毕业论文《正态分布的若干理论及其应用》

摘要

大量的实践经验和理论分析表明,自然界与工程技术中服从正态分布的随机变量是最常见的.诸如机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、重量、使用寿命;随机测量误差;人的身高、体重;农作物的收获量;健康人的红血球数目;纤维的强力;炼铁厂每炉铁水的含碳量;学生考试分数;机床维修保养时间;某地区酌年降雨量;炮弹弹落点的分布等等,都可以看作是服从或近似服从的正态分布.数学和经验都证明:受大量、独立、均匀小效应影响的随机变量服从正态分布.在数理统计中用于统计推断的许多统计量,不管资料的原分布是什么,只要样本容量n充分地大,它都近似于正态分布某些统计量即使偏离了正态分布,只要偏离量不大,也可以按正态分布处理.因此,正态分布的应用是十分广阔的.

关键字

正态分布;概率密度函数;标准差;误差

目录

引言: (1)

1．正态分布概念 (1)

2.正态曲线的特性 (2)

3.参数μ和σ的意义 (3)

4.标准正态分布及正态分布表 (4)

4.1.标准正态分布 (4)

4.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表 (4)

4.3.正态分布表的几种形式 (5)

5.正态随机变量落在区间(x1,x2)内的概率计算 (7)

5.1.当值机变量ξ～N(0,1)时的概率计算 (8)

5.2.当随机变量ξ～N(μ,σ) 时的概率计算 (9)

5.2.1.服从一般正态分布的随机变量ξ～N(μ,σ )的分布函数 (9)

5.2.2.概率计算 (10)

6．正态分布在几个领域内的应用实例 (12)

6.1．已知μ, σ求某条件下的概率[8] (12)

6.2．已知某条件下的概率,求参数和σ ? (14)

6.3．已知μ,σ和区问(a,b)内的变量数,求总变量数 (16)

6.4．已知μ,σ及各范围内的概率,求某范围的上、下限 (16)

6.5. 用标堆差确定所需测量次教 (17)

参考文献 (19)

致谢 (20)

正态分布的若干理论及其应用

数学系2004级1班 王文瑞 数学与应用数学 04104141

指导老师 李海增

引言:

正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用,数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.正态分布也具有许多良好的性质,因此在理论研究中正态分布十分重要.

1．正态分布概念

设连续型随机变量ξ的密度函数(也叫分布密度,概率密度,概率密度函数)为:

()()2

2

221

σ

μπ

σ?--

=

x e

x ()x -∞<<+∞ (1.1)

(其中μσ、是常数,且 0σ>,μ为正态总体的平均值,σ为正态总体的标准差,x 为正态总体中随机抽取得的样本值).则称随机变量ξ服从参数为μσ、的正态分布,记作

()2,~σμξN ,式(1.1)是德国著名数学

家高斯在找误差分布时于1795年推导发现的,因此正态分布又称高斯分布、误差分布或常态分布.正态分布密度函数()x ?的图形如图1所示,这条曲线称“正态分布密度函数曲线”或“正态分布曲线”,简称“正态曲线”,由于它的形

状象只钟,又称“钟形曲线”,为纪念高斯又称“高斯曲线”[1]

.

2.正态曲线的特性

对式(1.1)进行数学处理,可得正态曲线特性. 对式(1.1)求导,有

)(21

)(2

22)(3

μπ

σ

?σμ-?-

='--

x e

x x (2.1)

令()0='x ?,则有x μ=,即当x μ=时, ()x ?有极大值

max ()x ?=

对式(2.1)求导有:

()()()[]

22

25

2

21

σμπ

σ

?σμ--?=

''--

x e

x x (2.2)

令()0=''x ?,则有()2

2x μσ-= ,即曲线在:x μσ=±处有两个拐点.

将正态曲线的特性列入表1.

表1 正态曲线特性

由表1和图1可知正态曲线有以下特性:

1) 曲线以x μ=为对称轴,且在x μ=时取得极大值

max ()x ?=曲线由μ起向

左右延伸时,不断降低,呈现中间高,两头低的钟的形状.

2) 曲线在对称轴两侧 x μσ=±处有两个拐点.

3) x 的取值范围为整个x 轴,x 离μ越远, ()x ?越小,当x →±∞时,曲线以x 轴为渐进线.

