次函数知识点总结和题型总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如
2
y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。
这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
2. 二次函数
2
y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题：
例1、已知函数y=(m －1)x
m2 +1
+5x －3是二次函数，求m 的值。
练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
y ax =的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式
y=ax 2+bx+c 则最值为4ac-b
2
4a ）
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。 2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴 6．已知二次函数y=mx 2+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ 。
三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标
()h k ，；
⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
m
c
bx
ax
y+
+
+
=2（或m
c
bx
ax
y-
+
+
=2）
⑵c
bx
ax
y+
+
=2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，c
bx
ax
y+
+
=2变成
c
m
x
b
m
x
a
y+
+
+
+
=)
(
)
(2（或c
m
x
b
m
x
a
y+
-
+
-
=)
(
)
(2）
函数y=ax2+bx+c的图象和性质例题：
1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是。
2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是，顶点坐标是。3．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=1
2
x2－2x+1 ；（2）y=－3x2+8x－2；（3）y=－
1
4
x2+x－4
4、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得
图象的解析式是y=x2－3x+5，试求b、c的值。
5、把抛物线y=－2x2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。
四、二次函数()2
y a x h k
=-+与2
y ax bx c
=++的比较
从解析式上看，()2
y a x h k
=-+与2
y ax bx c
=++是两种不同的表达形式，后者
通过配方可以得到前者，即
22
4
24
b a
c b
y a x
a a
-
??
=++
?
??
，其中
2
4
24
b a
c b
h k
a a
-
=-=
，．
五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，
左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，
关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
六、二次函数2y ax bx c =++的性质
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???
，． 当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
>-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值
244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b
x a
=-
，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ?
??
，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值244ac b a -．
例题：函数y=a(x －h)2的图象与性质 1．填表：
2．试说明函数y=1
2
(x－3)2的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增
减性、最值）。
3．二次函数y=a(x－h)2的图象如图：已知a = 1
2
，OA＝OC，试求该抛物线的解
析式。
二次函数的增减性
1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而；当x<1时，y 随x的增大而；当x=1时，函数有最值是。
2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y 随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为。
3.已知二次函数y=x2－(m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
4.已知二次函数y=－1
2
x2+3x+
5
2
的图象上有三点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
)且
3 1 2 3 ，则y 1 ,y 2 ,y 3 的大小关系为 . 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函 数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a - >，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a - >，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a - <，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴a b x 2- =在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0 总结： 3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 例题：函数的图象特征与a 、b 、c 的关系 1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） >0,b>0,c>0 >0,b>0,c=0 >0,b<0,c=0 >0,b<0,c<0 2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象2如图所示，则下列结论正确的是（） A．a+b+c> 0 B．b> -2a C．a-b+c> 0 D．c< 0 3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论： ①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（） A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤ 4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（） 5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( ) 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图5所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b， a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) 个个个个 7.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= c x (a A B C D 8.反比例函数y= k x 的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大 致为图中的（） A B C D 9.反比例函数y= k x 中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx 的图象大致为图中的（） A B C D 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 例题：函数解析式的求法 一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。 2．已知抛物线过A（1，0）和B（4，0）两点，交y轴于C点且BC＝5，求该二次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。 3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。 4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。 )(x－三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x 1 )。 x 2 5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 =---； y ax bx c y ax bx c =++关于x轴对称后，得到的解析式是2 ()2 y a x h k =---； =-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k 2. 关于y轴对称 2 =-+； y ax bx c =++关于y轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ， 对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物 线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240b ac ?=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的 12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离 21AB x x =- ② 当0?=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0?<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可） 2. 二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 4. 如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于 点C ， 则△ABC 的面积为( ) 5. 已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离 平方等于为 49 25 ，则m 的值为( ) A.－2 6. 已知抛物线y ＝x 2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。 十一、函数的应用 二次函数应用?? ??? 刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点,它们确定图象现；开口、大小由a 断,c 与Y 轴来相见,b 的符号较特别，符号与a 相关联；顶点位置先找见，Y 轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函 数最值见。若求对称轴位置,符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。 例题：二次函数应用 (一）经济策略性 1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数. (1)试求y与x的之间的关系式. (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本） 2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元。 （1）设X天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于X的函数关系式。 （2）如果放养X天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售额为Q元，写出Q关于X的函数关系式。 （2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额—收购成本—费用），最大利润是多少？ 3.某商场批单价为25元的旅游鞋。为确定一个最佳的销售价格，在试销期采用多种价格进性销售，经试验发现：按每双30元的价格销售时，每天能卖出60双；按每双32元的价格销售时，每天能卖出52双，假定每天售出鞋的数量Y（双）是销售单位X的一次函数。 (1)求Y与X之间的函数关系式； (2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润W（元）与销售单价X之间的函数关系式； (3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？