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2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国Ⅱ)_数学(理)

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（课标全国Ⅱ）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2014课标全国Ⅱ，理1)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( )． A ．{1} B ．{2} C ．{0,1} D ．{1,2} 答案：D

解析：∵M ＝{0,1,2}，

N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，

∴M ∩N ＝{0,1,2}∩{x |1≤x ≤2}＝{1,2}．故选D.

2．(2014课标全国Ⅱ，理2)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )．

A ．－5

B ．5

C ．－4＋i

D ．－4－i 答案：A

解析：由题意知：z 2＝－2＋i.

又z 1＝2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.故选A.

3．(2014课标全国Ⅱ，理3)设向量a ，b 满足|+|a b ||-=a b 则a ·b ＝( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案：A

解析：∵|+|=a b (a ＋b )2＝10，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝10.①

∵||-a b ，∴(a －b )2＝6，即a 2＋b 2－2a ·b ＝6.② 由①②可得a ·b ＝1.故选A.

4．(2014课标全国Ⅱ，理4)钝角三角形ABC 的面积是1

，AB ＝1，BC =AC ＝( )．

A ．5

C ．2

D ．1 答案：B

解析：由题意知S △ABC ＝1

AB ·BC ·sin B ，

即11122B =?，解得sin 2

B =. ∴B ＝45°或B ＝135°.

当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝2

12112

-?+. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；

当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝2

121(52

-?-

+＝，

解得AC =符合题意．故选B.

5．(2014课标全国Ⅱ，理5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )．

A ．0.8

B ．0.75

C ．0.6

D ．0.45 答案：A

解析：设某天空气质量为优良为事件A ，随后一天空气质量为优良为事件B ，由已知得P (A )＝0.75，P (AB )＝0.6，所求事件的概率为0.6

(|)0.80.75

P AB P B A P A ()=

==()，故选A.

6．(2014课标全国Ⅱ，理6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )．

A ．

1727 B ．59 C ．1027 D ．13

答案：C

解析：由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示．

切削掉部分的体积V 1＝π×32

×6－π×22

×4－π×32

×2＝20π(cm 3)，原来毛坯体积V 2＝π×32×6＝54π(cm 3)．

故所求比值为

1220π10

54π27

V V ==

. 7．(2014课标全国Ⅱ，理7)执行下面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )．

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 答案：D

解析：第一次：1≤2成立，M ＝2，S ＝5，k ＝2；第二次：2≤2成立，M ＝2，S ＝7，k ＝3；第三次：3≤2不成立，输出S ＝7. 故输出的S ＝7.

8．(2014课标全国Ⅱ，理8)设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 答案：D

解析：∵y ＝ax －ln(x ＋1)，∴1'1

y a x =-+. ∴y ′|x ＝0＝a －1＝2，得a ＝3.

9．(2014课标全国Ⅱ，理9)设x ，y 满足约束条件70,310,350,x y x y x y +-≤??

-+≤??--≥?

则z ＝2x －y 的最大值

为( )．

A ．10

B ．8

C ．3

D ．2 答案：B

解析：线性目标函数z ＝2x －y 满足的可行域如图所示．

将直线l 0：y ＝2x 平行移动，当直线l 0经过点M (5,2)时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，也就是z 取最大值，此时z max ＝2×5－2＝8.

10．(2014课标全国Ⅱ，理10)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )．

C ．6332

D ．94

答案：D

解析：由已知得3,04F ??

???，

故直线AB 的方程为3tan 304y x ?

?=?- ??

?，

即y x =. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

联立23,y x y x ?=

???=?

①②

将①代入②并整理得

2173

03216

x x -+=，

∴12212

x x +=

， ∴线段|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝

213

+＝12. 又原点(0,0)到直线AB

的距离为38d =

∴1139||122284

OAB S AB d ?=

=??=. 11．(2014课标全国Ⅱ，理11)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是

A 1

B 1，A 1

C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( )．

A ．

110 B ．25 C

．2

答案：C

解析：如图，以点C 1为坐标原点，C 1B 1，C 1A 1，C 1C 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，

不妨设BC ＝CA ＝CC 1＝1，

可知点A (0,1,1)，10,,02N ?? ???，B (1,0,1)，11,,022M ??