4)曲线总在x轴上方,它于x轴所围面积等于l,对称轴两边曲线下的面积相等各为0.5.

机械加工得到的尺寸是服从正态分布的,如在机床上加工100件中mm

.0

10±的轴,

03

则这100件轴的尺寸有以下统计规律.

1)100个尺寸中,在10附近的占的数量最多、这是正态分布的单峰性.

2)在这100个尺寸中,约有50个左右大于10,有50个左右小于10,这是正态分布的对称性.

3)在这100个尺寸中,大于10.03mm的个数和小于9.97mm个数都很少,这是正态分布的有界性.

4)这100个尺寸与标准尺寸10的差的平均值趋与零,这是正态分布的抵偿性.

上述四条规律,零件数量越多就越准确[2].

3.参数μ和σ的意义

μ和σ是正态分布的两个参数,当μ和σ确定后,正态曲线就完全确定了.μ和σ不同,正态曲线的位置和形状则不同.μ是位置参数,它的大小决定曲线在x轴上的位置,σ是形状参数,它的大小决定曲线的高矮胖瘦.若σ不变只让μ变,则曲线形状不变,仅在x 轴上平行移动如图2所示;若μ不变只让σ变,则曲线在x轴上的位置不变,仅形状发生变化,σ越小则曲线越显的高瘦陡峭;σ越大则曲线越显得矮胖平缓,如图3所示:

从几何角度看,μ是正态曲线极大值的横坐标、σ是曲线拐点的横坐标到μ之间的距离,或者说σ是凸、凹曲线连接点的横坐标;从物理角度看,μ是正态曲线与x轴之间的平面图形重心的横坐标.在数理统计中,μ是正态分布的数学期望或叫均值,σ是标准偏差.在

计量学中,μ是被测量的真值,σ是表征测量值分散特性的一个度量指标.σ越大,观测值落在μ附近的概率越小,即观测值分散,测量精度低;σ越小,观测值落在μ附近的概率越大,即观测值集中,测量精度高.总之,μ表明了观测值的集中趋势,σ反映了观测值的分散程度.显然我们希望σ越小越好[3]

.

4.标准正态分布及正态分布表

4.1.标准正态分布

称1,0==σμ的正态分布为标准正态分布,将1,0==σμ代入(1.1)式有:

()2

221x e

x -

=

π

? ()x -∞<<+∞

(4.1.1) 式(4.1.1)为标准正态分布的密度函数,服从标准正态分布的随机变量()

2

,~σμξN [1]

.

4.2.标准正态分布的分布函数和正态分布表

概率论告诉我们,随机变量的分布函数()F x 等于密度函数()x ?在无穷区间(),-∞∞ 上的广义积分,于是标准正态分布的分布函数(也叫概率分布函数)为:

()()()()dt e

dt t x P x P x F t x

x 2

2

21-

∞

-∞

-?

?==<<∞-=<=π

?ξξ (4.2.1)

通常用()x Φ表示标准正态分布的分布函数,即:

()()()()dt e

dt t x P x P x t x

x

2

2

21

-

∞

-∞

-??=

=<<∞-=<=Φπ

?ξξ (4.2.2)

取不同的x 的值,由式(4.2.2)可得不同的()x Φ的数值,这就得到“标准正态分布函数数值表”简称“标准正态分布表”或“正态分布表”.有些文献也叫“正态概率曲线下的面积”、“概率积分函数表”、“正态分布积分值”、“误差函数表”、“正态曲线下的面积函数表”、“拉普拉斯函数()dt e x x t ?∞

--=

Φ2

2

21

π

的值”等不同的名称.

式(4.2.2)的几何意义是在区间(),x -∞内正态曲线与x 轴之间所围曲边梯形的面积,如图(4)所示

,

这也是将“正态分布表”称作“正态概率曲线下的面积”的道理. 由于密度函数()x ?可以在整个x 轴上取值,由密度函数性质得: 1212

2=-

∞+∞

-?

dt e

t π

即正态曲线性质4:曲线与x 轴所围面积为l [4]

.

4.3.正态分布表的几种形式

式(4.2.2)通常称概率积分．由于积分的上下限不同,可得到以下几种不同形式的正态分布表.

()dt e

x x

t ?

