工程数学复习手册
第一篇线性代数
一、知识点
1、行列式的计算★★★
2、矩阵的运算:加法、数乘、乘法、转置等★★★
3、零矩阵,单位矩阵,数量矩阵,对角矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,等的定义和性质★★☆
4、可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质,矩阵可逆的充分必要条件,初等行变换法求逆矩阵★★★
5、矩阵的秩★★★
6、线性方程组解的情况判定★★★
7、线性方程组的高斯消元法★★
8、向量组的线性无关与线性相关,求向量组的秩,求向量组的极大线性无关组★
9、线性方程组基础解系和通解的求法★
二、题型
1、设A为n阶方阵,λ为实数,则|λA|=()
A.λ|A| B.|λ||A| C.λn|A| D.|λ|n|A|
2、矩A=
100
020
003
?
?
?
?
?
?
?
,则A-1等于()
A.
1
3
00
1
2
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B.
100
1
2
00
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
C.
1
3
00
010
00
1
2
?
?
?
?
?
?
?
??
D.
1
2
00
1
3
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3、设矩阵A=
312
101
214
-
-
-
?
?
?
?
?
?
?
,A*是A的伴随矩阵,则A *中位于(1,2)的元素是()
A. –6
B. 6
C. 2
D. –2
4、设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有()
A. A =0
B. B≠C时A=0
C. A≠0时B=C
D. |A|≠0时B=C
5、设A是6阶方阵,秩(A)=4,则()
A.A中的4阶子式都不为0 B.A中存在不为0的5阶子式C.A中的5阶子式都为0 D.A中存在不为0的3阶子式
6、设矩阵A =???
?
?
?
?--50
04320
0101,则A 中( ) A .所有2阶子式都不为零 B .所有2阶子式都为零 C .所有3阶子式都不为零
D .存在一个3阶子式不为零
7、设Ax=b 是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是( ) A.η1+η2是Ax=0的一个解
B.
12
η1+
12
η2是Ax=b 的一个解
C.η1-η2是Ax=0的一个解
D.2η1-η2是Ax=b 的一个解
8、设n 阶方阵A 不可逆,则必有( ) A.秩(A ) B.秩(A )=n -1 C.A=0 D.方程组Ax=0只有零解 9、设行列式==1 1 1 1034222,11 1 1 304 z y x z y x 则行列式( ) A. 3 2 B.1 C.2 D.3 8 10、向量组α1=(1,0,0),α2=(1,1,0),α3=(1,1,1)的秩为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11、3阶行列式j i a =0 1 1 101 1 10 ---中元素21a 的代数余了式21A =( ) A .-2 B .-1 C .1 D .2 12、线性非次方程组AX =B 有唯一解? ,无解 ? ,.线性次方程组AX =0有非零解? ,只有零解? 。 13、矩阵|A|=0,则A (可逆、不可逆) 14、设矩阵A =?? ? ??--31 1 10 2,B =?? ? ??75 3 24 ,则3A +B =__________,A T B = __________,|A T B|= __________, 15、行列式 122 1 =_________.13 7 6 954 3 21=_________.121 2313 1 3 ---=_________. 16、设矩阵A =??? ? ??4321,则行列式|A T A |=____________. 17、已知方程组?? ?=+-=-0 202121tx x x x 存在非零解,则常数t=____________. 18、设A 是4×3矩阵,若齐次线性方程组Ax =0只有零解,则矩阵A 的秩r(A )=_____________. 19、设 A=???? ????? ?4110 23 ,B=,01 201? ???? ? 则AB=___________. 20、设矩阵A=0 010 111 11?? ? ??????? ,则A -1 =____________. 21、设A =???? ????? ?22 0010 002,则A -1= ___________. 22、设A 为33?矩阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则秩(A )= ___________. 设A 是m ×n 矩阵,A 的秩为r( 23、设向量(2,-3,5)与向量(-4,6,a )线性相关,则a= . 24、设A =1 203 401 2 1-?? ?? ???,B =2 23410--?? ? ? ? .求(1)AB T ;(2)|4A |. 25、试判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵 (1)1 212 313 1 3-????-????-?? (2)2 121324 1 3????--? ????? 26、设矩阵 A =1 210224266210233 3 3 3 4-----?? ? ? ????. 求:(1)秩(A ); (2)A 的列向量组的一个最大线性无关组。 27、求线性方程组123231 232402202260 x x x x x x x x ++=?? +=? ?++=?的的基础解系及其通解. 28、求齐次线性方程组 ?? ? ??=++=-+=++0 00543321521x x x x x x x x x 的基础解系及通解. 第二篇 计算方法 一、知识点 1、误差和有效数字★★★ 2、拉格朗日插值,牛顿插值★★★ 3、解线性方程组的列主元消去法和迭代法★★ 4、数值积分☆ 二、题型 1、舍入误差是( )产生的误差。 A .只取有限位数 B .模型准确值与用数值方法求得的准确值 C . 观察与测量 D .数学模型准确值与实际值 2、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( )误差。 A . 模型 B . 观测 C . 截断 D . 舍入 3、设x 是精确值*x 的近似值,则x x -*称为近似值x 的( ) (A )相对误差 (B )相对误差限 (C )绝对误差限 (D )绝对误差 4、-324.7500是舍入得到的近似值,它有( )位有效数字。 A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 5、设某数x ,那么x 的有四位有效数字且绝对误差限是4 10 5.0-?的近似值是( ) (A )0.693 (B)0.6930 (C)0.06930 (D)0.006930 6、下面( )不是数值计算应注意的问题 (A )注意简化计算步骤,减少运算次数 (B )要避免相近两数相减 (C )要防止大数吃掉小数 (D )要尽量消灭误差 7、函数)(x f 在结点543,,x x x 处的二阶差商≠],,[543x x x f ( ) (A ) ],,[345x x x f (B ) 5 353) ()(x x x f x f --(C )5 35443],[],[x x x x f x x f --(D )5 34534] ,[],[x x x x f x x f -- 8、已知函数)(x f y =的数据表 9 6 3 1520-y x ,则)(x f y =的拉格朗日插值基函数=)(2x l ( ) (A ) )15)(25(5)1)(2(----x x x (B ))10)(50)(20()1)(5)(2(------x x x (C )) 12)(52(2)1)(5(----x x x (D )) 51)(21(1)5)(2(--?--x x x 9、经过点)3,2(),2,1(),1,0(C B A 的插值多项式=)(x P ( ) (A )x (B ) 1+x (C )12+x (D )12+x 10、计算方法主要研究 误差和 误差。 11、对1)(3 ++=x x x f ,均差=]3,2,1,0[f ,=]4,3,2,1,0[f 12、近似数0.02860×102的有效数位是 14、 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是 15、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 16、设102139)(2 4 8 +++=x x x x f ,则均差=]2,,2,2[8 1 f __ ______, =]3,,3,3[9 1 f __________。 