静电学一章习题答案
静电学一章习题答案
习题7—1 半径为R 的均匀带电球体的静电场中各点的电场强度的大小E 与距球心的距离r 的关系曲线为：［ ］
习题7—2 半径为R 的均匀带电球面，总电量为Q ，设无穷远处电势为零，则该带电体所产生的电场的电势U 随离球心的距离r 变化的分布曲线为：［ ］
习题7─3 如图所示，一个带电量为q 的点电荷位于立方体的A 角上，则通过侧面abcd 的电场强度通量等于：［ ］
解：可以设想再补上与图示立方体完全相同的七个立方体，使得点电荷位于一个边长扩大一倍的新的立方体的中心，这样，根据高斯定理，通过这个新立方体的六个面的总电通量为0εq ，通过其中任何一个面的电通量为)6(0εq ，而因原abcd 面只是新立方体一个面的四分之一，故通过abcd 面的电场强度通量为)24(0εq 。［选择答案(C)］
习题7─4 如图所示，两个同心的均匀带电球面，内球面半径为R 1、带电量Q 1，外球面半径为R 2、带电量为Q 2。设无穷远处为电势零点，则在内球面里面，距球心为r 的P 点处的电势为：［ ］ (A)
r Q Q 0214πε+ 。 (B) 2
02
10144R Q R Q πεπε+。
E r R E ∝1/r 2 (A ) O E r R O E ∝1/r 2 (B ) E O
R E ∝1/r 2 (C ) E
r O R E ∝1/r 2 E ∝1/r
(D ) 习题7―1图
U r O
U ∝1/r R (A) U
r O R U ∝1/r (B) U r O R U ∝1/r
(C) U r
O R U ∝1/r 2 (D) U r O R U ∝1/r 2
(E) 习题7―2图
习题7―3图
习题7―4图
(C) 0。 (D)
1
014R Q πε。
解：根据场强叠加原理，内球面单独在P 点产生的电势为
1
0114R Q U P πε=
外球面单独在P 点产生的电势为
20224R Q U P πε=
因此，P 点最终的电势为
2
021
012144R Q R Q U U U P P P πεπε+
=
+=
［所以选择答案(B)］［注：对典型电荷分布的场，应用叠加原理可以非常方便地求得结果。］ 习题7—5 有N 个电量均为q 的点电荷，以
两种方式分布在相同半径的圆周上：一种是无
规则的分布，另一种是均匀分布，比较这两种情况下在过圆心O 并垂直于圆平面的Z 轴上任一点P 的场强与电势，则有：［ ］
(A) 场强相等，电势相等。 (B) 场强不等，电势不等。
(C) 场强分量E Z 相等，电势相等。
(D) 场强分量E Z 相等，电势不等。
解：因为电势是标量，而且仅与点电荷到场点的距离有关，所以各点电荷在P 点产生的电势都相等，与点电荷在圆周上的位置无关，这样一来，根据电势叠加原理，两种情况下的电势都一样，都是
r
Nq r
q U N
i P 01044πεπε=
=∑
=
对于场强，因为它是矢量，即不仅有大小还有方向，各点电荷产生的场强方向与其在圆周上的位置有关，也就是说，P 点的场强应当与各点电荷在圆周上的分布有关，所以两种情况下的场强是不同的。但是，由于P 点对于圆周上的各点是对称的，各点电荷场强的Z 分量(标量)大小与其在圆周上的位置无关，因此，两种情况下P 点的场强分量E Z 都相同。综上，应该选择答案(C)。
习题7—6 如图所示，边长为a 的等边三角形的三个顶点上，放置着三个正的点电荷，电量分别为q 、2q 、3q ，若将另一点电荷Q 从无穷远处移到三角形的中心O 处，外力所作的功为：［ ］
习题7―5图
(A)
a qQ 0432πε (B) a
0434πε (C) a qQ 0436πε (D) a qQ 0438πε
解：根据电势叠加原理，三角形的中心O
处的电势为
a
q
a q q q U O 0043660sin )32(432πεπε=++=
因为无穷远处电势为零，所以外力的功为 a
QU U U Q A A O O 0436)(πε=
=--=-=∞电外 因此，应当选择答案(C)。
习题7—7 如图所示，在坐标(a ，0)处放置一点电荷+q ，在坐标(－a ，0)处放置另一点电荷－q 。P 点是Y 轴的一点，坐标为(0，y )，当y >>a 时，该点场强的大小为：［ ］ (A)
2
04y q πε (B)
2
02y q πε
(C) 3
02y qa πε (D)
3
04y q
πε
解：由图示，两个点电荷在P 点产生的场强的Y 分量相抵消，P 点最终的场强只是两场强X 分量的叠加，因此，P 点的场强为 3
0232202
22
202)(2)
(42y
qa
a y qa a y a a y q
E P πεπεπε≈+=
+?+?
= 所以应该选择答案(C)。
习题7—8 设有一“无限大”均匀带正电荷的平面，取X 轴垂直带电平面，坐标原
点在带电平面上，则其周围空间各点的电场强度E
随距离平面的位置坐标x 的变化
的关系曲线为(规定场强方向沿X 轴正方向为正，反之为负)：［ ］
解：“无限大”均匀带正电荷的平面产 生的场强大小是与到平面的距离x 无关的常
量，但是平面两侧的场强方向不同：在x >0
区间，场强方向与X 轴正向相同，应为正；反之在x <0区间，场强方向与X 轴正向相反，应为负。所以，应该选择答案(C)。
q
2q
习题7―6图
O
a
–a –q
q
X
Y P (0，y ) 习题7―7图
X E O (A) X E
O E ∝x (B) X E O (C) X
E
O x E 1∝ (D) 习题7―8图
习题7—9 图中所示曲线表示某种球
对称静电场的场强大小E 随径向距离r
变化的关系，请指出该电场是由下列哪
一种带电体产生的。［ ］
(A) 半径为R 的均匀带电球面。 (B) 半径为R 的均匀带电球体。
(C) 点电荷。 (D) 外半径为R ，内半径为R /2的均匀带电球壳体。
解：容易看出该电场是由半径为R 的均匀带电球面产生的，所以，应该选 择答案(A)。
习题7—10 真空中一半径为R 的球面均匀带电Q ，在球心O 处有一带电量为q 的点电荷，如图所示。设无穷远处为电势零
点，则在球内离球心O 为r 的P 处的电势为：［ ］ (A)
r
q 04πε (B)
??
?
??+R Q r q 041πε (C)
r
Q
q 04πε+ (D)
??? ??++R q Q r
q 041πε
解：根据电势叠加原理，P 点的电势应为均匀带电球面和球心处的点电荷各
自单独存在时所产生电势的叠加，即
??
