(完整)高等数学练习题(附答案)

《高等数学》

专业 年级 学号 姓名

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）

（ ）1. 收敛的数列必有界.

（ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.

（ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.

（ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.

（ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.

（ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.

（ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.

（ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则

)0(f 为)(x f 的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1. 设2

)1(x x f =-，则=+)1(x f .

2. 若1

212)(11+-=

x

x

x f ，则=+→0

lim x .

3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则

=')3(g .

4. 设y

x

xy u +

=, 则=du .

5. 曲线3

26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .

6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2

x f x

f x F f +==',则=')1(F .

7. 若

),1(2)(0

2x x dt t x f +=?

则=)2(f .

8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分

=-+∞?

dx e x 20

.

10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D

5

2

2

1,

1 . 三、计算题（每题5分，共40分）

1. 计算))

2(1

)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10

3

2

)10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数.

3. 求不定积分

dx x x ?

-)

1(1.

4. 计算定积分

dx x x ?

-π

53sin sin .

5. 求函数2

2

3

24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==

,围成，计算dxdy y

y

D

??

sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.

8. 求微分方程y

x

y y 2-

='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）

1.

证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .

2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f

dt t f dt t f x F x x

b

??

+=0

)

(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.

《高等数学》参考答案

一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）

1.√ ；

2.× ；

3.×；

4.× ；

5.×；

6.× ；

7.× ；

8.× ；

9.√ ；10.√.

二、 填空题.（每题2分，共20分）

1.442

++x x ； 2. 1； 3. 1/2； 4.dy y x x dx y y )/()/1(2

-++；

5. 2/3 ；

6. 1 ；

7.

3

36 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.

三、计算题（每题5分，共40分）

1.解：因为 21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+L 2

1

n n

+ 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，2

1

lim n n n →∞+=0

由迫敛性定理知： ))2(1

)1(11(

lim 2

22n n n n ++++∞

→Λ=0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y Λ

10

1022111++++++='∴

x x x y y Λ )(

10()1(++='∴x x y Λ)10

10

2211++++++x x x Λ 3.解：原式=?

-x d x

112

=?

-x d x 2

)

(112

=2c x +arcsin

4.解：原式=

dx x x ?

π

23cos sin

=

?

-20

2

3sin cos π

xdx x ?ππ

2

2

3sin cos xdx x

=

?

-

20

2

3sin sin π

x xd ?

ππ

2

2

3sin sin x xd

=2

025][sin 52πx ππ2

25

][sin 52x -

=4/5

5.解： 02832

=--='y x x f x 022=-='y x f y

故 ??

?==00y x 或???==2

2

y x

当 ??

?==0

y x 时8)0,0(-=''xx

f ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--?-=?Θ 且A=08<-

∴ （0，0）为极大值点 且0)0,0(=f

当 ???==2

2

y x 时4)2,2(=''xx

f ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--?=?Θ ∴无法判断

6.解：D={

}

y x y y y x ≤≤≤≤2

,10),(

????=∴102sin sin y y D

dx y y dy dxdy y y

=dy x y y y y 2][sin 10?

=

dy y y y )sin (sin 1

?-

=?

+

-1

10

cos ]cos [y yd y

=?-

+-1

1

0cos ]cos [1cos 1ydy y y

=1sin 1- 7.解：令xy u =，x

y

v =

；则21≤≤u ，31≤≤v v v

u

u v

v v u

uv y y x x J v u

v

u 212221

=-

==

∴ 3ln 21

2131===????D

dv v du d A σ 8.解：令 u y =2

，知x u u 42)(-=' 由微分公式知：)4(222

c dx xe e y u dx

dx

+?

-?

==?-

)4(22c dx xe e x x +-=?-

)2(222c e xe e x x x ++=--

四.证明题（每题10分，共20分）

1.解：设 2

1arcsin

arctan )(x

x x x f +-=

2

2

22

2

2

2

11111111

)(x

x x x x x x

x f ++-+?

+--+='Θ=0

c x f =∴)( +∞<<∞-x

令0=x 00

00)0(=∴=-=c f Θ 即：原式成立。

2.解： ],[)(b a x F 在Θ上连续 且 dt t f a F a

b

?

=

)

(1

)(<0,dt t f b F b a ?=)()(>0

故方程0)(=x F 在),(b a 上至少有一个实根.