???.

∴10,,12AN ??=-- ???，11,,1

22BM ??

=-- ???

∴30

cos ,|AN |||

AN BM AN BM BM ?=

. 根据AN 与BM 的夹角及AN 与BM 所成角的关系可知，BM 与AN 所成角的余弦值为

. 12．(2014课标全国Ⅱ，理12)设函数π()x

f x m

=.若存在f (x )的极值点x 0满足22200+[()]x f x m <，则m 的取值范围是( )．

A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)

C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C

解析：∵x 0是f (x )的极值点，

∴f ′(x 0)＝0，即

0ππ

cos 0x m m

=，得0πππ2x k m =+，k ∈Z ，即01

x mk m =+，k ∈Z . ∴x 02＋[f (x 0)]2＜m 2可转化为

21π122mk m mk m m m ?????+++< ? ??

????，k ∈Z ，即2

221+32k m m ?

?+< ??

?，k ∈Z ，

即2

21312k m ?

?+<- ??

?，k ∈Z .

要使原问题成立，只需存在k ∈Z ，使2

23112k m ??

->+ ???

成立即可．

又2

12k ?

?+ ??

?2的最小值为14，

∴231

m ->，解得m ＜－2或m ＞2.故选C.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．(2014课标全国Ⅱ，理13)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝__________.(用数字填写答案)

答案：

解析：设展开式的通项为T r ＋1＝10C r x 10－

r a r

，

令r ＝3，得373410C T x a =，即3310C 15a =，得1

a =

. 14．(2014课标全国Ⅱ，理14)函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为__________．

答案：1

解析：∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)

＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ) ＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x . ∴f (x )max ＝1.

15．(2014课标全国Ⅱ，理15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是__________．

答案：(－1,3)

解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)． ∴f (x －1)＞0可化为f (|x －1|)＞f (2)．又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，

∴|x －1|＜2，解得－2＜x －1＜2，即－1＜x ＜3.

16．(2014课标全国Ⅱ，理16)设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠

OMN ＝45°，则x 0的取值范围是__________．

答案：[－1,1]

解析：如图所示，设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ，则点P 在圆O 上，且MP 与圆O 相切，而点M 在直线y ＝1上运动，由圆上存在点N 使∠OMN ＝45°，

则∠OMN ≤∠OMP ＝∠OMA ， ∴∠OMA ≥45°，∴∠AOM ≤45°. 当∠AOM ＝45°时，x 0＝±1.

∴结合图象知，当∠AOM ≤45°时，－1≤x 0≤1， ∴x 0的范围为[－1,1]．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ，理17)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明12n a ?

???

?是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明121113

n a a a +++<.

分析：在第(1)问中，通过题目给出的条件，得出112n a ++

与1

n a +的关系，从而证明12n a ??+????是等比数列，然后再由12n a ?

?+???

?的通项公式求出{a n }的通项公式；在第(2)问中，

由第(1)问得出1n a ??

????

的通项公式，再通过适当放缩，结合等比数列前n 项和得出结论．

解：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得111322n n a a +?

?+=+ ??

又11322a +=，所以12n a ?

?+???

?是首项为32，公比为3的等比数列．

1322n n a +=，因此{a n }的通项公式为31

n n a -=.

(2)由(1)知12

n a =-. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －

1，

所以

111

3123n n -≤-?. 于是1121111

1313

1(1)33232

n n n a a a -+++≤+++

+-<. 所以1211132

n a a a +++<.

18．(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ，理18)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD

为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

(1)证明：PB ∥平面AEC ；

(2)设二面角D －AE －C 为60°，AP ＝1

，AD =E －ACD 的体积．

分析：在第(1)问中，通过矩形的性质和题目条件，能够构造三角形的中位线，将线面平行问题转化为线线平行问题是切入点，由线线平行及线面平行的判定定理可证得结论；在第(2)问中，通过题目给出的条件建立空间直角坐标系，表示出所需点的坐标，设出构成二面角的平面的法向量，利用数量积求出其坐标，再结合二面角及三棱锥的体积公式进行求解．

解：(1)连结BD 交AC 于点O ，连结EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .

(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，||AP 为单位长，建立空间直角坐标系A －xyz ，

则D (0

，12E ?? ? ???

，12AE ??

= ? ???

. 设B (m,0,0)(m ＞0)，

则C (m

，(AC m =，设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，

则110,0,AC AE ??=???=??n n

即0,

0,22

mx y z ?+=+=?

可取1=-?n .

又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量，

由题设|cos 〈n 1，n 2〉|＝1

2，即3

3＋4m

2＝12

=，解得3

m =

. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E －ACD 的高为

. 三棱锥E －ACD

的体积113132228

V =??=.

19．(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ，理19)某地区2007年至2013年农村居民家庭

(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1

i n

i i t t y y b t t ==(-)(-)

=(-)

∑∑，

a y bt =-.

分析：在第(1)问中，通过所给数据求出变量的平均数，然后求出公式中的有关数据，从而求出b 与a ，最后求出回归直线方程；在第(2)问中，根据(1)中所求方程中的b 分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，将2015年的年份代号代入回归方程可预测2015年的收入情况．

解：(1)由所给数据计算得

7t =

(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4， 1

y =(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，

1()

i t t =-∑＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，

()i i

i t t y y =-(-)∑

＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，

0.528

i i i t t y y b t t ==(-)(-)

=(-)

∑∑， a y bt =-＝4.3－0.5×4＝2.3，

所求回归方程为y ＝0.5t ＋2.3.

(2)由(1)知，0.50b =>＝0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．

将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．

20．(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ，理20)设F 1，F 2分别是椭圆C ：22

221x y a b

+=(a

＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .

(1)若直线MN 的斜率为

，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .

分析：在第(1)问中，根据椭圆中a ，b ，c 的关系及题目给出的条件可知点M 的坐标，从而由斜率条件得出a ，c 的关系，再利用离心率公式可求得离心率，注意离心率的取值范围；在第(2)问中，根据题目条件，O 是F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，可得a ，b 之间的一个关系式，再根据条件|MN |＝5|F 1N |，可得|DF 1|与|F 1N |的关系，然后可求出点N 的坐标，代入C 的方程，可得a ，b ，c 的另一关系式，最后利用a ，b ，c 的关系式可求得结论．

解：(1)

根据c =2,b M c a ??

???

，2b 2＝3ac .

将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，

解得

12c a =，2c

=- (舍去)．故C 的离心率为1

(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线

段MF 1的中点，故2

4b a

=，即b 2＝4a .①

由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |，设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，

则112,22,c x c y (--)=??-=?即113,21,

x c y ?

=-???=-? 代入C 的方程，得22291

14c a b

+=.②

将①及c =22

941144a a a a

(-)+=. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7

，b =.

21．(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅱ，理21)已知函数f (x )＝e x －e －

x －2x . (1)讨论f (x )的单调性；

(2)设g (x )＝f (2x )－4bf (x )，当x ＞0时，g (x )＞0，求b 的最大值；

(3)已知1.414 2

1.414 3，估计ln 2的近似值(精确到0.001)．

分析：在第(1)问中，利用求导公式求出函数f (x )的导数，然后利用导数可讨论函数f (x )的单调性；在第(2)问中，先根据条件求出g (x )表达式，然后对其求导，其次利用分类讨论的思想讨论b ，进而求出b 的最大值；在第(3)问中，由第(2)

问可求出g 的表达式，再通过特殊值法，取b

的两个值使0g >

与0g <

，由此确定出g 表达式中ln 2的范围上限与下限，最后求得ln 2的近似值．

解：(1)f ′(x )＝e x ＋e －

x －2≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)单调递增．

(2)g (x )＝f (2x )－4bf (x )

＝e 2x －e －2x －4b (e x －e －

x )＋(8b －4)x ，

g ′(x )＝2[e 2x ＋e －2x －2b (e x ＋e －

x )＋(4b －2)]

＝2(e x ＋e －x －2)(e x ＋e －

x －2b ＋2)．

①当b ≤2时，g ′(x )≥0，等号仅当x ＝0时成立，所以g (x )在(－∞，＋∞)单调递增．而g (0)＝0，所以对任意x ＞0，g (x )＞0；

②当b ＞2时，若x 满足2＜e x ＋e －

x ＜2b －2，

即0＜x ＜ln(b －1时，g ′(x )＜0.

