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变出精彩,提高效率--以“相似三角形的应用”为例

与其他学科

相比，数学更多

地以“问

题”的形式出

现，所以我们常说“问

题是数学的心脏”.变式训练问题是数学问题的一类，和简单的操练不同，每次训练较之前次有所变化，添加一些新的内容，要求用一些新的技巧.变式教

学是我国数学教学的优良传统，实践证明，它是一种有效的教学策略.下面以一节“相似三角形的应用”的变式问题设计进行探讨.课堂教学问题设计1.教学内容说明本节课是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册“10.7相似三角形的应用”第2课时，教学任务是：了解中心投影的概念和性质；在一定条件背景下构建数学模型，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决中心投影相关问题.问题设计从学习中心投影的概念及相关性质之后开始.

2.问题设计问题：（1）如图1所示，小明身高CD=1.6m ，站在离路灯杆AB 底部6m 的点D 处，画出小明在路灯AB 照射下的影子DE.（2）此时测量出小明的影长DE =2m ，请求出路灯杆AB 的高度.（3）小明继续往前走到点E 处，请求出此时小明的影长.小明的影子变长了还是变短了？变长或变短了多少米？设计说明针对学生直接求解教材原题有困难的情况，设计本题做铺垫，一来分解难度，二来为利用相似三角形知识解决中心投影问题提炼出数学模型，明确问题的本质.在这个数学模型中，有四个量，即灯杆高度、物体高度、影长、物体与灯杆之间的距

离.如图2所示，利用相似三角形的性质得灯杆长物高=物杆距离+影长

影长，四个量知三可求一，可转化为一元一次方程问题求解.后面的各变式问题均围绕该模型展开. 变式1有一路灯杆AB ，小明身高CD =1.6m ，灯光下在点D 处测得自己的影长DE=3m ，你能求出路灯杆AB 的高度吗？

设计说明变式1从原题出发，少

了物杆距离，一次测量只能满足已知两

个条件，知二无法求二，这就引发了认知冲突，启发学生想到二次测量解决问题.题目的变化并没有引起数学模型的变化，只是有两个未知数，从原来的一元方程变成了二元方程.如图3所示，利用相似三角形的性质，得关于灯杆长、物杆距离1的二元一次方程组：变出精彩，提高效率

———以“相似三角形的应用”为例

倪昀倩

江苏苏州市立达中学校215007

［摘要］本文以“相似三角形的应用”为例，围绕课堂教学中的教学内容进行问题

设计和变式设计，通过实践反思归纳出举一反三不可过度、在变式的过

程中引导学生思考、体现教师的主导地位和学生的主体作用等.

［关键词］问题变式；问题设计；效率

图1A B C D

图2

物杆距离影长

物高

灯杆

点光源

图3

灯杆

点光源

物高物高

物杆距离1移动距离影长2

影长1

灯杆长物高

=物杆距离1+影长1

影长1,

灯杆长

物

高=物杆距离1+移动距离+影长2

影长2

变式问题使学生学习时不只停留

于问题的表象，而能自觉地从本质看问

题，同时也能学会比较全面地看问题.

变式2如图4所示，在距离墙20m

处有一路灯AB，AB=9.6m，当身高1.6m

的小明站在距离墙2m处时，请画出他

的影子，并计算他头顶的影子距离墙角

点O的距离.

图4

D O

设计说明变式2投影分地上、墙

上两部分，也是生活中的实际情况.学

生利用“把墙推倒”和“把地面抬高”这

两种方法将问题转化为原来的数学模

型，如图5和图6所示.本题还可以引导

学生自己变式，如墙变化为台阶等.

B D O P

图5

D O

N E

图6

通过变式强化化归转化的数学思

想，而一题多解可以引导学生多渠道地

思考问题，有利于提高学生的学习积极

性，培养参与意识，也能有效地训练学

生思维的创造性.

变式3如图7所示，小明身高1.6m，

路灯AB和PQ的高度都是6.4m，晚上

小明由路灯AB走向路灯PQ，当小明

走到点D时，发现身后他影子的顶部

刚好接触到路灯AB的底部，当他向前

再步行8米到达点F时，发现身前他影

子的顶部刚好接触到路灯PQ的底部.

