)|()|(A B P A B P =
20. 设事件A 与B 相互独立，两个事件只有A 发生的概率与只有B 发生的概率都是41
，
求)(A P 和)(B P .
21. 证明 若)(A P >0，)(B P >0，则有
（1） （1） 当A 与B 独立时，A 与B 相容； （2） （2） 当A 与B 不相容时，A 与B 不独立。
22. 已知事件C B A ,,相互独立，求证B A 与C 也独立。 23. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
24. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为)10(<
25. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求 （1）（1）前三人中恰有一人中奖的概率； （2）（2）第二人中奖的概率。
26. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：
（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；
（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。
27. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：
系统I
系统II
（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；
（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。 28. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算： （1）抽取的1件产品为正品的概率； （2）该箱产品通过验收的概率。
29. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求： （1）全部能出厂的概率； （2）其中恰有2件不能出厂的概率； （3）其中至少有2件不能出厂的概率。
30. 进行一系列独立试验，每次试验成功的概率均为p ，试求以下事件 的概率：
（1）直到第r 次才成功； （2）第r 次成功之前恰失败k 次； （3）在n 次中取得)1(n r r ≤≤次成功； （4）直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤次成功。
31. 对飞机进行3次独立射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。
第二章 随机变量及其分布练习题
1. 1. 设X 为随机变量，且
k
k X P 21)(==( ,2,1=k ), 则 （1）（1）判断上面的式子是否为X 的概率分布； （2）（2）若是，试求）为偶数X P (和)5(≥X P .
2.设随机变量X 的概率分布为λλ-==e k C k X P k
!)(( ,2,1=k ), 且0>λ，求常数C .
3. 设一次试验成功的概率为)10(<
4. 设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p =0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求
（1）X 的概率分布； （2）)5(≥X P 。
5. 一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？
6. 为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故
障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立。
（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；
（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？
7. 设随机变量X 服从参数为λ的Poisson(泊松)分布，且
21
)0(==X P ，求 （1）λ； （2）)1(>X P .
8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X 服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。
9. 在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson 分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求
（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； （2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率； 10. 已知X 的概率分布为：
试求（1）a ； （2）12
-=X
Y 的概率分布。
11. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8所示.
试求:（1）t 的值； （2）X 的概率密度； （3）)22(≤<-X P . 12. 设连续型随机变量X 的概率密度为
??
?≤≤=其他
,
00,
sin )(a
x x x f
试确定常数a 并求
)
6(π>
X P .
13. 乘以什么常数将使x
x e
+-2
变成概率密度函数?
14. 随机变量),(~2
σμN X ，其概率密度函数为
6
4
42
61)(+--
=
x x e
x f π
(+∞<<∞-x ) 试求2
,σμ；若已知?
?∞
-+∞
=
C
C
dx
x f dx x f )()(，求C .
15. 设连续型随机变量X 的概率密度为
??
?≤≤=其他
,
01
0,
2)(x x x f
以Y 表示对X 的三次独立重复试验中“
21
≤X ”出现的次数，试求概率)2(=Y P . 16. 设随机变量X 服从[1,5]上的均匀分布，试求)(21x X x P <<. 如果 （1）5121<<=λ的指数分布。某顾客等待服务，
若超过10分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y 表示一个月内他未等到服务
而离开的次数，试求Y 的概率分布和)1(≥Y P .
18. 已知随机变量X 的概率分布为2.0)1(==X P ，3.0)2(==X P ，5.0)3(==X P ，试求X 的分布函数；)25.0(≤≤X P ；画出)(x F 的曲线。
19. 设连续型随机变量X 的分布函数为
???
???
?≥<≤<≤--<=3
31111,1,8.0,
4.0,0)(x x x x x F
试求:（1）X 的概率分布； （2）)1|2(≠21. 设连续型随机变量X 的概率密度曲线如图1.3.8所示.
试求X 的分布函数，并画出)(x F 的曲线。 22. 设连续型随机变量X 的分布函数为
??
?≤>+=-0
0,0,
)(2x x Be A x F x
试求:（1）B A ,的值； （2）)11(<<-X P ； （3）概率密度函数)(x f .
