第二章函数
§2.1函数
2.1.1 函数
第1课时变量与函数的概念
【学习要求】
1.通过丰富实例,加深对函数概念的理解,学会用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻
画函数概念中的作用.
2.了解构成函数的三要素.
3.能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.
【学法指导】
通过实例体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会用集合与对应刻画函数的必要性的重要性.
填一填:知识要点、记下疑难点
1.函数的概念:设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y=f(x),x∈A.其中x叫做自变量,自变量的取值范围(数集A)叫做这个函数的定义域.
2.区间概念:设a,b∈R,且a (1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合,叫做闭区间,记作 [a,b]. (2)满足 a (3)满足a≤x (4)满足x≥a,x>a,x≤a,x 实数x的集合分别表示为[a,+∞) ,(a,+∞) ,(-∞,a] ,(-∞,a) . 研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 初中是用运动变化的观点对函数进行定义,虽然这种定义较为直观,但并未完全揭示出函数概念的本质.对于y=1(x∈R)是不是函数,如果用运动变化的观点去看它,就不好解释,显得牵强.但如果用集合与对应的观点来解释,就十分自然.因此,用集合与对应的思想来理解函数,对函数概念的再认识,就很有必要. 探究点一变量与函数的概念 问题1 阅读教材29-30页中的(1),(2),(3),(4)四个函数关系的例子,指出这四个例子的共同特点是什么?变量之间的对应关系采用什么形式表达的? 答:在上面的每个例子中,都指出了自变量的变化范围、由自变量确定因变量的对应法则,以及由此确定的因变量的取值范围. 例子(1)和(2)中的两变量关系通过图象的形式表达的,例子(3)中的变量间的关系通过列表的形式表达的,例子(4)中的变量间的关系通过关系式表达的. 问题2 从上述的四个例子中,你能感悟到一个函数关系涉及到哪些量? 答:一个函数关系必须涉及到两个数集和一个对应法则. 问题3如何用集合与对应的观点来阐述上面四个例子有什么共同特点? 答:共同特点是:对于集合A中的任意一个数x,按照确定的对应法则f,都有唯一确定的数y和它对应. 问题4确定一个函数最少需要几个要素?为什么? 答:最少需要两个要素:定义域和对应法则.因为函数的值域被函数的定义域和对应法则完全确定.问题5 若检查给定两个变量之间是否具有函数关系,只须检查什么? 答:(1)定义域和对应法则是否给出; (2)根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都能确定唯一的函数值y. 例1 对于函数y=f(x),以下说法正确的有 ( ) ①y是x的函数;②对于不同的x,y的值也不同; ③f(a)表示当x =a 时函数f(x)的值,是一个常量; ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 解析: ①③正确,②是错误的,对于不同的x ,y 的值可以相同,这符合函数的定义, ④是错误的,f(x)表示的是函数,而函数并不是都能用具体的式子表示出来. 小结: (1)在y =f(x)中f 表示对应法则,不同的函数其含义不一样; (2)f(x)不一定是解析式,有时可能是“列表”、“图象”; (3)f(x)与f(a)是不同的,前者为变数,后者为常数. 跟踪训练1 下列函数中哪个与函数y =x 相等? (1)y =(x)2;(2)y =3x 3;(3)y =x 2 ;(4)y =x 2x . 解:(1)y =(x)2=x(x≥0),y≥0,定义域不同且值域不同,所以两函数不相等; (2)y =3x 3=x(x∈R ),y∈R ,对应法则相同,定义域和值域都相同,所以相等; (3)y =x 2=|x|=??? x ,x≥0-x ,x<0,y≥0;值域不同,且当x<0时,它的对应法则与函数y =x 不相同,所以不相等; (4)y =x 2x 的定义域为{x|x≠0},与函数y =x 定义域不相同,所以不相等. 探究点二 区间的概念 问题1 阅读教材31页下半段,然后回答区间的概念是如何定义的? 答:设a ,b∈R,且a (1)满足a≤x≤b 的全体实数x 的集合,叫做闭区间,记作[a ,b]. (2)满足a (3)满足a≤xa ,x≤b,x 答:实数集R 可以用区间(-∞,+∞)表示; x≥a,x>a ,x≤b,x [a ,+∞),(a ,+∞),(-∞,b],(-∞,b). 问题3 在数轴上如何表示区间[a ,b]、(a ,b)、[a ,b)、(a ,b]、[a ,+∞)、(a ,+∞)? 