? ??+=
+
=
R Q r q R
Q r
q U P 0004144πεπεπε 所以，应该选择答案(B)。
习题7─11 把一个带电量为+Q 的球形肥皂泡由半径r 1吹胀到r 2，则半径为R (r 1 解：在吹胀过程中，高斯球面上任一点先在球形肥皂泡外，后在肥皂泡内，而带电的球形肥皂泡可看作均匀带电球面，因此，高斯球面上任一点的场强大小由 2 04R Q E πε= 变到 E = 0； 该点的电势由 R Q U 04πε= 习题7―9图 习题7―10图 变到 2 04r Q U πε= ［注：从本题求解可以看出，我们应该对均匀带电球面的场强和电势公式非常熟悉才行］ 习题7—12 点电荷q 1、q 2、q 3和q 4在真空中的分布如图所示，图中S 为闭合曲面， 则通过该闭合曲面的电通量??S d E ＝ ，式中E 是点电荷 在闭合曲面上任一点产生的场强的矢量和。 解：根据静电场高斯定理，通过该闭合 曲面的电通量等于被闭合曲面包围的电荷之代数和的0ε分之一，即 ? ?S d E =)(1 1210 q q q i i += ∑εε 高斯定理中的E 是高斯面上任一点的场强，它是由高斯面内、外的所有电荷共同产生的，即由q 1、q 2、q 3和q 4共同产生的。 习题7—13 在点电荷+q 和－q 的静电 场中，作出如图所示的三个闭合面S 1、 S 2、S 3，则通过这些闭合面的电场强度通量分别为Φ1= ；Φ2= ；Φ3= 。 解：根据高斯定理容易知道，通过 三个闭合曲面的电通量分别为0εq 、0、0εq -。 习题7─14 如图，A 点与B 点间距离 为2l ，OCD 是以B 为中心、以l 为半径 的半圆路径，A 、B 两处各放有一点电荷 带，电量分别为+q 和-q ，则把另一带电量为Q (Q <0)的点电荷从D 点沿路径DCO 移到O 点的过程中，电场力所作的 功为 。 解：放在A 、B 两处的点电荷+q 和-q 是场源电荷，设无穷远处为电势零点，则D 点的电势为 l q l q l q U U U D 00064) 3(4πεπεπε-=-+ = +=-+ 习题7―12图 S 1 S 2 S 3 习题7―13图 D ﹢习题7―14图 同理，O 点的的电势为 0=O U 因此，把另一带电量为Q (Q <0)的点电荷从D 点沿路径DCO 移到O 点的过程中，电场力作的功为 l qQ U U Q A O D 06)(πε- =-= ［注：由于静电场是保守场，在静电场中移动电荷电场力作的功与移动的路径无关。］ 习题7—15 A 、B 为真空中两个平行的无限大的均匀带电平面，已知两平面间的电场强度大小为E 0，两平面外侧电场强度大小都为E 0/3，方向如图，则A 、B 两平面上的电荷面密度分别为=A σ ；=B σ 。 解：如图，设向右为正方向，且A 、B 两平面上的电荷面密度均大于零，则根据场强叠加原理 Ⅰ区： 00031 22E B A -=-- εσεσ Ⅱ区： 00 022E B A -=-εσεσ 联立以上二式可得 ?? ??? =-=0 00034 32E E B A εσεσ ［注：用Ⅱ、Ⅲ区列式联立求解亦可］ 习题7—16 两根平行的“无限长”均匀代正电直线1、 2，相距为d ，其电荷线密度分别为1λ和2λ，则场强等于零的点与直线1的距离为 。 解：设场强等于零的点与直线1的距离为a ，则有 ) (2202 01a d a -=πελπελ 可解得 2 11λλλ+= d a 习题7—17 两个平行的“无限大”均匀带电平面，其面电荷密度分别为σ+ 和 习题7―15图 2λ 2 习题7―16图 σ2+，如图所示，则A 、B 、C 三个区域的电场强度分别为E A = ；E B = ；E C = 。(设方向向右为正) 解：此题应当应用叠加原理，每个区域的电场强度等于每个均匀带电平面单独存在时产生的场强的矢量和。设自左向右的方向为正，则有 A 区域内任一点的场强： 0023222εσ εσεσ- =-- =A E B 区域内任一点的场强： 002222εσ εσεσ- =-=B E C 区域内任一点的场强： 0023222εσεσεσ=+=C E 习题7—18 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：E x =bx ，E y =E z =0，高斯面边长a =0.1m ，常数b =1000N/(C ?m)。试求该闭合面中包含的静电荷。 解：根据高斯定理，可有 ?????∑==?+?=?=a x a x S i i S d E S d E S d E q 2000 εεε a x a x bx a bx a 22020==+-=εε 3030302ba ba ba εεε=+-= 10001.01085.8312???=- C 1085.812-?= 习题7─19 一细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量+Q ，沿其下半部分均匀分布有电量－Q ，如图所示，求圆心O 处的电场强度。 解：如图所示，在半圆形玻璃棒的上半部分取一线元θRd dl =，其位置处相应的半径与X 轴负向的夹角为θ，其带电量θπλQd R dl Q dl dq 2)(2=?==，其在O 点产生的元场强的大小为 A B C σ+ σ2+ 习题7―17图 习题7―18图 习题7―19图 2 022024R R dE εππε== 其方向如图所示。由于各个线元产生的元场强方向不一致，因此需把E d 分解 2 022s i n s i n R d Q dE dE y επθ θθ- =-= 由于电荷分布的对称性，最终O 点场强的X 分量0=x E 。因此，圆心O 处的电场强度的Y 分量为 2 022 2 02s i n 2R Q d R Q dE E y y επθθεππ- =-==? ? 把O 处的电场强度写成矢量式为 j R Q j E E y 2 02επ- == 习题7─20 在真空中有一长为l =10cm 的细杆，杆上均匀分布着电荷，已知其电荷线密度m C 10015/.-?=λ，在杆的延长线上，距杆的一端为d =10cm 的一点上，有一电量为C 100250-?=.q 的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。 解法Ⅰ：沿细杆方向建立X 轴方向向左，坐标原点就在q 0所在处，在细杆上x 处取线元dx ，其带电为dx dq λ=，线元在q 0所在处产生的元场大小为 2 02044x dx x dq dE πελπε== 整个细杆在q 0所在处产生的电场大小为 )(4)11(440020 l d d l l d d x dx dE E l d d +?=+-?== =? ?+πελπελπελ 点电荷q 0所受的电场力为 N 99.820.010.01085.814.34100.210.0100.1)(412 5 5000=?????????=+???==---l d d q l E q F πελ 解法Ⅱ：沿细杆方向建立X 轴方向向左，坐标原点就在q 0所在处，在细杆上x 处取线元dx ，其带电为dx dq λ=，线元在q 0所在处产生的元场大小为 x dx q O 习题7―20图 2 02044x x dE πεπε== 点电荷q 0所受的该线元的作用力为 2 0004x dx q dE q dF πελ??== 点电荷q 0所受整个细杆的作用力为 )(4400 200l d d q l x dx q dF F l d d +??=?= =??+πελπελ 带入已知数据，可以得到与解法Ⅰ相同的结果。 习题7─21 如图所示，真空中一“无限大”均匀带电平面，平面附近有一质量为m 、电量为q 的粒子，在电场力作用下，由静止开始沿电场方向运动一段距离l ，获得大小为v 的速度。试求平面上的面电荷密度。重力影响可以忽略不计。 解：根据动能定理有 02 1 220-=?= =v m ql qEl A εσ 所以，平面上的面电荷密度为 ql m 2 0v εσ= 习题7─22 如图所示为一沿X 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，已知其电荷线密度为)(0a x -=λλ，式中0λ为常量，取 0=∞U ，求坐标原点O 处的电势。 解：在棒上x 处取线元dx ，其带电量dx a x dx dq )(0-==λλ，其在坐标原点O 处产生的元电势为 x dx a x x dq dU 0004)(4πελπε-= = 整个带电细棒在坐标原点O 处产生的电势为 []l a a l a a x a x dx x a dU U ++-=-==??ln 4)1(40000πελπελ ?? ????+-=a l a a l ln 40 πελ σ 习题7―21图 习题7―22图 习题7─23 一半径R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ，设无穷远处为电势零点。计算圆盘中心O 处的电势。 解：在盘面上以O 为原心，以r 为半径，取宽度为dr 的环带，它相当于带电圆环，其面积为rdr dS π2=，带电量为rdr dS dq πσσ2==，其在盘中心O 处产生的元电势为 024εσπεdr r dq dU ?= = 整个带电圆盘在圆盘中心O 处产生的电势为 0 0022εσεσR dr dU U R == =?? 