23. 设X 为连续型随机变量，其分布函数为
??
?
??
>≤≤++<=.
,;1,
ln ;1,)(e x d e x d cx x bx x a x F
试确定)(x F 中的d c b a ,,,的值。
24. 设随机变量X 的概率密度函数为
)1()(2
x a
x f +=
π，试确定a 的值并求)(x F 和
)1(25. 假设某地在任何长为t (年)的时间间隔内发生地震的次数)(t N 服从参数为1.0=λ的Poisson(泊松)分布，X 表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求: （1）证明X 服从指数分布并求出X 的分布函数； （2）今后3年内再次发生地震的概率；
（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。
26. 设)16,1(~-N X ，试计算（1）)44.2(X P ；（3）)4(-X P .
27. 某科统考成绩X 近似服从正态分布)10,70(2
N ，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？
28. 设随机变量X 和Y 均服从正态分布，)4,(~2
μN X ，)5,(~2
μN Y ，而)4(1-≤=μX P p ，)5(2+≥=μY P p ，试证明 21p p =.
29. 设随机变量X 服从[a,b ]上的均匀分布，令d cX Y +=()0≠c ，试求随机变量Y 的密度函数。
第三章 多维随机变量及其分布练习题
1．设随机变量),(Y X 只取下列数组中的值：)0,0(、)1,1(-、
)
31,1(-、)0,2(且相应的概率依次为61
、31
、121
、125
.求随机变量),(Y X 的分布律与关于X 、Y 的边缘分布
律.
2．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3. 从此袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X 与Y 表示第一次、第二次取到的球上标有的数字，求X 与Y 的联合分布律与关于X 、Y 的边缘分布律.
3．设随机变量),(Y X 的概率密度，
其它+∞
≤≤+∞≤≤???=+-y x ce y x f y x 0,0,0,),()(2
试求：⑴ 常数c ；⑵ ),(Y X 的分布函数),(y x F ；⑶ }1{≤+Y X P .
4．设随机变量),(Y X 的概率密度为 4.8(2),01,0(,)0,y x x y x
f x y -≤≤≤≤?=??，
其它求关于
X 、Y 的边缘概率密度.
5．设随机变量),(Y X 在G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴、y 轴及直线12+=x y 所围成，试求：⑴ ),(Y X 的概率密度),(y x f ；⑵ 求关于X 、Y 的边缘概率密度.
*6．设某班车起点站上车的人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为(01),p p <<乘客中途下车与否相互独立，并以Y 表示在中途下车的人数.
求：⑴ 在发车时有n
m (,)X Y
7．设随机变量X 与Y 相互独立右表给出二维随机变量),(Y X 律及边缘分布律中的部分数值.试将
其余数值填入表中的空白处.
8．设随机变量),(Y X 分布律如右:⑴ a 、b 、c 时X 与Y 相互独立？⑵写出),(Y X 的分布律与边缘分布律.
9．设随机变量X 在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y 在X ~1中等可能地取一个整数.求：⑴=X 2时Y ,的条件分布律；⑵=Y 1时X ,的条件分布律.
10．设随机变量),(Y X 的概率密度为其它0
,0,0,),()(>>??
?=+-y x e y x f y x .
⑴ 求)|(|x y f X Y ；⑵ 求
)
|(|y x f Y X ；⑶
说明X 与Y 的独立性. *11． 箱子中装有12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随
机变量如下：
0,1,X ?=?
?若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品；
0,1,Y ?=?
?若第二次取出的是正品
若第二次取出的是次品，试在放回抽
样与不放回抽样的两种试验中，求关于X 与Y 的条件分布律，并说明X 与Y 的独立性.
* 12．设随机变量),(Y X 的概率密度为,||,10
(,)0,c y x x f x y <--<
其它求参数c
与条件概率密度
)
|(,)|(||y x f x y f Y X X Y
13. 设),(Y X 的分布律如右,求
⑴}0|3{,}2|2{====X Y P Y X P ⑵ ),max(Y X V =的分布律；
⑶ ),min(Y X U =的分布律；⑷ W 14．设X 与Y 是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为1λ、2λ的泊松分布. 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.
