考研数学初等数学知识(修改版)

2012考研

数学基础知识

数学基础知识

一、数值 1、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

2、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

4、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、运算

1、加、减、乘、除

2、对数、指数

(1)1

m n

n

m a a =

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）. (2)1

m n

m n

a

a

-

=

（0,,a m n N *

>∈，且1n >）.

log b

a

N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. log log log m a m N

N a

= (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m

=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).

3、根式

（1）()n n a a =.

（2）当n 为奇数时，n

n a a =；

当n 为偶数时，,0

||,0n

n

a a a a a a ≥?==?-

三、数列

1、常见数列求和

2、等差数列、等比数列

四、因式分解（代数等式）

五、排列组合公式

1、基本

m

n

A =)1()1(+--m n n n =！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m n ≤)．

注:规定1!0=.

1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- .

m n C

=

m n m

m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *

，m N ∈，且m n ≤). (1) m

n C +1

-m n C =m

n C 1+.

注:规定10

=n C .

n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ .

14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . 1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .

2、二项式定理

n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;

二项展开式的通项公式

r

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，

=. 六、三角函数

1、公式

倒数关系: 商的关系： 平方关系：

tanα ·cotα＝1

sinα ·cscα＝1

cosα ·secα＝1

sinα/cosα＝tanα＝

secα/cscα

cosα/sinα＝cot α＝

cscα/secα

sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α

（六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”）

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 3、函数值

值 角 函 数 0°

30°

45°

60°

90°

sin α

20 21 22 23 24 cos α

2

4 23 22 21 2

0 tan α

33 39 3

27 不存在

cot α

不存在

3

27 3

9 3

3 0

4、函数图像

余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；

(5) 反三角函数

反正弦函数 x

y arcsin =， ]1,1[-∈x ，

]2,2[π

π-

∈y ，

反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，

反正切函数 x

y arctan =，),(+∞-∞∈x ，

)2,2(π

π-

∈y ，

反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．

正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。

（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。

七、不等式

1、二元均值不等式

2、二元均值不等式的推广

3、柯西不等式

设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则

))(()(2

22212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++

等号成立当且仅当n

n b a b a b a === 22

11时成立。

（约定0=i a 时，0=i b ） 4、柯西不等式的拓展

ⅰ．设i i b a ,同号（n i ,,2,1 =），则

n

n n n n b a b a b a a a a b a b a b a ++++++≥

+++ 221122122

11)( 当且仅当n b b b === 21时取等号。

ⅱ．若R y x i i ∈,，且),,2,1(n i R y i =∈+，则

n

n n n y y y x x x y x y x y x ++++++≥

+++ 21221222

2

121)( 柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的1a ，…，n a ；1b ，…，n b 都表示实数）是：

（1）12

2

22

1=+++n a a a ，12

2

22

1=+++n b b b ，则12211≤+++n n b a b a b a （2）.2

33

22

1133221a a a a a a a a a ++≤++ （3）)()(2

2

22

1221n n a a a n a a a +++≤+++

5、排序不等式

反序和≤乱序和≤同序和

6、绝对值的不等式

八、基本初等函数

1.幂函数

函数称为幂函数。如，，，

都是幂函数。没有统一的定义域，定义域由值确定。如

,。但在内总

是有定义的，且都经过（1,1）点。当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数：

的图形，如图1-1-2、图1-1-3。

图1-1-2