习题7─24 如图所示，在电矩为P 的电偶极子的电场中，将一电量为q 的点电荷从A 点沿半径为R 的圆弧（圆心与电偶极子的中心重合，R 远大于电偶极子正负电荷之间的距离）移到B 点。求此过程中 电场力作的功。 解：电偶极子的电场中某一点的电势为 20304cos 4r P r r P U πεθπε=?= 将一电量为q 的点电荷从A 点移到B 点的过程中电场力作的功 2 020202)40c o s 4c o s ( )(R qP R P R P q U U q A B A πεπεπεπ-=-=-= ［注意：电偶极子的电势公式中：r 是场点对电偶极子的位置矢量，而且r 需远 大于电偶极子正负电荷之间的距离；式中θ角是r 与电偶极子的电矩P 之间的夹角］ 习题7─25 图为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为ρ，球壳内表面半径为R 1，外表面半径为R 2，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。 解：以O 为中心，以r (21R r R ≤≤)为半径，在球壳内取一厚度为dr 的薄球壳，其可看成均匀带电球面，其带电量为dr r dV dq 24πρρ==，其在其内部任一点产生的电势为 rdr r dr r r dq dU ?===0 020444ερ πεπρπε 整个球壳在空腔内任一点产生的电势为 R A B P 习题7―24图 习题7―25图 R O r dr σ 题解7―23图 )(221212 20 20 02 121 R R r rdr dU U R R R R -?=???????= ?==??ερερ ερ ［注意：本题应用均匀带电球面的电势公式通过积分的方法非常简便地求得了结果；该题还可以先用高斯定理求出场分布，再用场强与电势的积分关系通过积分算出结果，但是这样的作法较麻烦，同学们可以试一试。］ 习题7─26 图为两个半径均为R 的非导体 球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q 和-Q ，两球心相距为d (d >>2R )。求两球心间的电势差。 解：选择两球心连线为积分路径，在该 路径上距O 1为r 的某点的电场强度大小为 2 02 0) (44r d Q r Q E -+ = πεπε 电场强度的方向是从O 1指向O 2。两个非导体球壳都在表面上均匀带电，它们均可视为均匀带电球面，因此每个球壳各自都是个等势体，故而两球心间的电势差即为两球表面间的电势差，所以有 dr r d Q r Q l d E U R d R ??-??????-+=?=202012 )(44πεπε R d R R d R r d Q r Q --??? ???-+??????-=141400πεπε R Q R d R R d Q 002)(2)2(πεπε≈-?-?= ［注：此题原来给出的答案可能是错的。］ 习题7─27 电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，设无穷远处为电势零点，试证明离球心r (r 3 0228) 3(R r R Q U πε-= 证明：由高斯定理容易算出该球体内外的场分布： ???????=203 044r Q R Qr E πεπε 因此，离球心为r (r dr r Q dr R Qr dr E l d E U R R r ?? ??∞+=?=?=203 044πεπε 0≤r ≤R r ≥R –Q 习题7―26图 ∞ ??? ???-+??? ???=R R r r Q r R Q 142140 230πεπε R Q r R R Q 0223 04)(8πεπε+ -?= 3 0228) 3(R r R Q πε-= 习题7—28 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ?????==0 4ρπρR qr )()(R r R r >≤ 式中q 为一正的常数。试求：(1) 带电球体的总电量；(2) 球内、外各点的电场 强度；(3) 球内、外各点的电势。 解：(1) 带电球体的总电量为 q dr r R qr dV Q R =?==????2 04 4ππρ (2) 取半径为r 的同心球形高斯面，则有 在r dr r R qr dV S d E r V S 20400 41 1ππερε?= = ????? ? 4 04 2 4R qr E r επ= ∴ 4 02 4R qr E πε= 在r >R 区间： q E r 0 21 4επ= ∴ 2 04r q E πε= 所以场强分布为 ??? ????=2 04 02 44r q R qr E πεπε )()(R R R r >< (3) 根据场强与电势的积分关系 在r dr r q dr R qr l d E l d E U R R r R R r ?? ??∞∞+=?+?=2040244πεπε 4 030123R qr R q πεπε- = 在r >R 区间： r q dr r q l d E U r r 02 044πεπε==?=? ? ∞ ∞ 所以电势分布为 ??? ????-=r q R qr R q U 04 03 04123πεπεπε )()(R r R r >< 习题7—29 图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ。试求板内外的场强分布并画出场强在X 轴的投影值随坐标x 变化的图线，即E x —x 图线( 设原点在带电平 板的中央平面上，OX 轴垂直于平板)。 解：以X 轴为轴线取一闭合圆柱面S ，使其两个端面距带电平板的中央平面等距，即两 端面分别在x 和－x 处，同时设端面积为S ?， 根据高斯定理 在平板内有： S x S E ??=?ρε21 20 ∴ x E 0ερ = (2d x <) 在平板外有： S d S E ??= ?ρε0 1 2 ∴ 0 2ερd E = (2d x >) 场强在X 轴的投影值随坐标x 变化的图线如图所示。 题解7―29 图 习题7―29图 静电场一章补充习题及答案 习题15─52(2000.1习题集) 一“无限长”均匀带电半圆柱面，半径为R ，若半圆柱面沿轴线单位长度上的电量为λ，试求轴线上任一点的电场强度。 分析：该题求解的关键在如何取“元电荷”，根据“无限长”的对称性，应当在柱面上、沿轴线方向取 “无限长” 窄条元电 荷，这样的“窄条”可以看成是“无限长” 均匀带电直线。 解：如图所示是该半圆柱面的垂直于轴线的横截面（在XOY 平面内），轴线沿Z 轴方向。设所取“窄条”宽度为θRd dl =， 其电荷线密度为 θπλ πθλπλλd R Rd dl R ==?=' 其在轴线上某点的元场强的大小为 R d R dE 02 022επθ λπελ='= 元场的方向如图所标。现把E d 进行分解 θθεπλ θd R dE dE x ??= =cos 2cos 02 θθεπλ θd R dE dE y ??- =-=sin 2sin 02 由于对称性，0=∑x dE 。因此，轴线上最终的场强为 ???-= =πθθεπλ 002sin 2d R dE E y R R 020 02)(c o s 2επλθεπλπ -== 写成矢量式有 j R j E E y 02 επλ- == 习题15─61(2000.1习题集) 一锥顶角为θ的圆台，上下底面半径分别为R 1和 O R O ' 窄 条 面元 题解15―52图1 题解15―52图2 R 2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度为σ，求顶点O 的电势。(以无穷远处为电势零点) 分析：此题的关键仍是取“元电荷” 的问题，根据带电体的形状，应该在圆台 面上取与其共轴的窄圆环（球带），该球带可视为均匀带电圆环。 解：如图，取半径为r (21R r R ≤≤)、母线长为dl 的球带（环形电荷元），其侧 面积为r d l dS π2=，带电量为 r d l dS dq ?=?=πσσ2，由于θdr dl =，因此，θπσ2rdr dq ?=，其在O 点产生的元电势为 dr r rdr l dq dU ?=???= =0 002sin 424εσ θθπεπσπε 故顶点O 的电势为 )(22120 021 R R dr dU U R R -===??εσ εσ 习题15—69(2000.1习题集) 如图所示，在一个电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，挖出一个以O '为球心的球状小空腔，空腔的球心O ' 相对于带电球体中心O 的位置矢量用b 表示，试证明球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为 b E 0 3ερ= 分析：均匀带电球体中挖去一个球状空腔，电荷分布及场分布已经不具有对称性，所以不能直接用高斯定理求解，但是可以间接使用高斯定理求解。如图所示，该球体可以看成一个与其等大的、电荷体密度为ρ的完整无损的均匀带电球体和另一个与球形小空腔等大的、电荷体密度为ρ-的完整无损的均匀带电小球体叠加而成，按叠加原理，空间任一点的场应等于上述两个带电球体各自单独存在时产生的场之叠加。 