又 )

(1

)()(x f x f x F +

=' 0)(>x f Θ 2)(≥'∴x F

即 )(x F 在区间],[b a 上单调递增

∴)(x F 在区间),(b a 上有且仅有一个实根.

《高等数学》

专业 学号 姓名

一、判断题（对的打√，错的打×；每题2分，共10分）

1.)(x f 在点0x 处有定义是)(x f 在点0x 处连续的必要条件.

2. 若)(x f y =在点0x 不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 处一定没有切线.

3. 若)(x f 在],[b a 上可积，)(x g 在],[b a 上不可积，则)()(x g x f +在],[b a 上必不可积.

4. 方程0=xyz 和02

2

2

=++z y x 在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点. 5. 设*

y 是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y 是其所对应的齐次方程的通解，则

*y y y +=为一阶线性微分方程的通解.

二、填空题（每题2分，共20分）

1. 设,5)(,12)3(=+=a f x x f 则=a .

2. 设x

x x f 3arcsin )

21ln()(+=

，当=)0(f 时，)(x f 在点0=x 连续.

3. 设xt

t t

x x f 2)

11(lim )(+=∞

→，则)(x f '' .

4. 已知

)

(x f 在

a

x =处可导，且

A

a f =')(，则

=--+→h

h a f h a f h )

3()2(lim

.

5. 若2)]([cos )(2x f dx

d

x x f =，并且1)0(=f ，则)(x f . 6. 若)(),(x g x f 在点b 左连续，且)()(),()(x g x f b g b f '>'= )(b x a <<， 则)(x f 与)(x g 大小比较为)(x f ).(x g

7. 若2

sin x y =，则=)(2x d dy ；=dx

dy

.

8. 设?=x

x tdt x f 2

ln )(，则=')2

1

(f . 9. 设y

x e

z 2=，则=)

1,1(dz

.

10. 累次积分

dy y x f dx x R R )(20

20

22-?

?

-化为极坐标下的累次积分为 .

三、计算题（前6题每题5分，后两题每题6分，共42分）

1. ??+→x

x t

x dt

t t dt

t 0sin 0

10

sin )1(lim

; 2. 设1

ln 22-=x

x

e e y ，求y '; 3. dx x x x ?+-2sin 1cos sin ;

4.

?

-20

2

2

4dx x x

; 5. 设22y

x x

z +=

, 求 y x z y z ?????2,. 6. 求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy . 7. 设平面区域D 是由x y x y ==

,

围成，计算dxdy y

y

D

??

sin . 8. 求方程0)ln (ln =-+dy y x ydx y 在初始条件e y

x ==1

下的特解.

四、（7分）

已知bx ax x x f ++=2

3

)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 、b ，并求出所有的极大值与极小值.

五、应用题（每题7分，共14分）

1. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比. 已知当速度为)/(10h km 时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元. 问轮船的速度为多少时, 每航行km 1所消耗的费用最小？

2. 过点)0,1(向曲线2-=x y 作切线，求：（1）切线与曲线所围成图形的面积；（2）

图形绕y

轴旋转所得旋转体的体积.

六、证明题（7分）

设函数)(x f 在a x <≤0上的二阶导数存在，且0)0(=f , 0)(>''x f . 证明

x

x f x g )

()(=

在a x <<0上单调增加.

高等数学参考答案

一、判断题 1.√； 2.×； 3.√ ； 4.× ； 5.√.

二、填空题

1. 36 ；

2. 3

2 ； 3. x

e x 2)1(4+ ； 4. A 5 ； 5. x sin 1+； 6.<； 7. 22

cos 2,

cos x x x ； 8. 2ln ； 9. dy dx +2 ；

10.

?

?20

)2cos (π

θθR

rdr r f d .

三、计算题

1. 原式x

x

x

x x

x sin cos )sin 1(lim

sin 10+=→

e e

==

1

2.2

222222222)

1(2)1(21

21

11-?--?-?

-=

'x x

x x x x

x

x

x

e e e e e e e e e y 22222)

1(221--?-=x

x

x x e e e e x

e

211

-=

3．原式=dx x x x

x ?

+-2

)cos (sin cos sin )cos (sin )cos (sin 1

2x x d x x ++-=?

C x

x ++=

cos sin 1

4．设 t x sin 2= 则tdt dx cos 2= 原式=

?