17、设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l ,f (x )的二次牛顿插值多项式为 。 18、给定线性方程组 ???-=-=-4 5892121x x x x 则解此方程组的Jacobi 迭代公式是 ?? ? ? ? 而Guass-Seidel 迭代公式是 ?? ? ? ? 取迭代初值T x )0,0()0(=,用Guass-Seidel 迭代公式计算(取至小数后5位)可得 ?? ???= = ==) 2(2 ) 1(2) 2(1 )1(1, ,x x x x 19、以100,121,144为插值节点,用Newton 插值法计算115的近似值 20、已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f (x )的三次插值多项式)(3x P ,并求f (2)的近似值(保留四位小数)。 21、已知下列函数表: (1)写出相应的三次Lagrange 插值多项式; (2)作均差表,写出相应的三次Newton 插值多项式,并计算f (1.5)的近似值。 22、用列主元素消元法求解方程组123 1 1145 431221 111x x x --?????? ? ? ? -=- ? ? ? ? ? ?? ????? 。 23、已知方程组AX =f ,其中 ???? ? ???? ?--=41 143 34 A ,???? ? ?????-=2430 24f 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 24、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组 1 2 3 3015 1311 1148 x x x ?????? ? ? ?-=- ? ? ? ? ? ? --?????? 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次,保留三位小数。 第三篇概率统计 一、知识点 1、事件之间的关系及其运算★★★ 2、计算古典概型、伯努利概型★★★ 3、条件概率公式、乘法公式、利用独立性计算概率★★★ 4、全概率公式、贝叶斯公式,并能用它解决有关问题★ 5、离散型随机变量的概率分布的定义,性质;连续型随机变量的概率密度函数的定义与性质★★☆ 5、6大分布:两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的定义★★★ 6、正态分布的概率密度函数、曲线、标准化、利用正态分布的分布函数计算概率★★★ 7、期望与方差的定义、计算、性质、6大分布的期望与方差★★★ 8、总体、样本、统计量的定义,样本均值、样本方差的定义,正态总体样本均值的分布★★★ 9、统计学三大分布☆ 10、矩估计,极大似然估计,区间估计★ 11、无偏性、有效性★★★ 12、假设检验☆ 二、题型 (一)选择题 1、每次试验的成功率为)1 0(< p,则在3次重复试验中至少失败一次概率为()。 (A)2) 1(p -(B)2 1p -(C) ) 1(3p -(D)以上都不对 2、已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,则P(A∪B)=()。 (A)0.6 (B)0.7 (C)0.8 (D)0.9 3、甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,则目标被命中的概率是()。 (A)0.6 (B) 5 11 (C)0.8 (D) 6 11 4、设随机变量X~N(1,4),Y~N(0,16),X,Y相互独立,则U=X-Y+7服从()分布。 (A) N(8,23) (B) N(8,65) (C) N(1,20) (D) N(8,20) 5、下列表中能成为随机变量X的分布列的是() (C ) (D ) 6、随机变量X 的概率分布如下: 则c 等于( ) (A )0.1 (B )0.2 (C )0.3 (D )0.4 7、设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为( ) (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-. (C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ. 8、设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 2 1)(+- =x e x f π (+∞<<∞-x ), 则( ))1,0(~N (A ) 2 3+X (B) 2 3+X (C) 2 3-X (D) 2 3-X 9、设随机变量X 的概率密度为 2 (2)4 1(),x f x x +-= -∞<<∞ 且~(0,1)Y aX b N =+,则在下列各组数中应取( ) (A )1/2, 1.a b == (B )2,a b == (C )1/2,1a b ==-. (D )2,a b = = 10、将一颗骰子连掷5次,恰好2次出现3点的概率为( ) (A )C 523 2 )6 5()61 ( (B )C 522 3 )6 5()61 ( (C )C 533 2 )61 ()6 5( (D )C 532 3 )6 5()6 1 ( 11、 已知随机变量X 服从正态分布X ~N(3,σ2),则P(X <3)=( ) (A ) 15 (B ) 14 (C ) 13 (D ) 12 12、一口袋中有3个红球和2个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分,摸得白球得2分,则他所得分数的数学期望为( C ) (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 13、对任意随机变量X ,若E X 存在,则[()]E E EX 等于( C ) (A )0. (B ).X (C ).E X (D )3 ().E X 14、设随机变量X 、Y 都服从区间[0,1]上的均匀分布,则E(X+Y)= ( )。 (A ) 16 (B ) 12 (C ) 1 (D )2 15、X 为随机变量,其方差存在,c 为任意非零常数,则下列等式正确的是( )。 (A )D(X+c)=D(X) (B )D(X+c)=D(X)+c (C ) D(X-c)=D(X)-c (D )D(cX)=cD(X) 16、设总体X 服从正态分布),,(2σμN 其中μ已知,2σ未知,123,,X X X 是从总体中抽取的样本,则下列表达式中不是统计量的是( )。 (A )123X X X ++ (B )2 3 2 1 i i X σ =∑ (C ){}123min ,,X X X (D )12X μ+ 17、设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2N 的一个样本,X 为样本均值,则下列结论中正确的是( )。 (A) )(~/ 21n t n X -;(B) ~(0,1)N ;(C) 1~(0,1)4/X N n -; (D) 1~(0,1)2 X N - 18、设12,,,n X X X 为正态总体(,4)N μ的一个样本,X 表示样本均值,则μ的 置信度为1α-的置信区间为 ( ) (A )/2/2(X u X u -+αα (B )1/2/2(X u X u --+αα (C )(X u X u -+αα (D )/2/2(X u X u -+αα 19、 设12,,,n X X X 是来自正态分布2 (,)N μσ的样本,且2 σ未知,X 是样本均值, 2 2 1 1 ()1 n i i S X X n == --∑是样本方差,总体均值μ的置信度为1α-的置信区间是( ) 。 (A) ((), ())S S X n X n αα-+ (B) (, )X X αα- + (C) ((1), (1))X n X n αα- -+- (D) /2/2((1), (1))X n X n αα- -+ - 20、 设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2 (μσ,2 均未知)的样本,则统计量( )不是μ的无偏估计。 A. max{,,}x x x 123; B. 12 12()x x +; C. 212x x -; D. x x x 123-- 21、设2 ~(2,1) X N ,2~(1,1)Y N -,且X ,Y 相互独立,令32Z X Y =-,则~Z ( ) A 、2(8,1)N B 、2(1,1)N C 、2(8,)N D 、2(1,)N 22、矿砂中铜含量服从正态分布2~(,)X N μσ,2σ未知,现从总体中抽取样本 125,,,X X X ,在显著性水平α下检验00:H μμ=,取统计量( ) A 、 X μ- B 、 X μ- C 、 X μ- D 、 X μ- 23、设X ,Y 相互独立,X ~),(2 11σμN ,Y ~),(2 22σμN ,1 ,1n X X 为X 的样本, 2,1n Y Y 为Y 的样本,则有( )。 (A)X -Y ~), (2 2 21 2 1 21n n N σσμμ+ + (B)X -Y ~), (2 2 21 2 1 21n n N σσμμ+ - (C)X -Y ~),(2 2 21 2 1 21n n N σσμμ- - (D)X -Y ~), (2 2 2 1 2 1 21n n N σσμμ+ - (二)填空题 1. 记三事件为A ,B ,C . 则用A ,B ,C 及其运算关系可将事件,“A ,B ,C 中只有一个发 生”表示为 . 2. 若事件A ,B 互不相容,P (A )=0.2,P (B )=0.5,则P (A ∪B )= ,P (AB ) = , P (A B ) = ;若A ,B 相互独立,则P (A ∪B )= ,P (AB ) = . 3. 甲乙二人独立地同时破译密码,甲破译的概率为 2 1,乙破译的概率为 3 1,则该密码被破 译的概率为_______________. 4. 设事件A 在一次试验中出现的概率为p ,若三次独立重复试验中至少出现一次的概率为 1927 ,则p = 。 5. 设随机变量X 的概率密度为?? ?≤≤=其它 10)(2x Ax x f , 则A =_____________. 6. 设随机变量X 的概率密度函数为1()20a x a f x a ?-< =??? 其它 ,其中0a >,要使 {}113 P x >= ,则a = 。 7. 设),(~2σμN X ,则bY a Y +=~_______________. 8. 设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ,它的密度函数为_______________. 9. 设总体,:μ=EX X 2σ=DX .从总体中取得样品:,,321x x x 作为μ的估计量有 )(3 1?3211x x x ++=μ, 2?μ =2 3 3 321x x x + + . 其中_____________是μ的无偏估计量, 且其方差为_____________. 10. 设X 为随机变量,已知D x ()=2,那么D X ()35-= 。 11. 设随机变量X ~N (1,0.36), 随机变量Y ~U (1,4),则E(X )= ,D(X )= , E(Y )= ,D(Y )= ,E (2X +Y )= ,D (2X -Y )= . 12. 设随机变量~(1,4)X N ,Y 服从参数1 3 λ= 的指数分布,又,X Y 相互独立, (53)E X Y - ,(53)D X Y - , 13. 设总体X~ N (μ,σ2) ,σ 2 已知,统计假设取为H 0 :μ = μ0 ;H 1:μ ≠ μ0。若用U-检验法进行假设检验,则在显著性水平α 之下,拒绝域是 。 (三)计算题 1、设A 、B 为两个随机事件,P(A)=0.5,P(AB)=0.3,()0.8P A B ?=,求P(B)。 2、将4个球随机地放在5个盒子里,求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 3、设一批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:一次拿3件;每次拿1件,取后放回拿3次;每次拿1件,取后不放回拿3次),试求: (1)取出的3件中恰有1件是次品的概率; (2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。 4、从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率: {}501与三个数字中不含=A ,{}502或三个数字中不含=A 。 5、假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取一件,结果不是三等 品,求取到的是一等品的概率。 6、甲、乙、丙三机床独立工作,在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有一台机床需要工人照顾的概率。 7、有10盒种子,其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒,从中取出1粒种子,该种子能发芽的概率为多少?若该种子能发芽,则它来自发芽率高的1盒的概率 是多少? 8、已知X 的概率分布为: 试求(1)a ; (2)12 -=X Y 的概率分布。 9、 设X 求1()2P X ≤ ;25( )32 P X <≤ ;(23)P X ≤≤;(23)P X ≤< 10、设随机变量X 求)(X E ,)(2X E ,),53(+X E )53(+X D . 11、设2 (3,2),{25},{2}X N P X P X <≤> 求。 (其中(1)0.8413;(0.5)0.6915;(2.5)0.9938Φ=Φ=Φ=) 12、设随机变量2 (2,2),{0}{2}X N P X P X ≤>服从正态分布求和。 (Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,Φ(2)=0.9772) 13、设随机变量X 的分布密度为 , 03()10, x<0x>3A x f x x ?? =+??? 当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (X <1); (3) 求X 的数学期望. 14、 从总体X ~N (52,6.32)中随机抽取一个容量为36的样本,计算样本均值X 落在50.8到53.8之间的概率. 15、某种灯管寿命X (以小时计)服从正态分布X ~ N (μ,σ 2),X 为来自总体X 的样本均值. (1) 求X 与μ的偏差大于 n σ2的概率. (2) 若μ未知,σ 2 = 100,现随机取100只这种灯管,求X 与μ的偏差小于1的概率. 第四篇离散数学 一、知识点 1、集合运算★★★ 2、笛卡尔积★★★ 3、关系的定义,表示★★★ 4、关系的交、并、补、差、对称差、复合、逆运算★★ 5、关系的性质★★ 6、关系的闭包★★ 7、等价关系的定义与判断★★★ 8、命题的定义与判断★★★ 9、命题的符号化★★★ 10、命题公式的真值表★★★ 11、永真式、永假式、等价公式、对偶式、蕴含式判断的真值表法★★★ 12、主析取范式、主合取范式的真值表求法★★ 二、题型 (一)选择题 1、若集合A={ a,{a},{1,2}},则下列表述正确的是( ). A.{a,{a}}∈A B.{1,2}?A C.{a}?A D.?∈A 2、若集合A={1,2},B={1,2,{1,2}},则下列表述正确的是( ). A.A?B,且A∈B B.B?A,且A∈B C.A?B,且A?B D.A?B,且A∈B 3、设集合A = {1, a },则P(A) = ( ). A.{{1}, {a}} B.{?,{1}, {a}} C.{?,{1}, {a}, {1, a }} D.{{1}, {a}, {1, a }} 4、集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={ 5、在下面句子中,是命题的是() A.明年国庆节是晴天。 B.在实数范围内,x+y<3。 C.请回答这个问题! D.明天下午有课吗? 6、在下面句子中,是命题的是() A.雪是黑色的。 B.这朵花多好看呀! C.请不要讲话! D.明天会下雨吗? 7、设:P:天下雪。Q:他走路上班。则命题“只有天下雪,他才走路上班。”可符号化为 ()A.P→Q;B.Q → P;C.? Q →? P;D.Q ∨?P 8、设:P:天下大雨。Q:他乘公共汽车上班。则命题“只要天下大雨,他就乘公共汽车上班。”可符号化为() A.Q→P;B.P → Q;C.? Q →? P;D.Q ∨?P 9、设:P:你努力;Q:你失败。则命题“除非你努力,否则你将失败。”可符号化为()A.Q→P;B.P→Q;C.?P→Q;D.Q∨?P 10、设:P:他聪明;Q:他用功。则命题“他虽聪明但不用功。”可符号化为()A.P ∧Q B.P→Q C.P∨?Q D.P∧?Q 11、命题公式A与B是等价的,是指() A.A与B有相同的命题变元 B.A?B是可满足式 C.A→B为重言式 D.A?B为重言式 (二)填空题 1、设集合A={1, 2, 3, 4 },B={6, 8, 12},A到B的二元关系 R=} y x x∈ y > < = ∈ A , , x 2 , y {B 那么R-1= 2、设集合A={a, b, c, d},A上的二元关系R={, , , 3、设集合A={a, b, c, d},A上的二元关系R={, , , 4、设R={<1,1>,<1,2>,<2,3>},则R的对称闭包是。 5、设:p:派小王去开会。q:派小李去开会。则命题:“派小王或小李中的一人去开会”可符号化为:。 6、设:p:刘平聪明。q:刘平用功。则命题:“刘平不但不聪明,而且不用功”可符号化为:。 7、设,p:经一事;q:长一智。则命题:“不经一事,不长一智。”可符号化为:。 8、设,p:选小王当班长;q:选小李当班长。则命题:“选小王或小李中的一人当班长。”可符号化为:。 9、设:P :我们划船。Q :我们跑步。则命题: “我们不能既划船又跑步。” 可符号化为: 。 10、设 P :你努力。Q :你失败。则命题:“除非你努力,否则你将失败。” 