《应用举例(1)》训练
《应用举例（1）》基础训练
知识点1一般的实际问题
1.[2017湖南益阳中考]如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB=a ，则拉线BC 的长度为(A ，D ，B 在同一条直线上)( )
A. sin h a
B. cos h a
C. tan h a
D.h ·cosa 2.如图，A ，B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶即可到达B 地.已知AC=120km ，∠A=30°，∠B=135°，求隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶多少千米.
知识点2与圆相关的问题
3.山东聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.如图，点O 是摩天轮的圆心，长为110m 的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33°，测得圆心0的仰角为21°，则小莹所在点C 到直径AB 所在直线的距离约为(tan33°≈0.65，tan21°≈0.38)( )
A.169m
B.204m
C.240m
D.407m
4.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳0B 的长为3m ，静止
时，踏板到地面距离BD的长为0.6m(踏板厚度忽略不计).为安全起见，乐园管理处规定:儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m.(计算结果精确到
0.1m)
(1)当摆绳OA与0B成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h=____；
(2)某成人在玩秋千时，摆绳0C与OB的最大夹角为55°，问此人是否安全？
(参考数据: 1.41，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)
知识点3仰角、俯角问题
5.[2018海南定安期末]如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端25米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为a，则树0A的高度为( )
米 B.25sina米 C.25tana米 D.25cosa米
A.25
tan a
6.[浙江宁波中考]如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为_____米(结果保留根号)
7.如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°(点B，C，E在同一水平直线上)，已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间
的距离.(结果精确到0.1m 1.414 1.732)
参考答案
1.B 【解析】根据同角的余角相等，得∠CAD=∠BCD ，由cos ∠BCD=
CD BC
，知BC=CD cos ∠BCD = h cos a .故选B. 2.【解析】过点C 作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，在Rt △ACD 中，∵AC=120km ，
∠A=30°，∴CD=ACsin30°=60km ，AD=ACcos30°，∵∠ABC=135°，
∴∠CBD=45°，∴BD=CD=60km ，AB=AD －60)km.
故隧道开通后汽车从A 地到B 地需行驶60)千米.
3.B 【解析】如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，在Rt △ACD 中，AD=CD ·tan ∠ACD=CD ·tan33°，在Rt △DCO 中，OD=CD ·tan ∠
DCO=CD ·tan21°，∵AB=110m ，∴AO=55m ，∴AO=AD －OD=CD ·tan33°－CD ·tan21°=55，∴CD=tan33515－tan2??≈0.65550.38
-≈204(m).故小莹所在点C 到直径从所在直线的距离约为204m.故选B.
归纳总结：在解决实际问题时，关键是要将实际问题转化为数学问题，要将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就能很好地运用解直角三角形的方法求解.
4.【解析】(1)1.5
如图，在Rt △OAE 中，OA=OB=3m ，∠AOE=A5°，OE=OA ×cos45°=3×
2=2(m)，∴BE=0B －OE=3－2=62
-(m)，∴DE=BE ＋
＋0.6≈1.5(m)，即h=1.5. (2)如图，过点C 作CF ⊥OB 于点F ，在Rt △COF 中，0C=OB=3m ，∠COF=55°，
∴OF=OC×cos55°≈3×0.57=1.71(m)，BF=OB－OF=3－1.71=1.29(m)，
DF=BF＋BD=1.29＋0.6≈1.9(m)，∵1.9m＜2m，∴此人安全
.
5.C【解析】在Rt△ABO中，∵BO=25米，∠ABO=a，AO=BOtana=25tana米.故选C.
1200)【解析】在Rt△ACH中，CH=l200米，∠CAH=∠ACD=45°，∴AH=CH=1200米.
在Rt△BCH中，CH=1200米，∠CBH=∠BCD=30°，∴BH=CH
tan30?
1200
米)，∴AB=BH－
1200)米.