答: 如图所示: a , b 叫做区间的端点,在数轴上表示区间时, 属于这个区间端点的实数,用实心点表示,不属于这个区间端点的实数,用空心点表示. 探究点三 求函数的定义域 导引 在函数关系式的表述中,函数的定义域有时可以省略,这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合. 问题1 对于一个确定的函数关系式,我们通常从哪些方面考虑求函数的定义域? 答: (1)分母不为零; (2)偶次根式的被开方数非负; (3)若函数由几部分构成,则定义域是使各部分式子都有意义的实数集合; (4)如果是实际问题,除应考虑解析式本身有意义外,还应考虑实际问题有意义. 问题2 在初中已学函数的定义域和值域是怎样的? 答: 一次函数f(x)=ax +b(a≠0):定义域为R, 值域为R ; 反比例函数f(x)=k x (k ≠0):定义域为{x|x ≠0}, 值域为{y|y ≠0};二次函数f(x)=ax 2+bx +c(a ≠ 0):定义域为R ,值域为当a>0时,??????????y|y ≥4ac -b 24a ;当a<0时,? ?????????y|y ≤4ac -b 24a . 例2 求下列函数的定义域: (1)f(x)=1x -2;(2)f(x)=3x +2;(3)f(x)=x +1+12-x . 解: (1)∵x≠2时,分式1x -2 有意义, ∴这个函数的定义域是{x|x≠2}. (2)∵3x+2≥0,即x≥-23时,根式3x +2才有意义, ∴这个函数的定义域是{x|x≥-23}. (3)∵要使函数有意义,必须??? x +1≥02-x≠0?? ?? x≥-1x≠2. ∴这个函数的定义域是{x|x≥-1且x≠2}. 小结: 求函数定义域的原理:使函数表达式有意义的自变量的取值范围. 跟踪训练2 求函数f(x)=1x +1的定义域. 解: 要使已知函数有意义,当且仅当x +1>0. 所以,这个函数的定义域是{x|x>-1}, 即(-1,+∞). 探究点四 求函数值和值域 例3 求函数f(x)=1x 2+1 (x∈R),在x =0,1,2处的函数值和值域. 解: f(0)=102 +1=1, 容易看出,这个函数当x =0时,函数取得最大值1,当自变量x 的绝对值逐渐变大时,函数值逐渐变小至趋向于0,但永远不会等于0. 于是可知这个函数的值域为(0,1]. 小结: (1)f(a)表示x =a 时函数f(x)的值,而f(x)是一个函数.(2)由于函数的定义域和值域都是一个集合,在求函数定义域和值域的时候,要把定义域和值域写成集合的形式,所以常用两种方法表示:集合、区间. 跟踪训练3 求下列函数的值域. (1)y =2x +1,x∈{1,2,3,4};(2)y =x +1. 解: (1)值域为{3,5,7,9}; (2)∵x ≥0, ∴x +1≥1, ∴值域为[1,+∞). 例4 (1)已知函数f(x)=x 2,求f(x -1); (2)已知函数f(x -1)=x 2,求f(x). 解: (1)f(x -1)=(x -1)2=x 2-2x +1; (2)因为f(x -1)=x 2=[(x -1)+1]2 =(x -1)2+2(x -1)+1. 所以f(t)=t 2+2t +1,即f(x)=x 2+2x +1. 小结: 函数f(x)=x 2,即x→x 2,表示自变量通过“平方运算”得到它的函数值,所以x→x 2与y→y 2,t→t 2,u→u 2,…都表示同一个函数关系.f(x -1)表示自变量x 用代数式x -1代替后得到的新函数. 跟踪训练4 (1)已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(x 2)的定义域. (2)已知函数f(2x +1)的定义域为(0,1),求f(x)的定义域. 解: (1)∵f(x)的定义域为(0,1), ∴要使f(x 2)有意义,须使0 ∴函数f(x 2)的定义域为{x|-1 (2)∵f(2x+1)的定义域为(0,1),即其中的函数自变量x 的取值范围是0 ∴f(t)的定义域为1 ∴函数f(x)的定义域为{x|1 练一练:当堂检测、目标达成落实处 1.下列说法中,不正确的是 ( ) A .函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应 B .函数的定义域和值域一定是无限集合 C .定义域和对应法则确定后,函数值域也就确定 D .若函数的定义域只有一个元素,则值域也只有一个元素 解析: 由于函数的关系可以用列表的方法表示, 有些用列表法表示的函数其定义域和值域都不是无限集合,故选项B 错. 2.下列关于函数与区间的说法正确的是 ( ) A .函数定义域必不是空集,但值域可以是空集 B .函数定义域和值域确定后,其对应法则也就确定了 C .数集都能用区间表示 D .函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应 解析: 函数的值域不可能为空集,故A 错; 当两函数的定义域和值域分别相同时,但两函数的对应法则可以不同,故B 错; 由于整数集没法用区间表示,故C 错.所以选D. 3.已知函数f(1-x 1+x )=x ,求f(2)的值. 