15．设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从参数为0.25p =的两点分布，记随机变量Z 为 1,0,X Y Z X Y +?=?+?为奇数，
非为奇数
求X 与Z 的联合分布律与E Z .
16．设随机变量X 与Y 相互独立，其概率密度分别为
3
21100,
,
(),(),
3
2
00
0,0,
y
x
X Y x y e e f x f y x y --??≥≥??==??<
求随机变量U X Y =+的概率密度.
17．某种商品一周的需求量X 是一个随机变量，其概率密度为
??
?≤>=-00
,0,)(x x xe x f x . 设各周的需求量是相互独立的，试求：⑴ 两周；⑵ 三周的需求量的概率密度.
18．设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地服从(1160)E 分布. 随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过180小时的概率。
19．设随机变量(,)~(),X Y U G 且{(,)|13,13}G x y x y =≤≤≤≤,求随机变量
||Y X Z -=的概率密度.
20．设随机变量X 与Y 相互独立，且都在]1,1[-上服从均匀分布，求二次方程
02
=++Y Xt t 有实根的概率.
第四章 随机变量的数字特征习题
1．单项选择题：
⑴ 设X 与Y 的相关系数为0，则 ( )
A .X 与Y 相互独立;
B .X 与Y 不一定相关;
C .X 与Y 必不相关;
D .X 与Y 必相关.
⑵ 设X 与Y 的期望与方差都存在,且()D X Y DX DY -=+,则以下不正确的是( )
A .()D X Y DX DY +=+;
B .EXY EX EY =?;
C .X 与Y 不相关;
D .X 与Y 相互独立.
2．填空题：
⑴ 设随机变量(,)X Y 的概率密度为/96,04,15
(,)0,xy x y f X Y <<<
?其它，
则EX = ，E Y = ，E X Y = ，(23)E X Y += .
⑵ 设随机变量X 与Y 互相独立，且~(2),~(0.25),X P Y E
则(232)E X X --= ，(232)D X X --= .
3．一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边. 求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.
4．设随机变量X 的概率密度为||
()0.5,,x f x e
x -=-∞<<+∞求,EX DX .
5．设随机变量X 的概率密度为2(1),01
(),
0,x x f x -≤≤?=??其它求E X 与D X .
6．某路公汽起点站每5分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分
钟内均匀分布. 求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).
7．某工厂生产的设备的寿命X (以年计)的概率密度为
/40
0.25,()00,x x e f x x ->?=?
*8．某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利500元，而积压一件
将损失2000元. 而且预测到这种产品的销售量Y(件)服从指数分布(0.0001)E . 问要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品？
9．n 把看似完全相同的钥匙，只有一把能开保险柜的门锁，用它们去试开保险柜. 假设取到每把钥匙的可能性是等同的，且每把钥匙只试开一次，求试开次数X 的数学期望与方差. 求在以下两种方法下求试开次数X 的数学期望与方差：
⑴ 先写出X 的分布律； *⑵ 不写出X 的分布律。
10．设),(Y X 在区域G 上服从均匀分布，其中G 由x 轴、y 轴及直线1x y +=围成. ⑴ 求,(32),()EX E X Y E XY +；⑵ 判断随机变量X 与Y 的独立性.
11．设随机变量),(Y X 的概率密度为
20112,
(,)0,y x y f x y ≤≤≤?=?
?，
其
它
求XY Y X EY EX ρ,),cov(,,.
12．设连续型随机变量X 的概率密度)(x f 为偶函数，且,2
+∞|,cov(X X 并说明X 与||X 的相关性.