（1）证明：BD=FQ；（2）求两路灯之间的

距离.

设计说明本变式注重解题的技

巧，如第（1）题在说明线段相等时，只

要将两线段的比

FQ和

BD分别看成

一个整体，通过

=PQ

CD等量代换即

可得到相等.

在变式训练中，有许多是解题方法

的训练，数学的价值不仅要建立数学模

型、理解数学概念和数学定理的意义，

数学的解题方法和基本技巧也是训练

思维的重要手段，离开了常规的解题

变式训练，也就把数学真谛的另一半丢

掉了.

3.实践反思

变式是通过变更对象的非本质特

征，变更观察事物的角度或方法，突出

对象的本质特征，突出那些隐藏的本质

要素.

对数学而言，变式的形式主要包

括：（1）变换解题方法.（2）对例题、习

题的变化或引申，比如将问题一般化、

特殊化，改变条件、结论或互换条件结

论等.（3）变换问题的呈现方式，如改

变题目的背景、题型等.（4）改变数字、

符号.

变式的目的是为了更好地凸显知

识的本质属性，帮助学生更好地理解、

掌握知识，达到举一反三、触类旁通的

效果，提高思维能力.

（1）举一反三不可过度

数学问题变式教学通过水平变式

题的适当“重复”，同时通过垂直变式题

的恰到“突破”，使得学生思维得以尽情

发散，学生分析问题、解决问题的能力

得以进一步提高，而水平变式题“重复”

的量和垂直变式题“突破”的度的把握

并不简单，是进行数学问题变式教学最

值得研究的一个问题.

笔者在实践本课例时，第一次授课

对象为本校艺术班学生（学生整体学习

水平较高），变式3后还做了如下拓展：

小明站在D处时的另一个影子的长为

多少？再往PQ走1m，此时两个影子的

长又分别是多少？观察两处两个影长之

间的数量关系，你有何新发现？你能用

数学道理说明吗？大部分学生能自己发

现结论，并尝试证明，但第二次在普通

班授课时，只有四分之一的学生发现结

论并无法证明，那么，面对这群授课对

象，此处的变式已经过度，反而失去了

原有的意义.

（2）在变式的过程中引导学生思考

解决本课例原题的3个变式问题

时，教师重点引导学生透过实际问题发

现本质.首先根据题目画出简图，通过

添加辅助线呈现点光源照射下的基本

图形以及模型，再结合已知数据列出方

程解答.其中得到基本模型是解决问题

的关键，也是难点所在.实际教学中反

映，学生能轻松处理变式1，至此教师

应再次明确本节课的主题，在处理接下

来的两个变式时学生就能围绕学习主

题添加辅助线.通过适量的变式，学生

能掌握适当难度的此类题型.

（3）体现教师的主导地位和学生的

主体作用

教师要命题，要指导学生解题，要

组织学生展示解题的结果和进行讨论

辨析，还要对数学知识和数学思想方

法进行总结；而学生要参与解题、展

示，参与辨析正误，他们中的每一个人

都有充分的发言机会，以表达各种不

同的想法和意见.最后，问题的解决要

由学生亲自去完成.这样，学生才能真

正成为学习的主人，才能提高课堂教学

效益.

4.进行变式问题训练的注意点

进行问题变式可分为以下步骤：原

题讲解清楚，挖出问题本质，而且学生

能够内化；在逐步展开的变式中，学生

练习，理清思路，进一步理解问题本

质；教师带领学生弄清变式与原题的

不同点与本质相同点，渗透变中不变

的思想；最后通过原题与变式完善知识

体系.

结合教学实践及对实践的反思，笔

者提出在初中数学课进行变式问题训

练要注意以下几点：

（1）源于课本，高于课本

课本的例、习题等都是专家精心设

计和挑选的精品，我们要充分利用课图7

B Q

C E

D F

级

.如学生做出第一

题，那么是一星级，

做

出第二题

是二

星级，以此类推.通过

这种争星级的活动，不但能使学生有充

分的作业选择权，而且能调动学生完成

作业的积极性.

