函数与映射(1)
2.1 映射与函数
〖考纲要求〗了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关概念.
〖复习要求〗掌握函数的有关概念及三种表示方法，会求简单函数的解析式.
〖复习建议〗在理解映射概念的基础上，深刻理解函数的概念——非空数集之间的映射，函
数定义的三要素中，定义域是函数的灵魂，对应法则是核心，要学会用函数的观点与思想解决方程、不等式和数列问题，要理解函数的符号，掌握函数表示法，会判断两个函数是否是同一函数.
〖双基回顾〗1、A 到B 的映射： ；
2、集合A 中有n 个元素，集合B 中有m 个元素，那么从A 到B 的映射有
个；
3、函数的近代定义
是： ；
4、函数的三要素是： ；
〖重点难点〗函数表达式的建立
一、知识点训练：
1、下列是映射的是…………………………………………………………………………………（ ）
(A)1、2、3 (B)1、2、5 (C)1、3、5 (D)1、2、3、5
2、设集合A={a ，b ，c}，B={0，1}，那么从B 到A 的映射有………………………………（ ）
(A)3个 (B)6个 (C)8个 (D)9个
3、下列与函数y =x 是同一函数的是……………………………………………………………（ ）
(A)2
x y = (B)x
x y 2= (C)x a a y log = (D)x
a a y log =
4.已知映射f :A →B ,其中A ={－3,－2,－1,0,1,2,3},集合B 中的元素是A 中的元素在f 下的象，且对任意的a ∈A ,在B 中和它对应的元素为|a |,则集合B 中元素的个数至少为
A.6
B.5
C.4
D.7
5、??
???≥<<--≤+=2 221 1 |1|)(2
x x x x x x x f ，那么f (f (－2))= ；如果f (a)=3，那么实数a= .
6.已知函数y =862++-m mx mx 的定义域为R ，则实数m 的范围为__________.
二、典型例题分析：
1、已知)(x f =2x －1，)(x g =??
?
?
?<-≥0
102x x x ，求f (g (x ))和g (f (x ))的表达式.
2、A 、B 两地相距150k m ，某汽车以50k m /h 的速度从A 到B ，到达B 后在B 地停留2个小时之后又从B 地以60k m /h 的速度返回，写出该车离开A 地的距离S （k m ）与时间t （小时）的函数关系.
3、求满足下列条件的函数解析式： ⑴2
1)11(x x
x f -=+ ⑵)(,14))((x f x x f f -=是一次函数.
4、如图，把边长为1的正方形沿x 正方向平移，设OA=x ，把此正方形与图中的三角形的公共部分的面积S 表示为x 的函数.
三、课堂练习：
1.函数y =x +x
x |
|的图象为
A.两条不含端点的射线
B.一条射线
C.两条平行线
D.一条直线
2
(A) (B)
(D)
3、如图为函数y =)(x f 的图象，
那么此函数的表达式为 .
四、课堂小结：
1、映射概念的理解应从以下几个方面进行：A 、B 非空；A 中无剩余；单值对应.
2、理解函数与映射的关系要注意：函数是特殊的映射即有“f 是函数”是“f 是映射”的充分不必要条件.
3、在书写分段函数的表达式时，要注意定义域的合理性.
4、具有实际意义的函数的定义域必须具有实际意义.
五、当堂检测：
1、M ={3，4，5}，N ={－1，0，1}，从M 到N 的映射f 满足x ＋f （x ）是偶数，这样的映射有（ ）
(A )3 (B) 4 (C)27 (D) 9 2、如果（x ，y ）在映射f 下的象为（x ＋y ，x －y ），那么（1，2）的原象是……………………（ ） (A )（－
23，21） (B) （23，－21） (C) （－23，－21) (D) （23，2
1） 3、函数f （x ）=3
2+x cx
，满足x x f f =))((恒成立，那么常数c 的值是………………………
（ ）
(A )3 (B) －3 (C)3或者－3 (D) 8或者－3 4、下列各组函数中，f （x ）与g （x ）相同的是…………………………………………………（ ）
(A )f （x ）=l nx ， g （x ）=2
ln 2
x (B)f （x ）=x ，g （x ）=2x
(C)??
???<<-<<-+=1
010
11)(x x x x x f ，g （x ）=f -1（x ） (D) f （x ）=0.1l g （2x -1）
，121)(-=x x g
5、已知f （x ）是表示经过（0，－2）的一条直线，g （x ）表示经过（0，0）的另一直线，如果又有关系f （g （x ））=g （f （x ））=3x －2，求这两条直线的交点坐标.
6、用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，如果设底边长为2x ， 求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并且求出其定义域及面积最大值.
7、建造一个容积为2000m 3，深为5m 的长方体水池，池底每平方米的造价100元，池壁每平方米造价75元，设总造价为y 元，底面一边长为x 米，求y 关于x 的函数解析式及其定义域及值域.