可符号化为: 。 11、设 p :小王是100米赛跑冠军。q :小王是400米赛跑冠军。则命题:“小王是100米或400米赛跑冠军。”可符号化为: 。 12、设A ,B 都是命题公式,A ?B ,则A →B 的真值是 。 13、设A , B 代表任意的命题公式,则A → B ? ;A ? B ? 。 14、设A , B 代表任意的命题公式,则德 ? 摩根律为?(A ∧ B )? 。 15、对于命题公式A ,B ,当且仅当 是重言式时,称“A 蕴含B”,并记为A ?B 。 (三)解答题 1、列出集合{2,3,4}A =上的恒等关系A I ,全域关系A E ,小于或等于关系A L ,整除关系A D 所包含的序偶。 2、设{,,,}A a b c d =,R 和S 是A 上的二元关系: }{><><><=d b b a a a R ,,,,, }{><><><><=b c d b c b d a S ,,,,,,, 求下列关系及其关系矩阵和关系图。 (1)S R ; (2)S R ⊕; (3)R S ; (4)3 S 3、 利用真值表法求下列命题公式的主析取范式和主合取范式。 (1))(q p →? (2))()(q p q p ??→∨? (3)r q p →→)( (4)))(())((r q p r q p ?∧?→?∧∧→ 4、列出下面命题公式的真值表,并判断公式的类型 (1)(?p →q )→(q →?p ) (2)(p → q )∧(p ∨ r ) (3)((P ∨Q )∧?P )→ Q 工程问题 工程问题是小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申与补充,是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。它是函数一一对应思想在应用题中的有力渗透。工程问题也是教材的难点。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题,它具有抽象性,学生认知起来比较困难。因此,让学生理解工作总量、工作时间、工作效率之间的概念及它们之间的数量关系是重点。 在教学中充分发挥学生的主体地位,运用学生已有的知识“包含除”来解决合作问题。 在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是——工作量=工作效率×时间. 在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题” 教学目标 知识目标:理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数量关系。使学生认识工程问题的特点,掌握其数量关系、解题思路和方法,能应用其基本方法解决一些简单的实际问题. 能力目标:运用所学的知识解决生活中的实际问题,进一步提高学生解决问题的能力。掌握一般工程问题的结构特征。学会解题方法,会正确解答一般的工程问题。 情感目标:进一步培养独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等学习习惯,获得一些成功的体验,增强学好数学的信心。在解答问题的过程中,逐步培养学生观察、比较、类推的能力及创新意识。 教学重点:学会解题方法,会正确解答一般的工程问题。 教学难点:理解比较抽象的工作总量、工作效率、工作时间的数量关系。 工程问题分类 一、两个人的问题(“两个人”,也可以是两个组、两个队等等的两个集体). 例1一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作? 解一:甲每天完成1/9,乙每天完成1/6。甲先做了3天,即做了整个工作的3/9,还剩下6/9,则乙完成剩余工作的天数为:6/9÷1/6=4 答:乙需要做4天可完成全部工作. 解二:甲与乙的工作效率之比是 6∶ 9= 2∶ 3. 甲做了3天,相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4(天) 变式训练 1、一项工程,甲独做要12天完成,乙独做要18天完成,二人合做多少天可以完成这件工程的2/3? 2、修一条路,甲单独修需16天,乙单独修需24天,如果乙先修了9天,然后甲、乙二人合修,还要几天? 3、一项工程,甲队独做15天完成,乙队独做12天完成。现在甲、乙合作4天后,剩下的工程由丙队8天完成。如果这项工程由丙队独做,需几天完成? 例2一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天? 解:共做了6天后, 原来,甲做 24天,乙做 24天, 现在,甲做0天,乙做40=(24+16)天. 这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率 如果乙独做,所需时间是 1.某人打靶3发,事件Ai 表示“击中i 发”,i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2.对于任意两个随机变量X 和Y ,若E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是( )。 A . 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x , 4.设随机变量X ~)4,(2μN , Y ~)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有( ) A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ,才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5.设X 为随机变量,其方差存在,c 为任意非零常数,则下列等式中正确的是( ) A .D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 3.D 4.A 5.A 6. 设3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,它的伴随矩阵记为A*, 则|A*+3A –2E|= 。 7.设A= ???? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ,则x = 。 8.设有3个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为P ,则该系统正常工作的概率为 。 9.设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <??=00 2)(,则概率 =≥)2 1 (X P 。 10.设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为 二、填空题(每空3分,共15分) 河北科技大学成人高等教育2016年第1学期 《工程数学》考试试卷 教学单位 云南函授站 班级 姓名 学号 一、选择题(每小题3分,共15分) 1.某人打靶3发,事件Ai 表示“击中i 发”,i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2.对于任意两个随机变量X 和Y ,若E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 ? C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是( )。 A . 其它1||0|)|1(2)(≤? ??-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤???=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x , 4.设随机变量X ~)4,(2μN , Y ~)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有( ) A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 只对个别的μ,才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 设X 为随机变量,其方差存在,c 为任意非零常数,则下列等式中正确的是( ) A .D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) ! 6. 设3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,它的伴随矩阵记为A*, 则|A*+3A – 2E|= 。 7.设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ,则x = 。 8.设有3个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为P ,则该系统正常工作的概 率为 。 9.