数学作业批改的多元化

当前学生做作业、教师批作业这两

个独立的活动没有形成一种较好的互

动，那如何改革作业批改这一环节呢？

1.面批

我在平时的作业批改过程中经常

会叫几位学生当面进行批改，发现做错

时不会一拍砖地将其否定，而是会故意

顺着学生的解题思路下去，并说：“咦，

这样的解法你是怎么想到的？做到这一

步可以吗？根据什么得出来的呢？是不是

有疏漏的地方呢？可以从其他角度去思

考吗？”通过这种方法与学生一起找出

问题的所在，并与学生一起解决问题.

这种师生平等交流对话的批改方式，充

分地体现了以学生为本、师生互动的一

种教学活动，这样能很好地培养学生养

成良好的学习习惯，教会学生掌握知识

的技巧，培养学生解决问题的能力.

2.学生批

学生个体有差异性，成绩有好也有

坏，可以分批次分时间地上交作业，比

如成绩好的学生先交，基础稍差的学生

后交，这样教师可以先将一部分学生

的作业及时批改，并每天叫几位作业

已批改好的学生参与到作业批改的活

动中.这样做，一方面减轻了教师批改

作业的负担，另一方面促使学生在批改

作业的同时，看到其他同学的错误或者

其他同学的不同解法，达到一种对比

学习的形式.如果有不同的解法，可以

与老师交流、分享，这样，作业批改就

成为学生与教师共同参与的活动，在

这样的活动中能很好地将“教”与“学”

融为一体.

3.情批

一堂课下来，学生对于这节课或多

或少都有自己的疑惑与想法，但下课铃

声一响，教师往往书本一夹就走了，课

后与学生的交流甚少.为了克服这一弊

端，我尝试着让学生在作业结尾处夹上

小纸条，纸条内可以让学生自己在完成

作业之后，根据自己不同的情况写上一

些对老师的话，可以是对于本节课的疑

惑，也可以是本次作业的感触，甚至可

以是自己对老师的要求和建议.经过实

践，学生对于参与小纸条的活动显得非

常积极，他们有的提出课堂上例题的全

新观点，有的提出丰富多样的解题方

法，有的则将自己的疑问直接提到小纸

条上，还有很多人把平时不敢当面同老

师说的心里话通过小纸条向我娓娓道

来，而我在批改作业的同时也会将他们

的小纸条一一答复，并且乐此不疲，因

为我能多方面地了解学生的思想动态，

我享受着师生间的这种无声交流.小纸

条当中所体现出的学生的期待与真诚、

教师的教诲与激励，使得师生在课堂外

也能很好地互动，这也为师生之间的沟

通架起了一座桥梁，成为作业本当中一

道靓丽的风景线.

数学作业习惯的优化

一个学生取得良好的学习成绩，并

非完全取决于其智力，特别是对于农村

初中的学生来说，更是如此，因此培养

学生良好的作业习惯，也是提高农村初

中数学作业实效性的一个基本保障.我

主要从以下几方面加以入手：首先是规

范书写，培养学生书写清洁的良好习

惯；二是独立思考，提倡在独立思考的

基础上可与其他同学共同探讨；三是认

真细致，特别是在审题和运算上加以突

出；四是培养学生运用数学思想的习

惯，如转化思想、数形结合思想、分类讨

论思想、方程思想等，它们是帮助学生

进行思考的一个很好的载体；五是培养

验算（打草稿）的习惯，且要求保持草稿

的整洁，并严格控制计算器的使用权限.

在以学生发展为本、实施素质教育、

深化课改的今天，在基础薄弱的农村教育

面前，我们必须优化数学作业，提高数学

作业的实效，使之符合学生的最近发展区，

提升学生的数学基础，同时为学生的可

持续发展服务.“教者有心，学者得益.”我

们必须在实践中探索，去挖掘更新、更多

的好方法以精心设计，尽量让作业“题目

新颖有趣”“形式灵活多样”“内容丰富多

彩”，从而使学生游出题海，在兴趣盎然

中巩固知识和培养能力，变“厌学”为“乐

学”，变“要我学”为“我要学”，从而促进农

村中学生“全面、持续、和谐的发展”.本，选准具有示范性、发散性、重点突出

的典型问题，挖掘其精神实质进行一题

多变.

