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复习专题14：数列

专题14：数列

一、基础知识回顾：

1、一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =???≥-=-)2()1(11n S S n S n n

等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的一个关系：a n =1

212--n S n 2、等差数列的通项公式：a n =a 1+(n －1)d ，a n = a k +(n －k)d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) ，点()n a n ,共线。

3、等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+

， S n =2

)(1n a a n + ，当0≠d 时，点()n S n ,在一条抛物线上，点??? ?

?n S n n ,在一条直线上。 4、等差中项公式：A=2b a + （唯一值），等比中项公式：G=ab ± （ab>0，两个值） 5、等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)；

当q≠1时，S n =q

q a n --1)1(1=q q a a n --11，注意解题时常要分类讨论。 6、等差数列{a n }的前m 项的和为m S ，则数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m － S 3m 、…仍为等差数列；等比数列{a n }的前m 项的和为m S ，则数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m －S 3m 、…在1≠q 时才能成为等比数列。

7、等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+；等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ?=?

8、三个数成等差的设法：a －d ，a ，a+d ；四个数成等差的设法：a －3d,a －d,,a+d,a+3d ；三个数成等比的设法：

aq a q a , , 或2,,aq aq a （各适宜怎样的运算）；四个数成等比的错误设法： 33, , ,aq aq q

a q a (为什么？) 9、数列{a n }为等差数列，则{}n a c (c>0)是等比数列；数列{

b n }（b n

>0）是等比数列，则{n a b log } (c>0且c ≠1) 是等差数列。

10、求递减等差数列{a n }前n 项和S n 的最大值的方法有：。

11、数列求和的基本方法和技巧：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；分组法求和；裂项相消法求和等等。不管用何种方法，都得重视通项的作用。常用裂项公式有：

（1）()21≥-=-n S S a n n n ，（2） 111)1(1+-=+=n n n n a n

，

（3）])

2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n ， (4) ()()!

11!1!1+-=+=n n n n a n 等。

二、例习题选

1、已知A(0，0)，B(a ，b)，P 1是AB 的中点，P 2是BP 1的中点，P 3是P 1P 2的中点，…，P n+2是P n P n+1的中点，则P n 的极限位置是（）

A. ??

? ??2,2b a B. ??? ??3,3b a C . ??? ??32,32b a D. ??

? ??43,43b a 2、两个不是常数数列的等差数列{}n a 与等比数列}{n b ，且a 1= b 1 = 1，那么它们最多有多少个对应项的值相等？你能举出具体例子来吗？ (答案：对应项相等的项不超过3个) 3、P 1，P 2，…，P n 为双曲线122

22=-b

y a x (a > 0，b >0)上的点，P 0 (a ，0)为一定点，记直线i i P P 1-的斜率为i c ，且()()*121N i a b i i c c c i i ∈??? ??++= ，并记()n n n y x P ,.

（1）写出n x ，n y 的表达式，并写出推证过程；

（2）求22lim n n n y x ∞→。

答案：（1）n b y n a x n n =+=,1；(2) 22

a . 4、求：?)12(53210=++???+++n n n n n C n C C C

5、数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2004.

6、n n n n n S a a a a a ，求中已知12121}{11+=-

=+ 7、数列{a n }满足n n a n a a a a a 23211,2

1=++++= ，求a n 8、数列{a n }满足)2)(1(32321++=++++n n n na a a a n ，求a n

9、若两个等差数列{a n }、{b n }的前n 项的和的比为27417++n n ，求11

11b a = 10、设等比数列{a n }的前n 项和为S n = 4 n +m ，求得常数m= ；

11、“数列{a n }既是等差数列又是等比数列”是“该数列为常数列”的条件

12、已知等比数列{a n }的公比q ≠1，前n 项的和为S n ，集合P=}lim |{2n n n S S x x ∞→=的子集个数有______________个

