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考点46 随机抽样、用样本估计总体、变量间的
相关关系、统计案例
一、选择题
1. (2012·湖北高考文科·T2)容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )
(A)0.35 (B)0.45
(C)0.55 (D)0.65
【解题指南】解答本题先要读懂频数分布表,再结合频率的求法求解.
【解析】选B.数据落在区间[10,40)内的频数为9,样本容量为20,所求频率=0.45.
P=9
20
2.(2012·湖南高考文科·T5)与(2012·湖南高考理科·T4)相同
设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是()
(A)y与x具有正的线性相关关系
(B)回归直线过样本点的中心(x,y)
(C)若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
(D)若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg
【解题指南】根据线性相关,回归直线,样本点的中心等相关概念判断.
【解析】选D.
bx可知直线
3. (2012·陕西高考文科·T3)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是()(A)46,45,56 (B) 46,45,53
(C) 47,45,56 (D) 45,47,53
【解题指南】根据中位数、众数、极差的概念进行计算,注意观察茎叶图中的数据.
【解析】选A. 茎叶图中共有30个数据,所以中位数是第15个和第16个数字
的平均数,即1
(4547)46
2
+=
,排除C,D;再计算极差,最小数据是12,最大数据
是68,所以681256-=,故选A.
4.(2012·陕西高考理科·T6)从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲、乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙,中位数分别为m 甲、m 乙,则( )
(A) x x <甲乙,m 甲>m 乙 (B) x x <甲乙,m 甲 【解题指南】平均数的大小可以根据茎叶图中数据分布的集中位置进行判断,中位数则需要确定第8个数与第9个数的平均值,然后再比较大小 【解析】选 B.观察茎叶图可知x x <甲乙,甲组数据中的中位数是1 (1822)20 2+=,乙组 数据中的中位数是1 (2731)292+=,∴m 甲 B. 5.(2012·安徽高考理科·T5)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次,两人成绩的条形统计图如图所示,则( ) ()A 甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 ()B 甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 ()C 甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 ()D 甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 【解题指南】根据平均数、方差、中位数的定义计算即可. 【解析】选C . 甲的成绩的 方差为221(2212)25?+?=,乙的成绩的方差为221(1331) 2.4 5?+?=.甲的成绩的极差 为4,乙的成绩的极差为4. 6. (2012·新课标全国高考文科·T3)在一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )(n ≥2,x 1,x 2,…,x n 不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i ,y i )(i=1,2,…,n)都在直线y=1 2x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) (A )-1 (B )0 (C )1 2 (D )1 【解题指南】理清相关系数与相关性强弱的关系是解决本题的关键. 【解析】选D. 样本相关系数越接近1,相关性越强,现在所有的样本点都在直线 1 12y x = +上,样本的相关系数应为1. 7.(2012·江西高考文科·T6)小波一星期的总开支分布图如图1所示,一 星期的食品开支如图2所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比 为( ) (A)30% (B)10% (C)3% (D)不能确定 【解题指南】读图,理清鸡蛋开支、食品开支与总开支之间的百分比关系. 【解析】选C.由图2知,小波一星期的食品开支为300元,其中鸡蛋开支为30 元,占食品开支的10%,而食品开支占总开支的30%,所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%. 8. (2012·江西高考理科·T9)样本()12,,n x x x …,的平均数为x ,样本 的平均数为y ()x y ≠.若样本 的平均数 ()1z x y αα=+-,其中 1 02α<< ,则,n m 的大小关系为( ) (A)n m < (B )n m > (C )n m = (D )不能确定 【解题指南】用,x y 表示出z ,结合已知条件,建立m n α、、所满足的关系式,由 α的范围获得,n m 所满足的不等关系,进而判断出n 与m 的大小关系. 【解析】选A.由已知得12+n x x x nx ++=…,12+m y y y my ++=…, ()()1212+n m x x x y y y z m n ++++++= +……nx m y m n +=+=()1x y αα+- 整理得 ()()10x y m n αα-+-=????, ,x y ≠∴()10m n αα+-= 即1n m αα= -,又10,,0121ααα??∈∴<< ?-??,1,n n m m ∴<∴<. 9.(2012·山东高考文科·T4)在某次测量中得到的A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A 样本数据每个都加2后所得数据,则A ,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( ) (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 【解题指南】本题考查用样本的数字特征来估计总体. 【解析】选D. B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据,则众数、中位数、平均数比原来的都多2,而标准差不变. 10.(2012·山东高考理科·T4)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机 抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中,编号落入区间[]1,450的人做问卷A ,编号落入区间[]451,750的人做问卷B ,其余的人做问卷C .则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( ) (A )7 (B )9 (C )10 (D )15 【解题指南】本题考查系统抽样方法和数列项数的计算方式,由系统抽样抽出的数的编号是等差数列. 【解析】选C. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人,将整体分成32组,每组30人,即30=l ,第k 组的号码为 解 得2516≤≤k ,则满足2516≤≤k 的整数k 有10个,故应选C. 