设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f < ??=002)(,则概率 =≥)2 1 (X P 。 10.设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为 其它当0 ,00),()43(>>? ??=+-y x ke y x f y x ,则系数=k 。 二、填空题(每空3分,共15分) 电大工程数学期末复习考试必备资料小抄 一、单项选择题 1. 设23 2 1 321 321 =c c c b b b a a a ,则=---3 2 1 332 21 13 21333c c c b a b a b a a a a (A ). A. 2- 2. 设A 是n s ?矩阵,B 是m s ?矩阵,则下列运算中有意义的是( D ).D. AB ' 3. 已知?????? ? ??????? =?? ? ???-=21101210 ,20101B a A ,若?? ? ???=1311AB ,则=a ( B ). B. 1- 4.B A ,都是n 阶矩阵()1>n ,则下列命题正确的是 ( D ) .D .B A AB = 5. 若A 是对称矩阵,则等式(C )成立. C. A A =' 6. 若??? ? ??=5321A ,则=*A (D ). D. ?? ????--1325 7. 若? ? ??? ???? ???=432143214321 4321 A ,则秩=)(A ( B ). B. 1 8. 向量组10001200123012341111???????????????????????????????????????????????????????? ? ???,,,,的秩是(A ). A. 4 9. 向量组]532[,]211[,]422[,]321[4321'='='='=αααα的一个极大无关组可取为(B ). B. 21,αα 10. 向量组[][][]1,2,1,5,3,2,2,0,1321==-=ααα,则=-+32132ααα(B ).[]2,3,1-- 11. 线性方程组?? ?=+=+01 32 21x x x x 解的情况是(D )D. 有无穷多解 12. 若线性方程组AX =0只有零解,则线性方程组AX b =(C ).C. 可能无解 13. 若n 元线性方程组AX =0有非零解,则( A )成立.A. r A n ()< 14. 下列事件运算关系正确的是( A ).A. BA A B B += 15. 对于随机事件A B ,,下列运算公式( A )成立.A. )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 16. 袋中有3个红球,2个白球,第一次取出一球后放回,第二次再取一球,则两球都是红球的概率是(D ). 25 9 小学数学工程问题应用题 工程问题应用题是特殊的分数应用题,它研究的是工作总量、工作效率、工作时间三个数量之间的关系。解题关键就是把工作总量看作单位“1”,工作效率就是1÷工作时间,然后根据具体数量来正确解答。 基本数量关系如下: 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 例题精讲: 例1:修建一项工程,用4天完成,平均每天完成这项工程的几分之几? 例2:一段公路,甲单独做要用20天,乙单独做要用30天,如果两队合修几天可以完成? 例3:一堆货物,A车单独运4小时可以运完,B车单独运6小时可以运完,现由AB两车合运这堆货物的5/6,需要多少小时。 例4:修一条公路,甲队单独修要15天,乙队单独修要12天,甲队先修6天后,剩下的由甲乙两队合修,甲乙两队合修还要天? 例5:一件工作,甲队单独做要20小时完成,乙单独做要30小时完成,两人合作期间,乙休息了5小时,完成这项工作前后用了多长时间? 例6:客车从甲地到乙地要10小时,货车从乙地到甲地要15小时, 客车开出2小时后,货车才出发,两车相遇时货车行驶了几个小时? 例7:一项工程,甲乙合作9天完成,乙丙合作6天完成,甲丙合作12天完成,三人合作多少天完成? 练习: 1.一件工程,甲独做10天完工,乙独做15天完工,二人合做几天完工? 2.一袋米,甲、乙、丙三人一起吃,8天吃完,甲一人24天吃完,乙一人36天吃完,问丙一人几天吃完? 3.一项工程,甲独做要18天,乙独做要15天,二人合做6天后,其余的由乙独做,还要几天做完? 4.一项工程,甲独做要12天完成,乙独做要18天完成,二人合做多 少天可以完成这件工程的23 ? 5.修一条路,甲单独修需16天,乙单独修需24天,如果乙先修了9天,然后甲、乙二人合修,还要几天? 6.一项工程,甲独做要12天,乙独做要16天,丙独做要20天,如果甲先做了3天,丙又做了5天,其余的由乙去做,还要几天? 7.甲、乙二人和做一项工程,做了8天,完成23 ,余下的工程叫乙独做,又做了16天才完成,问二人独做各需要几天? 工程问题 知识框架 一、基本概念 (1)工作总量 完成某一项工程所需的所有工作的数量和,常用“1”来表示. (2)工作时间 (3)工作效率 单位时间内所完成的工作量 二、基本关系 工作量= 工作效率×工作时间 【提示】三者之间的关系,可以类比路程、速度和时间的关系. 三、常用工具和方法 (1)基本关系 (2)整体化归思想 (3)对比分析的方法 重难点 (1)重点:利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题 (2)难点:复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用 例题精讲 一、根据基本关系解题 【例 1】一项工程,甲单独做需要28天时间,乙单独做需要21天时间,如果甲、乙合作需要多少时间? 【巩固】一项工程,甲单独做需要21天时间,甲、乙合作需要12天时间,如果乙单独做需要多少时间? 【例 2】一项工程,甲队单独完成需40天。若乙队先做10天,余下的工程由甲、乙两队合作,又需20天可完成. 如果乙队单独完成此工程,则需______天. 【巩固】一项工程,甲队单独做20天可以完成,甲队做了8天后,由于另有任务,剩下的工作由乙队单独做15天完成.问:乙队单独完成这项工作需多少天? 二、运用整体化归思想解题 【例 3】有两个同样的仓库,搬运完一个仓库的货物,甲需6小时,乙需7小时,丙需14小时。甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时,丙先帮甲搬运,后来又去帮乙搬运,最后两个仓库 的货物同时搬完。则丙帮甲小时,帮乙小时。 【巩固】一池水,甲、乙两管同时开,5小时灌满;乙、丙两管同时开,4小时灌满.现在先开乙管6小时,还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满.乙单独开几小时可以灌满? 【例 4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的 1 1 2 倍.上午去 (一) 一、单项选择题(每小题2分,共12分) 1. 设四阶行列式b c c a d c d b b c a d d c b a D = ,则=+++41312111A A A A ( ). A.abcd B.0 C.2 )(abcd D.4 )(abcd 2. 设(),0ij m n A a Ax ?==仅有零解,则 ( ) (A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关; 3. 设8.0) (=A P ,8.0)|(=B A P ,7.0)(=B P ,则下列结论正确的是( ). A.事件A 与B 互不相容; B.B A ?; C.事件A 与B 互相独立; D.)()()(B P A P B A P += Y 4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张,其中没有K 字牌的概率为( ). A.552548C C B.52 48 C.5 54855C D.555548 5. 复数)5sin 5(cos 5π πi z --=的三角表示式为( ) A .)54sin 54(cos 5ππi +- B .)54sin 54(cos 5π πi - C .)54sin 54(cos 5ππi + D .)5 4sin 54(cos 5π πi -- 6. 设C 为正向圆周|z+1|=2,n 为正整数,则积分 ?+-c n i z dz 1)(等于( ) A .1; B .2πi ; C .0; D .i π21 二、填空题(每空3分,共18分) 1. 设A 、B 均为n 阶方阵,且3||,2|| ==B A ,则=-|2|1BA . 2. 设向量组()()() 1231,1,1,1,2,1,2,3,T T T t α=α=α=则当t = 时, 123,,ααα线性相关. 3. 甲、乙向同一目标射击,甲、乙分别击中目标概率为0.8, 0.4,则目标被击中的概率为 4. 已知()1,()3E X D X =-=,则2 3(2)E X ??-=??______. 