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新湘教版八年级下册数学教案2014-2-16

第1章直角三角形

§1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

(第1课时)

教学目标:

1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。

2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。

3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

教学重点:直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

难点:直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

教学方法:观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程:

一、复习提问:(1)什么叫直角三角形?

(2)直角三角形是一类特殊的三角形,除了具备三角形的性质外,还具备哪些性质?

二、新授

(一)直角三角形性质定理1

请学生看图形:

1、提问:∠A与∠B有何关系?为什么?

2、归纳小结:定理1:直角三角形的两个锐角互余。

3、巩固练习:

练习1

(1)在直角三角形中,有一个锐角为520,那么另一个锐角度数

(2)在Rt△ABC中,∠C=900,∠A -∠B =300,那么∠A= ,∠B= 。

练习2 在△ABC中,∠ACB=900,CD是斜边AB上的高,那么,(1)与∠B互余的角有(2)与∠A相等的角有。(3)与∠B相等的角有。

(二)直角三角形的判定定理1

1、提问:“在△ABC中,∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗?”

2、利用三角形内角和定理进行推理

3、归纳:有两个锐角互余的三角形是直角三角形

练习3:若∠A= 600,∠B =300,那么△ABC是三角形。

(三)直角三角形性质定理2

1、实验操作:要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片

(l)量一量斜边AB的长度

(2)找到斜边的中点,用字母D表示

(3)画出斜边上的中线

(4)量一量斜边上的中线的长度

让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系?

归纳:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、巩固训练:

练习4:在△ABC中,∠ACB=90 °,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有_________,与∠A相等的角有_________,若∠A=35°,那么∠ECB= _________。

练习5:已知:∠ABC=∠ADC=90O,E是AC中点。

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求证:(1)ED=EB

(2)∠EBD=∠EDB

(3)图中有哪些等腰三角形?

练习6 已知:在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高, M是BC的中点。如果连接DE,取DE的中点 O,那么MO 与DE有什么样的关系存在?

四、小结:

这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理?

1、

2、

3、

五、课后反思:

§1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

(第2课时)

一、教学目标:

1、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。

2、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。

3、通过图形的变换,引导学生发现并提出新问题,进行类比联想,促进学生的

思维向多层次多方位发散。培养学生的创新精神和创造能力。

4、从生活的实际问题出发,引发学生学习数学的兴趣。从而培养学生发现问题

和解决问题能力。

二、教学重点与难点:

直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。

直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。

三、教学方法:观察、比较、合作、交流、探索.

四、教学过程:

(一)引入:如果你是设计师:(提出问题)

2008年将建造一个地铁站,设计师设想把地铁站的出口建造在离附近的三个公交站点45路、13路、23路的距离相等的位置。而这三个公交站点的位置正好构成一个直角三角形。如果你是设计师你会把地铁站的出口建造在哪里?

(通过实际问题引出直角三角形斜边上的中点和三个顶点之间的长度关系,引发学生的学习兴趣。)

动一动想一想猜一猜(实验操作)

请同学们分小组在模型上找出那个点,并说出它的位置。

请同学们测量一下这个点到这三个顶点的距离是否符合要求。

通过以上实验请猜想一下,直角三角形斜边上的中线和斜边的长度之间有什么关系?

(通过动手操作找到那个点,通过测量的结果让学生猜测斜边的中线与斜边的关系。)

(二)新授:

提出命题:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

证明命题:(教师引导,学生讨论,共同完成证明过程)

推理证明思路:①作点D1②证明所作点D1具有的性质③证明点D1 与点D

E

D

C

B

A

重合

应用定理:

例1、已知:如图,在△ABC 中,∠B=∠C ,AD 是∠BAC 的平

分线,

E 、

F 分别AB 、AC 的中点。

求证:DE=DF

分析:可证两条线段分别是两直角三角形的斜边上的中线,再证两斜边相等即可证得。

(上一题我们是两个直角三角形的一条较长直角边重合,现在我们将图形变化使斜边重合,我们可以得到哪些结论?) 练习变式:

1、 已知:在△ABC 中,BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高,F 是BC 的中点。

求证:FD=FE 练习引申:

(1)若连接DE ,能得出什么结论?