二、填空题 11.(2012·天津高考理科·T9)某地区有小学150所,中学75所,大学25所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取__________所学校,中学中抽取__________所学校. 【解题指南】根据抽取样本的比例计算. 【解析】从小学中抽取 1503 30=30=18150+75+255 ??(所),同理可得从中学中抽取 753 30=30=9150+75+2510 ??(所). 【答案】18 9 12. (2012·山东高考文科·T14)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分 组为[20.5,21.5),[21.5,22.5),[22.5,23.5),[23.5,24.5),[24.5,25.5),[25.5,26.5]. 已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为____. 【解题指南】本题考查频率分布直方图,关键是抓住纵轴表示的是频率/组距. 【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,50×0.18=9. 【答案】9 13.(2012·湖北高考文科·T11)一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有______人. 【解题指南】本题考查分层抽样,解答本题的关键是求出入样率. 【解析】由8 42656?=,可知结果. 【答案】6 14.(2012·浙江高考文科·T11)某个年级有男生560人,女生420人,用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本,则此样本中男生人数为____________. 【解题指南】利用抽样比乘以组内人数即可求出. 【解析】此样本中男生人数为 【答案】160 15.(2012·广东高考文科·T13)由正整数组成的一组数据1234,,,,x x x x 其平均数和中位数都是2,且标准差等于1,则这组数据为 .(从小到大排列) 【解题指南】本题是考查统计的有关知识,要知道平均数及中位数(按从小到大或从大到小的顺序排列,若奇数个数据取中间的数,若偶数个数据取中间两 个数的平均数)的求法,以及标准差公式. 【解析】假设这组数据按从小到大的顺序排列为1234,x x x x ,,, 则1234 142323+++=2,+=4,4 +=4,+=2,2x x x x x x x x x x ????∴?? ???? 2212(2)(2)2x x ∴-+-=, 同理可求得 22 34(2)(2)2x x -+-=, 由1234,x x x x ,,,均为正整数,且1234()()x x x x ,, ,均为圆22(2)(2)2x y -+-=上的点,分析知1234,x x x x ,,,应为1,1,3,3. 【答案】1,1,3,3 16.(2012·福建高考文科·T14)一支田径队有男女运动员98人,其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运动员人数是_______. 【解题指南】女运动员本来占多大的比例,抽取后也应该占多大的比例,这就是分层抽样的精髓. 【解析】由题意知,女运动员数为42,因此抽取的女运动员人数为42 281298? =. 【答案】12 17.(2012·江苏高考·T2)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3: 3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取_______名学生. 【解题指南】关键算出高二年级学生人数在总数中的比例. 【解析】高二年级学生人数占总数的 3 10,样本容量为50,则50× 3 10=15. 【答案】15. 18.(2012·辽宁高考文科·T19)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图; 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中有10名女性. (Ⅰ)根据已知条件完成下面的22 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关? (Ⅱ)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超 级体育迷”中有2名女性,若从“超级体育迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率. 附 2 2 112212211212(), n n n n n n n n n χ++++- = 【解题指南】(1)据频率分布直方图可计算“体育迷”, “非体育迷”人数,按照提供的公式,计算相关数值,与所给数据比较,获得结论;(2)将所有的基本事件罗列,很容易解决问题. 【解析】由所给的频率分布直方图知, “体育迷”人数为100(100.020100.005)25??+?= “非体育迷”人数为75,则据题意完成22?列联表: 非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 将22?列联表的数据代入公式计算: 2100(30104515)21122122175254555 11221221 ()100 3.03033n n n n n n n n n χ?-????-===≈???22100(30104515)22122175254555221221)100 3.03033n n n n n n ?-????-==≈?? 因为3.030 3.841<,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由所给的频率分布直方图知 “超级体育迷”人数为100(100.005)5??=, 记(1,2,3)i a i =表示男性, (1,2) j b j =表示女性,所有可能结果构成的基本事件空间为 {}12132311213112223212(),(),(),(),(),(),(),(),(),() a a a a a a a b a b a b a b a b a b b b Ω=,共有10个基本事件组成, 且每个基本事件出现是等可能的;用A 表示事件“任选2人,至少1名女性”, 则{}11213112223212(),(),(),(),(),(),()A a b a b a b a b a b a b b b =,共有7个基本事件组成,故“任选2人,至少1名女性”的概率为 7()10P A = . 19. (2012·安徽高考文科·T18)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时,则视为合格品,否则视为不合格品.在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5000件进行检测,结果发现有50件不合格品.计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm ), 将所得数据分组,得到如下频率分布表: (Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在相应的位置上; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品.据此估算这批产品中的合格品的件数. 【解析】(I ) (Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为0.50.20.7+=. (Ⅲ)合格品的件数为 5000 2020198050? -=(件) 20.