* 13．设随机变量),(Y X 的概率密度为1
0||,),(<<∧<
=x x y k y x f 时;,0),(=y x f 其它时。⑴ 求
||,(),(),(|),(|),,,,,cov(,),X Y X Y Y X XY
k f x f y f x y f y x EX D X EY D Y X Y ρ; ⑵ 说明X 与Y 的
相关性与独立性; ⑶ 若,Y X Z +=求(),()Z Z F z f z 。
第一章 概率论的基本概念练习题
第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知 41)()()(===C P B P A P ，161 )()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份；
概率论与数理统计总复习 公式概念定理
概率论与数理统计总复习 第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算 互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。 对立事件：A B =ΩU 且AB =Φ 即A B B ==Ω- 差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件 切记： ()A B AB A AB A B B -==-=-U 2. 概率的性质 单 调 性 ： 若 B A ?，则 )()()(A P B P A B P -=- 加法定理：)()()() (AB P B P A P B A P -+=Y )()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=Y Y )()()(ABC P CA P BC P +-- 例1 设 ,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ??=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。 解：()()()P A C P A P AC -=- ()()P A P C =- （AC C =Q ） 故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-= 由此 ()()()P AB C P AB P ABC -= - ()()P AB P C =- （ABC C =Q ） 0.50.30.2=-=
注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质 计算。 3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式 全概率公式 1()()(/)n i i i P A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式（求事后概率） 例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。 解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球 ∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中 故 ; )/()()(A B P A P AB P =()(/) (/)() i i i P B P A B P B A P A = 2 ()()(|) k k k P B P A P B A ==∑201102 244224012222 666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002 334242012222 666631 (|)(|)(|)151515 C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4 ()0.16 25 P B ==
第一章 概率论的基本概念
第一章 概率论的基本概念 一、随机事件其运算 1．随机试验、样本点和样本空间 (1)随机试验 随机试验具有如下特点的试验． 1、在相同的条件下，试验可以重复进行． 2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个． 3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间 随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω． 随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件 在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等． 随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结果是随机事件A 中的一个样本点，则称在一次试验中事件A 发生． 只包含一个样本点的事件称为基本事件． 在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω所表示的事件，因而用Ω表示必然事件． 在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表示的事件，因而用φ表示不可能事件． 3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系 设A ,B 为二事件，若A 发生必导致B 发生，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ?．B A ??A ∈?ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系 设A ,B 为二事件，若B A ?并且A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2． (3)事件的并 设A ,B 为二事件， 称事件“A ,B 至少一个发生(A 发生或B 发生)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3． (4)事件的交 设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 同时发生(A 发生且B 发生)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差 设A ,B 为二事件， 称事件“A 发生且B 不发生”为A 减去B 的差，记为B A ?．B A ? }|{B A ?∈=ωωω且．见图1—5． (6)互不相容关系
概率论基础复习题及答案
《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章
概率论第一章习题参考解答
概论论与数理统计 习题参考解答 习题一 8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面} 基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.0812 1)(3====n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门 基本事件总数210C n =, 有利于A 的基本事件数2 7C n A =, 467.0157910212167)(21027==?????==C C A P 因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P . 10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少? 解: 设A ={能打开门}, 基本事件总数2412344=???==P n , 有利于A 的基本事件数为2=A n , 因此, 0833.012 1)(===n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, 基本事件总数5100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i 则
00006.09833512196979697989910054321)(006.098 3359532195969739697989910054321)(138.098 33209495432194959697396979899100543213)(856.033 4920314719969798991009394959697)(510029733510039723225100 49711510059700=??==???????????====??= ??????????????====???= ????????????????=?===????=????????===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P 12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n , 基本事件总数n N C m =, 有利于事件A k 的基本事件数k n N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n , 因此, n k C C C m m A P n N k n N N k N k k ,,1,0,)(11 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率. 解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件, 则基本事件总数310C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.0412358910321)(310 121315==???????===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封信的概率. 解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数1644=?=n , 有利于A 的基本事件数422=?=A n , 有利于B 的基本事件数632=?=B n , 则25.04 1164)(====n n A P A 375.083166)(====n n B P B .