∞

--

=

Φ2

221π

()x -∞<

<∞ (4.3.1) ()dt e

u u

t ?

-

=

Φ0

2

2

21π

(0u ≥) (4.3.2)

()dt e

z z

z

t ?

--

=

Φ2

221π

(4.3.3)

dt e

t t t

x ?--

=

??

? ??Φ2

2

1

2π (4.3.4)

()dt e

k k

tx ?

-

=

Φ0

2

222π

()0k ≥ (4.3.5)

()dt e

k k t ?

∞

+-

=

Φ0

22

021π

()00k ≥ (4.3.6)

()()(

)()()

x u z k k

ΦΦΦΦΦΦ

、、、、和均有现成表可查.

一种文献只附有一种形式的正态分布表.这六种不同形式的正态分布表,形式虽异,但实质相同,对同一问题,无论用那种形式的表都会得到同一结果.这六种表中,其

()()()()

x u z k ΦΦΦΦ

、、、

较为常见．而Φ()0k

Φ

和则出现较少[5].

式(4.3.2)的几何意义如图5所示,式(4.3.3)式(4.3.4)和式(4.3.5)的几何意义如图6,式(4.3.6)的几何意义如图7.只有弄清了这六种表的含义,工作中无论碰到哪种形式的表,都可以运用自如

.

对式(4.3.1)、式(4.3.2)所定义的这两种形式的正态分布表,由正态曲线的对称性和曲线与横轴所围面积为l可知:

当0

=

x,则有()5.0=

Φx,即:

5.0

2

1

2

2

=

-

∞

-

?dt

e

t

π

当,

+∞

=

u则有()5.0=

Φu,即:

5.0

2

1

2

2

=

-

∞

+

?dt

e

t

π

当u

x=且均为正值时有:

()()5.0=

Φ

-

Φu

x

当x为u的相反数时有:

()()5.0=

Φ

+

Φu

x

当k

z

x=

=时,有:

()()()k

z

uΦ

=

Φ

=

Φ

2

令10======k k t z u x ,由各相应正态分布表查得:

()8413.01==Φx ,()3413.01==Φu ,()6826.01==Φz ,

()6826.0707.021=Φ??? ?

?Φ,()6826.01==Φk ,()1587.010==Φk , 可以看出: ()()5.0110==Φ=+Φk u ,

这从图5、图7及曲线性质4(对称轴两边面积各为0.5)容易得出. 由正态曲线的对称性和曲线与x 轴所围面积为1还可以得到以下关系式:

()()()x x P x P Φ-=≤-=>11ξξ (4.3.7)

()()x x Φ-=-Φ1 (4.3.8)

式(4.3.7)式(4.3.8)的几何意义如图8,如图9所示 其实由()x Φ的几何意义可直接得出式(4.3.7)和式(4.3.8)

[4]

.

5.正态随机变量落在区间(x 1,x 2)内的概率计算

概率统计指出,连续随机变量ξ落在区间()21,x x 内的概率等于它的密度函数()x ?在该区间上的定积分,即:

()()dx x x x x P x x ?=<<2

1

21?

对()1,0~ N ξ有:

()dt e

x x x P x x t ?-

=

<<21

2

2

2121

π

(5.1)

对()

2,~ σμξN 有:

()()dt e

x x x P x x t ?--

=

<<2

1

2

2

22121

σμπ

σ

(1.5')

式(5.1)的几何意义如图10所示.

有了正态分布表,计算上面两个积分就十分容易了 对服从标准正态分布的随机变量,可直接查正态分布表,对服从一般正态分布的随机变量,通过变量置换也可以直接查正态分布表.

5.1.当值机变量ξ～N(0,1)时的概率计算

若 ()1,0~N ξ,则ξ 落在区间()21,x x 内的概率由式(5.1)和式(4.2.2)得:

()()()122

2

2

2112

2

2

21

2

21

21

21

x x dt e

dt e

dt e

x x x P x t x t x x t Φ-Φ=-

=

=

<

--

∞

--

-

π

π

π

(5.1.1)

()()12x x ΦΦ和可由式(4.2.2)所定义的正态分布表查得.以后若无特别指明,文中的正态分布表均指式(4.2.2)定义的那种形式的正态分布表.

