方面对学生的学习成绩进行了探讨并对学生下个学期的考试成绩进行了预测。在文章的前半部分，借助了概率统计、运筹学和决策论的相关知识和理论对学生的学习成绩进行了分析；文章的后半部分运用概率统计的次序统计 量对学生的下个学期的成绩进行了预测。 关键词：平均值、数学期望、方差、标准分数 符号引入：i表示第个i学生； NUM(i,j)表示第个i学生的第j学期成绩； AVE(i)表示第i个学生的四学期成绩平均数； VAR(i)表示第i个学生四学期学习成绩标准差； 客观、合理地评价学生的学习状况 评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生很难起到鼓励作用。 假定四次考试试题难易适当，并且每个学生都发挥出应有水平。 公式简述：
数学建模-数据的统计分析
数学建模与数学实验 课程设计 学院数理学院专业数学与应用数学班级学号 学生姓名指导教师 2015年6月
数据的统计分析 摘要 问题：某校60名学生的一次考试成绩如下： 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；（2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数； 模型：正态分布。 方法：运用数据统计知识结合MATLAB软件 结果：符合正态分布
一． 问题重述 某校60名学生的一次考试成绩如下： 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、偏差、峰度，画出直方图； （2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。 二．模型假设 假设一：此组成绩没受外来因素影响。 假设二：每个学生都是独自完成考试的。 假设三：每个学生的先天条件相同。 三．分析与建立模型 像类似数据的信息量比较大，可以用MATLAB 软件决绝相关问题，将n 名学生分为x 组，每组各n\x 个学生，分别将其命为1x ，2X ……j x 由MATLAB 对随机统计量x 进行命令。此时对于直方图的命令应为 Hist(x,j) 源程序为： x1=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 ] x2=[77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 ] x3=[79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 ]
学生成绩分析数学建模优秀范文讲课教案
学生成绩分析数学建模优秀范文
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2012年暑期培训数学建模第二次模拟 题目学生成绩的分析问题 摘要 本文针对大学高数和线代，概率论成绩进行建模分析，主要用到统计分析的知识及SPSS软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，以及课程之间的相关性。最后利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 问题一：每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检验，首先应该对数据进行正态分布检验，结论是各个专业的分数都服从正态分布，之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S检验）原理，利用SPSS 软件进行单因素方差分析，得出方差分析表，进行显著性检验，最后得出的结论是高数1、高数2、线代和概率这四科成绩在两个专业中没有显著性差异。 问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，以每个专业不同班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。 问题三：我们通过对样本数据进行Spss的“双变量相关检验”得出相关系数值r、影响程度的P值，从而来分析出高数1、高数2与概率论、现代的相关性。 问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 本文针对大学甲、乙两个专业数学成绩分析问题，进行建模分析，主要用到统计分析的知识和 excel以及matlab软件，建立了方差分析、相关分析的相关模型，研究了影响学生成绩的相关因素, 以及大学生如何进行数学课程的学习。