8、AB 是单位半圆的直径，动点P 从A 出发先过半圆弧再沿BA 回到A 点，试把动点P 到点A 的水平距离S 表示为路程x 的函数.
B
A
P
1O
教案1 映射与函数 (教师用)
函数 知识网络 教案1：映射与函数 一、课前检测 1.设集合A =R ，集合B =正实数集，则从集合A 到集合B 的映射f 只可能是（ ） A.:f x y x →= B. :f x y →= C. :3x f x y -→= D. ()2:log 1f x y x →=+ 解析：指数函数的定义域是R ，值域是（0，+∞），所以f 是x →y =3－ x . 答案：C 2. 函数253)(2+-=x x x f ，]2,0[∈x 的值域是（ ） A ．]4,2[ B ．),121[+∞- C ．]2,121[- D ．]4,12 1[-
答案：D 3. 设函数22,(1)()2,(12)(2)2 x x f x x x x x ??+≤-?=-<k 评析与简答：本例的选择，旨在使同学们理解映射与函数的关系，即如果A 、B 是非空数集， A 到B 的映射即是A 到B 的函数，这样，我们就可以从二次函数2 ()22f x x x =-+有最小值1的角度，得到集
映射与函数-数学试题
映射与函数-数学试题 班级________ 姓名________ 得分________ 一、选择题 1．映射f：A→B是定义域A到值域B上的函数，同下列结论正确的是（）．（A）A中每个元素必有象，但B中的元素不一定有原象 （B）B中的元素必有原象 （C）B中的元素只能有一个原象 （D）A或B可以是空集 2．在下列各组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（）． （A） （B） （C）（D） 3．已知函数的定义域是A，函数的定义域是B，则A、B的关系是（）．
（A）A=B （B）AB （C）AB （D）A∩B=Ф 4．函数的定义域是（）． （A）（-∞，0）（B）[0，3] （C）[0，3] （D）[-3，0] 5．若函数f（x）的定义域是[0，2]，则函数的定义域是（）． （A）[] （B）[] （C）[0，4] （D）[-4，4] 6．已知，则f（0）等于（）． （A）1 （B）3 （C）7 （D）9 7．在集合A到B的映射中，对于B中的任何一个元素y，以下结论中正确的是（）（A）在A中必有原象（B）在A中有唯一的原象 （C）在A中不一定有原象（D）在A中一定没有原象 8．已知映射：f：A→B，其中A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中元素的个数是（） （A）4（B）5（C）6（D）7 9．对于从集合A到集合B的映射，有下面四个命题，其中正确的有（）
① A中的元素在B中不一定有象 ② A中不同的元素在B中的象也不同 ③ A中的任何一个元素在B中的象是唯一的 ④ A中的任何一个元素在B中可以有不同的象 （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 10．在给定映射f：（x，y）→（xy，x+y）下，（1，2）的象是（） （A）（1，1）（B）（2，3）（C）（3，2）（D）不存在 11．设函数f（x）=x2-3x+1，则f（a）-f（-a）等于（） （A）0（B）-6a（C）2a2+2（D）2a2-6a+2 12．下列各组函数中，f（x）和g（x）表示同一函数的是（） （A）f（x）=x0，g（x）=1（B）f（x）=|x|，g（x） （B）f（x）=2x，g（x）=（D）f（x）=x2，g（x） 13．设函数f（x）-的定义域是F，g（x）=的定义域是G，则F和G的关系是（）（A）FG （B）FG
2.1 映射与函数
第二章函数本章知识结构图
本章以函数为核心,其内容包括函数的图像与性质.函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性及对称性函数.的图像包括基本初等函数的图像及图像变换.函数知识的外延主要结合于函数方程（函数零点）及函数与不等式的综合.函数方程（函数零点）问题常借助函数图像求解．函数与不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化求解. 第一节 映射与函数 考纲解读 1、了解函数的构成要素，了解映射的概念. 2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数. 3、了解简单的分段函数，并能简单应用. 命题趋势探究 有关映射与函数基本概念的高考试题，考查重点是函数的定义、分段函数的解析式和函数值的求解，主要以考查学生的基本技能为主，预测2015年试题将加强对分段函数的考查，考试形式多以选择题或填空题为主. 知识点精讲 1、映射 设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则f ，对A 中的任何―个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射. 注 由映射的定义可知，集合A 到集合B 的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素， 即可以一对一，也可多对一，但不可一对多. 注 象与原象 如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫a 的象．记作b ＝f (a ),a 叫b 的原象．A 的象记为f (A ) 2、一一映射 设A ，B 是两个集合，f 是A 到B 的映射，在这个映射下，对应集合A 中的不同元素，在集合B 中都有不同的象，且集合B 中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射f 为A →B 的一一映射. 注 由一一映射的定义可知，当A ，B 都为有限集合时，集合A 到集合B 的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A 与集合B 中的元素个数相等. 3、函数 设集合A ，B 是非空的数集，对集合A 中任意实数x 按照确定的法则f 集合B 中都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 到集合B 上的一个函数记作y ＝f (x ) x ∈A ·其中x 叫做自变量，其取值范围（数集A ）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f （a ）或y |x =2，所有函数值构成的集合{|(),}C y y f x x A ==∈叫做该函数的值域，可见集合C 是集合B 的子集 . 注 函数即非空数集之间的映射 注 构成函数的三要素 构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.