第一章 概率论的基本概念重点和难点
第一章概率论的基本概念 一、重点、难点概要复述 随机事件的定义及事件间的关系；概率的定义及性质；常见的三大概率模型：古典概型，几何概型，贝努利概型；条件概率与三大公式：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；事件的独立性。 1.设事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则表示_________________. 2.设为事件，则都发生可表示为___________________；发生但与不发生可表示为_______________；中不多于一个发生可表示为 ________________. 3．设为随机事件，则。 A．B． C．D． 4. 设为随机事件，则。 A． B． C． D． 5.设事件满足，则 _______. 6.将20本书随机放入书架，则指定的某3本书挨在一起的概率是 ____________. 7.向半径为的圆内随机抛一质点，则质点落入圆内接正方形区域的概率为__________. 8.将一枚骰子连续抛掷100次，则事件“出现1点或6点”至少发生2次的概率为_______. 9. 一批灯泡共100只，其中10只为次品。做不放回抽取，每次取1只，则第3 次才取到正品的概率为___________. 10. 三个箱子，第一个箱子有4个黑球、1个白球，第二个箱子有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取一个球，则这个球为白球的概率为 ___________。若已知取得的球为白球，则此球属于第二个箱子的概率
为__________. 二、常见问题及解法 (一) 随机事件的表示： 1．随机事件的表示：设为随机事件，则 i）同时发生可表示为； ii）至少有一个发生可表示为； iii）发生但不发生可表示为 （二）随机事件概率的求法 1．利用加法公式： 2. 应用乘法公式：，其中. ，其中。 注：若，则由乘法公式可得 从而，也即与可以相互转换。又因 ； 故，可相互转换。 3. 在古典概型中求事件的概率： 4. 在几何概型中求事件概率： 5. 在贝努利概型中求事件的概率：在重貝努利试验中，事件每次发生的 概率为，则事件 恰发生次的概率为：，。 6. 利用全概公式与逆概公式求概率：设是完备事件组，，是任一个事 件，则 （i）全概公式: （ii）逆概公式：，其中。 （三）事件独立性的判断 1. 根据实际问题直观判断 2. 根据定义来判断或证明：事件相互独立当且仅当。 三、拓展练习 1.设事件满足求 2.设事件满足，已知，求。 3．设事件满足，，， 求至少有一个发生的概率为。 4. 设事件满足 则有 （A） （B） （C） （D） 5. 设事件满足则
概率论第一章习题解答
00第一章 随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；
(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？ 解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？ 解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？ 解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？ 解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？ 解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？
第一章概率论的基本概念
第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P AB P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B = B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -= B ．()A B B A -? C ．()A B B A -? D ．()A B B A -= 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件
第一章 概率论的基本概念习题答案
第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?
11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.
概率论与数理统计第一章测试题
第一章 随机事件和概率 一、选择题 1．设A, B, C 为任意三个事件，则与A 一定互不相容的事件为 （A ）C B A ?? （B ）C A B A ? （C ） ABC （D ）)(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ，与B B A =?不等价的是 （A ）B A ? （B ）A ?B （C ）φ=B A （D ）φ=B A 3．设A 、B 是任意两个事件，A B ?，()0P B >，则下列不等式中成立的是（ ） .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4．设()01P A <<，()01P B <<，()()1P A B P A B +=，则（ ） .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5．设随机事件A 与B 互不相容，且()(),P A p P B q ==，则A 与B 中恰有一个发生的概率等于（ ） .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6．对于任意两事件A 与B ，()P A B -=（ ） .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7．若A 、B 互斥，且()()0,0P A P B >>，则下列式子成立的是（ ） .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8．设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===，则下列结论中正确的是（ ） .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。
概率论练习册