学生成绩分析与课程难易程度模型
学生成绩分析与课程难易程度模型 摘要 为了综合分析学生课程成绩的各项成绩指标，提供合理而有效的教学方式已达到最佳效果是每一个学校重视的首要也是最基本的工作。无数的数据，成百上千的成绩，分析起来成了教师以及学校综合能力的重大难点，成绩统计分析是高校考试质量管理的重要组成。通过对考试的分析，可以从中获取大量的信息，已达到检验教师的教学水平和教学方法以及学生的学习情况，从而制定相应的方案和措施以便提高学校的教学质量。 问题一： 对这些学生和课程的整体情况进行分析比较，可以通过列表或画图的方式比较不同学生之间的平均成绩差异、不同课程之间的平均成绩差异等。如；可以从科目的重要性上将科目分为选修课，必修课。从这个角度来分析每个学生的成绩问题，和学生对课程的重视程度。从而进一步的分析学生成绩。最后得到整体来说这个学期学生的成绩是显著性不同的。具体结果参见本文详细内容。 问题二： 我们先处理整合数据，分别得到每个学生在本学期的总成绩和平均成绩，选修课类学科的平均成绩，必修课类学科的平均成绩，公选课类学科的平均成绩，对三者接着运用相关性加以判定，对平均数和总分的比较来得出本学年得到三门学科之间显著性相关的结论。然后根据关系式分析各门课程的难易程度与课程平均成绩的相关性。 关键词单因素均值分析比较相关性显著性 问题重述 附件<理学院某班2015-2016学年第1学期成绩（Excel表）>中数据给出了河南工业大学理学院某班学生在2015-2016学年第1学期的各门课程成绩。请根据附件数据，解决如下问题。 问题一：对这些学生和课程的整体情况进行分析比较，比如可以通过列表或
画图的方式比较不同学生之间的平均成绩差异、不同课程之间的平均成绩差异等。 问题二：如果各门课程的难易程度完全与课程的平均成绩相关，请写出课程的难易程度与课程的平均成绩之间的关系式（式中变量均以字母方式表示）。如果课程的难易程度还与其他因素有关或完全与课程的平均成绩无关，请写出课程的难易程度与这些影响因素之间的关系式（如果附件中给出的数据不足可自行增补一些调查数据，关系式要以数据为依据，但变量均以字母方式表示）。 综上，就是需要我们解决如下几个问题。第一，显著性问题：不同科目学生成绩的显著性问题第二，相关性问题：判断选修课与必修课相互之间的重要程度。 二、模型假设 1．该学校比较注重学生综合素质的培养，选修课，必修课,公选课三类学科的重要性相同。 2、由题意课程安排主要根据该课程对学生的区分度，不一定符合实际。 三问题分析 问题一：根据所给数据判断不同学期学生成绩是否显著不同。这一问主要是应用方差分析和单因素分析法，方差分析就是通过对试验数据进行分析检验各正态总体的均值是否相等，以判断各因素对试验指标的影响是否显著。因此在判断显著性之前需证明各状态水平分别服从正态分布。 问题二：判断必修课、选修课、公选课之间成绩的相关性。及两两学科之间的相互关系。首先我们要分别整合出学科必修课、选修课、公选课的一组综合指标作为样本，然后通过饼状图分析出必修课、选修课、公选课三者的重要性。 四、模型建立和求解
上学期教学成绩分析
上学期教学成绩分析 在上级领导的关心和帮助下，我这一学期的教育教学工作圆满顺利的完成了。这学期重视计算教学，严格要求，力争学生书写工整、规范。加强基础知识、基本技能训练。注重数与计算、空间与图形的训练。加大学习兴趣的培养。现将本期教学成绩分析如下： 一、基本情况 本班现有学生51人，其中男生26人，女生25人。学生基础差，学习习惯不好，学习兴趣不浓。成绩不理想。 二、试题的主要特点 1、试题突出基础知识与基本技能的考查。 2、注重联系学生的生活实际及社会实践，体现数学的现实性。试卷中有以现实生活中的实际问题和事物为背景来考查数学相关知 识的题目。这些试题都是把数学知识与学生熟悉的生活实际问题结合起来，既体现了数学与实际生活的密切联系，又便于学生联系生活解决问题。 3、注重探究能力的考查，引导学生用数学的眼光观察周围的世界。 4、注重数学建模，强化应用意识。这种试题的选择背景贴近学生生活实际。 三、存在的问题: 1、学生的思维受定势的影响比较严重。 2、学生综合运用知识及分析、判断的能力较差。
