1985年全国高中数学联赛试题

1985年全国高中数学联赛试题

第一试

1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题：

甲：a 是大于0的实数；乙：a >b 且a －1>b －

1．那么( )

A ．甲是乙的充分而不必要条件

B ．甲是乙的必要而不充分条件

C ．甲是乙的充分必要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ⑵PQ 为经过抛物线y 2=2px 焦点的任一弦，MN 为PQ 在准线l 上的射影，PQ 绕l 一周所得的旋转面面积为S 1，以MN 为直径的球面积为S 2，则下面结论中，正确的是( )

A ．S 1>S 2

B ．S 1

C ．S 1≥S 2

D ．有时S 1>S 2，有时S 1=S 2，有时S 1

⑶ 已知方程arccos 45－arccos(－4

5

)=arcsin x ，则( )

A ．x=2425

B ．x=－24

25

C ．x=0

D ．这样的x 不存在．

⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程mx +ny 2=0与mx 2+ny 2=1(m ≠0，n ≠0)在同一坐标系中的示意

图，它应是(

)

D.

C.

B.A.

⑸ 设Z 、W 、λ为复数，|λ|≠1，关于Z 的方程－

Z －λZ=W 有下面四个结论：

Ⅰ．Z=－λW +－W

1－|λ|2

是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；

Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )

A ．只有Ⅰ、Ⅱ正确

B ．只有Ⅰ、Ⅲ正确

C ．只有Ⅰ、Ⅳ正确

D ．以上A 、B 、C 都不正确 ⑹ 设0

1，x 3=a x

2，…，x n =a

x n －1

，……，则数列{x n }( )

A ．是递增的

B ．是递减的

C ．奇数项递增，偶数项递减

D ．偶数项递增，奇数项递减 二．填空题(本题满分24分，每小题6分)

⑴ 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 的大小成等比数列，且b 2－a 2=ac ，则角B 的弧度为等于 ．

⑵ 方程2x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3的非负整数解共有 组．

⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ．

⑷ 对任意实数x ，y ，定义运算x *y 为x *y=ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数都有x *d=x ，则d= ．

第二试

(本试共有4题，每题满分15分)

1．在直角坐标系xoy中，点A(x1，y1)和点B(x2，y2)的坐标均为一位的正整数．OA与x轴正方向的夹角大于45°，OB与x轴正方向的夹角小于45°，B在x轴上的射影为B'，A在y轴上的射影为A'，△OBB'

的面积比△OAA'的面积大33.5，由x1，y1，x2，y2组成的四位数x1x2y2y1=x1?103+x2?102+y2?10+y1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程．

2．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是BC中点，F在AA1上，且A1F∶F A=1∶2．求平面B1EF 与底面A1B1C1D1所成的二面角．

1

A

1

3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．

4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54?．

1985年全国高中数学联赛试题 第一试

1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分) ⑴ 假定有两个命题：

甲：a 是大于0的实数；乙：a >b 且a －1>b －

1．那么( )

A ．甲是乙的充分而不必要条件

B ．甲是乙的必要而不充分条件

C ．甲是乙的充分必要条件

D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解：由于a >b 且a －1>b －

1成立时，必有a >0，b <0．故由乙可得甲，故选B

⑵PQ 为经过抛物线y 2=2px 焦点的任一弦，MN 为PQ 在准线l 上的射影，PQ 绕l 一周所得的旋转面面积为S 1，以MN 为直径的球面积为S 2，则下面结论中，正确的是( )

A ．S 1>S 2

B ．S 1

C ．S 1≥S 2

D ．有时S 1>S 2，有时S 1=S 2，有时S 1

则S 1=π(PM +QN )?PQ=π(ρ1+ρ2)2，S 2=π|MN |2=π(ρ1+ρ2)2sin 2θ．

∴ S 1≥S 2，当且仅当θ=90°时等号成立．选C ． ⑶ 已知方程arccos 45－arccos(－45)=arcsin x ，则( )

A ．x=2425

B ．x=－24

25 C ．x=0 D ．这样的x 不

存在．

解：即arcsin x=2 arccos 45－π．设arccos 45=θ，则cos θ=45，sin θ=3

5．

∴ sin2θ=2sin θcos θ=2425．即2θ为锐角．∴2θ－π<－π

2

．故选D ．

⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程与 (m ≠0，n ≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是(

)

D.