13、已知x 、y 为正实数，且x 、a 1、a 2、y 成等差数列，x 、b 1、b 2、y 成等比数列，则()2

1221b b a a +的取值范围是。 14、设{a n }是正数等差数列，{b n }是正数等比数列，且a 1=b 1，a 2n+1=b 2n+1，试比较a n+1与b n+1的大小。

15、（1）等差数列{a n }中，前n 项的和为S n ，且S 6~~S 8，则 ① 此数列的公差小于是0 ；② S 9一定小于S 6；③ 7a 是各项中最大的一项； ④ 7S 一定是S n 的最大值。把正确的序号填入后面的横线上 .~~

~~16、设函数)10(4log log )(2<<-=x x x f x ，~~

~~数列{a n }的通项a n 满足)2(n a f =2n (n ∈N),(1) 求数列a n 通项公式；~~

~~（2）数列{a n }有没有最小的项？若有，试求出此项和相应的项数，若没有最小的项，请说明理由。~~

~~17、已知数列{a n }中，01时， P n +n>S n +1~~

18、已知函数f (x) = (x －1)2，数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q （q ∈R ，q ≠1）的等比数列，若a 1=f (d －1) ，a 3=f (d+1) ，b l =f (q+1) ，b 3=f (q －1)

~~（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式~~

~~（2）设数列{c n }的前n 项和为S n ，对n ∈N 都有~~

~~12211+=+++n n n a b c b c b c 成立求n~~

~~n n S S 212lim~~

~~+∞→~~

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

等比数列专题(教师版)

等比数列专题复习（一）知识归纳： 1．概念与公式： 1°定义 2°.通项公式： 3°.前n 项和公式 2．中项定理与下标和定理（1）中项定理：（2）下标和定理：（3）前n 项积定理：记n n a a a a T ?????=321 则=-12n T 则=n T 2 3.等比数列的“灵活设元： 4、前n 项和n S 的性质：（1）（2）（3）例题与练习一、基本量计算例1．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值．解 ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1. 由????? S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴????? S 10＝10S 30＝130 ， ∴????? a 1(1－q 10) 1－q ＝10 a 1 (1－q 30 ) 1－q ＝130 ， ∴q 20＋q 10－12＝0. ∴q 10＝3， ∴S 20＝a 1(1－q 20) 1－q ＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40. 练习： 1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( C ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为____.1 3____． 3．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1 4 ，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( C )

A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－ n ) D.323 (1－2－n ) 4、若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是__10______． 5．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1 a n }的前5项和为（C) A.15 8 和5 B.31 16 和5 C.31 16 D.158 6、一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？解用a n 表示热气球在第n 分钟上升的高度，由题意，得a n ＋1＝4 5 a n ，因此，数列{a n }是首项a 1＝25，公比q ＝4 5的等比数列．热气球在前n 分钟内上升的总高度为 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1 1－q n 1－q ＝ 25×??????1－? ????45n 1－45 ＝125×??????1－? ????45n <125. 故这个热气球上升的高度不可能超过125 m. 4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 解当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n － 1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n － 1， S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3 ＝3n －1. 二、中项定理和下标和定理例．已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n . 解由等比数列的定义知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2代入已知得， ????? a 1＋a 1q ＋a 1q 2 ＝7a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，即? ???? a 1(1＋q ＋q 2 )＝7，a 31q 3＝8，即????? a 1(1＋q ＋q 2 )＝7， ①a 1 q ＝2， ② 将a 1＝2 q 代入①得2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝1 2 ，由②得????? a 1＝1 q ＝2或? ???? a 1＝4，q ＝1 2 . 练习．1、已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36.求数列{a n }的通项公式．解 a n ＝12 ×2n －1＝2n － 2或a n ＝32×????12n －1＝26－n .