四、对今后数学教学工作具体方向 1、要加强自我学习，转变观念。提高教学质量。 2、要多开展同课异构活动，互相学习。 3、要深入了解学生，找准教学的起点。 4、要客观分析教材，优化教学内容。 5、注意目标的可行性，制定明确、具体的教学目标。 6、设计好教学方案，探索合理有效的数学课堂教学。 7、注重数学思想、方法的渗透。在数学教学过程中，一定要重视学法指导，在引导学生自主探究、发现规律的同时，应有意识地提升为方法的指导，并提供适当的模拟练习，使方法有其用武之地，并在经常性的练习中灵活使用各种适当的方法，提高学生的学习成绩。 8、精心设计课堂提问。通过有目的的设计问题，激发学生的学习兴趣，诱发学生产生认知冲突，激起疑点，引发学生解决问题的动机，培养学生的创新意识。 9、练习设计要多样化。课堂练习是促进学生思维发展，培养学生创新意识的有效手段。作为教学内容的巩固提高部分，练习设计应注重思维的层次性和开放性。让学生的思维训练在课堂上得到落实。
最新数学建模-学生成绩问题
精品文档 题目1 1．某校60名学生的一次考试成绩如下: 93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55 （1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；（2）检验分布的正态性； （3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。
精品文档． 精品文档 一、模型假设 1、假设60名同学的成绩记录准确。 名同学的成绩服从正态分布。602、假设 二、模型的分析、建立与求解峰度，极差、偏度、60第（1）小题是求名同学成绩的均值、标准差、matlab求解，命令分别为：并画出直方图。根据题目已给的数据用mean(x)均值：median(x) 中位数：std(x)标准差： var(x) 方差：skewness(x)偏度： kurtosis(x) 峰度：matlab求解过程如下：1、数据的输入x=[93 75 83 93 91 85 84 82 77 76 77 95 94 89 91 88 86 83 96 81 79 97 78 75 67 69 68 84 83 81 75 66 85 70 94 84 83 82 80 78 74 73 76 70 86 76 90 89 71 66 86 73 80 94 79 78 77 63 53 55]；2、用相应的命令求解ans =80.1000 均值：mean(x) ans = 9.7106 std(x) 标准差： ans = 44 极差：range(x) 精品文档． 精品文档 偏度：skewness(x) ans =-0.4682 峰度：kurtosis(x) ans = 3.1529
关于课程关系量化分析的数学模型
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确歹0出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平■性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：05 所届学校（请填写完整的全名）：延安大学 参赛队员（打印并签名）：1.彭瑞 2. ___________ 呼建雪______________________ 3. ___________ 朱培育______________________ 指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）： 日期：2012年8月27日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
关于课程关系虽化分析的数学模型 摘要 本文探讨研究了关丁某高校两个专业四门课程分数、学生学习水平的差异显著性以及课程问相互影响的情况。 首先我们对两个专业的各科成绩分别统计了平■均值、标准差、及格率以及优秀率这些 统计量值，乂根据这些数据作出了特性指标矩阵；然后采用模糊聚类分析中的最优划分法得到了聚类分类结果，得到结论为：两专业的高级程序设计语言分数差异性显著，其他三门科目均没有显著差异。 接着我们根据课程间的联系，采用层次分析法得到各个科目在总成绩中所占的权重，即得到关丁衡量学生学习水平的总成绩模型： y 0.6664x1 0.6090乂角0.3619x3j 0.2323x q 然后利用单因素方差分析法得到专业对学生学习水平影响的显著性0.132 0.05，即两个 专业学生的学习水平无明显差异。 对丁问题（3）,我们直接利用SPSSB件中的回归分析法得到高级程序语言设计、离散数学两门课程学习的优劣会影响到数据结构和数据库原理的学习。 最后，综合以上分析得到对丁专业主干课的学习，我们应该认真学好专业基础课，以便为后续课程的学习打好基础。 关键词： 模糊聚类分析层次分析单因素方差分析回归分析