2.1.1(二)映射与函数教案
第2课时映射与函数 【学习要求】 1.了解映射、一一映射的概念； 2.初步了解映射与函数间的关系； 3.会判定一些对应关系是不是映射、一一映射． 【学法指导】 通过对教材上实例的研究，引入映射的概念. 通过映射与函数的对比，加深对函数概念的理解，进一步体会特殊与一般的辩证关系. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.映射的概念 设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象． 2.映射的定义域、值域 集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)． 3.一一映射的概念 如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射 . 4.函数与映射的关系 由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，特殊在构成函数的两个集合 A、B必须是数集. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 大家想一想，如果我们都没有名字了，这个世界将会怎样？一个人可以有小名，有笔名，有外号，有学名，是一人多名，也可能是多人一名，但为了便于管理，政府部门规定，每人只能有一个法定的名字，这样，每个人都有了唯一确定的身份证上的名字，人与名字的关系是居民集合到声音符号集合的一种确定的对应．在数学里，把这种集合到集合的确定性的对应说成映射． 探究点一映射的概念及应用 问题1 初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例，你能举出几个？ 答：对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x，y)和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应． 答：5名同学构成一个集合A，成绩构成另一个集合B. 这样对集合A中的每一名同学，在集合B中都有唯一的成绩与之对应． 问题3 数轴上的点集与实数集R，通过怎样的法则构成一种对应？ 答：数轴上任一点P，对应唯一实数x，使|x|等于点P到原点O的距离． 当点P在数轴的正半轴上时，取x>0； 当点P在数轴的负半轴上时，取x<0； 当P为数轴的原点时，取x＝0. 问题4函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集合有什么特点？ 答：两个集合是非空数集． 问题5 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的两集合中的元素之间的对应关系，即映射．你能给映射下个定义吗？ 答：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射． 这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象． 小结：集合A到B的映射f可记为f：A→B或x→f(x)．其中A叫做映射f的定义域 (函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，通常记作f(A)．
2019-2020年高考数学一轮复习 2.1 映射与函数的概念教案 新课标
2019-2020年高考数学一轮复习 2.1 映射与函数的概念教案新课标 一、映射 （１）映射的概念：设Ａ，Ｂ是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合Ａ中的任何一个元素，在集合Ｂ中都有惟一的元素与它对应，这样的对应关系叫做从集合Ａ到集合Ｂ的映射，记作． （２）象和原象：给定一个集合Ａ到Ｂ的映射，且，，如果元素和元素对应，那么，我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象． 二、函数 （１）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量，，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有惟一确定的值和它对应，那么就是的函数，记为．（２）近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射． （３）函数的三要素：函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射． （４）函数的表示法：解析法、列表法、图象法． 理解好函数概念还必须注意以下几点： ①函数是一种特殊的映射，集合Ａ、Ｂ都是非空的数的集合． ②确定函数的映射是从定义域Ａ到值域Ｃ上的映射，允许Ａ中的不同元素在Ｃ中有相同的象，但不允许Ｃ中的元素在Ａ中没有原象． ③两个函数只有当定义域、值域、对应法则都分别相同时，这两个函数才相同． ④函数的定义域、值域、对应法则统称为函数的三要素，其中对应法则是核心，是使对应得 以实现的方法和途径，是联系与的纽带．定义域是自变量的取值范围，是函数的一个重要组成部分．同一个函数的对应法则，由于定义域不相同，函数的图像与性质一般也不相同． ⑤函数的图像可以是一条或几条平滑的曲线也可以是一些离散的点，一些线段等． ⑥的含义与的含义不同．表示自变量时所得的函数值，它是一个常量；是的函数，通常它是 一个变量． 定义法 用数学概念的基本定义解决相关问题的方法，称之为定义法．利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征． [例1] 已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，在同一直角坐标系下，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点个数为( ) A．0个B．1个C．2个D．0个或1个 解析：∵f(x)的定义域为[－1,5]，而1∈[－1,5] ∴点(1，f(1))在函数y＝f(x)的图象上 而点(1，f(1))又在直线x＝1上 ∴直线x＝1与函数y＝f(x)的图象必有一个交点(1，f(1)) 根据函数的定义知，函数是一个特殊的映射，即对于定义域[－1,5]中的任何一个元素，在其值域中有唯一确定的元素f(1)与之对应，故直线x＝1与y＝f(x)的图象有且只有一个交点．选B. 三、典型例题