解: 由1-x 1+x =2,解得x =-13 , 所以f(2)=-13 . 课堂小结: 1.函数的本质:两个非空数集间的一种确定的对应关系.由于函数的定义域和对应法则一经确定,值域随之确定,所以判断两个函数是否相等只须两个函数的定义域和对应法则一样即可. 2. f(x)是函数符号,f 表示对应法则,f(x)表示x 对应的函数值,绝对不能理解为f 与x 的乘积.在不同的函数中f 的具体含义不同,由课本的四个实例可看出对应法则可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外,还可用g(x),F(x)等表示. 函数的概念学案 学习目标 1、通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用 2、了解构成函数的要素,进一步巩固初中常见函数(一次函数、二次函数、反比例函数)的图像、定义域、值域 3、理解区间的概念,能准确地利用区间表示数集 4、通过从实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养抽象概括能力 教学重点体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,正确理解函数的概念 教学难点函数的概念、符号y=f(x)的理解、 教学流程 一、问题1、在初中,甚至在小学我们就接触过函数,在实际生产生活中,函数也发挥着重要的作用,那么,请大家举出以前学习过的几个具体的函数 问题2、请大家用自己的语言来描述一下函数 二、结合刚才的问题,阅读课本实例(1)、(2)、(3),进一步体会函数的概念问题3、在实例(1)、(2)中是怎样描述变量之间的关系的?你能仿照描述一下实例(3)中恩格尔系数和时间(年)之间的关系吗? 问题4、分析、归纳上述三个实例,对变量之间的关系的描述有什么共同点呢? 函数的概念 一般地,设、是,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合中的一个数,在集合中都有和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作其中叫做自变量,的取值范围叫做函数的;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的 问题5、在实例(2)中,按照图中的曲线,从集合B到集合A能不能构成一个函数呢?请说明理由 练习1、 1、在下列从集合到集合的对应关系中,不可以确定是的函数的是()(1),对应关系 (2),对应关系 (3),对应关系 (4),对应关系 2、下图中,可表示函数的图像只能是() 三、区间的概念 19.1.1《变量与函数》教学反思 本节课是八年级学生初步接触函数的入门课,必须让学生准确认识变量与常量的特征,初步感受现实世界各种变量之间相互联系的复杂性,同时感受到数学研究方法的化繁为简,知道在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系。 函数定义的关键词是:“两个变量”、“唯一确定”、“与其对应”;函数的要点是:1 有两个变量,2 一个变量的值随另一个变量的值的变化而变化,3 一个变量的值确定另一个变量总有唯一确定的值与其对应;函数的实质是:两个变量之间的对应关系;学习函数的意义是:用运动变化的观念观察事物。与学习进行仔细的研究,有助于函数意义的理解,但是,不可能在一课的学时内真正理解函数的意义,继续布置作业:每个同学列举出几个反映函数关系的实例,培育学生用函数的观念看待现实世界,最后,我还说明了,函数的学习,是我们数学认识的第二个飞跃,代数式的学习,是数学认识的第一次飞跃:由具体的数、孤立的数到一般的具有普遍意义的数,函数的学习,是由静止的不变的数到运动变化的数。 在函数概念的教学中,应突出“变化”的思想和“对应”的思想。从概念的起源来看,函数是随着数学研究事物的运动、变化而出现的,他刻画了客观世界事物间的动态变化和相互依存的关系,这种关系反映了运动变化过程中的两个变量之间的制约关系。因此,变化是函数概念产生的源头,是制约概念学习的关节点,同时也是概念教学的一个重要突破口。教师可以通过大量的典型实例,让学生反复观察、反复比较、反复分析每个具体问题的量与量之间的变化关系,把静止的表达式看动态的变化过程,让他们从原来的常量、代数式、方程式和算式的静态的关系中,逐步过渡到变量、函数这些表示量与量之间的动态的关系上,使学生的认识实现 为了快速明了的引出课题,课前让学生收集一些变化的实例,从学生的生活入手,开门见山,来指明本节课的学习内容。本课的引例较为丰富,但有些内容学生解决较为困难,于是我采取了三种不同的提问方式:1.教师问,学生答; 2.学生自主回答; 3.学生合作交流回答。为了较好的突出重点突破难点,在处理教学活动过程中,让学生思考每个变化活动中反映的是哪个量随哪个量的变化而变化,并提出一个量确定时另一个量是否唯一确定的问题,在得出变量和常量概念的同时渗透函数的概念.为了更好的让学生理解变量和常量的意义,由“问题中分别涉及哪些量?