数学建模心得体会3篇
数学建模心得体会3篇 通过对专题七的学习，我知道了数学探究与数学建模在中学中学习的重要性，知道了什么是数学建模，数学建模就是把一个具体的实际问题转化为一个数学问题，然后用数学方法去解决它，之后我们再把它放回到实际当中去，用我们的模型解释现实生活中的种种现象和规律。 知道了数学建模的几点要求：一个是问题一定源于学生的日常生活和现实当中，了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样学生要有一个尝试，一个探索的过程查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。 实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样的话学生要有一个尝试，一个探索的过程。数学探究活动的关健词就是探究，探究是一个活动或者是一个过程，也是一种学习方式，我们比较强调是用这样的方式影响学生，让他主动的参与，在这个活动当中得到更多的知识。 探究的结果我们认为不一定是最重要的，当然我们希望探究出来一个结果，通过这种活动影响学生，改变他的学习方式，增加他的学习兴趣和能力。我们也关心，大家也可以看到在标准里面，有非常突出的数学建模的这些内容，但是它
的要求、定位和为什么把这些领域加到我的标准当中，你应该怎么看待这部分内容。 数学建模学习心得体会 许校的讲座再次激起了我们对这个曾经的相识思考的热情。 同样一个名词，但在新的时代背景下许校赋予了其更多新的内涵。 首先是对“建模”的理解差异。那时更多的是一种短视或者说应试背景下的行为，“建模”的理解就是给学生一个固定的模式的东西，通过教学行为让学生接受而成为其解决问题的一种工具；而许校的“建模”更多的是一种动态的或者说是一种有型而又不可僵化定型的东西，应该是可以助力学生发展最终可以成为学生数学素养的一部分。 其次，对于如何建模我们可以看到更多不同。过去更多的是一种对数学模型简单重复的强化行为，显得单调而生硬；而许校的“建模”则更多的强调不同层面上引导学生通过“悟”、“辨”、“用”等环节，让学生立体式全方位的理解模型、建立模型，从而避免了过去那种“死模”而将学生“模死”的现象。 许校的“模”，强调应该是一个利于学生可发展的模，可以进入到无意识和骨子里，成为学生真正的数学素养，最终能够跳出模，从而达到模而不模的去形式化境界。 数学建模学习心得（2）： 数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。它给学生再现了一种“微型科研”的过程。数学建模教学有利于激发学生学习数学的兴趣，
数学建模成绩的评定分析
文章题目：数学建模竞赛成绩的评定1 数学建模竞赛成绩的评定 摘要 本文为解决题中所求问题，运用了统计规律及建立了相适应的模型，结合了matlab,excel等软件工具进行分析，补充了题中缺失的数据以及对每个参赛队的成绩进行了分析和排序。文中还对模型进行了适当的评价。 对于问题一，本文先忽略缺失的分数，运用matlab软件对甲，乙，丙三位老师所评的100个分数进行正态性分布检验，再计算出均值，运用均值填补法，并对其进行置信区间检验，证明正确，得到缺失的数据分别为77,80,80。 针对问题二，本文运用了数理及统计知识进行分析，采用均值作为第一指标，方差作为第二指标进行排序，得出了排名表，但由于评阅老师可能会存在主观原因，为了公平起见，本文算出各阅卷老师的权重并相应计算出每个参赛队的加权平均分进行排序。 针对问题三，本文采用绘图的方法得出各阅卷老师评分的大概范围以及方差比较法得出甲老师打分方差最大，即打分较严格，丙老师打分方差最小，即打分较宽松。 对于问题四，由于题中未给出复评的名额，所以文中假设选出15名，本文先运用excel软件找出平均值在80分以上的参赛队共22名，然后再对这22名参赛队的加权平均分和方差进行排名，再取前15名，即39,51,47,66,87,91,64,69,100,86,82,77,97,101,98这十五个队。 关键词:加权平均分权重方差比较法第一指标第二指标