高中数学数列练习题

数列经典解题思路求通项公式一、观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，… （2） K ,1716 4,1093,542,211 （3） K ,52,2 1,32 ,1 解：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12 +=n a n 二、公式法例1. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ D ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 例2. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

高三数列综合专题复习

高三数列综合专题复习班级姓名探究点3 数列与函数、不等式的综合问题 1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，n ∈N *. (1)当实数t 为何值时，数列{a n }是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设b n ＝log 3a n ＋1，T n 是数列???? ??1b n b n ＋1的前n 项和，求T 2011的值． 2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1 ，是否存在m 、k (k >m ≥2，k ，m ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．

3. [2011·惠州一模] 已知f (x )＝log m x (m 为常数，m >0且m ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N *)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)求证：数列{a n }是等比数列； (2)若b n ＝a n f (a n )，记数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ； (3)若c n ＝a n lg a n ，问是否存在实数m ，使得{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围． [思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式，利用函数f (x )的解析式，可得{a n }的通项公式，再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列；(2)由数列{b n }的通项公式，知符合错位相减法求和；(3)由条件得不等式c n －1，且()2 3331212n n a a a a a a +++=+++．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设数列21n n a a +?????? 的前n 项和为n S ，不等式()1log 13 n a S a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

等比数列专题(有答案)百度文库

一、等比数列选择题 1．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，1112 3 3n n n a b a ++=+，11344 n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 2．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078 a a a a +=+（） A 1 B 1 C ．3- D ．3+3．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（） A ．45 B ．54 C ．99 D ．81 4．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（） A ．40 B ．81 C ．121 D ．242 5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为30，且53134a a a =+，则3a =（） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件 11a >，66771 1, 01 a a a a -><-，则下列结论正确的是（） A ．681a a > B ．01q << C ．n S 的最大值为7S D ．n T 的最大值为7T 7．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂. A ．55989 B ．46656 C ．216 D ．36 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()* 2n n S a n n N =+∈，则3 a =（） A ．7- B ．3- C ．3 D ．7 9．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记 {}n a 的前n 项积为n T ，则下列选项错误的是（） A ．01q << B ．61a > C ．121T > D ．131T > 10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕 =大吕 = 太簇．据此，可得

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =，（1）证明:数列{}n a 是等比数列；（2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式． {

~~、 ~~~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =，所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-，整理得14 3 n n a a -=． 5分由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ．所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分（2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

数列综合练习题以及答案解析

数列综合练习题一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D．

8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）

高中数列经典习题(含答案)讲解学习

~~高中数列经典习题(含答案)~~

1、在等差数列{a n }中,a 1=－250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有a n 的和, (1)70≤n ≤200;(2)n 能被7整除. 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 3=12, S 12＞0,S 13＜0.(Ⅰ)求公差d 的取值范围； (Ⅱ)指出S 1,S 2,…,S 12,中哪一个值最大,并说明理由. 3、数列{n a }是首项为23，公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差d;(2)设前n 项和为n S ,求n S 的最大值;(3)当n S 是正数时,求n 的最大值. 4、设数列{n a }的前n 项和n S .已知首项a 1=3,且1+n S +n S =21+n a ,试求此数列的通项公式n a 及前n 项和n S . 5、已知数列{n a }的前n 项和3 1=n S n(n ＋1)(n ＋2),试求数列{n a 1}的前n 项和. 6、已知数列{n a }是等差数列,其中每一项及公差d 均不为零,设 2122++++i i i a x a x a =0(i=1,2,3,…)是关于x 的一组方程.回答：(1)求所有这些方程的公共根; (2)设这些方程的另一个根为i m ,求证111+m ,112+m ,113+m ,…, 1 1+n m ,…也成等差数列. 7、如果数列{n a }中,相邻两项n a 和1+n a 是二次方程n n n c nx x ++32=0(n=1,2,3…)的两个根, 当a 1=2时,试求c 100的值. 8、有两个无穷的等比数列{n a }和{n a },它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有1+n a ,试求这两个数列的首项和公比.