(2012·湖南高考文科·T17)(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (Ⅰ)确定x ,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率) 【解析】(Ⅰ)由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==,该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为: 115 1.530225 2.520310 1.9 100?+?+?+?+?=(分钟). (Ⅱ)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率,得 123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A = =====. 12 3123,,,A A A A A A A =且是互斥事件, 123123()()()()() P A P A A A P A P A P A ∴==++3317 2010410= ++= . 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为7 10. 21.(2012·福建高考文科·T18)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据: (Ⅰ)求回归直线方程y bx a =+,其中20b =-,a y bx =-; (Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(I )中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 【解析】(Ⅰ)由于 1234561 ()8.56x x x x x x x = +++++=, 1234561 ()80 6y y y y y y y =+++++=. 所以80208.5250a y bx =-=+?=, 从而回归直线方程为?20250y x =-+. (Ⅱ)设工厂获得的利润为L 元,依题意得 22(20250)4(20250)20330100020(8.25)361.25L x x x x x x =-+--+=-+-=--+ 当且仅当8.25x =时,L 取得最大值, 故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润. 22.(2012·广东高考文科·T17)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] . (1)求图中α的值; (2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分. (3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数. 【解题指南】(1)本题根据每个区间上的矩形的面积和为1,可建立关于a 的方程,解出a 的值. (2)由频率分布直方图求平均分:每个区间的中点值乘以区间上矩形面积之和. (3)本题关键是先把语文成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数求出来.根据每段的频率求出每段的频数. 【解析】(1)由频率分布直方图知(0.040.030.022)101,0.005a a +++?=∴=. (2)550.05650.4750.3850.2950.0573?+?+?+?+?=. 所以平均分为73分. (3) 分别求出语文成绩分数段在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为 ?=?=?=?=. 0.051005,0.410040,0.310030,0.210020 所以数学成绩分数段在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数依次为: -+++=(人). 5,20,40,25.所以数学成绩在[50,90)之外的人数有100(5204025)10 关闭Word文档返回原板块。 统计与统计案例 A 级 基础 一、选择题 1.某校为了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一1 000人、高二1 200人、高三n 人中抽取81人进行问卷调查,已知高二被抽取的人数为30,那么n =( ) A .860 B .720 C .1 020 D .1 040 2.为规范学校办学,某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知7号、33号、46号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( ) A .13 B .19 C .20 D .51 3.“关注夕阳、爱老敬老”——某爱心协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金,下表记录了第x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (单位:万元)的对应数据,由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程y ^ =mx +0.35,则预测2019年捐赠的现金大约是( ) A.5万元 C .5.25万元 D .5.5万元 4.如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为( ) A.3,5 B.5,5 C.3,7 D.5,7 5.(2019·衡水中学检测)某超市从2019年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取100个,并按(0,10],(10,20],(20,30],(30,40],(40,50]分组,得到频率分布直方图如下: 记甲种酸奶与乙种酸奶的日销售量(单位:箱)的方差分别为s21,s22,则频率分布直方图(甲)中的a的值及s21与s22的大小关系分别是() A.a=0.015,s21 统计案例 一、回归分析 1. 线性回归方程???y bx a =+的求法 (1)求变量x 的平均值,即1231 ()n x x x x x n =+++???+ (2)求变量y 的平均值,即1231 ()n y y y y y n = +++???+ (3)求变量x 的系数?b ,即1 2 1 ()() ?() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑(题目给出,不用记忆) 1 2 1()() ?() n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑ 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2n n n n i i i i i i i i n n n i i i i i x y x y xy x y x xx x =======--+= -+∑∑∑∑∑∑∑1 22 21 2n i i i n i i x y nx y nx y nx y x nx nx ==--+= -+∑∑12 21 n i i i n i i x y nx y x nx ==-= -∑∑(理解记忆) (其中1 1 n n i i i x x nx ====∑∑,1 1 n n i i i y y ny ====∑∑,() ,x y 称为样本点中心) (4)求常数?a ,即??a y bx =- (5)写出回归方程???y bx a =+(?a ,?b 的意义:以?a 为基数,x 每增加1个单位,y 相应地平均增加?b 个单位) 注意:若?0b >则正相关,若?0b <则负相关. 2. 