(2)若O 是DE 的中点,则MO 与DE 存在什么结论吗?

上题两个直角三角形共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的同侧。如果共用一条斜边,两个直角三角形位于斜边的两侧我们又会有哪些结论? 2、已知:∠ABC=∠ADC=90o,E 是AC 中点。你能得到什么结论?

例2、求证:一个三角形一边上的中线等于这一边的一半,那么这个三角形是直角三角形。P4 练习P4 2 (三)、小结:

通过今天的学习有哪些收获? (四)、作业:P7 习题A 组 1、2 (五)、课后反思:

F

E

D

C

B

A

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F

C

B

1.1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)

茶溪中学毛春华

第三课时

教学目标

1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半”;

2、掌握直角三角形的性质“直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度”;

3、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。 重点、难点

重点:直角三角形的性质,难点:直角三角形性质的应用 教学过程

一、 创设情境,导入新课 1 直角三角形有哪些性质?

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(1)两锐角互余;(2)斜边上的中线等于斜边的一半 2 按要求画图:

(1)画∠MON ,使∠MON=30°,

(2)在OM 上任意取点P ,过P 作ON 的垂线PK ,垂足为K ,量一量PO,PK 的长度,PO,PK 有什么关系?

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(3) 在OM 上再取点Q,R ,分别过Q,R 作ON 的垂线QD,RE,垂足分别为D,E ,量一量QD ,OQ ,它们有什么关系?量一量RE,OR ,它们有什么关系? 由此你发现了什么规律?

直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

为什么会有这个规律呢?这节课我们来研究这个问题. 二、 合作交流,探究新知

1 探究直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。

如图,Rr △ABC 中,∠A=30°,BC 为什么会等于1

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2

AB 分析:要判断BC=

1

2 AB,可以考虑取AB 的中点,如果如果BD=BC ,那么BC=1

2

AB ,由于∠A=30°,所以∠B=60°,

如果BD=BC,则△BDC 一定是等边三角形,所以考虑判断△BDC 是等边三角形,你会判断吗?

C

B

A

K

O

M

C B

A

由学生完成

归纳:直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这个定理的得出除了上面的方法外,你还有没有别的方法呢?

先让学生交流,得出把△ABC沿着AC翻折,利用等边三角形的性质证明。

2 上面定理的逆定理

上面问题中,把条件“∠A=30°”与结论“BC=1

2

AB”交换,结论还成立吗?

学生交流

方法(1)取AB的中点,连接CD,判断△BCD是等边三角形,得出∠B=60°,从而∠A=30°

(2)沿着AC翻折,利用等边三角形性质得出。

(3)你能把上面问题用文字语言表达吗?

归纳:直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度。

三、应用迁移,巩固提高

1、定理应用

例1、在△ABC中,△C=90°,∠B=15°,DE垂直平分AB,垂足为点E,交BC边于点D,BD=16cm,则AC的长为______

例2、如图在△ABC中,若∠BAC=120°,AB=AC,AD

⊥AC于点A,BD=3,则BC=______.

2 实际应用

例3、(P5)在A岛周围20海里水域有暗礁,一轮

船由西向东航行到O处时,发现A岛在北偏东60°的方向,且与轮船相距

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里,该轮船如果不改变航向,有触礁的危险吗?

E

D C

A

B

D C

A

B

四、 课堂练习 ,巩固提高 P 6练习 1、2

五、 反思小结,拓展提高

直角三角形有哪些性质?怎样判断一个三角形是直角三角形? 六、作业布置: P7习题A 组 3、4

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)

茶溪中学 毛春华

勾股定理

教学目标:

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(1)掌握勾股定理;

(2)学会利用勾股定理进行计算、证明与作图

(3)了解有关勾股定理的历史.