第一章 概率论的基本概念 §1.1 -1.2 一、选择题 1．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为（ ） A 、甲种产品滞销，乙种产品畅销 B 、甲乙两种产品均畅销 C 、甲种产品滞销 D 、甲种产品滞销或乙种产品畅销 2．设必然事件123456{,,,,,}ωωωωωωΩ=其中(1,2,3,4,5,6)i i ω=是基本事件，事件 1235{,,,}A ωωωω=，24{,}B ωω=，123{,,}C ωωω=，则下列选项正确的是（ ） A 、A B ? B 、B A = C 、A C -与B C -互斥 D 、A C -与B 逆 二、填空题 1．同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的电数之和，则样本空间Ω= ． 2．上题中，设事件A 表示“点数之和为偶数”，事件B 表示“点数之和大于7” 事件C 表示“点数之和为小于5的偶数”，则A B ?= ，A B -= ， AB = ，A B C ??= 。 三、设事件A 、B 、C 分别表示某运动员参加的三个项目，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）该运动员只参加A 项目，不参加B 、C 项目； （2）该运动员参加A 、B 两项目，不参加C 项目； （3）该运动员参加全部三个项目； （4）该运动员三个项目都不参加； （5）该运动员仅参加一项； （6）该运动员至少参加一项； （7）该运动员至多参加一项； （8）该运动员至少参加两项．
§1.3 一、从5双不同的鞋中任取4只，求其中恰有一双配对以及其中至少有两只配对的概率． 二、将n只球随机地放入() N N n ≥个盒子中去，试求每个盒子最多有一只球的概率． 三、随机的向由 1 01, 2 y x <<<所围成的正方形内掷一点，点落在该正方形内任何 区域的概率与区域面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于3 4 π的概率． 四、将三个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最多个数分别为1,2,3的概率．
最新概率论第一章习题答案资料
概率论 11、甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头停泊.它们在一昼夜内到达码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊的时间是一小时,乙船停泊的时间是两小时,求这两艘船都不等候码头的概率. 解： 分别用x、y表示甲、乙船到达时刻，在直角坐标系下作直线x=24、y=24，它们与x轴及y轴围成一个正方形，点(x,y)总是落入这个正方形的； 作直线y=x+1与y=x-2，如果点(x,y)落入两直线所夹以外区域就不需要等待，所以不需要等待的概率为： p=(22*22/2+23*23/2)/(24*24)=1013/1152≈0.879340277777778 25、已知男人中5%是色盲患者，女人中有0.25%；今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？ 解： 可以算出色盲的人占总人数的比率是5%x50%+0.25%x50%=2.625%，而在2.625%的人中，男的占5%x50%，所以是男的几率为5%x50%除以2.625%=20/21
第一章随机事件与概率 1．设A，B，C为三个事件，试用A、B、C表示下列事件，并指出其中哪俩个事件是互逆事件：1）仅有一个事件发生；2）至少有一个事件发生；3）三个事件都发生；４）至多有两个事件发生；５）三个事件都不发生；６）恰好两个事件发生。 用a,b,c分别表示A,B,C的补事件,那么有 1) abC∪aBc∪Abc 2) 1-abc 3) ABC 4) 1-ABC 5) abc 6) ABc∪AbC∪aBC 其中(2)和(5) (3)和(4) 是互逆事件
2．设对于事件A，B，C，有P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=1/8，P（AB）=P（BC）=0，求A、B、C至少出现一个的概率。 因为P（AB）=0，所以P（ABC）=0，所以P（A+B+C）=PA+PB+PC-PAB-PAC-PBC+PABC=5/8 3．设A，B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，求P（AB(—)）。 因为P(A-B)=P(A)-P(AB), 所以P(AB)=P(A)-P(A-B)=0.7-0.3=0.4 4．若事件A、B满足P（AB）=P（A(—)∩B(—)），且P（A）=1/3，求P（B）。 P(AB)=P（非A∩非B） =P[非（A∪B）] =1-P(A∪B) =1-[P(A)+P(B)-P(AB)] 整理得P(A)+P(B)=1 P(B)=1-P(A) =2/3 5．一个袋中有5个红球2个摆球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：1）第一次和第二次都取到红球的概率；2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。 (1)、5/7*5/7=25/49, (2)、5/7*2/7=10/49 6．一批产品有8个正品，2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：1）两次都取到正品的概率；2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；3）第二次取到次品的概率；4）恰有一次取到次品的概率。 1)取到两个正品有56种取法 10个中取2次有90种取法 56/90=28/45 2)同理，8*2/90=8/45 3)(8*2+2*1)/90=1/5 4)(8*2+2*8)/90=16/45 7．长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件A）的概率为4/15，刮风（记作事件B）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件C）的概率为1/10，求：P（A|B），P（B|A），P（A∪B）。
概率论的基本概念
概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.随机现象在一定条件下具有多个可能的结果，个别几次观察中结果呈现出随机性（不确定性），在大量重复观察中结果又呈现出固有的客观规律性的自然现象称为随机现象. 随机现象的三大特点： （1）在一定条件下具有多个可能的结果，所有可能的结果已知； （2）在一次观察中，结果呈现出随机性，不能确定哪一个结果将会出现； （3）在大量的重复观察（相同条件下的观察）中，结果的出现又呈现出固有的客观规律性. 2.随机试验具有以下几个特点的实验称为随机实验，常用E 来表示 1）可以在相同的条件下重复进行； 2）试验的结果不止一个，并且能事先明确试验所有可能的结果； 3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 注：随机试验即可在相同条件下重复进行的针对随机现象的试验.