题解15―61图 ╋ ＝ ρ 题解15―69图 习题15―69图 解：设空腔内任一点P 对O 点的位置矢量为r ，电荷体密度为ρ的完整无损的均匀带电球体单独存在时在P 点产生的场为 r R R r r R q E 033 030133444ερρππεπε=??? ???== 同理，电荷体密度为ρ-的完整无损的均匀带电小球体单独存在时在P 点产生的 电场为 a E 23ερ-= 式中a 为场点P 对O '点的位置矢量。所以，P 点最终的场为 b a r E E E 0 0213)(3ερερ=-=+= ［注：对这样“破缺”型问题，应当考虑采用反号电荷补偿法进行拆分，拆分原 则是能方便地应用叠加原理求得结果，类似问题在磁学中还会遇到，不过在那里是采用反向电流补偿法进行拆分处理。］ 习题7—8(李子芳主编的教材，第七章) 半径为R 的球体内电荷体密度为 )1(0R r -=ρρ， 式中0ρ为常量，r 为球内某点到球心的距离。试求球内、外的场强分布。 分析：电荷在球体内尽管分布不均匀，但因ρ只是r 的函数，所以仍为球对称分布，仍然可以用高斯定理；不过计算面内电荷∑i q 时需积分，因为这时ρ并非常数。 解：取同心球形高斯面，半径为r 。 在r >R 区间： ? ∑?= = ?V i i S dV q S d E ρεε0 1 1 ∵ 24r E S d E S π?=?? 而 3020 03 1 4)1(R r d r R r dV q R V i i πρπρρ='''- ==??∑ ∴ 30023 1 14R r E πρεπ?= ? ∴ 2 03 012r R E ερ= (r>R) 在R r ≤≤0区间： ? ? ' ==?V S dV r E S d E ρεπ0 2 14 而 ?? ? ?? -= '''-=='? ?∑' R r r r d r R r dV q r V i i 4313 44)1(302 0πρπρρ ∴ )431(300R r r E -= ερ (R r ≤≤0) 习题15—33(2000.1习题集) 一“无限长”均匀带电直线沿Z 轴放置，线外某区域的电势表达式为)ln(22y x A U +=，式中A 为常数，则该区域场强的两个为： E x = ；E y = 。 解：由场强与电势的微分关系可得 2 2222)ln(y x Ax y x x A x U E x +-=+??-=??- = 0)l n (22=+?? -=??- =y x z A z U E y 习题15—2(2000.1习题集) 电荷面密度为σ+和σ-的两块“无限大”均匀带电的平行平板，放在与平面垂直的X 轴上的+a 和-a 的位置上，如图所示。设坐标原点O 处电势为零，则在-a 解：根据叠加原理，在-a 0022εσ εσεσ-=--==x E E ∴该区间的电势分布 x dx dx E l d E U x x 0 00εσ εσ=-=?=?=? ?? 因此在该区间的电势U 与x 成正比。［选择答案(C)］ ［注意：①对“无限大”带电体的场不能取无限远为电势零点； ②用场强与电势的 习题15―2图 关系计算电势时，其积分限是从场点到电势零点。］ 《静电场》章末检测题 一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分。将所有符合题意的选项选出，将其序号填入答卷页的表格中。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有错选或不选的得O 分。） 1．下列关于起电的说法错误的是（ ） A ．静电感应不是创造电荷，只是电荷从物体的一个部分转移到了另一个部分 B ．摩擦起电时，失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电 C ．摩擦和感应都能使电子转移，只不过前者使电子从一个物体转移到另一个物体上，而后者则使电子从物体的一部分转移到另一部分 D ．一个带电体接触一个不带电的物体，两个物体可能带上异种电荷 2．两个完全相同的金属球A 和B 带电量之比为1：7 ，相距为r 。两者接触一下放回原来的位置，则后来两小球之间的静电力大小与原来之比可能是（ ） A ．16：7 B ．9：7 C ．4：7 D ．3：7 3．下列关于场强和电势的叙述正确的是（ ） A ．在匀强电场中，场强处处相同，电势也处处相等 B ．在正点电荷形成的电场中，离点电荷越远，电势越高，场强越小 C ．等量异种点电荷形成的电场中，两电荷连线中点的电势为零，场强不为零 D ．在任何电场中，场强越大的地方，电势也越高 4． 关于q W U AB AB 的理解，正确的是（ ） A ．电场中的A 、B 两点的电势差和两点间移动电荷的电量q 成反比 B ．在电场中A 、B 两点间沿不同路径移动相同电荷，路径长时W AB 较大 C ．U AB 与q 、W AB 无关，甚至与是否移动电荷都没有关系 D ．W AB 与q 、U AB 无关，与电荷移动的路径无关 5．如图所示，a 、b 、c 为电场中同一条电场线上的三点，其中c 为线段ab 的中点。若 一个运动的正电荷仅在电场力的作用下先后经过a 、b 两点，a 、b 两点的电势分别为 a = -3 V 、 b = 7 V ，则（ ） A ．c 点电势为2 V B ．a 点的场强小于b 点的场强 C ．正电荷在a 点的动能小于在b 点的动能 D ．正电荷在a 点的电势能小于在b 点的电势能 6． 一平行板电容器接在电源上，当两极板间的距离增大时，如图所示，则（ ） A ．两极板间的电场强度将减小，极板上的电量也将减小； B ．两极板间的电场强度将减小，极板上的电量将增大； C ．两极板间的电场强度将增大，极板上的电量将减小； D ．两极板间的电场强度将增大，极板上的电量也将增大。 电磁学第二版习题答案2 电磁学 第二版 习题解答 电磁学 第二版 习题解答 (2) 第一章 .............................................................. 2 第二章 ............................................................ 18 第三章 ............................................................ 27 第四章 ............................................................ 36 第五章 ............................................................ 40 第六章 ............................................................ 48 第七章 (54) 第一章 1．2．2 两个同号点电荷所带电荷量之和为Q 。在两者距离一定的前提下，它们带电荷量各为多少时相互作用力最大？ 解答： 设一个点电荷的电荷量为1q q =，另一个点电荷的电荷量为 2()q Q q =-，两者距离为r ，则由库仑定律求得两个点电荷之间的作用力为 2 0() 4q Q q F r πε-= 令力F 对电荷量q 的一队导数为零，即 20()04dF Q q q dq r πε--== 得 122 Q q q == 即取 122 Q q q == 时力F 为极值，而 22 2 02 204Q q d F dq r πε== < 故当122 Q q q ==时，F 取最大值。 1．2．3 两个相距为L 的点电荷所带电荷量分别为2q 和q ，将第三个点电荷放在何处时，它所受的合力为零？ 解答： 要求第三个电荷Q 所受的合力为零，只可能放在两个电荷的连线中间，设它与电荷q 的距离为了x ，如图1.2.3所示。电荷Q 所受的两个电场力方向相反，但大小相等，即 22 00204()4qQ qQ L x x πεπε-=- 得 22 20x Lx L +-= 舍去0x <的解，得 21)x L =- L x L -q Q 2 大学电磁学习题1 一.选择题(每题3分) 1、如图所示,半径为R 的均匀带电球面,总电荷为Q ,设无穷远处的电势 为零,则球内距离球心为r 的P 点处的电场强度的大小与电势为: (A) E =0,R Q U 04επ= . (B) E =0,r Q U 04επ=. (C) 204r Q E επ=,r Q U 04επ= . (D) 204r Q E επ=,R Q U 04επ=. ［ ］ 2、一个静止的氢离子(H +)在电场中被加速而获得的速率为一静止的氧离子(O + 2)在同一电场中且通过相同的路径被加速所获速率的: (A) 2倍. (B) 22倍. (C) 4倍. (D) 42倍. ［ ］ 3、在磁感强度为B 的均匀磁场中作一半径为r 的半球面S ,S 边线所在平面的法线方向单位矢量n 与B 的夹角为α ,则通过半球面S 的磁通量(取弯面 向外为正)为 (A) πr 2B . 、 (B) 2 πr 2B . (C) -πr 2B sin α. (D) -πr 2B cos α. ［ ］ 4、一个通有电流I 的导体,厚度为D ,横截面积为S ,放置在磁感强度为B 的匀强磁场中,磁场方向垂直于导体的侧表面,如图所示.