C.

B.A.

解：由y 2=－m n x ，若m 、n 均为正数，则此抛物线开口向左，且mx 2+ny 2=1表示椭圆，m

n |<1．

此时抛物线与直线y=－x 的交点横坐标应>－1．故否定B 、D ．

若m 、n 符号相反，则抛物线开口向右．且mx +ny 2=0图形是双曲线，m <0，n >0，m=－n ．故选A ． ⑸ 设Z 、W 、λ为复数，|λ|≠1，关于Z 的方程－

Z －λZ =W 有下面四个结论：

Ⅰ．Z=－λW +－W

1－|λ|2

是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；

Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )

A ．只有Ⅰ、Ⅱ正确

B ．只有Ⅰ、Ⅲ正确

C ．只有Ⅰ、Ⅳ正确

D ．以上A 、B 、C 都不正确 解：原式两端取共轭：Z － λZ =－W ，乘以λ再取共轭：

λZ －|λ|2Z=－

λW ，相加，由|λ|≠1

，得方程有唯

2=2px

一解Z=－λW +－W

1－|λ|2

．选A ．

⑹ 设0

1，x 3=a x

2，…，x n =a

x n －1

，……，则数列{x n }( )

A ．是递增的

B ．是递减的

C ．奇数项递增，偶数项递减

D ．偶数项递增，奇数项递减 解：作y=a x 的图象，在图象上取点x 1，x 2，x 3，x 4，由0

知x 1

二．填空题(本题满分24分，每小题6分)

⑴ 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 的大小成等比数列，且b 2－a 2=ac ，则角B 的弧度为等于 ．

解：由余弦定理，b 2－a 2=c 2－2ac cos B ．故ac=c 2－2ac cos B ．即

a=c －2a cos B ．?sin A=sin(A +B )－2sin A cos B .=sin(B －A )．

∴ 由b >a ，得B >A ．?A=B －A ，?B=2A ，C=4A ． 或A +B －A=π(不可能)

∴ B=27

π．

⑵ 方程2x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3的非负整数解共有 组． 解：x 1=1时，x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=1，共有9解；

x 1=0时，x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7+x 8+x 9+x 10=3，共有9+A 2

9+C 3

9=9+72+84=165解．

∴ 共有174解．

⑶ 在已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有 ．

解：把这些数mod 11得1，4，－3，－1，5，－3，－1，3，－3，－1．

依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1．其中相等的和有7对(3对1，3对2，1对5)，这表示原数列中共有7组相邻数之和能被11整除．

⑷ 对任意实数x ，y ，定义运算x *y 为x *y=ax +by +cxy ，其中a 、b 、c 为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2=3，2*3=4，并且有一个非零实数d ，使得对于任意实数都有x *d=x ，则d= ．

解：ax +bd +cxd=x ．取x=0，代入得，bd=0，但d ≠0，故b=0

a +2

b +2c=3，2a +3b +6c=4．?a=5，c=－1．取x=1代入，得d=4． 经验算：x *y=5x －xy ，对于一切x ，有x *4=5x －4x=x 成立．故d=4．

第二试

(本试共有4题，每题满分15分)

1．在直角坐标系xoy 中，点A (x 1，y 1)和点B (x 2，y 2)的坐标均为一位的正整数．OA 与x 轴正方向的夹角大于45°，OB 与x 轴正方向的夹角小于45°，B 在x 轴上的射影为B '，A 在y 轴上的射影为A '，△OBB '的面积比△OAA '的面积大33.5，由x 1，y 1，x 2，y 2组成的四位数

x 1x 2y 2y 1=x 1?103+x 2?102+y 2?10+y 1．试求出所有这样的四位数，并写出求解过程．

解：x 2y 2－x 1y 1=67．x 1y 2．且x 1，y 1，x 2，y 2都是不超过10的正整数．

∴ x 2y 2>67，? x 2y 2=72或81．但x 2>y 2，故x 2y 2=91舍去．∴ x 2y 2=72．x 2=9，y 2=8．

∴ x 1y 1=72－67=5．?x 1=1，y 1=5，∴

x 1x 2y 2y 1=1985．

2．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F ∶F A=1∶2．求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角．