（2）循序渐进，有的放矢

变式要针对教学目标和所教学生

的学情，由易到难，有梯度地展开，不可

一步到位.针对不同的授课调整变式

教学服务的对象.例如，新授课的习题

或概念变式应服务于本节课的教学目

的；习题课的习题变式适当渗透一些

数学思想和方法；复习课的习题变式不

但要渗透数学思想方法，还要进行纵向

和横向的联系.

（3）把握变式的“度”与“量”

由于所教内容不同，所教学生层

次不同，变式的“量”和“度”在教学中

要做精心设计，同时结合课堂教学进

行适当地调整与改变.过多、过难都

不可取，关键要“精”，要有典型性和

代表性.

（4）提倡学生参与变式

问题变式并不是教师的“专利”，只

要是学生能够引申的，教师绝不包办代

替；学生引申有困难的，可在教师的点

拨与启发下完成.

（5）注意适用范围，培养严谨思维

在学习定理、公式的教学过程中，

运用变式教学可以明确公式、定理的

条件、结论、适用范围和注意事项等关

键之处，让学生深入理解定理、公式的

本质.

变式教学可以让教师有目的、有意

识地引导学生从“变”的现象中发现“不

变”的本质，从“不变”的本质中探究

“变”的规律.只有组织合理的变式才能

真正有效地促进学生的有意义的主动

学习，才能帮助他们构建良好的知识结

构，发展他们灵活的问题识别能力和问

题解决能力，才能真正提高课堂效率.（上接第12页）

相似三角形全讲义(教师版)

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形 1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或 n m b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 d c b a = 4、比例外项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。 5、比例内项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。 6、第四比例项：在比例d c b a = （或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。 8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）

《相似三角形的应用举例》中考真题

相似三角形的应用举例 1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 2. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直. 如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（） A.600m B.500m C.400m D.300m 【答案】B 3. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高， B C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在B C 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，A D 与HG 的交点为M. (1) 求证：;AM HG AD BC (2) 求这个矩形EFGH 的周长.

【答案】 (1) 解：∵四边形EFGH 为矩形 ∴EF∥GH ∴∠AHG=∠ABC 又∵∠HAG=∠BAC ∴ △AHG∽△ABC ∴ ;AM HG AD BC = （2）由（1）得 ;AM HG AD BC =设HE=x ，则HG=2x ，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得40 23030x x =-，解得，x=12 ， 2x=24 所以矩形EFGH 的周长为2×（12+24）=72cm. 4. （2011上海，25，14分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP = 1213 ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．图1 图2 备用图【答案】（1）∵∠ACB =90°，∴AC ． ∵S =12 AB CP ??=1 2 AC BC ??, ∴CP =AC BC AB ?=403050 ?=24．在Rt△CPM 中，∵sin∠EMP =1213 ， ∴1213CP CM =．

相似三角形的综合应用(提高)

相似三角形的应用【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算． 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．【知识回顾】一、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等．（2）相似三角形的周长比等于相似比．（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方．．．．．．．（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比．二、相似三角形的应用: 1、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； 2、利用三角形相似，求线段的长等 3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度．如求河的宽度、求建筑物的高度等．【典型例题】例1：如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？【同步练习】如图，△ABC 是一块三角形余料，AB=AC=13cm ，BC=10cm ，现在要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在△ABC 的边上，其余两个顶点分别在三角形另外两条边上．试求正方形的边长是多少？例2：阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度” 活动中，某数学兴趣小组的4名同学选择了测量学校里的四棵树的高 A B C Q M D N P E

度．在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作：小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如图1）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图2），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图3），测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，落在地面上的影长为4.4米．小明：测得丁树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如图4）．身高是1.6m 的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2m ．（1）在横线上直接填写甲树的高度为米．（2）求出乙树的高度（画出示意图）．（3）请选择丙树的高度为（） A 、6.5米 B 、5.75米 C 、6.05米 D 、7.25米（4）你能计算出丁树的高度吗？试试看．【同步练习】如图，有一路灯杆AB(底部B 不能直接到达)，在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己得影长FG ＝4m ，如果小明得身高为1.6m ，求路灯杆AB 的高度．图1 图2 图3 图 4