现测得导体上下两面电势差为V ,则此导体的 霍尔系数等于 (A) IB VDS . (B) DS IBV . (C) IBD VS . (D) BD IVS . (E) IB VD . ［ ］ 5、两根无限长载流直导线相互正交放置,如图所示.I 1沿y 轴的正方向,I 2沿z 轴负方向.若载流I 1的导线不能动,载流I 2的导线可以 自由运动,则载流I 2的导线开始运动的趋势就是 (A) 绕x 轴转动. (B) 沿x 方向平动. (C) 绕y 轴转动. (D) 无法判断. ［ ］ y z x I 1 I 2 第十章 静电场中的能量精选试卷测试卷（含答案解析） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．一均匀带负电的半球壳，球心为O 点，AB 为其对称轴，平面L 垂直AB 把半球壳分为左右两部分，L 与AB 相交于M 点，对称轴AB 上的N 点和M 点关于O 点对称，已知一均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零；取无穷远处电势为零，点电荷q 在距离其为r 处的电势为φ=k q r （q 的正负对应φ的正负）。假设左侧部分在M 点的电场强度为E 1，电势为φ1；右侧部分在M 点的电场强度为E 2，电势为φ2；整个半球壳在M 点的电场强度为E 3，在N 点的电场强度为E 4．下列说法正确的是（ ） A ．若左右两部分的表面积相等，有12E E >，12??> B ．若左右两部分的表面积相等，有12E E <，12??< C ．不论左右两部分的表面积是否相等，总有12E E >，34E E = D ．只有左右两部分的表面积相等，才有12 E E >，34E E = 【答案】C 【解析】 【详解】 A 、设想将右侧半球补充完整，右侧半球在M 点的电场强度向右，因完整均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，可推知左侧半球在M 点的电场强度方向向左，根据对称性和矢量叠加原则可知，E 1方向水平向左，E 2方向水平向右，左侧部分在M 点产生的场强比右侧电荷在M 点产生的场强大，E 1＞E 2，根据几何关系可知，分割后的右侧部分各点到M 点的距离均大于左侧部分各点到M 点的距离，根据k q r ?=，且球面带负电，q 为负，得：φ1＜φ2，故AB 错误； C 、E 1＞E 2与左右两个部分的表面积是否相等无关，完整的均匀带电球壳内部任一点的电场强度为零，根据对称性可知，左右半球壳在M 、N 点的电场强度大小都相等，故左半球壳在M 、N 点的电场强度大小相等，方向相同，故C 正确， D 错误。 2．如图所示，匀强电场中有一个以O 为圆心、半径为R 的圆，电场方向与圆所在平面平行，圆上有三点A 、B 、C ，其中A 与C 的连线为直径，∠A ＝30°。有两个完全相同的带正电粒子，带电量均为q （q ＞0），以相同的初动能E k 从A 点先后沿不同方向抛出，它们分别运动到B 、C 两点。若粒子运动到B 、C 两点时的动能分别为E kB ＝2E k 、E kC ＝3E k ，不计粒 静电场单元测试 一、选择题 1．如图所示，a 、b 、c 为电场中同一条电场线上的三点，c 为ab 的中点，a 、b 点的电势分别为φa ＝5 V ，φb ＝3 V ，下列叙述正确的是( ) A ．该电场在c 点处的电势一定为4 V B ．a 点处的场强一定大于b 处的场强 C ．一正电荷从c 点运动到b 点电势能一定减少 D ．一正电荷运动到c 点时受到的静电力由c 指向a 2．如图所示，一个电子以100 eV 的初动能从A 点垂直电场线方向飞入匀强电场，在B 点离开电场时，其速度方向与电场线成150°角，则A 与B 两点间的电势差为( ) A ．300 V B ．－300 V C ．－100 V D ．－1003 V 3．如图所示，在电场中，将一个负电荷从C 点分别沿直线移到A 点和B 点，克服静电力做功相同．该电场可能是( ) A ．沿y 轴正向的匀强电场 B ．沿x 轴正向的匀强电场 C ．第Ⅰ象限内的正点电荷产生的电场 D ．第Ⅳ象限内的正点电荷产生的电场 4．如图所示，用绝缘细线拴一带负电小球，在竖直平面内做圆周运动， 匀强电场方向竖直向下，则( ) A ．当小球运动到最高点a 时，线的张力一定最小 B ．当小球运动到最低点b 时，小球的速度一定最大 C ．当小球运动到最高点a 时，小球的电势能最小 D ．小球在运动过程中机械能不守恒 5．在静电场中a 、b 、c 、d 四点分别放一检验电荷，其电量可变，但很小，结果测出检验电荷所受电场力与电荷电量的关系如图所示，由图线可知 ( ) A ．a 、b 、c 、d 四点不可能在同一电场线上 B ．四点场强关系是E c ＝E a >E b >E d C ．四点场强方向可能不相同 D ．以上答案都不对 6．如图所示，在水平放置的光滑接地金属板中点的正上方，有带正电的点电荷Q ， 一表面绝缘带正电的金属球(可视为质点，且不影响原电场)自左以速度v 0开始在 金属板上向右运动，在运动过程中 ( ) A ．小球做先减速后加速运动 B ．小球做匀速直线运动 C ．小球受的电场力不做功 D ．电场力对小球先做正功后做负功 7．如图所示，一个带正电的粒子以一定的初速度垂直进入水平方向的匀强电场．若不计重力，图中的四个图线中能描述粒子在电场中的运动轨迹的是 ( ) 8．图中虚线是用实验方法描绘出的某一静电场中的一簇等势线，若不计重力的 带电粒子从a 点射入电场后恰能沿图中的实线运动，b 点是其运动轨迹上的另一 点，则下述判断正确的是 ( ) A ．b 点的电势一定高于a 点 B ．a 点的场强一定大于b 点 第一章思考题 1． 1一个点电荷受到另一个点电荷的静电力是否会因其它电荷的移近而改变？当“另一个点电荷”被一个带电导体代替时，情况又如何？ 答：根据静电力的叠加原理，一个点电荷受到另一个点电荷的作用力，不论周围是否存在其它电荷，总是符合库仑定律的，如果这两个点电荷都是静止的固定的，则它们间距不发生变化，其相互作用力不会因其它电荷的移近而改变（反之若这两个点电荷是可动的，则当其它电荷移近，此二点电荷因受其它电荷作用而发生移动，其间距离变化，则相互作用力也变） 1． 2有一带电的导体，为测得其附近P 点的场强，在P 点放一试探电荷0q （0q >0），测得它所受的电场力为F 。如果0q 很大，F/0q 是 否等于P 点的场强E ？比E 大还是比E 小？ 答：若0q 很大，受它影响，带正电的导体的电荷分布，由于静电感应，导体上的正电荷受到排斥要远离P 点，因此在P 点放上0q 后，场强要比原来小，而测得的F/0q 是导体上电荷重新分布后测得的P 点的场强，故F/0q 要比P 点原来的场强E 小 1、 3场强的定义式为E=F/0q ，可否认为场强E 与F 成正比，与0q 成反比？当0 q →0时，场强是无限大还是为零？还是与0q 无关？ 答：不能，电场中某点的场强，它是由产生电场的电荷决定的，电场中某点的电场强度是客观存在的，是具有确定的值，当某点放上0q 后，所受的力F 与0q 成正比，比值F/0q 是个确定的值，其大小与F ，0q 均无关系，成以当0q →0时，其所受的力F →0，其比值→确定 值，与0q 无关 1． 4判断对错。（1）闭合曲面上各点场强为零时，面内必没有电荷；（2）闭合曲面内电量为零时，面上各点场强必为零；（3）闭合曲面 的电通量为零时，面上各点的场强必为零；（4）通过闭合曲面的电通量仅决定于面内电荷；（5）闭合曲面上各点的场强是仅由面内电荷产生的；（6）应用高斯定理求场强的条件是电荷分布具有一定的对称性；（7）如果库仑定律中r 的幂不是-2，则高斯定理不成立 答：（1）（2）（3）（5）（6）不对；（4）（7）对‘ 1． 5一个点电荷放在球形高斯面的球心，试问下列情况下电通量是否改变（1）如果这球面被任意体积的立方体表面所代替，而点电荷仍 位于立方体中心；（2）如果此点电荷被移离原来的球心，但仍在球内；（3）如果此点电荷被放到高斯球面之外；（4）如果把第二个点电荷放到高斯球面外的某个地方；（5）如果把第二个电荷放在高斯球面内 答：（1）与曲面形状无关，所以电通量不改变；（2）与面内电荷所在位置无关，所以电通量不改变；（3）面内电荷改变（减少）所以电通量改变→0；（4）面内电荷不变，所以电通量不改变；（5）面内电荷改变（增加），所以电通量改变→增加 1． 6图中已知S 1面上的电通量为1 S Φ，问S 2面，S 3面及S 4面上的电通量2 S Φ，3 S Φ，4 S Φ各等于多少？ 答：S 1面与S 3面组成闭合曲面1 S Φ+3 S Φ= 1 εq ，3 S Φ= 1 εq -1 S Φ； S 4与S 3组成闭合曲面3 S Φ+4 S Φ=0，4 S Φ=-3 S Φ=1 S Φ-0 1 εq ； S 2与S 3组成闭合曲面2 S Φ+3 S Φ= 2 1εq q +；2 S Φ=-3 S Φ+ 2 1εq q +=1 S Φ-0 1 εq + 2 1εq q +=1 S Φ+ 2 εq 1． 7（1）将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电位高处运动，还是向电位低处运动？为什么？（2）说明 无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高的地方移向电位能低的地方。 答：（1）总是向高电位处运动，受力方向逆着电力线，在初速为零，逆着电力线方向运动，电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高。