1.2 样本空间与随机事件 1. 样本空间与随机事件的概念 1) 样本空间 随机试验E的所有可能结果E的样本空间，记为S. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点. 样本空间依据样本点数可分为以下三类 （1）有限样本空间：样本空间中样本点数是有限的； （2）无限可列样本空间：样本空间中具有可列无穷多个样本点； （3）无限不可列样本空间：样本空间中具有不可列无穷多个样本点. 2) 随机事件一般，称随机试验E的样本空间S的任何一个子集为E的随机事件，简称为事件. 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生. 注：（1）：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生； （2）：由一个样本点构成的单点集，称为基本事件； （3）：样本空间S是必然事件，空集 是不可能事件，它们两个发生与否不具有随机性，为了方便将它们两个也称为随机事件。
概率论的基本概念
第一章概率论的基本概念 第一节随机事件、频率与概率 一、教学目的： 1.通过本节起始课序言简介,使学生初步了解概率论简史、特色，从 而引导学生了解本课程概况及学习本课程的思想方法 2.通过本次课教学，使学生理解随机事件概念、频率与概率的概念， 了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件的关系和运算，掌握 概率的基本性质及其运算 二、教学重点：概率的概念 三、教学难点：事件关系的分析与运算 四、教学内容： 1.序言：⑴简史⑵学法 2.§1.随机试验: ⑴实例⑵确定性现象⑶随机现象 3.§2.样本空间、随机事件: ⑴样本空间⑵随机事件⑶事件关系 与运算 4.§3. 频率与概率⑴频率定义、性质⑵概率定义、性质 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第二节古典概型、条件概率 一、教学目的： 通过本节教学使学生了解古典概型的定义，理解条件概率的概念，并能够解决一些古典概型、条件概率的有关实际问题． 二、教学重点：古典概率、条件概率计算 三、教学难点：古典概型与条件概率分析与建模 四、教学内容： 1.§４.古典概型 2.§５.条件概率（一） 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第三节乘法公式、全概率公式、Bayes公式、独立性 一、教学目的： 1.通过本节教学使学生在理解条件概率概念的基础上,掌握乘法公
式、全概率公式、Bayes公式以及能够运用这些公式进行概率计算。 2.理解事件独立性概念，掌握用独立性概念进行计算． 二、教学重点： 1.乘法公式及其使用 2.独立性概念及其应用 三、教学难点：应用公式分析与建模 四、教学内容： １.§５.条件概率（二、三）２.§６.独立性 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第四节习题课 一、教学目的： 通过本习题课教学使学生全面系统对概率论的基本概念进一步深化，同时熟练掌握本章习题类型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力． 二、教学重点： 1.知识内容系统化 2.几类问题解决方法 三、教学难点：实际问题转化为相应的数学模型 四、教学内容： 1.本章知识内容体系归纳 2.习题类型： ⑴古典概型计算 ⑵事件关系与运算 ⑶条件概率计算 ⑷乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算． ⑸独立性问题的计算 五、讲练习题 第二章随机变量及其分布 第一节随机变量、离散型随机变量的概率分布 一、教学目的： 通过本节教学使学生理解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布及其性质，掌握二项分布、泊松分布，并会计算有关事件的概率及其分布．
第一章概率论的基本概念
第一章随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是：（） A．AB AC +B．() + A B C C．ABC D．A B C ++ 2．设B A ?则（） A．() =1-P（A）B．()()() P A B -=- P B A P B A C．P(B|A) = P(B) D．(|)() P A B P A = 3．设A、B是两个事件，P（A）> 0，P（B）> 0,当下面的条件（）成立时，A与B一定独立 A．()()() = B．P（A|B）=0 P A B P A P B C．P（A|B）= P（B）D．P（A|B）= () P A 4．设P（A）= a，P（B）= b, P（A+B）= c, 则() P A B为：（）A．a-b B．c-b C．a(1-b) D．b-a 5．设事件A与B的概率大于零，且A与B为对立事件，则不成立的是（）A．A与B互不相容B．A与B相互独立 C．A与B互不独立D．A与B互不相容 6．设A与B为两个事件，P（A）≠P（B）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（）A．P（A|B）=1 B．P(B|A)=1 C．(|A)1 p B= p B=D．(A|)1 7．设A、B为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A．() -? A B B A -= A B B A B．() C．() A B B A -= D．() A B B A -? 8．设事件A与B互不相容，则有（） A．P（AB）=p（A）P（B）B．P（AB）=0 C．A与B互不相容D．A+B是必然事件
