贪心算法
自然计算概论（论文）
题目：对贪心算法的认识
学生姓名：丁子颢
学号：2015030202028
学院：微电子与固体电子学院
专业班级：集成电路设计与集成系统二班
2016年6月7日
摘要
在求最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解，这种求解方法就是贪心算法。从贪心算法的定义可以看出，贪心法并不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。贪心算法所作的选择可以依赖于以往所作过的选择，但决不依赖于将来的选择，也不依赖于子问题的解，因此贪心算法与其它算法相比具有一定的速度优势。如果一个问题可以同时用几种方法解决，贪心算法应该是最好的选择之一。本文讲述了贪心算法的含义、基本思路及实现过程，贪心算法的核心、基本性质、特点及其存在的问题。并通过贪心算法的特点举例列出了以往研究过的几个经典问题，对于实际应用中的问题，也希望通过贪心算法的特点来解决。
关键词：贪心算法；求最优解；实际问题
贪心算法可以简单描述为：对一组数据进行排序，找出最小值，进行处理，再找出最小值，再处理。也就是说贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优的选择，从而希望得到结果是最好或最优的算法。
贪心算法是一种能够得到某种度量意义下的最优解的分级处理方法，通过一系列的选择来得到一个问题的解，而它所做的每一次选择都是当前状态下某种意义的最好选择，即贪心选择。即希望通过问题的局部最优解来求出整个问题的最优解。这种策略是一种很简洁的方法，对许多问题它能产生整体最优解，但不能保证总是有效，因为它不是对所有问题都能得到整体最优解，只能说其解必然是最优解的很好近似值。
贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。所以对所采用的贪心策略一定要仔细分析其是否满足无后效性。
贪心算法有几大基本要素
1.贪心选择性质
贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。在动态规划算法中，每步所做的选择往往依赖于相关子问题的解。因而只有在解出相关子问题后，才能做出选择。而在贪心算法中，仅在当前状态下做出最好选择，即局部最优选择。然后再去解做出这个选择后产生的相应的子问题。贪心算法所做的贪心选择可以依赖于以往所做过的选择，但决不依赖于将来所做的选择，也不依赖于子问题的解。正是由于这种差别，动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式做出相继的贪心选择，每做一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。
对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所做的贪心选择最终导致问题的整体最优解。首先考察问题的一个整体最优解，并证明可修改这个最优解，使其以贪心选择开始。做了贪心选择后，原问题简化为规模更小的类似子问题。然后，用数学归纳法证明，通过每一步做贪心选择，最终可得到问题的整体最优解。其中，证明贪心选择后的问题简化为规模更小的类似子问题的关键在于利用该问题的最优子结构性质。
2最优子结构性质
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。运用贪心策略在每一次转化时都取得了最优解。问题的最优子结构性质是该问题可用贪心算法或动态规划算法求解的关键特征。贪心算法的每一次操作都对结果产生直接影响，而动态规划则不是。贪心算法对每个子问题的解决方案都做出选择，不能回退；动态规划则会根据以前的选择结果对当前进行选择，有回退功能。动态规划主要运用于二维或三维问题，而贪心一般是一维问题。
贪心算法可解决的问题通常大部分都有如下的特性：
⑴随着算法的进行，将积累起其它两个集合：一个包含已经被考虑过并被选出的候选对象，另一个包含已经被考虑过但被丢弃的候选对象。
⑵有一个函数来检查一个候选对象的集合是否提供了问题的解答。该函数不考虑此时的解决方法是否最优。
⑶还有一个函数检查是否一个候选对象的集合是可行的，也即是否可能往该集合上添加更多的候选对象以获得一个解。和上一个函数一样，此时不考虑解决方法的最优性。
⑷选择函数可以指出哪一个剩余的候选对象最有希望构成问题的解。
⑸最后，目标函数给出解的值。
⑹为了解决问题，需要寻找一个构成解的候选对象集合，它可以优化目标函数，贪婪算法一步一步的进行。起初，算法选出的候选对象的集合为空。接下来的每一步中，根据选择函数，算法从剩余候选对象中选出最有希望构成解的对象。如果集合中加上该对象后不可行，那么该对象就被丢弃并不再考虑；否则就加到集合里。每一次都扩充集合，并检查该集合是否构成解。如果贪婪算法正确工作，那么找到的第一个解通常是最优的。
总结：贪心算法是很常见的算法，贪心策略是最接近人的日常思维的一种解题策略，虽然它不能保证求得的最后解一定是最佳的，但是它可以为某些问题确定一个可行性范围，因此贪心策略在各级各类信息学竞赛，尤其在对NPC类问题的求解中发挥着越来越重要的作用。对于一个问题的最优解只能用穷举法得到时，用贪心算法是寻找问题最优解的较好算法。总之，充分利用贪心算法的优势，从局部最优出发，构造贪心策略比较容易，且简单易行。
参考文献：
（1）谭浩强.C++面向对象程序设计[M].北京:清华大学出版社,2006．
（2）严蔚敏,吴伟民.数据结构(c语言版)[M].北京:清华大学出版社,1997