倒1．设 )1,0(~N ξ,求:①()2.13.0<<ξP ;②()3.0<ξP ;③()2.1>ξP 解:① 由式(5.1.1)得:

()()()3.02.121

21

21

2.1

3.03.02

2.12

2.13

.02

2

2

2

Φ-Φ=-

=

=<

--

∞

--

-

dt e

dt e

dt e

P t t t π

π

π

ξ

由正态分布表查得:

()88493.02.1=Φ,()61791

.03.0=Φ 故有:

()26702.061791.088493.02.13.0=-=<<ξP

② 由式(4.2.2)得:

()()61791

.03.0213.02

3

.02

=Φ==

∞

-dt e P t π

ξ ③ 由式(4.3.7)和式(4.2.2)得:

()()()11507.088493.012.112.112.1=-=Φ-=≤-=>ξξP P

显见: ()()()12.12.13.03.0=>+<<+<ξξξP P P

因为ξ在整个x 轴上取值,故概率必1.这也证明了正态曲线与x 轴所围面积为1[5]

.

5.2.当随机变量 ξ～N (μ,σ) 时的概率计算

若()

2,~σμξN ,则ξ落在区间(b a ,)内的概率,原则上讲只要对它的密度函数在区间(b a ,)上积分()()dt e

b a P t b a

2

221

σμπ

σξ--

?

=<<即可求得.但是实际上这个积分的计算是比

较麻烦的,并且由于它有σμ,两个参数,也不可能对不同的μ和σ 一一造表备查.于是设法将服从一般正态分布的随机变量ξ化为服从标准正态分布,利用已有的“正态分布表”,以解决所有正态分布的概率计算问题[6]

.

5.2.1.服从一般正态分布的随机变量ξ～N (μ,σ )的分布函数

由分布函数的定义可知,服从一般正态分布的随机变量ξ的分布函数为:

()()()()dt e x P x P x F x t ?

∞

---=

<-∞<=<=2

2

221σμπ

σξξ

作变量置换,令()σ

μ-=t y 由上式化为:

()()()??

?

??-Φ==

<<∞-=<=?

-∞

--

σμπ

σξξσ

μ

x dy e

x P x P x F x y )2.2.4(21

2

2由式 (5.2.1.1)

上式说明通过变量置换可将对服从一般正态分布的随机变量的密度函数的积分化为对服从标准正态分布的密度函数的积分.这为利用“标准正态分布表”打开了大门[1]

. 5.2.2.概率计算

设()

2,~σμξN ,则ξ落在区间()21,x x 内的概率为:

()()()

?

?

?

??-Φ-??? ??-Φ-

-=

Φ-Φ=-

=

=<

?

?

?

?

-∞

---∞

--∞

--

∞

--

-

σμσμπ

π

σ

μ

π

σπ

σπ

σσ

μ

σ

μ

122

2

122

2

2

21)1.1.2.5(212121212112221

2

2

22

1

2x x dy e

dy e

x y x x dt e

dt e

dt e

x x x P x y x y x t x t x x t 由式令

(5.2.2.1)

这里,??

?

??-Φ??? ??-Φσμσμ12x x 和可由正态分布表查得.

仿式(4.3.7)对一般正态分布有:

()()??

?

??-Φ-=≤-=>σμξξa a P a P 11 (5.2.2.2)

例2．设 ()4,1~N ξ,求:①)6.10(<<ξP ;② )3.2(>ξP . 解:这里1=μ, 2=σ; ① 由式(5.2.2.1)得:

()()()210 1.6 1.6101220.30.50.61790.30850.3094

x x P μμξσσ--????

<<=Φ-Φ ? ?

????--????=Φ-Φ ? ?

????

=Φ-Φ-=-=

② 由式(5.2.2.2)和式(5.2.1.1)得:

()()

()2.31 2.32.3 2.3111210.6510.74220.2578

P P ξξμσ>=-≤--????=-Φ=-Φ ? ?????=-Φ=-=

例3. 设()

2,~σμξN ,求()σμξk P <-？ 解: ()σμξk P <-=()σμξσk k P <-<-

=()σμξσμk k P +<<-)1.2.2.5(由式

??