??20

2cos 2cos 2sin 4π

tdt t t

??=20

22cos sin 16π

tdt t

??-==20

20

2

)4cos 1(22sin 4π

π

dt t tdt

ππ

=-=20)4sin 4

1(2t t 5．2

3222

222)

(22y x xy y x y x y x y

z +-

=++?

-=??

32221

222

3

222

)

(2)(23

)(y x x y x xy y x y y x z +?+?-+-=??? 3

22

2

232)

()2(y x y x y y x ++-=

6．两边同时微分得：

)(1

)

()ln()(2dy dx y

x y x y x dy dx dx dy ---+--=- 即 )()ln()ln(2dy dx dy y x dx y x dx dy -+---=-

故 dx y x y x dy )

ln(3)

ln(2-+-+=

（本题求出导数后，用dx y dy '=解出结果也可）

7．????=102sin sin y y D

dx y y dy dxdy y y

?-=1

)sin (sin dy y y y

?-+-=1

1

010cos cos cos ydy y y y

1

0sin 1cos 1cos 1y -+-=

1sin 1-=

8．原方程可化为

y

x y y dy dx 1ln 1=+ 通解为 ]1

[ln 1

ln 1

C dy y

e e

x dy y y dy

y y +???=?-

]1

[ln ln ln ln C dy y

e e

y y

+?=?-

]ln 1[ln 1C ydy y y +=

?])(ln 21[ln 12C y y += y

C y ln ln 21+=

e y x ==1代入通解得 1=C

故所求特解为： 01ln 2)(ln 2

=+-y x y

四、解： b ax x x f ++='23)(2

因为)(x f 在1=x 处有极值2-，所以1=x 必为驻点 故 023)1(=++='b a f 又 21)1(-=++=b a f 解得： 3,

0-==b a

于是 x x x f 3)(3

-= )1(3)(2

-='x x f x x f 6)(-='' 由0)(='x f 得 1±=x ，从而

06)1(>=''f ， 在1=x 处有极小值2)1(-=f 06)1(<-=-''f ，在1-=x 处有极大值2)1(=-f

五、1.解：设船速为)/(h km x ，依题意每航行km 1的耗费为

)96(1

3+=

kx x

y 又10=x 时，6103

=?k 故得006.0=k ， 所以有

)96006.0(1

3+=

x x

y ，),0(∞+∈x 令 0)8000(012.03

2

=-=

'x x

y ， 得驻点20=x 由极值第一充分条件检验得20=x 是极小值点.由于在),0(∞+上该函数处处可导，且只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为)/(20h km 时，每航

行km 1的耗费最少，其值为2.720

96

20006.02

min =+

?=y （元） 2.解：（1）设切线与抛物线交点为),(00y x ，则切线的斜率为

1

00

-x y ， 又因为22

-=x y 上的切线斜率满足12='?y y ，在),(00y x 上即有120='y y

所以11

200

0=-?

x y y ，即1200

-='x y 又因为),(00y x 满足202

0-=x y ，解方程组

?????-=-=2

1

202

0020x y x y 得 ???==1300y x

所以切线方程为 )1(2

1

-=

x y 则所围成图形的面积为： 6

1

)]12(2[10

2=

+-+=

?

dy y y S （2）图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为：

6)2()1(41321

02π

ππ=---=??

dx x dx x V 六、证： 2

2)]

0()([)()()(])([x f x f x f x x x f x f x x x f --'=-'=' 在],0[x 上，对)(x f 应用拉格朗日中值定理，则存在一点),0(x ∈ξ，使得 )()0()(ξf x f x f '=-

代入上式得 2

)

()(])([x

f x f x x x f ξ-'=' 由假设0)(>''x f 知)(x f '为增函数，又ξ>x ，则)()(ξf x f '>',

于是0)()(>'-'ξf x f ,从而0])([

>'x

x f ，故x x f )

(在),0(a 内单调增加.

《高等数学》试卷

专业 学号 姓名

一、填空题（每小题1分，共10分）

1．函数

y =的定义域为_______________。

2．函数x

y x e =+ 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 3．设()f x 在0x 可导且0()f x A '=，则000

(2)(3)

lim

h f x h f x h h

→+--＝ _______。

4．设曲线过(0,1)，且其上任意点(,)x y 的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是_________。 5．

41x

dx x -?＝_____________。

６．1

lim sin

x x x

→∞

＝___________。 7．设(,)sin f x y xy =，则(,)x f x y ＝____________。

8．累次积分

220

()R

dx f x y dy +?