相似三角形的应用习题精选

25.6相似三角形的应用 1．为解决楼房之间的挡光问题，某地区规定：两幢楼房之间的距离至少40米，中午12时不能挡光，如图，某旧楼的一楼窗台高1米，要在此楼正南方40米处再建一幢新楼，已知该地区冬天中午12时阳光从正南方照射，并且光线与水平线的夹角最小为30，在不违反规定的情况下，请问新建楼房最高多少米？ 2．如图，Rt ABC ?为一铁板余料，B=90,BC=6cm,AB=8cm ∠，李师傅要把它加工成正方形小铁板，请你帮李师傅设计加工方案并计算出铁板的边长，再从中选择边长较大的一种加工方案。 3．（1）如图①四边形DEFG 为ABC ?的内接正方形，求正方形的边长；（2）如图②，三角形内有并排的两个相等的正方形，他们组成的矩形内接于ABC ?，求正方形的边长；（3）如图③三角形内有并排的三个相等的正方形，他们组成的矩形内接于ABC ?，求正方形的边长；（4）如图④，三角形内有并排的n 个相等的正方形，他们组成的矩形内接于ABC ?，请写出正方形的边长。

4．如图，陆涛为了测一铁塔的高度，他在自己与铁路间的地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记O ，然后他看着镜子来回移动，直至看到铁塔顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，这时，他测得AO=3m ，OB=27m,又知他身高CA=1.75m,请你帮他算出铁塔DB 的高度。参考答案： 1．11.24米 2．解：如图，有两种加工方案，图（1）中，EF//BC AEF=B=90A=A ∴∠∠∴∠∠，。， AEF ?∽ABC ?， AE EF AB BC ∴=。设正方形边长为x ，其中 8x x 24x (cm)867-==。图（2）中，ED//AC, BDC ∴?∽BCA ?，作BH ⊥AC 于H 交DE 于M ，其中BM ⊥DE ， DE BM ,AC BH ∴=设正方形边长为x ，其中x BM ,AC BH ∴= 22AC=AB 10, AB BC 8624BH =,AC 105 ==??==

《相似三角形的应用》教案

27.2.3 相似三角形的应用（王军）一、教学目标 1．核心素养通过学习相似三角形的应用举例，初步形成基本的推理能力和应用意识．2．学习目标进一步巩固相似三角形的知识，学会用相似三角形知识解决不能直接测量的物体的长度或高度等一些实际问题． 3．学习重点运用相似的判定和性质定理解决实际问题． 4．学习难点灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务1 阅读教材P39-40,思考：如何测量不能到达顶部的物体的高度？任务2 阅读教材P39-40,思考：如何测量不能直接到达的两点间的距离？任务3 阅读教材P40-41,思考：什么是视点、视线、仰角、俯角？什么是盲区？2．预习自测 1.测量不能到达顶部的物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物高与影长______或利用相似三角形来解决. 2.求不能直接到达的两点间的距离，关键是构造___________,然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离. 3.如图，小明测量某广场旗杆的高度，他从A走1.8m到C 处时，他头顶的影子正好与点A重合.已知小明身高1.58m，并测得BC＝7.2m，则旗杆的高度是( ) A．8m B．7.9m C．7.5m D．7.2m （二）课堂设计 1．知识回顾 1.三角形相似的判定方法：

（1）定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似； (3)判定定理1(边边边)：三边对应成比例，两三角形相似； (4)判定定理2(边角边)：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（5）判定定理3(角角)：两角对应相等，两三角形相似；（6）直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似. 2.相似三角形的性质：（1）相似三角形对应角相等、对应边成比例. （2）相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比. 相似三角形对应线段之比等于相似比. （3）相似三角形的周长之比等于相似比. （4）相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 2．问题探究问题探究一如何测量不能到达顶部的物体的高度？重点、难点知识★▲ ●活动1 探究利用三角形相似测量物高据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度. 小组合作：自学课本第39页，例题4----测量金字塔高度问题。例：如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3m，测得OA为 201m，求金字塔的高度BO. 怎样测出OA的长？

相似三角形中考复习知识点题型分类练习

相似三角形一、知识概述 1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。 2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形． 4.相似三角形的基本性质 ①相似三角形的对应边成比例、对应角相等． ②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 ③相似三角形的周长比等于相似比 ④面积比等于相似比的平方温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 5. 相似三角形的判定定理 ①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似； ②三边对应成比例的两个三角形相似； ③两角对应相等的两个三角形相似； ④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路： ①条件中若有平行，可采用判定定理1； ②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例； ③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必