(4)在定理的证明中培养学生的拼图能力;

(5)通过问题的解决,提高学生的运算能力

(6)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;

(7)通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育.

教学重点:勾股定理及其应用

教学难点:通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育

教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程:

1、新课背景知识复习

(1)三角形的三边关系

(2)问题:直角三角形的三边关系,除了满足一般关系外,还有另外的特殊关系吗?

2、定理的获得让学生用文字语言将上述问题表述出来.

勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方强调说明:(1)勾――最短的边、股――较长的直角边、弦――斜边

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(2)学生根据上述学习,提出自己的问题(待定)

3、定理的证明方法

方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正方形.

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方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正方形,

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方法三:“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形

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以上证明方法都由学生先分组讨论获得,教师只做指导.最后总结说明

4、定理的应用

练习P11

例题1、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB 于D,求CD的长.

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解:∵△ABC是直角三角形,AB=5,BC=3,由勾股定理有

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又∠2=∠C

∴CD的长是2.4cm

例题2、如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=900,D是BC上任一点,求证:BD2+CD2=2AD2

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证法一:过点A作AE⊥BC于E

则在Rt△ADE中,DE2+AE2=AD2

又∵AB=AC,∠BAC=900

∵BD2+CD2=(BE-DE)2+(CE+DE)2

=BE2+CE2+2DE2

=2AE2+2DE2

=2AD2

∴即BD2+CD2=2AD2

证法二:过点D作DE⊥AB于E, DF⊥AC于F

则DE∥AC,DF∥AB

又∵AB=AC,∠BAC=900

∴EB=ED,FD=FC=AE

在Rt△EBD和Rt△FDC中 BD2=BE2+DE2,CD2=FD2+FC2

在Rt△AED中,DE2+AE2=AD2

∴BD2+CD2=2AD2

5、课堂小结:

(1)勾股定理的内容

(2)勾股定理的作用

已知直角三角形的两边求第三边

已知直角三角形的一边,求另两边的关系

6、作业布置

P16 习题A组 1、2、3

课后反思:

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)

茶溪中学毛春华

勾股定理的逆定理

教学目标:

(1)理解并会证明勾股定理的逆定理;

(2)会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形;

(3)知道什么叫勾股数,记住一些觉见的勾股数

(4)通过勾股定理与其逆定理的比较,提高学生的辨析能力;

(5)通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用,提高综合运用知识能力. (6)通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受;

(7)通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征.

教学重点:勾股定理的逆定理及其应用

教学难点:勾股定理的逆定理及其应用

教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程:

1、新课背景知识复习:

勾股定理的内容、文字叙述、符号表述、图形

2、逆定理的获得

(1)让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

(2)学生自己证明

逆定理:如果三角形的三边长a、b、c 有下面关系:a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形

强调说明:

(1)勾股定理及其逆定理的区别

勾股定理是直角三角形的性质定理,逆定理是直角三角形的判定定理.

(2)判定直角三角形的方法:①角为900②垂直③勾股定理的逆定理

2、定理的应用

P15 例题3 判定由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形。

(1) a=6, b=8, c=10;

(2) a=12, b=15, c=20.

P15例题4 如图1-21,在△ABC中,已知AB=10,BD=6,AD=8,AC=17. 求DC的长。

练习:

P16 练习 1、2

补充:

1、如果一个三角形的三边长分别为a2 =m2-n2 ,b=2mn, c=m2+n2(m>n)

则这三角形是直角三角形

证明:∵ a2+b2=( m2-n2)2 +(2mn)2

=m4+2m2n2+n4

= (m2+n2)2

∴a2+b2=c2,∠C=900

2、已知:如图,四边形ABCD中,∠B=,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13求四边形ABCD的面积

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解:连结AC

∵∠B=,AB=3,BC=4

∴∴AC=5

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∴∠ACD=900

以上习题,分别由学生先思考,然后回答.师生共同补充完善.(教师做总结)

4、课堂小结:

(1)逆定理应用时易出现的错误分不清哪一条边作斜边(最大边)

(2)判定是否为直角三角形的一种方法:结合勾股定理和代数式、方程综合运用.