而g (0)＝0，因此当0＜x ≤ln(b －1时，g (x )＜0. 综上，b 的最大值为2.

(3)由(2)知，3

2(21)ln 22g b =

-+-.

当b ＝2时，302g =->，3

0.692812

>；

当4

b =时，ln(b -=

02g =--<，

ln 20.6934<<.

所以ln 2的近似值为0.693.

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅱ，理22)选修4—1：几何证明选讲

如图，P 是O 外一点，P A 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，PC ＝2P A ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：

(1)BE ＝EC ； (2)AD ·DE ＝2PB 2.

分析：(1)欲证BE ＝EC ，由于在圆O 中，可证BE EC =，利用相等的圆周角所对的弧相等，则可证∠DAC ＝∠BAD ，故应由条件转化为角的关系上去寻找，我们可以利用弦切角定理、对顶角相等、等腰三角形两底角相等等来处理．对于(2)，由结论中出现AD ·DE ，而D 是AE 与BC 两弦之交点，联想到相交弦定理可得AD ·DE ＝BD ·DC .从而使问题转化为证明2PB 2＝BD ·DC ，而P ，B ，D ，C 在一条直线上，且D 又是PC 的中点，而P A ＝PD ，P A 是切线，又联想到切割线定理得P A 2＝PB ·PC ，充分利用关系转化可得答案．

解：(1)连结AB ，AC ，由题设知P A ＝PD ，故∠P AD ＝∠PDA .

因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠P AD ＝∠BAD ＋∠P AB ，∠DCA ＝∠P AB ，

所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE EC =. 因此BE ＝EC .

(2)由切割线定理得P A 2

＝PB ·PC .

因为P A ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB . 由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，

所以AD ·DE ＝2PB 2

23．(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅱ，理23)选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，π0,2

θ??∈????

(1)求C 的参数方程；

(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：2y +垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．

分析：在第(1)问中，由极坐标公式，可将极坐标方程转化为普通方程，然后引入参数t ，得出其参数方程；在第(2)问中，利用第(1)问中C 的参数方程，设出点D 的坐标，再根据C 的普通方程得出其圆心和半径，以题目条件C 在D 处的切线与直线l 垂直为切入点，从而得出两直线斜率关系，从而求出t 的值，即可确定D 的坐标．

解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．

可得C 的参数方程为1cos ,

sin x t y t

=+??

=?(t 为参数，0≤t ≤π)．

(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以C (1,0)为圆心，1为半径的上半圆，因为C 在点

D 处的切线与l 垂直，所以直线CD 与l 的斜率相同，tan t =π3

t =

故D 的直角坐标为ππ1cos

,sin 33??

+ ??

?，即3,22? ??

. 24．(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅱ，理24)选修4—5：不等式选讲设函数()1

||(0)f x x x a a a

+>＝－． (1)证明：f (x )≥2；

(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．

分析：在第(1)问中，根据条件a ＞0及绝对值不等式的基本性质，可证得f (x )≥2；在第(2)问中，先由f (x )的表达式，求出f (3)，再根据f (3)＜5及分类讨论的思想方法，得出a 的取值范围．

解：(1)由a ＞0，有()111

||+2f x x x a x x a a a a a

++≥+-(-)=≥＝－. 所以f (x )≥2. (2) ()1

33|3|f a a

＝+－.

当a ＞3时，()13f a a +

＝，由f (3)＜5得3a <<.

当0＜a ≤3时，f (3)＝6－a ＋

1a ，由f (3)＜53a <≤.

综上，a 的取值范围是??