相关系数 假设两个随机变量的取值分别是()11,x y ,()22,x y ,……,(),n n x y ,则变量间线性相关系数的计算公式如下: ()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---= = ∑∑ 相关系数r 的性质: (1)当0r >时,表明两个变量正相关;当0r <时,表明两个变量负相关;当0r =时,表明 一、选择题 1.利用系统抽样法从编号分别为1,2,3,…,80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本,如果抽出的产品中有一件产品的编号为13,则抽到产品的最大编号为( ) A .73 B .78 C .77 D .76 解析:样本的分段间隔为80 16=5,所以13号在第三组,则最大的编号为13+(16-3)×5 =78.故选B. 答案:B 2.某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量如下表所示: 则这20A .180,170 B .160,180 C .160,170 D .180,160 解析:用电量为180度的家庭最多,有8户,故这20户家庭该月用电量的众数是180,排除B ,C ;将用电量按从小到大的顺序排列后,处于最中间位置的两个数是160,180,故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A. 答案:A 3.(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图所示的折线图,根据该折线图,下列结论错误的是( ) A .月接待游客量逐月增加 B .年接待游客量逐年增加 C .各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D .各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳 解析:根据折线图可知,2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都在减少,所以A 错误.由图可知,B 、C 、D 正确. 答案:A 4.(2018·宝鸡质检)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为200,如图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则该样本中三等品的件数为( ) A .5 B .7 C .10 D .50 解析:根据题中的频率分布直方图可知,三等品的频率为1-(0.050 0+0.062 5+0.037 5)×5=0.25,因此该样本中三等品的件数为200×0.25=50. 答案:D 5.(2018·兰州模拟)已知某种商品的广告费支出x (单位:万元)与销售额y (单位:万元)之间有如下对应数据: 根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^ =6.5x +17.5,则表中m 的值为( ) A .45 B .50 C .55 D .60 解析:∵x =2+4+5+6+8 5=5, y = 30+40+50+m +705=190+m 5 , ∴当x =5时,y =6.5×5+17.5=50, ∴190+m 5=50,解得m =60. 答案:D 实例1 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.解:设每张彩票中奖的数额为随机变量X , 则X 10000 5000 1000 100 10 0p 51/1052/10510/105100/1051000/100p 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010E X p =? +?++? 0.5(),=元每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(), --=元因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为:100000 1.2120000().?=元实例2 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金,想投资于某项目,预估成功的机会为 30%,可得利润8万元 , 失败的机会为70%,将损失 2 万元.若存入银行,同期间的利率为5% ,问是否作此项投资?解:设 X 为投资利润,则 X 8 -2p 0.3 0.7()80.320.71(),E X =?-?=万元存入银行的利息:故应选择投资.1050.5(),%?=万元实例3 商店的销售策略某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使用寿命为X (以年计),规定1,1500;12,2000;23,2500; 3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为试求该商店一台家用电器收费的数学期望定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等,要求技术交底。管线敷设技术、电气课校对图纸,编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案,编写重要设备高中资料、电气设备调试高中中资料试卷工况进行自动处理,尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作,并 专题突破练20 统计与统计案例 1. (2020吉林辽源高三检测,18)某城市在进行创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数.满分为100分).从中随机抽取一个容量为120的样本.发现所有数据均在[40,100]内.现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示.观察图形,回答下列问题: (1)算出第三组[60,70)的频数,并补全频率分布直方图; (2)请根据频率分布直方图,估计样本的众数、中位数和平均数.(每组数据以区间的中点值为代表) 2.下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位:亿元)的折线图. 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,17)建立模型①;y ^ =-30.4+13.5t ;根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y ^ =99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 3.(2020河南郑州高三检测,19)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图: (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由; (2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m 的工人数填入下面的列联表: (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K2=n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. 计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知随机变量ξ服从正态分布N (1,σ2),P (ξ≤4)=,则P (ξ≤-2)=( ) A . B . C . D . 