（2）仅在电场力作用下移动时，电场力方向与正负电荷位移方向一致，电场力作正功，使电荷的电位能减小,所以电荷总是从电位能高处向低处移动 1． 8可否任意将地球的电位规定为100伏，而不规定为零？这样规定后，对测量电位，电位差的数值有什么影响？ 答：可以，对电位差的数值无影响，对电位的数值有影响，提高了 1． 9判断对错（1）场强大的地方，电位一定高。（2）电位高的地方，场强一定大。（3）带正电的物体的电位一定是正的。（4 ）电位等于 《电磁学》练习题（附答案） 1. 如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求： (1) 在它们的连线上电场强度0=E 的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ 2. 一带有电荷q ＝3×10- 9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10- 5 J ，粒子动能的增量为4.5×10- 5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 3. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度． 4. 一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布． 5. 若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值． (ε0＝8.85×10- 12C 2 / N ·m 2 ) 6. 真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m ，位于图中所示位 置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0． 常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量． 7. 一电偶极子由电荷q ＝1.0×10-6 C 的两个异号点电荷组成，两电荷相距l ＝2.0 cm ．把这电偶极子放在场强大小为E ＝1.0×105 N/C 的均匀电场中．试求： (1) 电场作用于电偶极子的最大力矩． (2) 电偶极子从受最大力矩的位置转到平衡位置过程中，电场力作的功． 8. 电荷为q 1＝8.0×10-6 C 和q 2＝－16.0×10- 6 C 的两个点电荷相距20 cm ，求离它们都是20 cm 处的电场强度． (真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2N -1m -2 ) 9. 边长为b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy 、yOz 和xOz 平面．盒子的一角在坐标原点处．在 此区域有一静电场，场强为j i E 300200+= .试求穿过各面的电通量． E q L q P 第十章 静电场中的能量精选试卷（Word 版 含解析） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．如图所示，真空中有一个边长为L 的正方体，正方体的两个顶点M 、N 处分别放置电荷量都为q 的正、负点电荷．图中的a 、b 、c 、d 是其他的四个顶点，k 为静电力常量．下列表述正确是（ ） A ．a 、b 两点电场强度大小相等，方向不同 B ．a 点电势高于b 点电势 C ．把点电荷+Q 从c 移到d ，电势能增加 D ．同一个试探电荷从c 移到b 和从b 移到d ，电场力做功相同 【答案】D 【解析】 A 、根据电场线分布知，a 、b 两点的电场强度大小相等，方向相同，则电场强度相同．故A 错误． B 、ab 两点处于等量异种电荷的垂直平分面上，该面是一等势面，所以a 、b 的电势相等．故B 错误． C 、根据等量异种电荷电场线的特点，因为沿着电场线方向电势逐渐降低，则c 点的电势大于d 点的电势．把点电荷+Q 从c 移到d ，电场力做正功，电势能减小，故C 错误． D 、因cb bd U U =可知同一电荷移动，电场力做功相等，则D 正确．故选D ． 【点睛】解决本题的关键知道等量异种电荷周围电场线的分布，知道垂直平分线为等势线，沿着电场线方向电势逐渐降低． 2．位于正方形四角上的四个等量点电荷的电场线分布如右图所示，ab 、cd 分别是正方形两条边的中垂线，O 点为中垂线的交点，P 、Q 分别为cd 、ab 上的点，且OP ＜OQ . 则下列说法正确的是 A ．P 、O 两点的电势关系为p o ??< B ．P 、Q 两点电场强度的大小关系为E Q 静电场及其应用精选试卷测试卷（word版，含解析）(1) 一、第九章静电场及其应用选择题易错题培优（难） 1．电荷量相等的两点电荷在空间形成的电场有对称美．如图所示，真空中固定两个等量异种点电荷A、B，AB连线中点为O.在A、B所形成的电场中，以O点为圆心半径为R的圆面垂直AB连线，以O为几何中心的边长为2R的正方形平面垂直圆面且与AB连线共面，两个平面边线交点分别为e、f，则下列说法正确的是( ) A．在a、b、c、d、e、f六点中找不到任何两个场强和电势均相同的点 B．将一电荷由e点沿圆弧egf移到f点电场力始终不做功 C．将一电荷由a点移到圆面内任意一点时电势能的变化量相同 D．沿线段eOf移动的电荷，它所受的电场力先减小后增大 【答案】BC 【解析】 图中圆面是一个等势面，e、f的电势相等，根据电场线分布的对称性可知e、f的场强相同，故A错误．图中圆弧egf是一条等势线，其上任意两点的电势差都为零，根据公式 W=qU可知：将一正电荷由e点沿圆弧egf移到f点电场力不做功，故B正确．a点与圆面内任意一点时的电势差相等，根据公式W=qU可知：将一电荷由a点移到圆面内任意一点时，电场力做功相同，则电势能的变化量相同．故C正确．沿线段eof移动的电荷，电场强度先增大后减小，则电场力先增大后减小，故D错误．故选BC． 【点睛】等量异种电荷连线的垂直面是一个等势面，其电场线分布具有对称性．电荷在同一等势面上移动时，电场力不做功．根据电场力做功W=qU分析电场力做功情况．根据电场线的疏密分析电场强度的大小，从而电场力的变化． 2．如图所示，竖直平面内固定一倾斜的光滑绝缘杆，轻质绝缘弹簧上端固定，下端系带正电的小球A，球A套在杆上，杆下端固定带正电的小球B。现将球A从弹簧原长位置由静止释放，运动距离x0到达最低点，此时未与球B相碰。在球A向下运动过程中，关于球A 的速度v、加速度a、球A和弹簧系统的机械能E、两球的电势能E p随运动距离x的变化图像，可能正确的有（） 电子信息学院电磁场与电磁波第一章复习题练习 姓名 学号 班级 分数 1-7题，每题5分；8-15题，每题5分，16题10分，17题15分。 8: 解：不总等于，讨论合理即可 9. 已知直角坐标系中的点P 1(-3，1，4)和P 2（2，-2,3）： (1) 在直角坐标系中写出点P 1、P 2的位置矢量r 1和r 2； (2) 求点P 1到P 2的距离矢量的大小和方向； (3) 求矢量r 1在r 2的投影； 解：（1）r1=-3a x +a y +4a z ; r2=2a x -2a y +3a z (2)R=5a x -3a y -a z (3) [（r1?r2）/ │r2│] =（17）? 10.用球坐标表示的场E =a r 25/r 2，求： （1） 在直角坐标系中的点（-3,4，-5）处的|E |和E z ； （2） E 与矢量B =2a x -2a y +a z 之间的夹角。 解：（1）0.5；2?/4; (2)153.6 11.试计算∮s r ·d S 的值，式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体，r 为 空间任一点的位置矢量。 解：学习指导书第13页 12.从P （0,0,0）到Q （1,1,0）计算∫c A ·d l ，其中矢量场A 的表达式为 A =a x 4x-a y 14y 2.曲线C 沿下列路径： （1） x=t ，y=t 2； （2） 从（0,0,0）沿x 轴到（1,0,0），再沿x=1到（1,1,0）； （3） 此矢量场为保守场吗？ 解：学习指导书第14页 13.求矢量场A =a x yz+a y xz+a z xy 的旋度。 A ??=x a （x -x ）+y a （y -y ）+z a （z -z ）=0 14.求标量场u=4x 2y+y 2z-4xz 的梯度。 u ?=x a u x ??+y a u y ??+z a u z ??=x a (8xy-4z)+y a (42x +2yz)+z a (2y -4x) 第十章 静电场中的能量精选试卷试卷（word 版含答案） 一、第十章 静电场中的能量选择题易错题培优（难） 1．如图所示，两个可视为点电荷的带正电小球A 和B ，A 球系在一根不可伸长的绝缘细线一端，绕过定滑轮，在细绳的另一端施加拉力F ，B 球固定在绝缘座上，位于定滑轮的正下方。现缓慢拉动细绳，使A 球缓慢移动到定滑轮处，此过程中，B 球始终静止，忽略定滑轮大小和摩擦，下列判断正确的是（ ） A ． B 球受到的库仑力先增大后减小 B ．