【精品】2021年全国高校自主招生数学模拟试卷含答案15

2021年全国高校自主招生数学模拟试卷十五含答案一．选择题(每小题5分，共30分) 1．若M={(x ，y )| |tan πy |+sin 2πx=0}，N={(x ，y )|x 2+y 2 ≤2}，则M ∩N 的元素个数是（） (A )4 (B )5 (C )8 (D )9 2．已知f (x )=a sin x +b 3 x +4(a ，b 为实数)，且f (lglog 310)=5，则f (lglg3)的值是（） (A )-5 (B )-3 (C )3 (D )随a ，b 取不同值而取不同值 3．集合A ，B 的并集A ∪B={a 1，a 2，a 3}，当A ≠B 时，(A ，B )与(B ，A )视为不同的对，则这样的(A ，B )对的个数是（）（A ）8 （B ）9 （C ）26 （D ）27 4．若直线x =π 4被曲线C :(x -arcsin a )(x -arccos a )+(y -arcsin a )(y +arccos a )=0所截的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是( ) (A ) π4 (B ) π3 (C ) π 2 (D )π 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若c -a 等于AC 边上的高h ，则sin C －A 2 +cos C +A 2 的值是( ) (A )1 (B ) 12 (C ) 1 3 (D )-1 6．设m ，n 为非零实数，i 为虚数单位，z ∈C ，则方程|z +ni |+|z -mi |=n 与|z +ni |-|z -mi |=-m 在同一复平面内的图形(F 1，F 2为焦点)是( ) 二、填空题（每小题5分，共30分） 1．二次方程(1-i )x 2 +(λ+i )x +(1+i λ)=0(i 为虚数单位，λ∈R )有两个虚根的充分必要条 (A) (B) (C) (D)

2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2014年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 2 y= 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）（（

4．（5分）（2014?北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） 1＞

6．（5分）（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为作出可行域如图，（﹣ （﹣ ﹣

7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx ， = 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2=﹣1．） 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|= ． =．由于向量，|，且+（ = ，满足||=1=+=（故答案为：

11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为y=±2x． ﹣具有相同渐近线的双曲线方程可设为， ﹣，故答案为：， 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．

2013年北京高考理科数学试题及标准答案

绝密★启封前机密★使用完毕前 2０１3年普通高等学校招生全国统一考试数学（理)（北京卷) 本试卷共5页，１50分，考试时长1２0分钟,考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共4０分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共４0分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{}101A =-，，,{}|11B x x =-<≤，则A B = Ａ.{}0 B.{}10-， ? C.{}01，?Ｄ.{}101-，，（2)在复平面内,复数()2 2i -对应的点位于（ ) A.第一象限?Ｂ．第二象限?C ．第三象限 D.第四象限（3)“π?=”是“曲线()sin 2y x ?=+过坐标原点”的( ) A ．充分而不必要条件?? ?B.必要而不充分条件 C ．充分必要条件? D.既不充分也不必要条件（4)执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．1? B ． 23??C.1321 D.610987 （５）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称,则()f x = A ．1e x +????B.1e x - Ｃ.1e x -+? D.1e x -- (6)若双曲线22 221x y a b -= 则其渐近线方程为 A ．2y x =± ?? B.y = C ．1 2 y x =± D ．y = (７)直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 ? ?B ．2 Ｃ．8 3 ?

2014年北京市高考数学试卷(理科)

2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．（5分）（2014?北京）已知集合A＝{x|x2﹣2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（2014?北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（） A．y＝B．y＝（x﹣1）2 C．y＝2﹣x D．y＝log0.5（x+1） 3．（5分）（2014?北京）曲线（θ为参数）的对称中心（） A．在直线y＝2x上B．在直线y＝﹣2x上 C．在直线y＝x﹣1上D．在直线y＝x+1上 4．（5分）（2014?北京）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（） A．7B．42C．210D．840 5．（5分）（2014?北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列” 的（） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