相似三角形的应用举例

27.2.2相似三角形应用举例教学目标: 1．进一步巩固相似三角形的知识． 2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题）等的一些实际问题． 3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．重点、难点 1．重点：运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度． 2．难点：灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．一、知识链接 1、判断两三角形相似有哪些方法? 2、相似三角形有什么性质？二、.探索新知 1、问题1：学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？ 2、在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例练习：（1.）一根1.5米长的标杆直立在水平地面上,它在阳光下的影长为2.1米；此时一棵水杉树的影长为10.5米,这棵水杉树高为( ) A.7.5米 B.8米 C.14.7米 D.15.75米

（2.）在某一刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的高为60 米,那么高楼的影长是多少米? 3. 世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家，叫什么金字塔？胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的４个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”，这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗？ 3、例题讲解例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．（思考如何测出OA的长？）分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解： 4、课堂练习在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米? （在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）

相似三角形的应用精选练习题

1．（2015?兰州模拟）如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度，测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长线交AB 于点G ；使斜边DE 所在的直线经过点A ．测得边DF 离地面的高度为1m ，点D 到AB 的距离等于7.5m ．已知DF=1.5m ，EF=0.6m ，那么树AB 的高度等于 m 2．（2015秋?涞水县期末）如图是一个照相机成像的示意图，如果底片AB 宽40mm ，焦距是60mm ，所拍摄的2m 外的景物的宽CD 为 m 3．（2015?蓬溪县校级模拟）小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）． 4．（2015?南漳县校级模拟）小颖测得2m 高的标杆在太阳下的影长为1.2m ，同时又测得一棵树的影长为3.6m ，请你帮助小颖计算出这棵树的高度． 5．（2016春?滨海县校级月考）如图，小华在晚上由路灯A 走向路灯B ．当他走到点P 时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A 的底部；当他向前再步行12m 到达点Q 时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B 的底部．已知小华的身高是1.6m ，两个路灯的高度都是9.6m ，且AP=QB ．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B 的底部时，他在路灯A 下的影长是多少？ 6．（2015?邵阳）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D 到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度． 7．（2016春?利川市校级月考）如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件PQMN ，使正方形PQMN 的边QM 在BC 上，其余两个项点P ，N 分别在AB ，AC 上．求这个正方形零件PQMN 面积S ． 8．（2015?陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ 移动，如图，当小聪正好站在广场的A 点（距N 点5块地砖长）时，其影长AD 恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B 点（距N 点9块地砖长）时，其影长BF 恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC 为1.6米，MN ⊥NQ ，AC ⊥NQ ，BE ⊥NQ ．请你根据以上信息，求出小军身高BE 的长．（结果精确到0.01米） 9．（2015秋?滕州市校级期末）如图，九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD=3m ，标杆与旗杆的水平距离 BD=15m ，人的眼睛与地面的高度EF=1.6m ，人与

相似三角形在实际生活中的应用上课讲义

相似三角形在实际生活中的应用

相似三角形在实际生活中的应用【知识点击】 1、如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过，那么这样的两个图形就称为位似图形。此时的这个点叫做，相似比又称为．注：位似图形作为一种特殊的相似图形，是最重要的图形之一．但相似图形未必都能够成位似关系．所谓位似图形，是指两个图形不仅是相似图形，而且___________________，此时的这个点叫做位似中心，相似比又称为_____________．位似图形具有相似图形的所有性质，利用位似的方法可以将一个多边形放大或缩小． 2、相似多边形的性质_____________________________________________________ 【重点演练】知识点一、位似图形例1、如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点. （1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1︰2；（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）例2、如图3，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长的比值是．

B′ A′ -1 x 1 O -1 1 y B A C 标准对数视力 0.1 4.0 0.12 4.1 0.15 4.2 变式训练： 1.视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E ”之间的变换是（） A ．平移 B ．旋转 C ．对称 D ．位似 2. 如图，正方形OEFG 和正方形ABCD 是位似形，点F 的坐标为（1，1），点C 的坐标为（4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是． 3、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（） A ．1 2 a - B ．1(1)2 a -+ C ．1 (1)2 a -- D ．1 (3)2 a -+ 图3 O A B C D E A ′ B ′ C ′ ′ E ′ y x A B C D F E G O

