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山东鱼台第一中学2019高三上年末重点考试_数学文

鱼台第一中学2019高三上年末重点考试-数学文

数学(文)

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1.已知集合}{{}

1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则A B =I ( )

A .

}{3,5 B .}{3,6 C .}{3,7 D .}{3,9

2.若条件p :,条件q :652-

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C .充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3.已知向量),1(n a =?,)

2,1(--=n b ?,若a ?与b ?共线.则n 等于( ) A .1 B

C .2

D .4

4.已知

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1sin()43πα-=

,则

cos()

4

πα+的值等于( ) A

.3

B

.—3 C .13

D .—13

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5.已知1,,,a a a a 234都是非零实数,则“1a a a a 423=”是“1,,,a a a a 234”成等比数列的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C. 充要条件

D .既不充分也不必要条件

6.已知三个平面,,αβγ,若βγ⊥,且αγ与相交但不垂直,,a b 分别为,αβ的直线,则( )

A .,//a a αγ??

B .,a a αγ??⊥ C. ,//b b βγ?? D .,b b βγ??⊥ 7.在AB

C ?中,a b c 、、分别是三角A B C 、、的对边,且22sin sin (sin sin )sin A C A B B -=-,则角C 等于( )

A

B

C

D

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A.)()q p ?∧?(

B.)()q p ?∨?(

C.)(q p ?∨

D.p q ∧ 9.已知向量

(2,1),(1,)a b k ==r r

且a 与b 的夹角为锐角,则k 的取值围是( )

A.∞(-2,+)

B

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.(,2)-∞- D .(2,2)- 10.已知2

1F F 、分别是双曲线C (a >0,0b >)的左、右焦点,B 是虚轴的端点,直线1F B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点,线段PQ 的垂直平分

线与x 轴交于点M ,若

则C 的离心率是( )

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11.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,()f x x x 2

=2-,则()f 1=( ) A .-3 B. -1 C.1 D.3

12.已知函数2

()cos()f n n n π=,且()(1)n a f n f n =++,则123100a a a a ++++=L

( )

A . 0

B .100-

C .100

D .10200 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。 13.已知角α的终边上一点的坐标为

)

6

5cos ,65(sin ππ,则角α 的最小正值为 . 14.已知

)1('2)(2xf x x f +=,则=)0('f .

15.已知函数)(x g y =的图象由x x f 2sin )(=的图象向右 平移)0(π??<<个单位得到,这两个函数的部分图象如图 所示,则?= .

16.已知定义在R 的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-,且]2,0[∈x 时,

)1(log )(2+=x x f ,下面四种说法①1)3(=f ;②函数)(x f 在[-6,-2]上是增函数;

③函数)(x f 关于直线4=x 对称;④若)1,0(∈m ,则关于x 的方程0)(=-m x f 在[-8,8]上所有根之和为-8,其中正确的序号 .

三、解答题:本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)

已知p :

112

3

x --≤,q :(1)(1)0(0)x m x m m -+--≤>, 且q 是p 的必要不充分

条件,数m 的取值围。 18.(本小题满分12分)

已知函数

21()cos cos 4442

x x x f x =++

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。 (1)求)(x f 的周期和及其图象的对称中心;

(2)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、,满足,cos cos )2(C b B c a =- 求函数)(A f 的取值围。

19.(本小题满分12分) 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>

的离心率为2

,一条准线:2l x =.

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(1)求椭圆C 的方程;

(2)设O 为坐标原点,M 是l 上的点,F 为椭圆C 的右焦点,过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆D 交于,P Q 两点.

①若PQ =,求圆D 的方程;

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②若M 是l 上的动点,求证:点P 在定圆上,并求该定圆的方程.

20.(本小题满分12分)

已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=, (1)若)(x f 在

?

?

????-∈1,21x 上的最大值为83,数b 的值;

(2)若对任意[]e x ,1∈,都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立,数a 的取值围; (3)在(1)的条件下,设

()()??

?≥<=1

,1

,)(x x g x x f x F ,对任意给定的正实数a ,曲线)(x F y = 上

是否存在两点Q P ,,使得POQ ?是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y 轴上?请说明理由。

21.(本小题满分12分)

如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,四边形ABCD 是矩形,E ,F 分别是AB ,

PD 的中点.若3PA AD ==,

CD =

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(1)求证: //AF 平面PCE ;

(2)求直线FC 平面PCE 所成角的正弦值。

22.(本小题满分12分)

已知函数()ln()x f x e a =+(a 为常数)是实数集R 上的奇函数,函数()()sin g x f x x λ=+是区间[1,1]-上的减函数。

(1)求()g x 在[1,1]x ∈-上的最大值;

(2)若2()1g x t t λ≤++对[1,1]x ?∈-及(],1λ∈-∞-恒成立,求t 的取值围;

(3)讨论关于x 的方程2

ln ()

2x

f x x ex m

=-+的根的个数。

参考答案:

1-5 DBADB 6-10 ABBBB 11-12 AB 13.3

2π; 14.-4; 15.3

π 16.①④

17.由

1

12

3

x --≤ ? 12123x --≤-≤ ? 210x -≤≤

即p 为:[2,10]-

而q 为:[1,1]m m -+, 又q 是p 的必要不充分条件, 即p q ? 所以

12110

m m -≤-??

+≥? ? 9m ≥

即实数m 的取值围为[9,)+∞。 18.(1

)由

1()sin cos 1sin()1

222226

x x x f x π

=++=++,

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)(x f ∴的周期为4π.

sin()0,2263

x x k πππ+==-

得, 故()f x 图象的对称中心为

(2,1),3

k k Z

π

π-

∈. 7分

(2)由,cos cos )2(C b B c a =-得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-,

,cos sin sin cos cos sin 2C B C B B A =-∴

)sin(cos sin 2C B B A +=∴ ,π=++C B A Θ,

,

0sin ,sin )sin(≠=+∴A A C B 且.