人教版七年级数学工程问题 备课时间:2013年11月19日备课组:七年级数学 上课时间:第12周星期三执教老师:向清旺陈春凤王本江杨春艳向庶 学习目标:1. 会根据实际问题中数量关系列方程解决实际问题,熟练掌握一元一次方程的解法 2. 培养学生数学建模能力,分析问题、解决问题的能力。 学习重点:用一元一次方程解决工程等问题。 学习难点:实际问题中,如何建立等量关系,并根据等量关系列出方程。 学习要求:1. 阅读课本P101的例5; 2.完成书上的填空; 3.限时25分钟完成本导学案(独立或合作); 4.课前在组内交流展示,组长对组员进行等级评价。 一、自主学习: 1.一件工作,如果甲独做a小时完成,则甲独做1小时,完成全部工作量的__________ . 2.工作量、工作时间、工作效率之间有怎样的关系? (1)工作量=___________ ×_____________ ; (2)工作时间=___________ ÷_____________ ; (3)工作效率=___________ ÷_____________ 。 3.水池一个进水管,8小时可以注满空池,池底有一个出水管,12小时可以放完满池的水,如果同时打开进水管和出水管,那么,多少小时可以把空池注满? 提示:(1)注满一池水的工作量为“____”. (2)进水管工作效率为________ ,出水管工作效率为________ . (3)若设经过x小时可以注满水池,则进水管的进水量为______________ ,出水管的出水量为_____________ . (4)相等关系为:___________ -___________= 1 ,则列出方程为:__________________________ ,解得:x=________ . 二、合作探究: 1.阅读教材P101,并完成下列填空: (1)把总工作量看着______ ; (2)人均效率为_______ ,若设先安排x人工作4小时,则完成的工作量为___________ ,再增加2人和前一部分人一起做8小时,完成的工作量为______________ , (3)这段工作分两段完成,两段完成的工作量之和为____________________________ . 则列方程为__________________________________ .你会解吗?试一试。 提示:①此时工作量=人均效率×人数×工作时间②如果一件工作分几段完成,则各阶段工作量的和=总工作量。 《工程数学》期末综合练习题 工程数学(本)课程考核说明 (修改稿) I. 相关说明与实施要求 本课程的考核对象是国家开放大学(中央广播电视大学)理工类开放教育专升本土木工程专业及水利水电工程专业的学生。 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。考核成绩由形成性考核成绩和期末考试成绩两部分组成,考核成绩满分为100分,60分为及格。其中形成性考核成绩占考核成绩的30%,期末考试成绩占考核成绩的70%。形成性考核的内容及成绩的评定按《国家开放大学(中央广播电视大学)人才培养模式改革与开放教育试点工程数学形成性考核册》的规定执行。 工程数学(本)课程考核说明是根据《国家开放大学(中央广播电视大学)专升本“工程数学(本)”课程教学大纲》制定的,参考教材是《大学数学——线性代数》和《大学数学——概率论与数理统计》(李林曙主编,中央广播电视大学出版社出版)。考核说明中的考核知识点与考核要求不得超出或超过课程教学大纲与参考教材的范围与要求。本考核说明是工程数学(本)课程期末考试命题的依据。 工程数学(本)是国家开放大学(中央广播电视大学)专升本土木工程专业学生的一门重要的必修基础课,其全国统一的结业考试(期末考试)是一种目标参照性考试,考试合格者应达到普通高等学校理工类专业的本科水平。因此,考试应具有较高的信度、效度和一定的区分度。试题应符合课程教学大纲的要求,体现广播电视大学培养应用型人才的特点。考试旨在测试有关线性代数、概率论与数理统计的基础知识,必要的基础理论、基本的运算能力,以及运用所学基础知识和方法,分析和解决问题的能力。 期末考试的命题原则是在考核说明所规定的范围内命题,注意考核知识点的覆盖面,在此基础上突出重点。 考核要求分为三个不同层次:有关定义、定理、性质和特征等概念的内容由低到高分为“知道、了解、理解”三个层次;有关计算、解法、公式和法则等内容由低到高分为“会、掌握、熟练掌握”三个层次。三个不同层次由低到高在期末试卷中的比例为:2:3:5。 试题按其难度分为容易题、中等题和较难题,其分值在期末试卷中的比例为:4:4:2。 试题类型分为单项选择题、填空题和解答题。单项选择题的形式为四选一,即在每题的四个备选答案中选出一个正确答案;填空题只要求直接填写结果,不必写出计算过程和推理过程;解答题包括计算题和证明题,求解解答题要求写出文字说明、演算步骤或推证过程。三种题型分数的百分比为:单项选择题15%,填空题15%,解答题70%(其中证明题6%)。 期末考试采用半开卷笔试形式,卷面满分为100分,考试时间为90分钟。 II. 考核内容和考核要求 考核内容分为线性代数、概率论与数理统计两个部分,包括行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值及二次型、随机事件与概率、随机变量的分布和数字特征、数理统计基础等方面的知识。 2018年1月 得分 评卷人 1.某人打靶3发,事件Ai 表示“击中i 发”,i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2.对于任意两个随机变量X 和Y ,若E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是( )。 A . 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x , 4.设随机变量X ~)4,(2μN , Y ~)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , 一、单项选择题(每小题3分,共15分)在 每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求 }5{2+≥=μY P P , 则有( ) A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ,才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5.设X 为随机变量,其方差存在,c 为任意非零常数,则下列等式中正确的是( ) A .D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 6. 设3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,它的伴随矩阵记为A*, 则|A*+3A –2E|= 。 7.设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ,则x = 。 8.设有3个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为P ,则该系统正常工作的概率为 。 9.设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <??=002)(,则概 率=≥)2 1 (X P 。 10.设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为 二、填空题(每空3分,共15分) 工程数学 复习题 填空题 1.设A 是2阶矩阵,且9=A ,='-)(31A . 2.已知齐次线性方程组0=AX 中A 为53?矩阵,且该方程组有非零解,则≤)(A r . 3.2.0)(,5.0)(==A B P A P ,则=+)(B A P . 4.若连续型随机变量X 的密度函数的是???≤≤=其它, 01 0,2)(x x x f ,则=)(X E . 5.若参数θ的两个无偏估计量1?θ和2?θ满足)?()?(21θθD D >,则称2 ?θ比1?θ更 . 单项选择题 1.设B A ,都是n 阶矩阵)1(>n ,则下列命题正确的是( ). A . 若AC A B =,且0≠A ,则 C B = B . 2 2 2 2)(B AB A B A ++=+ C. A B B A '-'='-)( D . 0=AB ,且0≠A ,则0=B 2.在下列所指明的各向量组中,( )中的向量组是线性无关的. A . 向量组中含有零向量 B . 任何一个向量都不能被其余的向量线性表出 C. 存在一个向量可以被其余的向量线性表出 D . 向量组的向量个数大于向量的维数 3.设矩阵??????????--=211102113A ,则A 的对应于特征值2=λ的一个特征向量α= ( ) . A .??????????101 B.??????????-101 C .??????????011 D .???? ? ?????100 4. 甲、乙二人射击,A B ,分别表示甲、乙射中目标,则AB 表示( )的事件. A. 至少有一人没射中 B . 二人都没射中 C. 至少有一人射中 D . 两人都射中 5.