化为极坐标下的累次积分为________。

9．微分方程322

323()0d y d y dx x dx

+=的阶数为____________。

10．设级数

1

n

n a

∞

=∑发散，则级数

1000

n n a ∞

=∑

_______________。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（ ）内，（1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）

1．设函数 1

(),()1f x g x x x

==-，则(())f g x ＝ （ ） ①11x -

②11x + ③11x

- ④ｘ 2．0x → 时，1

sin

1x x

+ 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量

3．下列说法正确的是 （ ） ①若()f x 在 0x x =连续， 则()f x 在0x x =可导

②若()f x 在0x x =不可导，则()f x 在0x x =不连续 ③若()f x 在 0x x =不可微，则()f x 在0x x =极限不存在 ④若()f x 在 0x x =不连续，则()f x 在0x x =不可导

4．若在(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''<>，则在(,)a b 内曲线弧()y f x =为 （ ）. ①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧

5．设()()F x G x ''=，则 （ ） ①()()F x G x + 为常数 ②()()F x G x -为常数 ③()()0F x G x -= ④

()()d d

F x dx

G x dx dx dx

=??ｘ 6．

1

1

x dx -?

＝ （ ）

① ０ ② １ ③ ２ ④ ３

7．方程231x y ==在空间表示的图形是 （ ） ①平行于xOy 面的平面 ②平行于Oz 轴的平面 ③过Oz 轴的平面 ④直线

8．设3

3

2

(,)f x y x y x y =++，则(,)f tx ty = （ ）

①(,)tf x y ②2

(,)t f x y ③3

(,)t f x y ④

2

1

(,)f x y t 9．设0n a ≥，且1

lim n n n

a a →∞+ ＝ｐ，则级数 1n n a ∞

=∑ （ ）

①在1p >时收敛，1p <时发散 ②在1P ≥时收敛，1p <时发散 ③在1p ≤时收敛，1p >时发散 ④在1p <时收敛，1p >时发散

10．方程2

36y xy x y '+=是 （ ） ①一阶线性非齐次微分方程 ②齐次微分方程

③可分离变量的微分方程 ④二阶微分方程

11．下列函数中为偶函数的是 （ ） ①x

y e = ②3

1y x =+ ③3

cos y x x = ④ln y x =

12．设()f x 在(,)a b 可导，12a x x b <<<，则至少有一点(,)a b ξ∈使 （ ） ①()()()()f b f a f b a ξ'-=- ②21()()()()f b f a f x x ξ'-=-

③21()()()()f x f x f b a ξ'-=- ④2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- 13．设()f x 在 0x x = 的左右导数存在且相等是()f x 在0x x = 可导的 （ ） ①充分必要的条件 ②必要非充分的条件 ③必要且充分的条件 ④既非必要又非充分的条件

14．设22()cos [()]d

f x x f x dx

=

，则(0)1f =，则()f x = （ ） ①cos x ②2cos x - ③1sin x + ④1sin x -

15．过点（１，２）且切线斜率为 3

4x 的曲线方程为ｙ＝ （ ） ①ｘ4

②ｘ4

＋ｃ ③ｘ4

＋１ ④3

4x

16．设幂级数

n

n n a x

∞

=∑在0x （00x ≠）收敛， 则

n

n n a x

∞

=∑ 在0x x < （ ）

①绝对收敛 ②条件收敛 ③发散 ④收敛性与n a 有关 17．设Ｄ域由2

,y x y x ==所围成，则

sin D

x

d x σ=?? （ ） ①1

1

0sin x x

dx dy x ??；

②10y x dy dx x

?；

③

1

x

x

dx dy x ?

；

④10x x dy dx x

?.

三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）

１．设y =

求 y ' .

２．求 243

sin(916)

lim 34x x x →-- .

３．计算 2(1)x dx

e +?.

４．设10

(cos )arctan ,(sin )arctan t t x u udu y u udu ==?

?，求

dy

dx

.

５．求过点 Ａ（２，１，－１），Ｂ（１，１，２）的直线方程.

６．设

sin x z

u e =，求 ｄｕ .

７．计算sin 0

sin x a r drd θ

θθ??

.

８．求微分方程 2

1()1

y dy dx x +=+的 通解 . ９．将 3

()(1)(2)

f x x x =

-+ 展成的幂级数.