相似三角形性质及其应用练习题

相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。考查重点与常见题型 1．相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如：若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， 2．考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如：如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8，则AB=--------，CD=---------， AD=---------- ，BD=-----------。， 3．综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。预习练习 1．已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（） 2．有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2 3．有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个三角形的周长为----------，面积是------------- 4．两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ，则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5．如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在斜边上的射影之比------------- 考点训练 1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（）（A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶ 5 （D ）不能确定 2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（）（A ）AD ? BD=CD 2 （B ）AC ?BD=CB ?AD （C ）AC 2 =AD ?AB （D ）AB 2 =AC 2 +BC 2 4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG GA 的比值是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）8

相似三角形详细讲义

知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：

BC DE // ， ADE ∽ABC ．相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ．三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：（1）（AD ）2=BD ·DC ，（2）（AB ）2=BD ·BC ，（3）（AC ）2=CD ·BC 。证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即（AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2，即（AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。这就是勾股定理的结论。判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若

《相似三角形应用举例》习题

《相似三角形应用举例》习题一、选择题(每小题5分，共25分) 1．如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB ⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得B E＝20m，C E＝1 0m，CD＝20m，则河的宽度AB等于( ) A．60m B．40m C．30m D．20m 第1题图第2题图 2．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，B P＝1.8米，P D＝12米，那么该古城墙的高度是( ) A．6米B．8米C．18米D．24米 3．身高1.6米的小芳站在一棵树下照了一张照片，小明量得照片上小芳的高度是1.2厘米，树的高度为6厘米，则树的实际高度大约是( ) A．8米B．4.5米C．8厘米D．4.5厘米 4．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为( ) A．5.5m B．6.2m C．11m D．2.2m 5．如图，身高1.6m的小华站在距路灯5m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5m，则路灯的高度AB为( ) A．5m B．4.9m C．4.8m D．4.7m

第4题图第5题图二、填空题(每小题5分，共25分) 6．在同一时刻太阳光下，身高1.5m的小强影长是0.9m，旗杆的影长是10.8m，则旗杆的高为m． 7．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外任选一点C，连接AC、BC分别取其三等分点M、N量得MN＝28m．则AB的长为m． 8．如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7m 1.6m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则B F的长度为m．第7题图第8题图 9．如图，已知零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，O C＝O D)测量零件的内孔直径AB．若O C:O A＝1:2，且量得CD＝12mm，则零件的厚度x＝_______ mm． 10．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一组标杆、皮尺，设计了如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A标杆顶端F树的顶端E同一直线上，此同学眼睛距地面1.6m标杆长为3.3m且BC＝1m，CD＝4m，则E D＝m．第9题图第10题图三、解答题(共50分) 11．(10分)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，PM＝1.2m，MN＝0.8m，求木竿PQ的长度．

《相似三角形》最全讲义(完整版).docx

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形 1?图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形,或者就说是相似性。注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位?用、颜色、大小无关。 ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括?立体图形相似的情况。 ⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的. ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形. 3?相似多边形的性质:如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。注意:当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1. 知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a. b的长度分別是m、n,那么就说这两条线段 a _ m 的比是a： b = m： n （或〃n） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a： b屮。a叫做比的前项，b叫做比的后项。说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。兰_ ￡ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如芦° a _ ￡ 4、比例外项：在比例“ d（或a： b=c： d）中a、d叫做比例外项。 a _ c 5、比例内项：在比例〃〃（或a： b = c： d）中b、c叫做比例内项。 a _ c 6、第四比例项：在比例〃d（或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例项。 7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为U（或a:b=b:c时，我们把b 叫做a和d的比例中项。 &比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长

《相似三角形应用举例(1)》教学设计

《相似三角形应用举例（1）》教学设计福报学校黄世辉一、教学目标 1、进一步巩固相似三角形的判定方法和基本性质. 2、能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的高度和宽度等实际问题. 3、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力. 二、教学重难点重点：运用三角形相似计算不能直接测量物体的高度和宽度．难点：如何把实际问题抽象为数学问题．三、教学过程（一）知识回顾 1、回顾相似三角形的概念及判定方法. 2、复习“相似多边形对应角相等、对应边的比相等”性质. （二）提出问题利用三角形的相似，如何解决一些不能直接测量的物体的长度问题？（学生小组讨论）师生归纳：“相似三角形对应边的比相等” 四条对应边中若已知三边则可求第四边. （三）小试牛刀—测量物高