9．设事件A 与B 独立，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （AB ）=0 D ．P （A+B ）=1 10．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （A|B ）=P （A ） D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ） 11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ） A ．A 与 B 互斥 B ．AB 是不可能事件 C ．P （A ）=0或P （B ）=0 D ．AB 未必是不可能事件 12．若事件A 、B 满足A B ?，则 （ ） A ．A 与 B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生 C ．B 发生时则A 必发生 D ．A 不发生则B 总不发生 13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ） A ． ()()P B P AB - B ．()()()P A P B P AB -+ C ．()()P A P AB - D ．()()()P A P B P AB -- 14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ） A ．A 、 B 、 C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个 C ．A 、B 、C 至多发生两个 D ．A 、B 、C 至多发生一个 15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 相互对立 D ．A 与B 互不独立 16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则P A B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.3 17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ） A ．1/2 B ．1/3 C ．1/4 D ．3/4 18．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率 为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ） A ．121p p -- B ．121p p - C ．12121p p p p --+ D ．122p p -- 19．每次试验的成功率为)10(<
概率论的基本练习题
第一章 概率论的基本概念练习题 1．如果事件B A ,满足 ，则称事件B A ,相互独立． 2．如果事件B A ,满足 ，则称事件B A ,互不相容． 3．如果事件B A ,满足 ，则称事件B A ,为对立事件． 4．设事件B A ,相互独立，且5.0)(=B P ，)()()(B P A P B A P -=-，则 =)(A P ． 5．一袋中有5只红球，4只白球，每次任取2只球，取后放回，连取3次，则恰有一次取到的两个球为同色球的概率是 ． 6．已知a A P =)(，b A B P =)(，则=)(B A P ． 7．设B A ,为随机事件，已知7.0)(=A P ，5.0)(=B P ，3.0)(=-B A P ， 则=)(AB P ，=-)(A B P ． 8．已知10个零件中，有3个次品，一检查员从中不放回地随机地取出2个进行检查，则至少有一件是次品的概率为 ． 9．一幢7层楼的一架电梯，在底层登上4位乘客，电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，且每位乘客在哪一层离开是等可能的，则没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率为 ． 10．设事件A ，B ，8.0)(=B A P Y ，4.0)(=B P ，则=)(B A P ． 11．四个人随意进入编号为1，2，3的三个房间，则1号房和2号房都有人进入的概率是 ． 12．设事件A ，B ，C 相互独立，在一次试验中，A ，B ，C 发生的概率分别为61,21,31；则在一次试验中，事件A ，B ，C 至少有一个发生的概率=p ． 13．已知6.0)(=AB P ，则=+--)()()(1B A P B P A P ． 14．一道单项选择题同时列出5个答案，一个考生可能知道正确答案，也可能乱猜一个；假设他知道正确答案的概率为31，他乱猜答案猜对的概率为5 1，如果已知他答对了，则他确实知道正确答案的概率为 ． 15．某人有一串m 把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．有一天该人酒醉后回家，下意识地每次从m 把钥匙中随便拿一只去开门，则该人在第k 次才把门打开的概率为 ． 16．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是 ．