天津市高三数学总复习综合专题数列理 (学生版)

数列（理）考查内容：本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、不等式证明等基础知识，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力、推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+。（1）设1 2 n n n a b -= 。证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=- （1）证明：当2b =时，{} 12n n a n --?是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。（1）证明：数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列；（2）数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，2 11=a ，()() 2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-， n N *∈。（1）证明数列 {}n b 是等比数列；（2）求数列{}n c 的通项公式；（3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：

11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，求证：1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =，22a =，121 (2)3 n n n a a a --= +，(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数，且对任意的正整数m 和自然数k ，都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记(1,2,)n n n c na b n ==L ，求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a ， (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。（1）证明1122m d p d p d =+，n m ≤≤3，12,p p 是m 的多项式，并求12p p +的值；（2）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L （每组数的个数构成等差数列），设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。（3）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（2）中的n S ，求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。（1）求n S ；（2）设n n n n S b 4 3?= ，求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。

等比数列高考专题复习资料

~~等比数列高考专题复习资料 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN~~

等比数列【知识点回顾】 1.等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数)0(≠q q ，这个数列叫做等比数列，常数q 称为等比数列的公比. 2.通项公式与前n 项和公式 ⑴通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 . ⑵前n 项和公式：①当1=q 时，1na S n = ②当1≠q 时，q q a a q q a S n n n --= --=11)1(11. 3.等比中项如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项. 即：G 是a 与b 的等差中项?a ，A ，b 成等差数列?b a G ?=2. 4.等比数列的判定方法 ⑴定义法： q a a n n =+1 （+∈N n ，0≠q 是常数）?{}n a 是等比数列； ⑵中项法：22 1++?=n n n a a a (+∈N n )且0≠n a ?{}n a 是等比数列. 5.等比数列的常用性质 ⑴数列{}n a 是等比数列，则数列{}n pa 、{}n pa （0≠q 是常数）都是等比数列； ⑵在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等比数列，公比为k q . ⑶),(+-∈?=N m n q a a m n m n ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a ?=?； ⑸若等比数列{}n a 的前n 项和n S ，则k S 、k k S S -2、k k S S 23-、k k S S 34-是等比数列. 【方法总结】 1.求等比数列的公比、、求值、判定等比数列等通常运用等比数列的概念、公式及其性质. 例1.已知等比数列{}n a 的前n 项和1-=n n p S (p 是非零常数),则数列{}n a 是( ) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.非等差数列

专题二数列综合问题

专题二数列综合问题一、引言数列综合问题包括数列章内知识的综合、数列与其他知识的综合两部分．数列章内知识的综合主要涉及一般数列的通项与前n 项和的关系、等差数列和等比数列综合问题；数列与其他知识的综合主要指数列与函数、不等式等知识的交汇问题．考试大纲对这一部分的考试要求是，能运用数列、等差数列和等比数列的有关知识求解数列章内知识的综合问题，能综合运用数列、函数、方程和不等式的知识灵活地解决数列与其他章节知识的交汇问题．数列综合问题，历来是高考的重点，两类数列与函数、方程、不等式的交汇问题历来是高考的热点，并且选择题、填空题、解答题三种题型都有可能涉及．这类试题一般较为灵活，尤其是解答题，常常承担把关的任务，因此往往具有一定的难度．二、典型问题选讲例1设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（）． A.2(81)7 n - B.1 2(81)7 n +- C.3 2(81)7 n +- D.4 2(81)7 n +- 例2已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是（）． A ．(1]-∞-， B ．(0)(1)-∞+∞，， C ．[3)+∞， D ．(1][3)-∞-+∞，，例3已知数列{}n a 满足：434121,0,,,n n n n a a a a n *--===∈ N 则2009a =___________；2014a =______________．例4 已知数列{}n a 满足11a =，1212(1)(2)n n a a a n a n -=++ +-≥，则{}n a 的通项公式 __________________n a =．分例5等差数列{}n a 的前n 项和为1319n S a S ==+，（1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ；（2）设()n n S b n n *= ∈N ，求证：数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．成等比数列．例6（2006湖北）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n S n n N n *∈均在函数32y x =-的图象上．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1 3+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N * ∈都成立的最小正整数m ．

数列大题专题训练)