? ??--Φ-??? ??-+Φσμσμσμσμk k =()()()12-Φ=-Φ-Φk k k

当1=k ,()σμξ<-P =()σμξσμ+<<-P =()112-Φ=218413.0-?=0.6826 当,2=k ()σμξ2<-P =()σμξσμ22+<<-P =()122-Φ=197725.02-?=0.9545 当,3=k ()σμξ3<-P =()σμξσμ+<<-3P =()9973.0199865.02132=-?=-Φ 当,4=k ()σμξ4<-P =()σμξσμ44+<<-P =99993666.0 上例说明,随机变量

[1]

ξ落在区间()σμσμ+-,内的概率为0.6826,或者说在σμ±范

围内的曲边梯形面积占正态曲线下总面积的68.26％;落在区间()σμσμ2,2+-内的概率为0.9545;落在区间()σμσμ3,3+-内的概率为0.9973;落在区间()σμσμ4,4+-内的概率为0.99994.

由于落在σμ±范围内观测值为所有观测值的99.3％ ,几乎包括了所有观测值,因此将σμ±作为一个界限范围,这就是常说的“3σ原则”,它在质量管理和质量控制等领域有广泛应用.

在误差理论中,称σ3为极限误差.因为随机测量误差落在σ3±范围内的概率为99.76%超出该范围的仅占0.27％.即一万次测量中,极限误差在σ3±范围内的有9973次,超出该范围的仅有27次,这相当于370次测量中约有1次的测量误差有可能超出σ3±范围(0.27％ =27／10000=1／370).若取σ4±

为

极限误差,那么在15788次测量中才约有1次误差的绝对值超出σ4±范围(0 006334％=6.334／100000≈ 1／15788) 而一般的测量,次数最多也不过几十次,因此可以认为,在任何情况下都不会出现绝对值大于σ3的随机误差,故称σ3为极限误差．这就是随机误差有界性的道理.也有些国家将σ2作为极限误差.

在不确定度评定中,K 称为包含因子(覆盖因子),它常取2或3,扩展不确定度U 为合成标准不确定度C U 的K 倍.

例3的计算结果可用图l1表示

用例3的计算方法,取不同的K 值,将得到的一些特定的概率值列入表2.

表2 不同K 的概率[7]

6．正态分布在几个领域内的应用实例

6.1．已知μ, σ求某条件下的概率[8]

例4:一种螺纹量规平均可使用5年,其标准差为0.8年.假设螺纹量规的使用寿命服从正态分布,试求以下概率:1)使用期不到4年;2)使用期超过6年.

解:设量规使用期为随机变量ξ,由题意知()

28.0,5~N ξ,本题求()()46P P ξξ<>和 1) 根据式(5.2.1.1)有:

()()()44544 1.250.10560.8P P μξξσ--????

<=-∞<<=Φ=Φ=Φ-= ? ?????

或由式(5.2.2.1)可得:

()()()()4045054040.80.81.25 6.250.105600.1056P P μμξξσσ----????????

<=<<=Φ-Φ=Φ-Φ ? ? ? ?

????????=Φ--Φ-=-=

2) 根据式(5.2.2.2)和式(5.2.1.1)有:

()()()6561611 1.2510.89440.10560.8P P ξξ-??

>=-≤=-Φ=-Φ=-= ???

例5:某车间加工一批轴,其直径服从正态分布,平均直径μ=l0mm ,标准差σ=0.015mm .规定直径在(10±0.03)mm 范围内为合格品.求:1)不合格品的概率;2)合格品的概率. 解:设这批轴的直径为随机变量ξ,由题意知()015.0,10~N ξ.03.10>ξ和97.9<ξ为不合格品.

1) ()()()9.9710

9.9710.03110.

030.015不合格P P

P P ξξξ-??=<+>=Φ+-≤?? ??

???

()()()()()()10.031021212[12]120.015222220.977250.0455

-??

=Φ-+-Φ=Φ-+-Φ=-Φ+-Φ ???

=-Φ=-?= 2) ()10.03109.97109.9710.030.0150.015合格P P ξ--????

=<<=Φ-Φ ? ?????

()()()2222120.9772510.9545=Φ-Φ-=Φ-=?-=

或 11

0.04550.9

P P =-=-=合格不合格 例6:某城市平均季降雨量为476mm ,标准差为165mm ,假定该市季降雨量服从正态分布,预测雨量在381mm 到635mm 之间50年内舍有多少年[8]

? 解:先求降雨量在381mm -635mm 的概率

()()()6354763814763816350.960.581651650.83150.28100.5505

P ξ--????