6．（5分）（2014?北京）若x，y满足，且z＝y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（） A．2B．﹣2C．D．﹣ 7．（5分）（2014?北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A．S1＝S2＝S3B．S2＝S1且S2≠S3 C．S3＝S1且S3≠S2D．S3＝S2且S3≠S1 8．（5分）（2014?北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．（5分）（2014?北京）复数（）2＝． 10．（5分）（2014?北京）已知向量，满足||＝1，＝（2，1），且+＝（λ∈R），则|λ|＝． 11．（5分）（2014?北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2＝1具有相同渐近线，则 C的方程为；渐近线方程为． 12．（5分）（2014?北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝时，{a n}的前n项和最大． 13．（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种． 14．（5分）（2014?北京）设函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）＝f（）＝﹣f（），则f（x）的最小正周期为．

2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)

2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（） .A y 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（）

.2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数2 11i i +?? = ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则 λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(?ω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性，且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数解：A 4、直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1

2014年高考理科数学新课标1卷解析版

2014年高考理科数学新课标1卷分析版一、选择题（题型注释） 1．已知集合{} {}22|,032|2 <≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A I （） A ．]1,2[-- B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[ 【答案】A 【分析】试题分析：由已知得，{ 1A x x =≤-或}3x ≥，故{} 21A B x x =-≤≤-I ，选A ．【考点定位】1、一元二次不等式解法；2、集合的运算． 2． =-+2 3 )1()1(i i （） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D 【分析】试题分析：由已知得 =-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1) 1(1)2i i i i i i i +++==----．【考点定位】复数的运算． 3．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．)()(x g x f 是偶函数 B ．)(|)(|x g x f 是奇函数 C.．|)(|)(x g x f 是奇函数 D ．|)()(|x g x f 是奇函数【答案】C 【分析】试题分析：设()()()H x f x g x =，则()()()H x f x g x -=--，因为)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，故()()()()H x f x g x H x -=-=-，即|)(|)(x g x f 是奇函数，选C ．【考点定位】函数的奇偶性． 4．已知F 为双曲线C :)0(32 2 >=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（） A. 3 B. 3 C. m 3 D. m 3 【答案】A 【分析】试题分析：由已知得，双曲线C 的标准方程为22133 x y m -=．则2 33c m =+， 33c m =+

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总

全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)

近年来自主招生数学试卷解读第一讲集合与命题第一部分近年来自主招生数学试卷解读一、各学校考试题型分析：交大：题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单；考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项式定理、解析几何和立体几何复旦：题型：试题类型全部为选择题（四选一）；全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）；试题难度：基本相当于高考；考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等；考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等同济：题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分；考试时间：90分钟，满分100分；试题难度：基本上相当于高考；考试知识点分布：常规高考内容二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。

关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，

2014北京市高考理科数学(理)试题真题及答案

2014年北京市高考数学（理科）试题及答案一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( ) .{0}A .{0,1} B .{0,2} C .{0,1,2} D 2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（） .A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ =-+??=+?（θ为参数）的对称中心（） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（） .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（） .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥??-+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（） .2A .2B - 1.2C 1.2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数211i i +??= ?-?? ________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2 214 y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________.

历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题（每小题5分，共50分） 1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b -= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为． 4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为． 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?=L ． 6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为． 7 ．设函数 ()x f x x = ，则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++=L ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ，则a = ． 9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为． 10．已知函数121 ()1 x f x x -= +，对于1,2,n =L ，定义11()(())n n f x f f x +=，若355()()f x f x =，则28()f x = ．二、计算与证明题（每小题10分，共50分） 11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点 M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标．参考答案： 1. 21x - 2. 1 2 - 3. 2 4. 94 5. ()1!1n +- 6. 2

2014年北京市高考试题集锦理科数学

2014年北京高考数学(理科)试题一.选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) 1.已知集合2 {|20},{0,1,2}A x x x B =-==,则A B =I ( ) .{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( ) .1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+ 3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+??=+?(θ为参数)的对称中心( ) .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 4.当7,3m n ==时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ) .7A .42B .210C .840D 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的( ) .A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥?? -+≥??≥? 且z y x =-的最小值为-4,则k 的值为( )