拉力F 一直增大 C ．地面对绝缘座的支持力一直减少 D ．A 球的电势能先不变后减少 【答案】D 【解析】 【详解】 设球所受库仑力大小为F C ，AB 两球间距离为r ，B 球距定滑轮为h ，A 球与定滑轮间距离为l ，对开始位置处的A 球受力分析，将F 和F C 合成如图，由相似三角形可得 C A B 3F Q Q mg k h r r == 所以A 球缓慢移动过程中，r 先不变，等A 球运动到滑轮正下方后，r 再变大；整个过程中l 一直减小。 A ．r 先不变再变大， B 球受到的库仑力大小先不变再减小，故A 项错误； B ．A 球未到滑轮正下方时，由相似三角形可得 F mg l h = 所以F先减小，当A球到达滑轮正下方后，由平衡条件可得 A B 2 Q Q F k mg r += 所以F再增大，故B项错误； C．A球未到滑轮正下方时，库仑力大小不变，方向趋近竖直，则B球受到库仑力的竖直分量变大，地面对绝缘座的支持力先变大；A球到达滑轮正下方后，B球受到库仑力大小减小、方向竖直向下，地面对绝缘座的支持力减小；故C项错误； D．r先不变再变大，两者间的库仑斥力对A球先不做功后做正功，则A球的电势能先不变后减少，故D项正确。 2．如图所示，A、B、C、D是真空中一正四面体的四个顶点，每条棱长均为l.在正四面体的中心固定一电荷量为-Q的点电荷，静电力常量为k,下列说法正确的是 A．A、B两点的场强相同 B．A点电场强度大小为 2 8 3 kQ l C．A点电势高于C点电势 D．将一正电荷从A点沿直线移动到B点的过程中，电场力一直不做功 【答案】B 【解析】 由于点电荷在正四面体的中心，由对称性可知，A、B两点的场强大小相等，但是方向不同，故A错误；由立体几何知识，可知正四面体的中心到顶点的距离为 6 4 ，由 22 2 8 3 6 KQ KQ kQ E r l === ? ? ?? ，故B正确；电势为标量，由对称性可知A点电势等于C点电 势，故C错误；从A点沿直线移动到B点的过程中电势先降低再升高，对于正电荷而言，其电势能先变小再变大，所以电场力先做正功，再做负功，故D错误． 3．匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图所示．已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14 高中物理--静电场测试题（含答案） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分。在每个小题给出的四个选项中，至少有一个选项是正确的，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分） 1．下列物理量中哪些与检验电荷无关？ （ ） A ．电场强度E B ．电势U C ．电势能ε D ．电场力F 2．真空中两个同性的点电荷q 1、q 2 ,它们相距较近，保持静止。今释放q 2 且q 2只在q 1的库 仑力作用下运动，则q 2在运动过程中受到的库仑力（ ） A ．不断减小 B ．不断增加 C ．始终保持不变 D ．先增大后减小 3．如图所示，在直线MN 上有一个点电荷，A 、B 是直线MN 上的两点，两点的间距为L ， 场强大小分别为E 和2E.则（ ） A ．该点电荷一定在A 点的右侧 B ．该点电荷一定在A 点的左侧 C ．A 点场强方向一定沿直线向左 D ．A 点的电势一定低于B 点的电势 4．在点电荷 Q 形成的电场中有一点A ，当一个－q 的检验电荷从电场的无限远处被移到电场中的A 点时，电场力做的功为W ，则检验电荷在A 点的电势能及电场中A 点的电势分别为（ ） A ．,A A W W U q ε=-= B ．,A A W W U q ε==- C ．,A A W W U q ε== D ．,A A W U W q ε=-=- 5．平行金属板水平放置，板间距为0.6cm ，两板接上6×103V 电压，板间有一个带电液滴质量为4.8×10-10 g ，处于静止状态，则油滴上有元电荷数目是（g 取10m/s 2）（ ） A ．3×106 B ．30 C ．10 D ．3×104 6．两个等量异种电荷的连线的垂直平分线上有A 、B 、C 三点，如图所示，下列说法正确的是 程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题 1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律： 由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有： 算得 1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ： 这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T： 解得 1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消： 解得： （2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消： 解得： 1-4 设向上位移为x，则有： 结合牛顿第二定律以及略去高次项有： 1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间： 先由库仑定律写出静电力标量式： 有几何关系： 联立解得 由库仑定律矢量式得： 解得 1-6（1）对一个正电荷，受力平衡： 解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡 （2）对一个负电荷，合外力提供向心力： 解得 1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势 能： 对势能求导得到受力： 小量近似，略去高阶量： 当q＞0时，；当q＜0时， （2）由上知 1-8设q位移x，势能： 对势能求导得到受力： 小量展开有：，知 1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得 设它在平衡位置移动一个小位移x，有： 小量展开化简有： 受力指向平衡位置，微小谐振周期 （2） 1-10 1-11 先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ. 有： 显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等. 利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0. 1-12（1） 一、单选题 1、如果通过闭合面S的电通量 e 为零，则可以肯定 A、面S内没有电荷 B 、面S内没有净电荷 C、面S上每一点的场强都等于零 D 、面S上每一点的场强都不等于零 2、下列说法中正确的是 A 、沿电场线方向电势逐渐降低B、沿电场线方向电势逐渐升高 C、沿电场线方向场强逐渐减小 D、沿电场线方向场强逐渐增大 3、载流直导线和闭合线圈在同一平面内，如图所示，当导线以速度v 向v 左匀速运动时，在线圈中 A 、有顺时针方向的感应电流 B、有逆时针方向的感应电 C、没有感应电流 D、条件不足，无法判断 4、两个平行的无限大均匀带电平面，其面电荷密度分别为和， 则 P 点处的场强为 A、 B 、 C 、2 D、 0 P 2000 5、一束粒子、质子、电子的混合粒子流以同样的速度垂直进 入磁场，其运动轨迹如图所示，则其中质子的轨迹是 12 A、曲线 1 B、曲线 23 C、曲线 3 D、无法判断 6、一个电偶极子以如图所示的方式放置在匀强电场 E 中，则在 电场力作用下，该电偶极子将 A 、保持静止B、顺时针转动C、逆时针转动D、条件不足，无法判断 7q 位于边长为a 的正方体的中心，则通过该正方体一个面的电通量为 、点电荷 A 、0 B 、q q D 、 q C、 6 0400 8、长直导线通有电流I 3 A ，另有一个矩形线圈与其共面，如图所I 示，则在下列哪种情况下，线圈中会出现逆时针方向的感应电流？ A 、线圈向左运动B、线圈向右运动 C、线圈向上运动 D、线圈向下运动 9、关于真空中静电场的高斯定理 E dS q i，下述说法正确的是： S0 A.该定理只对有某种对称性的静电场才成立； B.q i是空间所有电荷的代数和； C. 积分式中的 E 一定是电荷q i激发的； 静电场练习题 一、电荷守恒定律、库仑定律练习题 4．把两个完全相同的金属球A和B接触一下，再分开一段距离，发现两球之间相互排斥，则A、B两球原来的带电情况可能是[ ] A．带有等量异种电荷B．带有等量同种电荷 C．带有不等量异种电荷D．一个带电，另一个不带电 8．真空中有两个固定的带正电的点电荷，其电量Q1＞Q2，点电荷q置于Q1、Q2连线上某 点时，正好处于平衡，则[ ] A．q一定是正电荷B．q一定是负电荷 C．q离Q2比离Q1远D．q离Q2比离Q1近 14．如图3所示，把质量为0.2克的带电小球A用丝线吊起，若将带电量为4×10-8库的小球B靠近它，当两小球在同一高度相距3cm时，丝线与竖直夹角为45°，此时小球B受到的库仑力F＝______，小球A带的电量q A＝______． 