四、应用和证明题（共15分）

１．（８分）设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度 （ 比例常数为0k > ）求速度与时间的关系。

２．（７分）借助于函数的单调性证明：当x>1

时，1

3x

>-

。

高等数学参考答案

一、填空题（每小题1分，共10分）

１．（－１，１） ２．２ｘ－ｙ＋１＝０ ３．５Ａ ４．ｙ＝ｘ2

＋１ ５．

21

arctan 2

x c + ６．１ ７．ｙｃｏｓ（ｘｙ） ８．

220

()d f r rdr π

π

θ?

? ９．三阶 １０．发散

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的

（ ）内，1～10每小题1分，11～17每小题2分，共24分）

1．③ 2．③ 3．④ 4．④ 5．② 6．② 7．② 8．⑤ 9．④ 10．③ 11．④ 12．④ 13．⑤ 14．③ 15．③ 16．① 17．②

三、计算题（1～3每小题5分，4～9每小题6分，共51分）

１．解： 1

ln [ln(1)ln ln(3)]2y x x x =

---+ 11111()213

y y x x x '=---+ 111

()13

y x x x '=

---+

２．解： 原式＝ 243

18cos(916)

lim 3x x x →-

＝244

18()cos(9()16)333

-＝８

３．解： 原式＝2

(1)(1)x x x e e dx

e +-+? ＝(1)x dx e +?-2

(1)

(1)x x d e e ++?

＝(1)1x x x e e dx e +-+?1

1x

e

++ ＝1ln(1)1x

x

x e c e

-++++ ４．解：因为(cos ),(sin )dx t arctgtdt dy t arctgtdt ==-

(sin )(s )dy t arctgtdt tgt dx co t arctgtdt

-==- ５．解：所求直线的方向数为｛１，０，－３｝ 所求直线方程为

112

103

x y z ---==

- ６．解：

sin (sin )x z

du e

d x z =

sin (s )x z

e

dx co zdz =+

７．解：原积分＝

sin 23

00

01sin sin 2

a d rdr a d π

θ

πθθθθ

=?

?

?

＝2

32

2

2sin 3

a

d a πθθ=

? ８．解：两边同除以 2

(1)y + 得 22

(1)(1)dy dx y x =++

两边积分得

22(1)(1)dy dx

y x =++?? 亦即所求通解为

1111

c x y -=++ ９．解：分解，得 ()f x ＝

1112x x

+-+

=

111

1212

x

x +

-+ ＝0

01(1)22n

n

n n n n x x ∞

∞==+-∑∑ （ 1x <且12x < ） ＝10

1[1(1)]2n n

n n x ∞

-=+-∑ （ 1x <）

四、应用和证明题（共１５分）

１．解：设速度为ｕ，则ｕ满足du

m mg ku dt

=

=- 解方程得1

()kt u mg ce k

-=

- 由ｕ│t=0＝０定出ｃ，得(1)kt mg

u e k

-=

- ２．证：令()f

x 1

3x =- 则()f x 在区间［１，＋∞］连续 而且当1x >

时，21

()0(1)f x x x

'=

->> 因此()f x 在［１，＋∞］单调增加 从而当1x >时，()f x (1)f >＝０ 即当1x >时，

1

3x

>-

《高等数学》

专业 学号 姓名

一、判断正误（每题2分，共20分）

1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量.

2. 初等函数在其定义域内必定为连续函数.

3. ()x f y =在点0x 连续，则()x f y =在点0x 必定可导.

4. 若O x 点为()x f y =的极值点，则必有()

0x f '0=. 5. 初等函数在其定义域区间内必定存在原函数. 6. 方程12

2=+y x 表示一个圆.

7. 若()y x f z ,=在点()000,y x M 可微，则()y x f z ,=在点()000,y x M 连续.

8. ()x

e x y --='22

是二阶微分方程.

9.

?-=x

x tdt dx

d 11sin sin sin . 10. 若()x f y =为连续函数，则

()dt t f x

a

?必定可导.

二、填空题（每题4分，共20分）

1.

___________sin 1=+?x dx

.

2. _______2sin lim

=∞→x

x

x .

3. 设()1='x f ，且()10=f ，则()___________=?dx x f .

4. 2xy z =，则___________=dz .

5.

____________sin 2

=?b a x dx

d .

三、计算题与证明题（共计60分）

1.()n

n n n ??

?

??+-+∞→12lim 1，

（5分）； ()??

?

