第三讲-函数的单调性、奇偶性经典难题复习巩固.
精典专题系列第3讲函数的性质
一、导入：《老人与黑人小孩子》
一天，几个白人小孩在公园里玩。这时，一位卖氢气球的老人推着货车进了公园。白人小孩一窝蜂地跑了上去，每人买了一个气球，兴高采烈地追逐着放飞的气球跑开了。白人小孩的身影消失后，一个黑人小孩怯生生地走到老人的货车旁，用略带恳求的语气问道：“您能卖给我一个气球吗?”“当然可以，”老人慈祥地打量了他一下，温和地说，“你想要什么颜色的?”他鼓起勇气说：“我要一个黑色的。”脸上写满沧桑的老人惊诧地看了看这个黑人小孩，随即递给他一个黑色的气球。他开心地接过气球，小手一松，气球在微风中冉冉升起。老人一边看着上升的气球，一边用手轻轻地拍了拍他的后脑勺，说：“记住，气球能不能升起，不是因为它的颜色，而是因为气球内充满了氢气。”
大道理：成就与出身无关，与信心有关。这个世界是用自信心创造出来的。有自信，积极的面对自己所拥有的一切，这种积极和自信会帮助人登上成功的山顶。
二、知识点回顾：
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数减函数
定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1 有 ，那么就说函数 f(x)在区间D上是增 函数 当x1 么就说函数f(x)在区间D上是减函数 (2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，存在实数M满足 条件①对于任意x∈I，都 有；②存 在x0∈I，使 得 . ①对于任意x∈I，都 有；②存在 x0∈I，使 得 . 结论M为最大值M为最小值1．函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x，都 有 ，那么函数f(x)是偶函数 关于对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域 内任意一个x，都 有 ，那么函数f(x)是奇函数 关于对称2．周期性 DSE金牌化学专题系列 (1)周期函数：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝ ，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T 为这个函数的 周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个正数就叫做f(x)的最小正周期． 三、专题训练： 专题一 函数单调性的判断与证明 已知函数f(x)＝x －2 x ＋1 ，证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． [自主解答] 法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1 ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝ 3(x 2－x 1) (x 1＋1)(x 2＋1)>0， 于是f(x 2)－f(x 1)＝x 2－2x 2＋1－x 1－2 x 1＋1>0， 故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． 变式训练：判断函数f(x)＝x ＋a x (a>0，x>0)的单调性． 解：法一：函数f(x)＝x ＋a x (a>0)的定义域为{x|x>0}． 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2 ＝(x 1－x 2)(1－a x 1x 2)＝(x 1－x 2)x 1x 2－a x 1x 2， ∵当0 故f(x)在(0，a)上是减函数． 当x 1>x 2≥a 时，恒有x 1x 2>a ， 则f(x 1)－f(x 2)>0，故f(x)在[a ，＋∞]上是增函数． 综上所述，函数f(x)在(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数． 专题二求函数的单调区间 求下列函数的单调区间． (1)y＝－x2＋2|x|＋3； [自主解答](1)依题意，可得 当x≥0时，y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4； 当x<0时，y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 由二次函数的图象知， 函数y＝－x2＋2|x|＋3在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． 变式训练：求证函数f(x)= 2 2 3 )1 (- x x 在区间(1，+∞)上是减函数. 证明：∵x≠0,∴f(x)= 2 2 4 2 2 3 2 2 ) 1 1( 1 )1 ( 1 )1 ( 1 x x x x x x x- = - = - , 设1＜x1＜x2＜+∞,则0 1 1 1 1,1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 > - > - < < x x x x . 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 ) 1 1( 1 ) 1 1( 1 .0 ) 1 1( ) 1 1( x x x x x x x x - < - ∴ > - > - ∴ ∴f(x1)>f(x2),f(x)在(1，+∞）上是减函数. 专题三利用函数的单调性求最值 【例3】已知函数f(x)＝ x2＋2x＋a x，x∈[1，＋∞)． (1)当a＝4时，求f(x)的最小值； (2)当a＝ 1 2时，求f(x)的最小值； (3)若a为正常数，求f(x)的最小值． [自主解答](1)当a＝4时，f(x)＝x＋ 4 x＋2，∵f′(x)＝1－ 4 x2＝ x2－4 x2，∴f(x)在[1,2]上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数． ∴f(x)min＝f(2)＝6. (2)当a＝ 1 2时，f(x)＝x＋ 1 2x＋2. 易知，f(x)在[1，＋∞)上为增函数． ∴f(x)min＝f(1)＝ 7 2. (3)函数f(x)＝x＋ a x＋2在(0，a]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数． 若a>1，即a>1时，f(x)在区间[1，＋∞)上先减后增，f(x)min ＝f(a)＝2a ＋2. 若a ≤1，即0 思考：若a<0，求f(x)的最小值. 解：∵f(x)＝x 2＋2x ＋a x ＝x ＋a x ＋2 ∵a<0 ∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数， ∴f(x)的最小值为f(1)＝3＋a. 变式训练：1、已知函数f(x)＝1a －1 x (a>0，x>0)． (1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数； (2)若f(x)在[12，2]上的值域是[1 2，2]，求a 的值． 解：(1)证明：设x 2>x 1>0， 则x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∵f(x 2)－f(x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1 x 1) ＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1 x 1x 2>0， ∴f(x 2)>f(x 1)， ∴f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[1 2，2]， 又f(x)在[1 2，2]上单调递增， ∴f(12)＝12，f(2)＝2，解得a ＝25 . 2、 函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1.