设)1,0(~N X ,)(x Φ是X 的分布函数,则下列式子不成立的是( ). A . 5.0)0(=Φ B . 1)()(=Φ+-Φx x 工程问题典型题库 1.一件工程,甲独做10天完工,乙独做15天完工,二人合做 几天完工? 2.一批零件,王师傅单独做要15小时完成,李师傅单独做要 20小时完成,两人合做,几小时能加工完这批零件的3 4 ? 3.一项工作,甲单独做要10天完成,乙单独做要15天完成。 甲、乙合做几天可以完成这项工作的80%?(浙江温岭市) 4.一项工程,甲独做要12天完成,乙独做要18天完成,二人 合做多少天可以完成这件工程的2/3?5.一项工程,甲独做要18天,乙独做要15天,二人合做6天 后,其余的由乙独做,还要几天做完? 6.修一条路,甲单独修需16天,乙单独修需24天,如果乙先 修了9天,然后甲、乙二人合修,还要几天? 7.一项工程,甲单独做16天可以完成,乙单独做12天可以完 成。现在由乙先做3天,剩下的由甲来做,还需要多少天能完成这项工程?(石家庄市长安区) 8.一项工程,甲独做要12天,乙独做要16天,丙独做要20天, 如果甲先做了3天,丙又做了5天,其余的由乙去做,还要几天? 9. 一批货物,由大、小卡车同时运送,6小时可运完,如果用 大卡车单独运,10小时可运完。用小卡车单独运,要几小时运完?(浙江常山县) 10. 小王和小张同时打一份稿件,5小时打了这份这稿件的 6 5。如果由小王单独打,10小时可以打完。求如果由小张单独打,几小时可以打完。(湖北当阳市) 11. 一项工程,甲队独做15天完成,乙队独做12天完成。现在 甲、乙合作4天后,剩下的工程由丙队8天完成。如果这项工程由丙队独做,需几天完成?(浙江德清县) 12. 甲和乙两队合修一条公路,完成任务时,甲队修了这条公路 的 15 8 。如果乙队单独完成要24天,甲队单独做几天完成?(武汉市青山区) 13. 一项工程,甲独做要10天,乙独做要15天,丙独做要20天。 三人合做期间,甲因病请假,工程6天完工,问甲请了几天病假? 14. 一袋米,甲、乙、丙三人一起吃,8天吃完,甲一人24天吃 完,乙一人36天吃完,问丙一人几天吃完? 15. 一条公路长1500米,单独修好甲要15天,乙要10天,两队 合修需几天才能完成?(浙江江山市) 16. 师徒共同完成一件工作,徒弟独做20天完成,比师傅多用4 天完成,如果师徒合作需几天完成?(银川市实验小学) 17. 一项工程,由甲工程队修建,需要20天完成;由乙工程队修 建,需要的天数是甲工程队的1.5倍才能完成。两队合修共需要多少天完成? 1.某人打靶3发,事件Ai 表示“击中i 发”,i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2.对于任意两个随机变量X 和Y ,若E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是( )。 A . 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x , 4.设随机变量X ~)4,(2μN , Y ~)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有( ) A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ,才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5.设X 为随机变量,其方差存在,c 为任意非零常数,则下列等式中正确的是( ) A .D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 6. 设3阶矩阵A 的特征值为-1,1,2,它的伴随矩阵记为A*, 则|A*+3A –2E|= 。 7.设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ,则x = 。 8.设有3个元件并联,已知每个元件正常工作的概率为P ,则该系统 正常工作的概率为 。 9.设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <??=002)(,则概率 =≥)2 1 (X P 。 10.设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为 其它当0 ,00),()43(>>?? ?=+-y x ke y x f y x ,则系数=k 。 11.求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β),并由此证明: 二、填空题(每空3分,共15分) 三、计算题(每小题10分,共50分) 中考数学工程问题专题练习 1.某电子元件厂准备生产4600个电子元件,甲车间独立生产了一半后,由于要尽快投入市场,乙车间也加入该电子元件的生产,若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍,结果用33天完成任务,问甲车间每天生产电子元件多少个?在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个,根据题意可得方程为() A. B.C.D. 2.甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成 任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是() A.8 B.7 C.6 D.5 3.某工厂生产一种零件,计划在20天内完成,若每天多生产4个,则15天完成且还多生产10个.设原计划每天生产x个,根据题意可列分式方 程为() A.B.C.D. 4.某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共有了18天完成全部任务.设 原计划每天加工x套运动服,根据题意可列方程为() A. B.C.D. 5.甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同,已知甲队比乙队每天多修10m.设甲队每天修路xm,依题意,下面所列方程正确的是() A.=B.=C.=D.= 6.甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程,已知甲队单独完成这项工程需要30天,若由甲队先做10天,剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成.问乙队单独完成这项工程需要多少天?若设乙队单独完成这项工程需要x天.则可列方程为 A.+=1 B.10+8+x=30 C.+8(+)=1 D.(1﹣)+x=8 7.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产 台机器. 8.列方程或方程组解应用题:某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小时完成 任务,若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积. 9.2013年4月20日,我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震.某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务.在加工了300顶帐篷后,厂家把工作效率提高到原来的1.5倍,于是提前4天完成任务,求原来每天加工多少顶帐篷? 10.某地区为了进一步缓解交通拥堵问题,决定修建一条长为6千米的公路.如果平均每天的修建费y(万元)与修建天数x(天)之间在30≤x≤120, 具有一次函数的关系,如下表所示. (1)求y关于x的函数解析式; (2)后来在修建的过程中计划发生改变,政府决定多修2千米,因此在没有增减建设力量的情况下,修完这条路比计划晚了15天,求原计划每天的修建费. 11.某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区(方案定后,每天的运量不变). (1)从运输开始,每天运输的货物吨数n(单位:吨)与运输时间t(单位:天)之间有怎样的函数关系式? (2)因地震,到灾区的道路受阻,实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成任务,求原计划完成任务的天数. 仲恺农业工程学院 试题答案与评分标准《工程数学Ⅰ》2008至2009 学年度第 2 学期期末(A)卷 一、单项选择题(3* 8分) 二.填空题(3*7分) 1. 5 . 2.1 11 . 3. 0、7 . 4. 0、7 . 5. 1 . 6. 0、1915 . 7. 3 μ. 三.计算题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分) 1.