2 一、问题重述 某校一年一度的大学生数学建模竞赛，成绩评定的主要标准为：建模的合理性、结果的正确性、书写的规范性和文字表述的清晰程度；成绩评定的流程为：5位评阅老师分别独立地为每份论文打分，最终依据某种方式对各参赛队进行排序、确定所获的奖项。由于评定标准具有一定的模糊性，加之打分习惯不同，因而各位老师给每个参赛队的分数存在一定的差异。由于某种原因而造成了三位同学的成绩缺失，因此我们需要建立合适的数学模型，以解决以下几个问题： （1）从表中可以发现队序号为9,25,58的三组队员分别缺失甲，乙，丙三位老师所评定的分数，因此需要将表中缺失的数据补齐，并给出补缺的方法及理由。 （2）对这101个参赛队进行排名。 （3）建立模型对5位老师进行分类，评价5位老师中哪位老师打分比较严格，哪位老师打分比较宽松。 （4）由于还会对一部分平均分在80分以上的参赛队进行复评，则需要找出符合进行复评要求的队列。 二、问题假设 1.假设每位老师完全以公平公正的标准为应聘者打分，不存在徇私。 2.假设需要选出15名参赛队进行复评。 3.假设参赛队是否参加复试只与老师对其所打的分有关，和其他因素无关。 三、符号说明 δ方差 ξj各队成绩的平均值 a i各位评阅老师给的平均值 c j各位参赛者的加权平均分 βij五位老师给各位参赛队的评分 四、模型的建立和求解 4.1问题一 此问题我们需要建立适当的数学模型将队序号为9,25,58的三组队员分别缺失的甲，乙，丙三位老师所评定的分数补齐。我们可以先忽略缺失的数据，那么甲乙丙每位老师都打出了100项分数，数据样本足够大。所以可以应用统计规律采用区间估计的思想对本问题求解。 4.1.1问题的分析 首先以甲、乙、丙三个老师各自所打的分数作为各自的样本，例如甲老师评出了100项分数，以这100项数值作为样本甲的观测值，运用matlab软件计算专家甲对剩余100名参赛者的评分的平均值。 我们先不考虑第九组缺失甲老师的分数，则甲老师评出了100项分数，运用matlab软件可计算出其平均值ˉx1为76.55。 同理，不考虑乙老师对25组成绩的缺失，运用matlab软件可求出其剩余评分的平均值ˉx2为79.86.在不考虑丙老师对58组成绩的缺失，可求出其剩余评分的平均值ˉx3。
学生成绩分析----数学建模-2
学生成绩分析----数学建模-2
学生成绩的分析问题 摘要 本文针对大学高数和线代，概率论成绩进行建模分析，主要用到统计分析的知识及SPSS软件，建立了方差分析、单因素分析、相关性分析等相关模型，从而分析两个专业、四门课程成绩的显著性，以及课程之间的相关性。最后利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 问题一：每门课程两个专业的差异性需要进行多个平均数间的差异显著性检验，首先应该对数据进行正态分布检验，结论是各个专业的分数都服从正态分布，之后可以根据Kolmogorov-Smirnov 检验（K-S检验）原理，利用SPSS 软件进行单因素方差分析，得出方差分析表，进行显著性检验，最后得出的结论是高数1、高数2、线代和概率这四科成绩在两个专业中没有显著性差异。 问题二：对于甲乙两个专业分别分析，应用问题一的模型，以每个专业不同班级的高数一、高数二、线代和概率平均数为自变量，同第一问相同的做法，得到两个专业中不同学科之间没有显著差异。 问题三：我们通过对样本数据进行Spss的“双变量相关检验”得出相关系数值r、影响程度的P值，从而来分析出高数1、高数2与概率论、现代的相关性。 问题四：利用上面数据，得到各专业课程的方差和平均值，再通过对各门课程的分析，利用分析结论表明了我们对大学数学学习的看法。 关键词：单因素方差分析、方差分析、相关分析、 spss软件、