数列大题专题训练 1.已知数列｛a n｝、｛b n｝满足：a^- ,a n b n = 1,b n d. 4 1 -a. (1) 求b-,b2,b3,b4； (2) 求数列｛b n｝的通项公式； (3) 设S n = a￡2 ■玄2玄3 ■玄3玄4 ' ... ' a.a n 1 ，求实数a为何值时4aS n

(t 0,n -2,3, ) (1) 求证：数列｛a n ｝是等比数列； 1 (2) 设数列｛a n ｝得公比为 f(t),作数列｛b n ｝,使 b i =1,b n 二 f( ),n =(2,3-),求 b b n_1 (3) 求 b i b 2 - b 2b 3 ' b 3b 4 - b 4 b 5 b 2nJ b 2n b 2n b 2n 1 的值。 5 ?设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且S n =(1 ) - a,其中，=-1,0 ； (1 )证明：数列｛a n ｝是等比数列； 1 水 (2)设数列｛a n ｝的公比 q = f ('),数列｛b n ｝满足b 1 二？,b n 二 f (b nj )(n ? N *,n _ 2) 求数列｛b n ｝的通项公式； 6. 已知定义在 R 上的单调函数 y=f(x)，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数 x 、y € R ,有 f(x+y)= f(x)f(y), (I)求f(0)，并写出适合条件的函数 f(x )的一个解析式； 1 (n)数列｛a n ｝满足 a 1=f(0)且f(a n 1) (n ? N *), f(-2-a .) ①求通项公式a n 的表达式；试比较S 与4Tn 的大小，并加以证明 1 a ②令 b n=(?)n ,S n ^b 1 b 2 b n , T n a 〔 a 2 a 2 a 3 1 a n a n 1

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题)

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”；（2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0. 由，得，解得．因此数列为“M—数列”. （2）解：①因为，所以．由得，则 . 由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， .

因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0. 因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m. 当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f（x）= ，则．令，得x=e.列表如下： x e (e，+∞) + 0 – f（x）极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项

2020年高考数学大题专项练习数列三(15题含答案解析)

2020年高考数学大题专项练习数列三 1.已知数列{a n }满足a n+1=λa n +2n (n ∈N *，λ∈R)，且a 1=2． (1)若λ=1，求数列{a n }的通项公式； (2)若λ=2，证明数列{n n a 2 }是等差数列，并求数列{a n }的前n 项和S n ． 2.设数列{}的前项和为 .已知=4，=2+1，.（1）求通项公式；（2）求数列{}的前项和. 3.已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=2，a 1b 3=12，S 3＋b 1=19. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n .

4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13=34，S 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n =，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m an an ＋t ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 5.已知数列满足：，。数列的前n 项和为,且 .⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n 项和为 6.已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1>1，且10S n =(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )=a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由．

专题18 等比数列(原卷版)

专题18 等比数列一、单选题 1．（2020·陕西省高三三模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，342a a =，11a =，则4S =（） A ．31 B ．15 C ．8 D ．7 2.（2020·毕节市实验高级中学高一期中）在等比数列{}n a 中，已知13118a a a =，那么28a a =（） A ．4 B ．6 C ．12 D ．16 3．（2020·江西省高三三模（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，3240a S +=，则10a =（） A ．512- B ．512 C ．1024 D ．1024- 4．（2020·河南省高三月考（文））在等比数列{}n a 中，已知134a a =，9256a =，则8a =（） A ．128 B ．64 C ．64或64- D ．128或128- 5．（2020·毕节市实验高级中学高一期中）已知等差数列{}n a 的公差为3,若134,,a a a 成等比数列,则2a 等于() A ．9 B ．3 C ．-3 D ．-9 6．（2020·湖北省高三三模（理））设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12342,20a a a a =++=，则5S =（） A ．2 B ．0 C ．2- D ．4- 7．（2020·福建省高二期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等，某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件，已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的4 5 .若这堆货物总价是425655n ?? - ??? 万元，则n 的值为（）

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