5、布置作业:

P16 习题 A组 1、2、3、4

补充:

如图,已知:CD⊥AB于D,且有

求证:△ACB为直角三角形

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证明:∵CD⊥AB

又∵

∴△ABC为直角三角形

6、课后反思:

1.2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)

茶溪中学毛春华

勾股定理的应用

教学目标:

1、准确运用勾股定理及逆定理.

2、经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,应用“数形结合”的思

想来解决.

3、培养合情推理能力,提高合作交流意识,体会勾股定理的应用 教学重点:掌握勾股定理及其逆定理 教学难点:正确运用勾股定理及其逆定理. 教学方法: 观察、比较、合作、交流、探索. 教学准备:

教师准备:直尺、圆规 教学

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过程:

一、创设情境,激发兴趣

教师道白:在一棵树的l0m 高的D 处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A 处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处,如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高?

评析:如图所示,其中一只猴子从D →B →A 共走了30m ,另一只猴子从D →C →A 也共走了30m,且树身垂直于地面,于是这个问题可化归到直角三角形解决. 教师提出问题,引导学生分析问题、明确题意,用化归的思想解决问题. 解:设DC=xm ,依题意得:BD+BA=DC+CA CA=30-x ,BC=l0+x 在RtnABC 中

222BC AB AC +=AC' =AB' +BC 即()()2

2

2

102030x x ++=- 解之x=5 所

以树高为15m. 二、范例学习

如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,请在给定网格中按下列要求画出图形:(1) 从点A 出发画一条线段AB,使它的另一个端点B在格点(即小正方形的顶点)上,且长度为22;(2) 画出所有的以(1)中的AB为边的等腰三角形, 使另一个顶点在格点上,且另两边的长度都是无理数. 教师分析 只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求.

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解(1) 图1中AB 长度为22.

(2) 图2中△ABC 、 △ABD 就是所要画的等腰三角形.

例如图,已知CD =6m , AD =8m , ∠ADC =90°, BC =24m , AB =26m .求图中阴影部分的面积.

教师分析:课本图14.2.7中阴影部分的面积是一个不规则的图形,因此我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形,这是方向,同学们记住,实际上阴S =

ABC

S ?-

ACD

S ?,现在只要明确怎样计算

ABC

S ?和

ACD

S ?了。

解 在Rt △ADC 中,

AC 2

=AD 2

+CD 2

=62

+82

=100(勾股定理), ∴ AC =10m . ∵ AC 2

+BC 2

=102

+242

=676=AB 2

∴ △ACB 为直角三角形(如果三角形的三边长a 、 b 、 c 有关系: a 2

+b 2

=c 2

,那么这个三角形是直角三角形),∴ S 阴影部分=S△ACB -S△ACD =1/2×10×24-1/2×6×8=96(m 2

).

评析:这题应总结出两种思想方法:一是求不规则图形的面积方法“将不规则图化成规则”,二是求面积中,要注意其特殊性. 三、课堂小结

此课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题,解决这类问题的关键是画出正确的图形,通过数形结合,构造直角三角形,碰到空间曲面上两点间的最短距离间题,一般是化空间问题为平面问题来解决.即将空间曲面展开成平面,然后利用勾股定理及相关知识进行求解,遇到求不规则面积问题,通常应用化归思想,将不规则问题转换成规则何题来解决.解题中,注意辅助线的使用.特别是“经验辅助线”的使用. 五、布置作业

P17 习题A 组 5、6 B 组7、8、9 六、课后反思:

1.3直角三角形全等判定

茶溪中学毛春华

教学目标

1.使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三角形判定方法来判定.