解：设AB=1，则BE=12，A 1F=13，故B 1E=52，B 1F=103，EF=61

6．

∴ S ?B 1EF =12·54·109－14(54+109－6136)=1

12

46．

而△B 1EF 在平面A 1C 1上的射影面积=1

4．

∴ cos θ=

346，即所求角=arc cos 346

． 又解：设平面B 1EF 与平面AD 1交于FG ，(G 在AD 上)，则由平面AD 1∥平面

BC 1，得FG ∥B 1E ．于是，延长GF 、D 1A 1交于P ，则P 为截面与平面A 1C 1的公共点，故PB 1为所求二面角的棱．AG=A 1H=13，A 1P=16，PB 1=37

6

．

作GH ⊥A 1D 1于H ，则GH ⊥平面A 1C 1．作HK ⊥PB 1，连GK ．则∠GKH 为所

求二面角的平面角．

∵ HK ?PB 1=A 1B 1?HP ．∴ HK=

337

，tan ∠GKH=373．即所求角=arc tan 373．

3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统计，发现除A 市甲队外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问A 市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．

证明：用32个点表示这32个队，如果某两队比赛了一场，则在表示这两个队的点间连一条线．否则就不连线．

由于，这些队比赛场次最多30场，最少0场，共有31种情况，现除A 城甲队外还有31个队，这31个队比赛场次互不相同，故这31个队比赛的场次恰好从0到30都有．就在表示每个队的点旁注上这队的比赛场次．

考虑比赛场次为30的队，这个队除自己与同城的队外，与不同城有队都进行了比赛，于是，它只可能与比赛0场的队同城；再考虑比赛29场的队，这个队除与同城队及比赛0场、1场(只赛1场的队已经与比赛30场的队赛过1场，故不再与其它队比赛)的队不比赛外，与其余各队都比赛，故它与比赛1场的队同城；依次类推，知比赛k 场的队与比赛30－k 场的队同城，这样，把各城都配对后，只有比赛15场的队没有与其余的队同城，故比赛15场的队就是A

城乙队．即A 城乙队比赛了15场．

1

1A K

G

H P F

A

B

C

D

C 1

B 1

A 1D 1

E

4．平面上任给5个点，以λ表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：λ≥2sin54?．

证明 ⑴ 若此五点中有三点共线，例如A 、B 、C 三点共线，不妨设B 在A 、C 之间，则AB 与BC 必有一较大者．不妨设AB ≥BC ．则AC

BC

≥2>2sin54?．

⑵ 设此五点中无三点共线的情况．

① 若此五点的凸包为正五边形．则其五个内角都=108?．五点的连线只有两种长度：正五边形的边长与对角线，而此对角线与边长之比为2sin54?．

② 若此五点的凸包为凸五边形．则其五个内角中至少有一个内角≥108?．设∠EAB ≥108?，且EA ≥AB ，则∠AEB ≤36?，

∴

BE AB = sin(B +E )sin E ≥sin2E sin E

=2cos E ≥2cos36?=2sin54?． ③ 若此五点的凸包为凸四边形ABCD ，点E 在其内部，连AC ，设点E 在△ABC 内部，则∠AEB 、∠

BEC 、∠CEA 中至少有一个角≥120?>108?，由上证可知，结论成立．

④ 若此五点的凸包为三角形ABC ，则形内有两点D 、E ，则∠ADB 、∠BDC 、∠CDA 中必有一个角≥120?，结论成立．

综上可知，结论成立．

A

A

C

B

D

E

C B

A

D

E

B A