<<=Φ-Φ=Φ-Φ- ? ?????=-=

故降雨量在该范围内50年中的年数为:50×0.5505=27.525≈28(年)

[2]

.

例7:测量某目标的距离时发生的误差ξ(以m 米)具有概率密度

()()3200

202

2401

--

???

?

??

=x e

x π?,求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不大干30m 的概率.

解:由题意()

240,20~N ξ.在一次测量中误差绝对值小于等于30m 的概率为:

()()()3020302030300.25 1.254040P ξ---????

-<<=Φ-Φ=Φ-Φ- ? ?????

0.59870.10560.4931=-=

一次测量中误差绝对值大干30m 的概率为: 5069.04931

.01=- 三次测量中误差绝对值大干30m 的概率为: ()1302.04931.013

=-

三次测量中误差绝对值不大干30m 的概率(即三次测量中至少有一次误差绝对值不大干30m 的概率)为: ()8698.01302.014931.0113

=-=--

由于三次测量可以看作三次独立试验,于是此题也可按二项分布计算.

本题所求概率包括:1)三次测量中有一次的误差不大干30m ;2)三次测量中有二次的误差不大干30m ;3)三次的测量均不大干30m .这里:p =0.4931(上面计算),5069.01=-=p q ,于是有:

()()()()3

332221113211---++==+=+=+≥n n n n n n q p C q p C q p C P P P P ξξξξ ()()()()()8698

.01199.03698.0381.0)5069.0(4931.05069.04931.05069.04931.003

332

232

1

1

3

=++=++=C C C

可见按正态分布和按二项分布计算结果相同.

例8:设显像管平均寿命为10年,标准差为3.5年,一年内损坏的可免费掉换.每出售100台电视机(1台有1只显像管),可以预料有多少显像管要免费掉换? 解:设显像管寿命为 ,则 ()5.3,10~N ξ,显像管寿命小于1年的概率为:

()()01.00051.057.25.310111≈=-Φ=??

? ??-Φ=??? ??-Φ=<σμξP

故100台中需要掉换的台数为100×0.01=l(台)

[9]

.

6.2．已知某条件下的概率,求参数μ 和σ ?

例9:有一群男子,4％的身高在m 608.1以下,有52％在m 608.1到m 753.1之间.若身高成正态分布,求这一分布的平均值和标准差[10]

？

解:由题意得:

()()???

???

?=+=??? ??-Φ=<=??? ??-Φ=<56

.052.004.0753.1753.104.0608..1608.1σμξσμξP P

由概率值0.04和0.56反查正态分布表得: ??

???=--=-15

.0753.175.1608.1σμσμ

化为: ???=--=+-015.0753.10

75.1608.1σμσμ

解得: ()(

)???==m m 742.1076.0μσ

即这群男子平均身高为m 742.1,标准差为mm 076.0.

例10:某电子产品的寿命(以小时计)服从参数μ=160,σ的正态分布,若要求

()80.0200120≥≤<ξP ,问允许的σ的最大值为多少? 解:由题意:

()200160120160120200404040210.80

P ξσσσσσ--????

<≤=Φ-Φ ? ?

????

-??????=Φ-Φ=Φ-≥ ? ? ???????

即: 90.040≥??

?

??Φσ

反查正态分布表得:28.140

≥σ

故得 25.31≤σ

例11:滚珠直径成正态分布,mm 2=σ,已知4％的滚珠直径大于mm 5.23,求这一分布的平均值.

解: ()()04.05.2315.2315.23=???

??-Φ-=≤-=>σμξξP P

即: 96.05.23=??

?

??-Φσμ

反查正态分布表得:

75.12

5.23=-μ

解得: mm 20275.15.23=?-=μ

6.3．已知 μ,σ 和区问(a ,b )内的变量数,求总变量数

例12:某正态分布的0.72=μ,,0.12=σ在40与90之间有220个变量值,求整个分布有多少变量值?

解:先求变量值在40~90范围内的概率

()()()9072.04072.04090 1.5 2.66612.012.00.93320.00380.9294

P ξ--????