2.使学生掌握“斜边、直角边”公理,并能熟练地利用这个公理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等.指导学生自己动手,发现问题,探索解决问题(发现探索法).由于直角三角形是特殊的三角形,因而它还具备一般三角形所没有的特殊性质.因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性,所以教学时要注意渗透由一般到特殊的数学思想,从而体现由一般到特殊处理问题的思想方法.教学重点:“斜边、直角边”公理的掌握.

难点:“斜边、直角边”公理的灵活运用.

教学手段:剪好的三角形硬纸片若干个

教学方法:观察、比较、合作、交流、探索.

教学过程

(一)复习提问

1.三角形全等的判定方法有哪几种?

2.三角形按角的分类.

(二)引入新课

前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.我们也知道“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”,这些结论适用于一般三角形.我们在三角形分类时,还学过了一些特殊三角形(如直角三角

形).特殊三角形全等的判定是否会有一般三角形不适用的特殊方法呢?

我们知道,斜边和一对锐角对应相等的两个直角三角形,可以根据“ASA”或“AAS”判定它们全等,两对直角边对应相等的两个直角三角形,可以根据“SAS”判定它们全等.

提问:如果两个直角三角形的斜边和一对直角边相等(边边角),这两个三角形是否能全等呢?

1.可作为预习内容

如图,在△ABC与△A'B'C'中,若AB=A'B',AC=△A'C',∠C=∠C'=Rt∠,这时Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否全等?

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研究这个问题,我们先做一个实验:

把Rt△ABC与Rt△A'B'C'拼合在一起(教具演示)如图3-44,因为∠ACB=∠A'C'B'=Rt∠,所以B、C(C')、B'三点在一条直线上,因此,△ABB'是一个等腰三角形,于是利用“SSS”可证三角形全等,从而得到∠B=∠B'.根据“AAS”公理可知,Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.

3.两位同学比较一下,看看两人剪下的Rt△是否可以完全重合,从而引出直角三角形全等判定公理——“HL”公理.

(三)讲解新课

斜边、直角边公理:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).

这是直角三角形全等的一个特殊的判定公理,其他判定公理同于任意三角形全等的判定公理.

练习

1、具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A'B'C'(其中∠C=∠C'=Rt∠)是否全等?如果全等在()里填写理由,如果不全等在()里打“×”.

(1)AC=A'C',∠A=∠A' ( )

(2)AC=A'C', BC=B'C' ( )

(3)∠A=∠A',∠B=∠B' ( )

(4) AB=A'B',∠B=∠B' ( )

(5) AC=A'C', AB=A'B' ( )

2、如图,已知∠ACB=∠BDA=Rt∠,若要使△ACB ≌△BDA,还需要什么条件?把它们分别写出来(有几种不同的方法就写几种).

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理由:( )( )( )( )

例题讲解

P20例题1 如图1-23 ,BD,CE分别是△ABC的高,且BE=CD.

求证:Rt△BEC≌Rt△CDB

练习

3、已知:如图3-47,在△ABC和△A'B'C'中,CD、C'D'分别是高,并且AC=A'C',CD=C'D',∠ACB=∠A'C'B'.

求证:△ABC≌△A'B'C'.

分析:要证明△ABC≌△A'B'C',还缺条件,或证出∠A=∠A',或∠B=∠B',或再证明边BC=B'C',观察图形,再看已知中还有哪些条件可以利用,容易发现高CD和C'D'可以利用,利用它可以证明△ACD≌△A'C'D'或△BCD≌△B'C'D'从而得到∠A=∠A'或∠B=∠B',BC=B'C'.找出书写顺序.

证明:(略).

P20例题2 已知一直角边和斜边,求作直角三角形。

已知:

求作:

作法:(1)

(2)

(3)

则△ABC为所求作的直角三角形。

小结:由于直角三角形是特殊三角形,因而不仅可以应用判定一般三角形全等的四种方法,还可以应用“斜边、直角边”公理判定两个直角三角形全等.“HL”

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