1、例题探究：（教材第48页例3）据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图1，如果木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO ．（思考如何测出OA 的长？）师生活动：学生小组讨论，师生共同交流，画出示意图，通过观察示意图，使学生建立起相似图形的几何直觉，并能明确表述求OA 的方法中蕴含的数学知识. 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．解：太阳光是平行光线，即B A ∥ED, ∴∠BAO =∠EDF. 又∠AOB =∠DFE=90°， ∴△ABO ∽△DEF. ∴BO OA EF FD =， 20121343 OA EF BO FD ??===. 因此金字塔的高度为134m. 2、换式练习：（教材第50页练习1）在某一时刻，测得一根高

《相似三角形的应用》练习题1

3.5 相似三角形的应用（1）【知能点分类训练】知能点1 测量问题 1．在一张比例尺为1：30 ?000?的地图上，?一多边形地区的周长为70cm，?面积为340cm2，那么该地区的实际周长为______km，面积为_______km2． 2．一个三角形的三边长分别为9cm，10cm，18cm，另一个与它相似的三角形的最长边为6cm，则另两条边的边长为________． 3．某一时刻量得电线杆的影长为2.7m，而垂直于地面的1m?高的小树的影长为0.3m，则电线杆的高为________． 4．有两块相似的多边形的菜地，两较短边的比为2：3，?经测量较小的菜地面积为820m2，则另一块菜地的面积为_________． 5．AB是斜靠在墙上的梯子，梯脚B距墙是1.5m，梯子上一点C到墙的距离是1.2m，BC长为0.5m，则梯子AB的长为______m．知能点2 设计问题 6．设离小孔M 20cm处有一支长为16cm的蜡烛AB，经小孔M成像，在小孔M后面30cm 的屏幕上所成像A′B′的长为_________cm． 7．小明打网球时要使球恰好能打过网，而且落在离网5m的位置上，则球拍击球的高度h应为（）． A．2.7m B．1.8m C．0.9m D．6m 8．把一根长50cm的细铁丝截成两段，把每段折为一个等边三角形，两个等边三角形的高的比为3：2，则它们的边长分别为________和________． 9．比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使转动点固定在所要求的刻度上，如在刻度4上，然后张开两脚，?使比例规的两脚分别放在线段a的两个端点上，这时比例规的另外两个脚的端点所代表的线段就是线段a长的1 4 ，你知道为什么吗？【综合应用提高】 10．在某时刻1.6m高的人的影长为2m，此时距墙2m远的大树的影子落在墙上的部分为1m，求这棵树的高度． 11．一条河的两岸可以看做平行，在河的这岸每隔4m有一棵树，?在河的对岸每隔50m

相似三角形完整讲义(教师版)

相似三角形与实际应用

1 / 2 初中数学优秀生特长生培训方案相似三角形与实际应用一，思想、方法解读利用相似三角形解决实际问题的方法与步骤 1、分析题意 2、画出图形 3、找出两个能解决问题的两个相似三角形 4、证明这两个三角形相似 5、写出比例式（要包含已知条件和题中要求的未知量或相关量） 6、由比例式解决问题或由比例式列方程解决问题二，思想方法分类例析（一）利用相似三角形进行测量例1．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m 的黄丽同学BC 的影长BA 为1.1m ，与此同时，测得教学楼DE 的影长DF 为12.1m ，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE 的高度．(精确到0.1m) 例2.我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住。若此时眼睛到食指的距离约为40cm ，食指的长约为8cm,你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路。例3．小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得的树高是多少？例4.如图:学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC =20 米，斜坡坡面上的影长CD =8米，太阳光线AD 与水平地面成30° 角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（精确到1米）．（二）利用相似三角形进行方案设计例5、如图， ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高 AH=80毫米,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上．这个正方形零件的边长是多少? 例6、一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5m ，面积为1.22m ，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲的方案如图（1），乙的 A B C D