<<=Φ-Φ=Φ-Φ- ? ?????

=-=

故总变量ξ为: 2377.2369294.0220≈=÷

例13:某天中午一餐厅所有顾客吃饭用的钱服从正态分布,平均数为8.74元,标准差为1.2元.这天中午有420人吃午饭用了8.5元或更多,问一共来了多少顾客？

解: ()()()5793.04207.012.012.174.85.815.815.8=-=-Φ-=??

?

??-Φ-=≤-=>ξξP P

故总顾客数为: 7255793.0420=÷=ξ(人)

6.4．已知μ,σ及各范围内的概率,求某范围的上、下限

例14:某水果重量成正态分布,现进行分级,20％为小的,55％为中等,15％为大的,10％为特大.所有水果平均重量为241.5g ,标准差为60g ,求中等水果的下限与上限的重量. 解:由题意知,中等水果下限下x 以下的概率为0.20,上限为上x 以下的概率为 (0.20+0.55)=0.75,于是有:

()75.0605.241=????

??-Φ=???? ??-Φ=<下下下x x x P σμξ ()75.0605.241=???

? ??-Φ=???? ??-Φ=<上上上x x x P σμξ 84.0605.241-=-下x 675.060

5

.241=-上x

反查正态分布表得:

g x 1.19184.0605.241=?-=下 g x 282675.0605.241=?+=上

即中等水果下限重量为191g ,上限为282g

[2]

.

例15:某公司对职工进行基本理论考试,决定给14％ 的人以优.由以往经验知考试成绩成正态分布,平均分数为80分,标准差为14分,问职工至少考多少分方能得优? 解:设至少考x 分方能得优,由题意:

()()14.0148011=??

?

??-Φ-=<-=≥x x P x P ξξ

86.014.011480=-=??

? ??-Φx

反查正态分布表得:

08.114

80

=-x 故 9508.11780=?+=x (分) 即考生至少得95分方能得优.

例16:用某量具测量(5.26±d)mm 这一尺寸.已知测量值平均数为5.26mm ,标准差为0.02mm ,测量值服从正态分布.要使测量值的95％都在公差范围内,问d 值应定为多少[6]

? 解:本题是求概率为0.95的尺寸范围.设测得的值为随机变量ξ,则()

202.0,26.5~N ξ.由题意得

() 5.26 5.26 5.26 5.265.26 5.260.020.02210.95

0.020.020.02d d P d d d d d ξ+---????

-<<+=Φ-Φ ? ?

????

??????=Φ-Φ-=Φ-= ? ? ???????

即 975.002.0=??

?

??Φd

反查正态分布表得:

96.102

.0=d

故有 mm 0392.002.096.1=?=σ

本例也可以这样解:由表2可知,σμ96.1±的概率为0.95,于是5.26±d =5.26±σ96.1 从而 σ96.1=d mm 0392.002.096.1=?=σ

6.5. 用标堆差确定所需测量次教

若某测量器具单次测量的标准差为σ,则多次测量的算术平均值的标准差为

n

σ

=T .将σ作为经验值,用以判断实际工作中用此器具测量一次是否能满足精度要求.

若允许的测量极限误差σδ3>,那么测量一次就够了,若σδ3<,则要进行多次测量,这就要满足:

n

σ

σδ3

3=T ≥ (6.5.1)

从而: 2

3??

?

??>δσn (6.5.2)

或 22

2

33T =??

?

??T >σσn (6.5.3)

式中,n —所需测量次数,σ—单次测量标准差,T —算术平均值的标准差,δ—允许测量误差()

T =3δ[8]

.

例17[9]

:用某仪器测一尺寸L,已知该仪器标准差 m μδ1=,谈尺寸允许的测量极限误差m μδ4.1±=,问测量一次能否达到要求？

解:因δ=1.4<3σ=3,故测量一次达不到精度要求,应进行多次测量,

由式(6.5.2) 559.44.1332

2≈=???

??=??? ??≥δσn

可见,至少要测量5次. 例l8

[10]

:某仪器标准差m μσ1=,现要求测量结果的精度,5.0m μ=T 问应测多少次?

解:由式(6.5.3)得: 45.01332

2222

==T =??

?

??T >σσn 可见,至少应测量4次.