2.以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) 已知甲组数据的平均数为17,乙组数据的中位数为17,则x ,y 的值分别为( ) A .2,6 B .2,7 C .3,6 D .3,7 3.将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A .10种 B .20种 C .36种 D .52种 4.已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数,g (x )≠0,f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )<0,fx gx =a x ,f 1g 1+ f -1 g -1=52,则关于x 的方程abx 2+2x +5 2=0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5.用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A .243 B .252 C .261 D .279 6.四名同学根据各自的样本数据研究变量x ,y 之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论: ①y 与x 负相关且y ^ =-; ② y 与x 负相关且y ^ =-+; ③y 与x 正相关且y ^ =+; ④y 与x 正相关且y ^ =--. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A .①② B .②③ 随机变量的分布列及统计案例复习学案参考答案 例1、解析 ∵P (A )=C 22+C 23 C 25=25,P (AB )=C 22C 25 =110, ∴P (B |A )=P (AB )P (A )=1 4 . 答案 B 例2、解析 该题为几何概型,圆的半径为1,正方形的边长为2,∴圆的面积为 π,正方形面积为2,扇形面积为π4.故P (A )=2π,P (B |A )=P (A ∩B )P (A )=1 4. 答案 (1)2π (2)1 4 例3、 专题三 离散型随机变量的分布列、均值与方差 例4、 解 设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件是一等品的事件,依题意得 ?????????P (A ·B -)=14,P (B ·C -)=112,P (A ·C )=29,即???? ??? ??P (A )·(1-P (B ))=14,P (B )·(1-P (C ))=112,P (A )·P (C )=29, 得27[P (C )]2-51P (C )+22=0, 解得P (C )=23或P (C )=119 (舍). ∴P (A )=13,P (B )=14,P (C )=2 3 . 即甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为13,14,2 3. (2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的事件. P (D )=1-P (D -)=1-(1-P (A ))·(1-P (B ))·(1-P (C ))=1-23× 34×13=56,即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为56. 专题二十 统计与统计案例 一、单选题 1.(2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考(文))在一组样本数据()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y (2n ≥, 1x ,2x ,……,n x 不全相等)的散点图中,若所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =???都在直线2 15 y x = +上,则这组样本数据的样本相关系数为( ) A .-1 B .0 C . 12 D .1 二、多选题 2.(2020·江苏省丰县中学期末)某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度,随机调查了50名会员,每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价,得到如图所示的列联表,经计算2K 的观测值 5.059k ≈,则可以推断出( ) 附: A .该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为 2 3 ; B .调查结果显示,该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意; C .有97.5%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异; D .有99%的把握认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异. 第II 卷(非选择题) 三、解答题 3.(2020·河南宛城·南阳华龙高级中学月考(文))微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计,某公司200名员工中0090的人使用微信,其中每天使用微信时间少于一小时的有60人,其余的员工每天使用微信时间不少于一小时,若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段,那么使用微信的人中0075是青年人.若规定:每天使用微信时间不少于一小时为经常使用微信,那么经常使用微信的员工中 2 3 都是青年人. (1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系,完成22?列联表: (2)由列联表中所得数据判断,能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“经常使用微信与年龄有关”? 2 2 ()()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++ 4.(2020·江苏泰州·期末)某企业的甲、乙两种产品在东部地区三个城市以及西部地区两个城市的销售量x , y 的数据如下: 高考数学统计与统计案例1.小吴一星期的总开支分布如图 1 所示,一星期的食品开支如图 2 所示,则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为() A.1%B.2%C.3%D.5% C[ 由图 1 所示,食品开支占总开支的 30%,由图 2 所示,鸡蛋开支占食 品开支的30 = 1 , 30+40+100+80+ 50 10 1 ∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%×10=3%.故选 C.] 2.(2019 德·州模拟 )某人到甲、乙两市各7 个小区调查空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图,则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为() A.4B. 3C.2D.1 B[ 由茎叶图可以看出甲、乙两市的空置房的套数的中位数分别是79,76,因此其差是 79- 76=3,故选 B.] 3.某工厂对一批新产品的长度(单位: mm)进行检测,如图是检测结果的频统计与统计案例真题与解析
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