哪些量是变化的,哪些量是始终不变的?”一系列问题,在借助生活实例回答的过程中,归纳总结出变量与常量的概念,并能指出具体问题中的变量与常量。函数的概念是把学生由常量数学的学习引入变量数学的学习的过程,学生初步接触函数的概念,难以理解定义中“唯一确定”的准确含义,我设置了以下二个问题:1.在前面研究的每个问题中,都出现了几个变量?它们之间是相互影响,相互制约的。2.在二个变量中,一个量在变化的过程中每取一个值,另一个量有多少个值与它对应?来理解具体实例中二个变量的特殊对应关系,初步理解函数的概念。为了进一步让学生理解“唯一对应”关系,借助函数图像,使学生直观的感受二个变量之间特殊对应关系-----唯一对应。通过这种从实际问题出发的探究方式,使学生体验从具体到抽象的认识过程,及时给出函数的定义。再从抽象转化到实际应用中去,加深学生对函数概念的理解。为了加强学生辨析函数的能力,我准备了一道思考题,Y2=X中对于X的每一个值Y都 18.1变量与函数学案 Ⅰ、教学目标 1、知识与技能目标: 运用丰富的实例,使学生从具体的问题情境中了解常量与变量的含义,能分清实例中的常量与变量,领悟函数的概念,了解自变量与函数的意义。 2、过程与方法目标: 通过动手实践与探索,让学生参与变量的发现与函数的形成过程,感受获取知识的成功体验,提高学生分析问题和解决问题的能力。 3、情感态度价值观目标: 在引导学生探索实际问题的数量关系中,培养学生学习数学的兴趣并积极参与数学活动的热情,在解决问题的过程中体会数学的应用价值。 Ⅱ、教学重点 了解常量与变量的意义;理解函数概念和自变量的意义;确定函数关系式。Ⅲ、教学难点 函数概念的理解;函数关系式的确定 Ⅳ、教学过程 一、自主探究 (一)提出问题,创设情景 问题一:汽车以 60 千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为 s 千米,行驶时间为 t 小时。 问题二:电影票的售价为10元∕张。第一场售出150张票,第二场场售出205张票,第三场场售出310张票,三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售票x 张,票房收入y元.?怎样用含x的式子表示y ? 问题三:你见过水中涟漪吗?圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,当圆的半径r 分别为 10 cm,20 cm,30 cm 时,圆的面积S 分别为多少?S的值随r的变化而变化吗? 问题四:用100 cm长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长x 分别为 30 cm,35 cm,40 cm,45 cm 时,它的邻边长y 分别为多少?y的值随x的变化而变化吗? 小结:以上这些问题都反映了不同事物的变化过程,其实现实生活中还有好多类似的问题,在这些变化过程中,有些量的值是按照某种规律变化的(如……),有些量的数值是始终不变的(如……)。 (二)归纳总结: 1、在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为________; 2、在一个变化过程中,我们称数值始终不变的量为________; (三)快速抢答: 练习1 指出下列问题中的变量和常量: (1)某市的自来水价为 4 元/t。现要抽取若干户居民调查水费支出情况,记某户月用水量为 x t,月应交水费为 y 元。 (2)某地手机通话费为 0.2 元/min ,李明在手机话费卡中存入30元,记此后他的手机通话时间为 t min ,话费卡中的余额为 w 元。 二、合作探究 (一)合作交流: 1、在研究的每个问题中,都出现了两个变量,它们之间是相互影响,相互制约的. 2、同一个问题中的变量之间有什么联系?(请同学们自己分析“问题一”中两个变量之间的关系,进而再分析上述所有实例中的两个变量之间是否有类似的关系.) 归纳:上面每个问题中的两个变量相互联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有________确定的值与其对应。 (二)归纳概念: 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x?的每一个确定的值,y?都有唯一确定的值与其对应,?那么我们就说x?是______,y是x的_______. 如果当x=a时y=b,那么b?叫做当自变量的值为a时的_________. 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式. (三)巩固练习 练习2下列问题中哪些量是自变量?哪些量是自变量的函数?试写出函数的解析式。 (1)改变正方形的边长x,正方形的面积S 随之变化; (2)每分向一水池注水0.1 m3,注水量y(单位:m3)随注水时间x(单位:min)的变化而变化;函数的概念学案
19.1.1《变量与函数》反思
19.1.1变量与函数导学案(第一课时)
2.1.1(一)变量与函数的概念教案