一、问题重述 附件是甲专业和乙专业的高等数学上册、高等数学下册、线性代数、概率论与数理统计等三门数学课程的成绩数据，请根据数据分析并回答以下问题：（1）针对每门课程分析，两个专业的分数是否有明显差异？ （2）针对专业分析，两个专业学生的数学水平有无明显差异？ （3）高等数学成绩的优劣，是否影响线性代数、概率论与数理统计的得分情况？ （4）根据你所作出的以上分析，面向本科生同学阐述你对于大学数学课程学习方面的看法。 二、模型假设 1、假设两个班学生的整体程度和基础差异不大。 2、学生和学生之间的成绩是相互独立的，没有影响的。 3、假设样本学生的成绩均来自于实际，由此做出的分析是接近实际，能够反映实际状况的。 三、问题分析 问题一分析：对于每门课程，两个专业的分数是否有显著性差异。首先，应该利用SPSS证明其服从正态分布，之后可以利用SPSS对数据进行单因素分析和方差分析，采用单因素分析法，以专业为方差分析因素，最后比较显著性（Sig），如果Sig>0.05，即没有显著性差异，若Sig<0.05，即对于该门课程，两专业分数有明显差异。 问题二分析：模型同问题一。针对专业分析，两个专业学生的各科数学水平有无明显差异。 问题三分析：判断高数I、高数Ⅱ和线代、概率论之间成绩的相关性。首先我们要分别整合出四门学科的一组综合指标作为样本，然后求出相关系数矩阵。 问题四分析：总结分析。求出各专业科目的平均值和方差，然后进行比较并和前几问相结合，提出合理的建议。 四、模型建立和求解 模型一：单因素方差分析模型 单因素方差分析是固定其他因素，只考虑某一因素对试验指标的影响。建立单因素方差分析模型，用以解决针对每门课程两个专业成绩是否有明显差异和针对专业各科数学成绩是否有明显差异的问题。 问题一求解：
数学建模心得体会3篇
数学建模心得体会3篇 关于《数学建模心得体会3篇》，是我们特意为大家整理的，希望对大家有所帮助。 通过对专题七的学习，我知道了数学探究与数学建模在中学中学习的重要性，知道了什么是数学建模，数学建模就是把一个具体的实际问题转化为一个数学问题，然后用数学方法去解决它，之后我们再把它放回到实际当中去，用我们的模型解释现实生活中的种种现象和规律。 知道了数学建模的几点要求：一个是问题一定源于学生的日常生活和现实当中，了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样学生要有一个尝试，一个探索的过程查询资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。 实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样的话学生要有一个尝试，一个探索的过程。数学探究活动的关健词就是探究，探究是一个活动或者是一个过程，也是一种学习方式，我们比较强调是用这样的方式影响学生，让他主动的参与，在这个活动当中得到更多的知识。 探究的结果我们认为不一定是最重要的，当然我们希望探究出来一个结果，通过这种活动影响学生，改变他的学习方式，增加他的学习兴趣和能力。我们也关心，大家也可以看到在标准里面，有非常突出的数学建模的这些内容，但是它的要求、定位和为什么把这些领域加到我的标准当中，你应该怎么看待这部分内容。 数学建模学习心得体会 刚参加工作那阵子就接触到“建模”这个概念，也曾对之有过关注和尝试，但终因功力不济，未能持之以恒给力研究，也就一阵烟云飘过了一下罢了。 许校的讲座再次激起了我们对这个曾经的相识思考的热情。 同样一个名词，但在新的时代背景下许校赋予了其更多新的内涵。 首先是对“建模”的理解差异。那时更多的是一种短视或者说应试背景下的行为，“建模”的理解就是给学生一个固定的模式的东西，通过教学行为让学生接受而成为其解决问题的一种工具；而许校的“建模”更多的是一种动态的或者说是一种有型而又不可僵化定型的东西，应该是可以助力学生发展最终可以成为学生数学素养的一部分。 其次，对于如何建模我们可以看到更多不同。过去更多的是一种对数学模型简单重复的强化行为，显得单调而生硬；而许校的“建模”则更多的强调不同层面上引导学生通过“悟”、“辨”、“用”等环节，让学生立体式全方位的理解模型、建立模型，从而避免了过去那种“死模”而将学生“模死”的现象。 许校的“模”，强调应该是一个利于学生可发展的模，可以进入到无意识和骨子里，成为学生真正的数学素养，最终能够跳出模，从而达到模而不模的去形式化境界。 数学建模学习心得（2）： 数学建模是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程，也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程，更是一个思想与方法的产生与选择的过程。它给学生再现了一种“微型科研”