二、电场电场强度电场线练习题 6．关于电场线的说法，正确的是[ ] A．电场线的方向，就是电荷受力的方向 B．正电荷只在电场力作用下一定沿电场线运动 C．电场线越密的地方，同一电荷所受电场力越大 D．静电场的电场线不可能是闭合的 7．如图1所示，带箭头的直线是某一电场中的一条电场线，在这条线上有A、B两点，用E A、E B表示A、B两处的场强，则[ ] A．A、B两处的场强方向相同 B．因为A、B在一条电场上，且电场线是直线，所以E A＝E B C．电场线从A指向B，所以E A＞E B D．不知A、B附近电场线的分布情况，E A、E B的大小不能确定 8．真空中两个等量异种点电荷电量的值均为q，相距r，两点电荷连线中点处的场强为[ ] A．0 B．2kq／r2C．4kq／r2 D．8kq／r2 9．四种电场的电场线如图2所示．一正电荷q仅在电场力作用下由M点向N点作加速运动，且加速度越来越大．则该电荷所在的电场是图中的[ ] 11．如图4，真空中三个点电荷A、B、C，可以自由移动，依次排列在同一直线上，都处于平衡状态，若三个电荷的带电量、电性及相互距离都未知，但AB＞BC，则根据平衡条件可断定[ ] A．A、B、C分别带什么性质的电 B．A、B、C中哪几个带同种电荷，哪几个带异种电荷 C．A、B、C中哪个电量最大 D．A、B、C中哪个电量最小 二、填空题 12．图5所示为某区域的电场线，把一个带负电的点电荷q放在点A或B时，在________点受的电场力大，方向为______． 一.选择题（本大题15小题，每题2分） 第一章、第二章 1.在静电场中，下列说法中哪一个是正确的 [ ] (A)带正电荷的导体，其电位一定是正值 (B)等位面上各点的场强一定相等 (C)场强为零处，电位也一定为零 (D)场强相等处，电位梯度矢量一定相等 2.在真空中的静电场中，作一封闭的曲面，则下列结论中正确的是［］ (A)通过封闭曲面的电通量仅是面内电荷提供的 (B) 封闭曲面上各点的场强是面内电荷激发的 (C) 应用高斯定理求得的场强仅是由面内电荷所激发的 (D) 应用高斯定理求得的场强仅是由面外电荷所激发的 3.关于静电场下列说法中正确的是 [ ] (A)电场和试探电荷同时存在和消失 (B)由E＝F/q知道，电场强度与试探电荷成反比 (C)电场强度的存在与试探电荷无关 (D)电场是试探电荷和场源电荷共同产生的 4.下列几个说法中正确的是： [ ] (A)电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向 (B)在以点电荷为中心的球面上，由该点电荷所产生的场强处处相同 (C)场强方向可由E=F/q定出，其中q为试验电荷的电量，q可正、可负， F为试验电荷所受的电场力 (D)以上说法全不对。 5.一平行板电容器中充满相对介电常数为的各向同性均匀电介质。已知介 质两表面上极化电荷面密度为，则极化电荷在电容器中产生的电 场强度的大小为 [ ] (A) 0εσ' (B) 02εσ' (C) 0εεσ' (D) ε σ' 6. 在平板电容器中充满各向同性的均匀电介质，当电容器充电后，介质中 D 、 E 、P 三矢量的方向将是 [ ] (A) D 与E 方向一致，与P 方向相反 (B) D 与E 方向相反，与P 方向一致 (C) D 、E 、P 三者方向相同 (D) E 与P 方向一致，与D 方向相反 7. 在一不带电荷的导体球壳的球心处放一点电荷，并测量球壳内外的场强分 布，如果将此点电荷从球心移到球壳内其它位置，重新测量球壳内外的场强分布，则将发现： [ ] (A) 球壳内、外场强分布均无变化 (B) 球壳内场强分布改变，球壳外的不变 (C) 球壳外场强分布改变，球壳内的不变 (D) 球壳内、外场强分布均改变 8. 一电场强度为E 的均匀电场，E 的方向与x 轴正向平行，如图所示，则通过 图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为 [ ] (A) 2R E π；(B) 21 2 R E π； (C) 22R E π；(D ) 0。 9. 在静电场中，电力线为均匀分布的平行 直线的区域内，在电力线方向上任意两点的电场强度E 和电势U 相比较 [ ] (A) E 相同，U 不同 (B) E 不同，U 相同 (C) E 不同，U 不同 (D) E 相同，U 相同 一． 1.对于矢量A u v，若A u v＝ e u u v x A＋y e u u v y A＋z e u u v z A， x 则： e u u v?x e u u v＝；z e u u v?z e u u v＝； y e u u v?x e u u v＝；x e u u v?x e u u v＝ z 2.对于某一矢量A u v，它的散度定义式为； 用哈密顿算子表示为 3.对于矢量A u v，写出： 高斯定理 斯托克斯定理 4.真空中静电场的两个基本方程的微分形式为 和 5.分析恒定磁场时，在无界真空中，两个基本场变量之间的关系为，通常称它为 二.判断：（共20分，每空2分）正确的在括号中打“√”，错误的打“×”。 1.描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。（） 2.标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。（） 3.梯度的方向是等值面的切线方向。（） 4.恒定电流场是一个无散度场。（） 5.一般说来，电场和磁场是共存于同一空间的，但在静止和恒定的情况下，电场和磁场可以独立进行分析。（） 6.静电场和恒定磁场都是矢量场，在本质上也是相同的。（） 7.研究物质空间内的电场时，仅用电场强度一个场变量不能完全反映物质内发生的静电现象。（ ） 8.泊松方程和拉普拉斯方程都适用于有源区域。（ ） 9.静电场的边值问题，在每一类的边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解都是唯一的。（ ） 10.物质被磁化问题和磁化物质产生的宏观磁效应问题是不相关的两方面问题。（ ） 三.简答：（共30分，每小题5分） 1.用数学式说明梯无旋。 2.写出标量场的方向导数表达式并说明其涵义。 3.说明真空中电场强度和库仑定律。 4.实际边值问题的边界条件分为哪几类？ 5.写出磁通连续性方程的积分形式和微分形式。 6.写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。 四.计算：（共10分）半径分别为a,b(a>b),球心距为c(c 《静电场》检测题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共48分。第将所有符合题意的选项选出，将其序号填入答 卷页的表格中。全部选对的得4分，部分选对的得2分，有错选或不选的得0分。）1．在一个点电荷形成的电场中，关于电场强度和电势的说法中正确的是（） A．没有任何两点电场强度相同 B．可以找到很多电场强度相同的点 C．没有任何两点电势相等 D．可以找到很多电势相等的点 2．下列关于起电的说法错误的是（） A．静电感应不是创造电荷，只是电荷从物体的一个部分转移到了另一个部分 B．摩擦起电时，失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电 C．摩擦和感应都能使电子转移，只不过前者使电子从一个物体转移到另一个物体上，而后者则使电子 从物体的一部分转移到另一部分 D．一个带电体接触一个不带电的物体，两个物体可能带上异种电荷 3．两个完全相同的金属球A和B带电量之比为1：7 ，相距为r 。两者接触一下放回原来的位置，若两电荷原来带异种电荷，则后来两小球之间的静电力大小与原来之比是（） A．16：7 B．9：7 C．4：7 D．3：7 4．下列关于场强和电势的叙述正确的是（） A．在匀强电场中，场强处处相同，电势也处处相等 B．在正点电荷形成的电场中，离点电荷越远，电势越高，场强越小 C．等量异种点电荷形成的电场中，两电荷连线中点的电势为零，场强不为零 D．在任何电场中，场强越大的地方，电势也越高. 5．关于和的理解，正确的是（） A．电场中的A、B两点的电势差和两点间移动电荷的电量q成反比 B．在电场中A、B两点间沿不同路径移动相同电荷，路径长时WAB较大 C．U AB与q、W AB无关，甚至与是否移动电荷都没有关系 D．W AB与q、U AB无关，与电荷移动的路径无关 6．如图所示，a、b、c为电场中同一条电场线上的三点，其中c为线段ab的中点。若一个运动的正电荷先后经过a、b两点，a、b两点的电势分别为 a = -3 V 、 b = 7 V ，则（） A．c点电势为 2 V B．a点的场强小于b点的场强 C．正电荷在a点的动能小于在b点的动能 D．正电荷在a点的电势能小于在b点的电势能 7．在如图所示的实验装置中，平行板电容器的极板B与一灵 敏的静电计相连，极板A接地。若极板A稍向上移动一些，由观 察到的静电计指针变化作出平行板电容器电容变小的结论，其依 据是（） A．两极板间的电压不变，极板上的电量变小 B．两极板间的电压不变，极板上的电量变大 C．两极板上的电量几乎不变，极板间的电压变小 D．两极板上的电量几乎不变，极板间的电压变大静电场测试题及答案
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