3

20,3,21cos ππ<<==∴A B B

1,sin()1,6262226A A π

πππ

∴<+<<+<故函数)(A f 的取值围是3(,2)2

。 19.(1

)由题设:

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2

22c a a c

?=

????=??

,1a c ?=?

∴?=??2221b a c ∴=-=,

∴椭圆C 的方程为:2

2

12

x y += (2)①由(1)知:(1,0)F ,设(2,)M t ,

则圆D 的方程:

22

2(1)()124

t t x y -+-=+

直线PQ 的方程:220x ty +-=,

PQ ∴=

∴=,

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24t ∴=,2t ∴=±

∴圆D 的方程:22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y -++= ②解法(一):设0

(,)P x y ,

由①知:

22

2000

0(1)()124220

t t x y x ty ?-+-=+

??

?+-=?,

即:22

00000020220

x y x ty x ty ?+--=??+-=??,

消去t 得:2200

x y +=2

∴点P 在定圆22x y +=2上. 20.(1)由()32f x x x b =-++,得()()

23232f x x x x x '=-+=--,

令()

0f x '=,得0x =或23.

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13()28f b -=+,24()327f b =+,12()()

23f f ∴->,

即最大值为

133()288

f b -=+=

,0b ∴=. (2)由()()22g x x a x ≥-++,得()

2ln 2x x a x x -≤-.

[]1,,ln 1x e x x ∈∴≤≤Q ,且等号不能同时取,ln ,ln 0x x x x ∴<->即, 22ln x x a x x -∴≤

-恒成立,即2min 2()ln x x

a x x -≤-. 令

()[]()22,1,ln x x t x x e x x -=-,求导得,()()()()

212ln ln x x x t x x x -+-'=-, 当[]

1,x e ∈时,10,ln 1,2ln 0x x x x -≥≤+->,从而()0t x '≥,

()t x ∴在[]1,e 上为增函数,()()min 11t x t ∴==-,1a ∴≤-. (3)由条件,

()32,1

ln ,1

x x x F x a x x ?-+<=?

≥?,

假设曲线()y F x =上存在两点,P Q 满足题意,则,P Q 只能在y 轴两侧,

不妨设

()()()

,0P t F t t >,则

()

32,Q t t t -+,且1t ≠.

Q POQ ?是以O (O 为坐标原点)为直角顶点的直角三角形, 0OP OQ ∴?=u u u r u u u r

,()()

2320t f t t t ∴-++= ()*L ,

是否存在,P Q 等价于方程()

*在0t >且1t ≠时是否有解.

①若01t <<时,方程()*为()()

2

32320t t t t t -+-++=,化简得4210t t -+=,

此方程无解;

②若1t >时,()*方程为(

)

232ln 0t a t t t -+?+=,即()11ln t t

a

=+,

设()()()

1ln 1h t t t t =+>,则

()1ln 1

h t t t

'=++,

显然,当1t >时,()0h t '>,即()h t 在()

1,+∞上为增函数,

()h t ∴的值域为()()1,h +∞,即()0,+∞,

∴当0a >时,方程()*总有解.

∴对任意给定的正实数a ,曲线()y F x = 上总存在两点,P Q ,使得POQ ?是以O (O 为

坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y 轴上. 21.(1)取PC 的中点G ,连结EG ,FG ,又由F 为PD 中点,

则 F G

//CD 2

1

. 又由已知有

.

//,2

1//AE FG CD AE ∴

∴四边形AEGF 是平行四边形. .//EG AF ∴

又 AF 平面PEC , EG .PCE 平面?PCE AF 平面//∴ (2),ABCD PA 平面⊥Θ

.

,,,

EG PCD PCD F FH PC H PCD PCE PC ∴⊥∴⊥=I 平面平面内过作于由于平面平面

故.所成的角与平面为直线PCE FC FCH ∠

= =

14

21

3

32,2,2 6.

2

13,30. 2.

24

P D PF PC CD PAD CPD FH PF ===⊥∴∠=∴==o

由已知可得由于平面

2242

2

21

sin FC CD FD FH FCH FC ∴=+=∴==

∴直线FC 与平面PCE 所成角的正弦值

为 .

22.(1))ln()(a e x f x +=是奇函数, 则)ln()ln(a e a e x x +-=+-恒成立.

.1))((=++∴-a e a e x x

.0,0)(,112=∴=++∴=+++--a a e e a a ae ae x x x x

又)(x g Θ在[-1,1]上单调递减,,1sin )1()(max --=-=∴λg x g

(2)2sin11t t λλ--≤++只需在(]

,1λ∈-∞-上恒成立,

(]2

(1)sin1101.

t t λλ∴++++≥∈∞在-,-恒成立 令),1(11sin )1()(2-≤++++=λλλt t h 则

???≥+++--≤+,011sin 10

12

t t t

22

1sin10,

sin10

t t t t t ≤-?∴-+≥?-+≥?而恒成立1-≤∴t .

(3)由(1)知,

2ln ,)(2

m ex x x

x x x f +-=∴=方程为 令

m

ex x x f x

x x f +-==2)(,ln )(2

21, 2

1ln 1)(x x x f -=

'Θ,

当],0()(,0)(,),0(1

1e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数;

),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数,

当e x =时,.

1)()(1max 1e

e f x f ==

而222

)()(e m e x x f -+-=,

)(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如下图,

∴①当

e

e m e e m 1,12

2

+

>>-即时,方程无解.

②当

e

e m e e m 1,12

2

+

==-即时,方程有一个根. ③当e

e m e e m 1,12

2+

<<-即时,方程有两个根.