浅谈数学归纳法及其应用

浅谈数学归纳法及其应用

沈秋华（江苏省陆慕高级中学 215131）

【期刊名称】中学数学月刊

【年(卷),期】2013(000)006

【总页数】2

归纳法，即通过对一些特例或简单情形进行观察与综合以发现一般规律的一种科学思维方法，其基础在于实践与观察，被著名的美籍匈牙利数学家波利亚称为科学家处理经验的方法.作为数学研究的基本方法之一，归纳法常用于数学发现，其过程体现了数学的创造与再创造过程.归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法是根据事物的部分特例得出一般结论的推理方法，其结论不一定可靠.而完全归纳法是一种研究事件的所有特殊情况后得出的推理方法，且得出的结论是可靠的.因此，当涉及的问题是与自然数有关的数学命题时，先用不完全归纳法猜想规律，后用完全归纳法证明其正确性.数学归纳法的精妙之处在于用两个命题的证明代替了无数个命题的证明，充分体现了有限与无限的辩证关系.在教学中，学生往往机械地套用两个步骤解题，对数学归纳法的内涵缺乏真正的理解.本文结合自己的教学实践，浅谈数学归纳法的理论依据及其应用.

1 数学归纳法的理论依据

一般地说，数学归纳法的两个步骤可以概括为：

（1）证明当n＝n0时命题成立；

（2）假设当n＝k（k≥n0，k∈N＊）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.

根据（1）和（2），可以断定命题对于从n0开始的所有自然数n都成立.