??--→111

lim 20x x e x ，（5分）。 2. 求函数()

()

x

x

x x y sin cos cos sin +=的导数。（10分）

高等数学常用公式大全

高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -

高等数学教材(较完整)

目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。 即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。 集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题：

高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高等数学所有公式汇总

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高中高等数学公式汇总

空间解析几何和向量代数： 。 代表平行六面体的体积为锐角时， 向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影：点的距离：空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 21212 1221221221c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ? ??? ????????????? ?? ?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-= = （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面： 同号） （、抛物面：、椭球面：二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程： 1 1 3,,2221 1};,,{,1 30 2),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A ??

高等数学积分公式大全

常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d () x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10．x C 11．x ?＝22(3215ax b C a - 12．x x ?＝22232(15128105a x abx b C a -+ 13．x ＝22(23ax b C a - 14． 2x ＝22232(34815a x abx b C a -+

15 ． ＝(0)(0)C b C b ?+>< 16 ． 2a b - 17 ．x ＝b 18 ．x ＝2a x -+? （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)C b C b ?+>+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 21ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+?

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高等数学教材

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学归纳笔记(全)

一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

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一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大 全) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π

同济高等数学公式大全

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高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

高等数学教材资料完整-参考模板

高等数学教材完整 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数一 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学常用积分公式查询表

导数公式： 基本积分表： 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝11()(1) ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d ()x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 10 ．x C 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．2 2d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? a x x a a a x x x x x x x x x x a x x ln 1)(log ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22='='?-='?='-='='222211)cot (11)(arctan 11)(arccos 11)(arcsin x x arc x x x x x x +-='+='--='-='

31． 1arsh x C a +＝ln(x C + 32． ＝C + 33． x ＝C 34． x ＝C + 35．2 x ＝2ln(2a x C -++ 39． x 2 ln(2a x C +++ 43．x a C + 44．2d x x ?＝ln(x C +++ 47． x ＝C 53．x 2 ln 2 a x C 57．x ＝arccos a a C x + 59． arcsin x C a + 61． x ＝C

高等数学试题库完整

入学考试题库（共180题） 1．函数、极限和连续（53题） 函数（8题） 函数定义域 1．函数lg arcsin 23 x x y x =+-的定义域是（ ） 。A A. [3,0)(2,3]-U ； B. [3,3]-； C. [3,0)(1,3]-U ； D. [2,0)(1,2)-U . 2．如果函数()f x 的定义域是1 [2,]3-,则1()f x 的定义域是（ ）。D A. 1[,3]2- ； B. 1 [,0)[3,)2-?+∞； C. 1[,0)(0,3]2-?； D. 1 (,][3,)2 -∞-?+∞. 3. 如果函数()f x 的定义域是[2,2]-，则2(log )f x 的定义域是（ ）。B A. 1[,0)(0,4]4-U ； B. 1[,4]4； C. 1[,0)(0,2]2-U ； D. 1[,2]2 . 4．如果函数()f x 的定义域是[2,2]-，则3(log )f x 的定义域是（ ）．D A. 1[,0)(0,3]3-?； B. 1[,3]3； C. 1[,0)(0,9]9-? ； D. 1[,9]9 . 5．如果)(x f 的定义域是[0，1]，则(arcsin )f x 的定义域是（ ）。C A. [0,1]； B. 1[0, ]2； C. [0,]2 π ； D. [0,]π. 函数关系 6.设()()22 2 21,1x f x x x x ??+??==??-，则()f x =( )．A A ． 211x x +-； B. 211x x -+； C. 121x x -+； D. 1 21 x x +-. 7．函数331 x x y =+的反函数y =（ ）。B A ．3log ( )1x x +； B. 3log ()1x x -； C. 3log ()1x x -； D. 31log ()x x -.

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高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++ ++≥ 倒数关系：sinx ·csc x=1 tanx ·cot x=1 cosx ·sec x=1 商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-si n^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差： sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

高等数学必背公式大全一目了然版

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高数公式大全

高等数学公式汇总 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式： sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1 cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβ αβ αβαβαβαββα αβαβαβαβαβαβ ±=±±=±±= ??±= ±±=±±=±m m m 和差角公式： sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()]21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 2222222 222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααα αααααααα ==-=-=-= --= ==+= =-=+ 倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1 sin 2 cos 2 1cos sin tan 2 sin 1cos 1cos sin cot 2 sin 1cos x x x x ch x sh x ααααααα ααααα αα +=+=+=-===-===++=== -半角公式：

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