7.【解析】如图，过点D作DF⊥AB于点F，则四边形FBED是矩形.
∴FD=BE，BF=DE=10m，FD∥BE.∵∠FDC=30°，FD∥BE，∴∠DCE=∠FDC=30°.
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=10m，∠DCE=30°，∴
CE=DE
tan30?
10 3
在Rt△AFD中，∠AFD=90°，∠ADF=∠FAD=45°，∴FD=AF. ∵AB=80m，BF=10m，∴FD=AF=AB－BF=80－10=70(m).
∴BC=BE－CE=FD－CE=70－
5207(m).
因此，障碍物两点间的距离约为52.7m.
《应用举例（1）》提升训练
1.[2018江西临川一中课时作业]如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底端G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( )
A.20米
2.[2017辽宁抚顺中考]如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影点A’的俯角∠A’NB为45°，则电视塔AB的高度为____米.(结果保留根号)
3.[2018山东济南育英中学课时作业]在一个阳光明媚的周末，小明和小强一起到郊外放风筝.他们把风筝放飞后，把两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处(如图).现已知风筝A的引线(线段AC)长20m，风筝B的引线(线段BC)长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为45°.
(1)试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高；
(2)求风筝A与风筝B的水平距离.(结果精确到0.01m， 1.414 1.732)
4.[2018江苏盐城市一中课时作业]一批武警官兵奉命营救小山两侧A，B两地的被困人员，为了圆满完成空降任务，需知道小山高度及两地的距离.已知当飞机飞至高空C处时，发现飞机与山顶P及村庄B在同一条直线上，且点A，B，C，P在同一平面内，并测得A，B两地的俯角分别为75°和30°，飞机离A地的距离AC=1400米，又知在A处测得山顶P的仰角为45°，求A，B两地的距离及小山的高.(结果保留根号)
参考答案
1.A【解析】由题意知GE∥AB∥CD，BC=2GC，GE=15米，∴AB=2GE=30米，
∴AF=BC=AB·tan∠BAC=30×tan30°米).
在Rt△AFD中，DF=AF·tan30°米)，∴CD=CF－DF=AB－DF=30－10=20(米).故选A.
AN，易证△ABN≌△A’BN，∴A’N=AN，∠ANB=∠A’NB=45°.
∵∠AMB=22.5°，∴∠MAN=22.5°，∴AN=MN=200米，∴AB=AN·sin∠
ANB=200×sin45°=200米).
3.【解析】(1)如图，分别过点A，B作地面的垂线，垂足分别为D，E.
在Rt△ADC中，∵AC=20m，∠ACD=60°，∴AD=20×sin60°17.32(m).
在Rt△BEC中，∵BC=24m，∠BCE=45°，∴BE=24×sin45°16.97(m). ∵17.32＞16.97，∴风筝A离地面更高.
(2)在Rt△ADC中，∵AC=20m，∠ACD=60°，∴DC=20×cos60°=10(m).
在Rt△BEC中，∵BC=24m，∠BCE=45°，∴EC=BE≈16.97m，∴ED=EC－DC≈6.97m，
即风筝A与风筝B的水平距离约为6.97m.
4.【分析】首先过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥AB于点H，根据题意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC∥AB，然后由三角函数的知识，求得AE 与EC的值，进而求得AB的值与小山的高.
【解析】如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PH⊥AB于点H，根据题
意得，∠DCA=75°，∠DCB=30°，DC ∥AB ，∴∠B=∠DCB=30°，∠BCA=∠DCA －∠DCB=45°，∴AE=EC=AC ·sin ∠ECA=1400
×
2
米)，∴AB=AE sin B
2
米). ∴BE=AB ·
米),∴BC=BE ＋
(米)，∵∠B=∠B ，∠BAP=∠BCA=45°，∴△ABP ∽△CBA ， ∴AB PH BC AE =
PH
PH=(700
米. ∴A ，B 两地的距离为
米
.