设方阵A= 211 210 111 - ?? ? ? ? - ?? , 113 432 B - ?? = ? ?? ,解矩阵方程XA B =、 解: 1 101 1 232 3 330 A- ?? ? =-- ? ? - ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分1 221 82 5 33 X BA- - ?? ? == ? -- ? ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分 2.某人对同一目标进行5次独立射击,若每次击中目标的概率就是2 3 ,求 (1)至少一次击中目标的概率; (2)恰有3次击中目标的概率。 解:(1) 5124213243??-= ??? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 3分 (2) 323 5 218033243C ????= ? ?????、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 5分 四.计算题(本大题共2小题,每小题6分,满分12分) 1.计算2 51237 1459 2746 12D ---=--. 解:25 12152237 14021659 270113461 20120D -----==----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、3分 152 21522011 3011390216003001 200033--===----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6分 2.某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0、05,第二车间的次品率为0、03,第三车间的次品率为0、01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件,出厂时三个车间的产品完全混合,现从中任取一件产品,求该产品就是次品的概率。 解:设B ={取到次品},i A ={取到第i 个车间的产品},i =1,2,3,则123,,A A A 构成一完备事件组。……………… ……… …… …………… ………2分 利用全概率公式得, ∑=++==3 1332211)()()()()()()()()(i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P 小学数学工程问题 1.一件工程,甲独做10天完工,乙独做15天完工,二人合做几天完工 2.一袋米,甲、乙、丙三人一起吃,8天吃完,甲一人24天吃完,乙一人36天吃完,问丙一人几天吃完 3.一项工程,甲独做要18天,乙独做要15天,二人合做6天后,其余的由乙独做,还要几天做完 4.一项工程,甲独做要12天完成,乙独做要18天完成,二人合做 多少天可以完成这件工程的2 3 5.修一条路,甲单独修需16天,乙单独修需24天,如果乙先修了9天,然后甲、乙二人合修,还要几天 6.一项工程,甲独做要12天,乙独做要16天,丙独做要20天,如果甲先做了3天,丙又做了5天,其余的由乙去做,还要几天 7.甲、乙二人和做一项工程,做了8天,完成 2 3 ,余下的工程叫乙独做,又做了16天才完成,问二人独做各需要几天 8.一项工程,甲独做要10天,乙独做要15天,丙独做要20天。三人合做期间,甲因病请假,工程6天完工,问甲请了几天病假 9.从甲城到乙城,卡车6小时可行全程的 3 5 ,客车行完全程要比卡车少用2小时。如果卡车、客车分别从甲、乙两城同时相对开出,4小时后两车之间的距离占全程的几分之几 10.一套家具,由一个老工人做40天完成,由一个徒工做80天完成。现由2个老工人和4个徒工同时合做,几天可以完成 11.一个水池上有两个进水管,单开甲管,10小时可把空池注满,单开乙管,15小时可把空池注满。现先开甲管,2小时后把乙管也打开,再过几小时池内蓄有 3 4 的水(原是空池) 12、有一件工作,小华做需3天,小芳做需4天,小梅做需5天,如果三人合做,需几天完成 13、有一项工程,甲队单独做需要10天,甲、乙两队合做需要4天,乙单独做需要几天 14、一件工作,甲单独做,需要6天,乙单独做,需要8天,两人 合做几小时,可以完成这件工作的3 4 15、一项工程,甲队独做60天完成,乙队独做40天完成,现先由甲队独做10天后,乙队也参加工作。还需几天完成 16、有一项工程,甲队单独做需要10天,甲、乙两队合做需要4天。如果甲队先做3天,然后两队合做还需要几天 17、打字员打一部稿件,甲单独打4小时可打完,乙单独打8小时可打完,二人合打2小时后,剩下的由乙独打,还需要几小时打完18、一批货物,用一辆卡车运18次运完,用一辆大车运30次运完。现在用同样的3辆卡车和5辆大车一起运,几次可以运完19、一项工程,由甲队做30天完成,由乙队做20天完成。(1)两队合做5天可以完成工程的几分之几(2)两队合做10天,还剩下工程的几分之几(3)两队合做几天完成 (06春-12春)复习资料总结 一、单项选择题(每小题3分,本题共15分) 1. 若0 3 5 1 021011=---x ,则=x (A ). A. 3 B. 2 C. 3- D. 2- 2. 已知2维向量组4321,,,αααα,则),,,(4321ααααr 至多是(B ). A 1 B 2 C 3 D 4 3. 设B A ,为n 阶矩阵,则下列等式成立的是(C )A.BA AB = B. B A AB ''=')( C. B A B A '+'='+)( D. AB AB =')( 4. 若 A B ,满足(B ),则 A 与 B 是相互独立. A. )()() (A B P A P B P = B. )()()(B P A P AB P = C. )()()(B P A P B A P -=- D. )()()(B A P B P A P = 5. 若随机变量X 的期望和方差分别为)(X E 和)(X D ,则等式( D )成立. A. )]([)(X E X E X D -= B. 22)]([)()(X E X E X D += C. )()(2X E X D = D. 22)]([)()(X E X E X D -= 6.若A 是对称矩阵,则等式( B )成立. A. I AA =-1 B. A A =' C. 1-='A A D. A A =-1 7.=?? ? ???-1 5473(D ). A. ?? ?? ??--3547 B. 7453-???? -?? C. 7543-????-?? D. 7543-????-?? 8.若(A )成立,则n 元线性方程组AX O =有唯一解. A. r A n ()= B. A O ≠ C. r A n ()< D. A 的行向量线性相关 4. 若条件( C )成立,则随机事件A ,B 互为对立事件. A. ?=AB 或A B U += B. 0)(=AB P 或()1P A B += C. ?=AB 且A B U += D. 0)(=AB P 且1)(=+B A P 9.对来自正态总体 X N ~(,)μσ2(μ未知)的一个样本X X X 123,,,记∑==3 1 3 1i i X X ,则下列各式中(C )不是 统计量. A. X B. ∑=3 1 i i X C. ∑ =-3 1 2 )(3 1 i i X μ D. ∑=-3 1 2)(3 1 i i X X 10.设B A ,都是n 阶方阵,则下列命题正确的是( A ). A .A B A B = B .222()2A B A AB B -=-+ C . AB BA = D .若AB O =,则A O =或B O = 11.向量组???? ? ?????-?????????????????? ??-??????????732,320,011,001的秩是( B ). A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 12.n 元线性方程组 AX b =有解的充分必要条件是( A ). A. )()(b A r A r M = B. A 不是行满秩矩阵 C. r A n ()< D. r A n ()= 13. 袋中有3个红球,2个白球,第一次取出一球后放回,第二次再取一球,则两球都是红球的概率是(D ). A. 256 B. 103 C. 203 D. 25 9 14.设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2的样本,则(C )是μ无偏估计. A. 3215 1 5151x x x ++ B. 321x x x ++ C. 321535151x x x ++ D. 321525252x x x ++ 15.设 B A ,为n 阶矩阵,则下列等式成立的是( A ). A .BA A B = B .B A B A +=+ C .111)(---+=+B A B A D .111)(---=B A AB 16.方程组?????=+=+=-3 312321 21a x x a x x a x x 相容的充分必要条件是( B ),其中0≠i a ,)3,2,1(=i .小升初数学完整版工程问题
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