.2A .2B - 1.2C 1 .2 D - 7.在空间直角坐标系Oxyz 中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,()0,2,0C ,(D ,若 1S ,2S ,3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) (A)123S S S == (B)12S S =且 31S S ≠ (C)13S S =且 32S S ≠ (D)23S S =且 13S S ≠ 8.有语文、数学两学科,成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学,且至少有一科成绩比B 高,则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学, 他们之间没有一个人比另一个成绩好,且没有任意两个人语文成绩一样,数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9.复数2 11i i +??= ?-?? ________. 10.已知向量a r 、b r 满足1a =r ,()2,1b =r ,且()0a b R λλ+=∈r r ,则λ=________. 11.设双曲线C 经过点()2,2,且与2 214 y x -=具有相同渐近线,则C 的方程为________; 渐近线方程为________. 12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 13.把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有_______种. 14.设函数)sin()(?ω+=x x f ,0,0>>ωA ,若)(x f 在区间]2 ,6[π π上具有单调性,且 ?? ? ??-=??? ??=??? ??6322πππf f f ,则)(x f 的最小正周期为________. 三.解答题(共6题,满分80分) 15.(本小题13分)如图,在ABC ?中,8,3 == ∠AB B π ,点D 在BC 边上,且 7 1 cos ,2= ∠=ADC CD

(北京市)2014年高考真题数学(理)试题(WORD高清精校版)

数学（理）（北京卷）第 1 页（共 11 页） 2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则A B = （A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2} （D ）{0,1,2} （2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（A ）y （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -= （D ）0.5log (1)y x =+ （3）曲线1cos , 2sin x y θθ=-+??=+? （θ为参数）的对称中心（A ）在直线2y x =上（B ）在直线2y x =-上（C ）在直线1y x =-上（D ）在直线1y x =+上（4）当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840 （5）设{}n a 是公比为q 的等比数列．则“1q >”是“{} n a

数学（理）（北京卷）第 2 页（共 11 页）为递增数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若,x y 满足20,20,0,x y k x y y +-?? -+??? ≥≥≥ 且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（A ）2 （B ）2- （C ） 12 （D ）1 2 - （7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C ,(1,1,D ．若1S ,2S ,3 S 分别是三棱锥D ABC – 在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠ （D ）32S S =且31S S ≠ （8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（A ）2人（B ）3人（C ）4人（D ）5人

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3

5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1，则△PF 1F 2的面积等于． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相

北京市海淀区2013-2014高三上学期期中考试数学理含答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A ) A. {1,1,2}- B. {1,2} C. {1,2}- D.{2} 2.下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C ) A. ()f x x = B. ()ln f x x = C. ()2x f x = D.()tan f x x = 3. 在ABC ?中，若tan 2A =-，则cos A =( B ) A. 55 B.55 - C. 25 5 D.25 5 - 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C ) A. 2- B. 12 - C. 12 D. 2 5.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（B ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)n n a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（B ） A. 3S B. 4S C. 5S D. 6S 7.已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,), x x f x ax ax x ? ∈-?=??++∈+∞?若11 ()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（D ） A. 2 [,0)3 - B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞ 8.已知函数sin cos ()sin cos x x f x x x += ，在下列给出结论中： ①π是()f x 的一个周期； ②()f x 的图象关于直线x 4 π = 对称； ③()f x 在(,0)2 π-上单调递减.

2019年北京卷理科数学高考真题

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知复数z =2+i ，则z z ?= （A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 （2）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）已知直线l 的参数方程为13, 24x t y t =+=+???（t 为参数），则点（1，0）到直线l 的距离是（A ） 15 （B ） 25 （C ） 45 （D ） 65 （4）已知椭圆22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A ）a 2=2b 2 （B ）3a 2=4b 2 （C ）a =2b （D ）3a =4b （5）若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥?1，则3x+y 的最大值为（A ）?7 （B ）1 （C ）5 （D ）7

（6）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2?m 1= 52lg 2 1E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）10 10.1 （B ）10.1 （C ）lg10.1 （D ）10 ?10.1 （7）设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：2 2 1||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论： ①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③ 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）函数f （x ）=sin 2 2x 的最小正周期是__________．（10）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=?3，S 5=?10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________．（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．

2014北京市高考压轴卷数学(理科) 含解析

2014北京市高考压轴卷理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知 11x yi i =-+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则x yi +的共轭复数为（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2.已知函数3()f x x x =--，123,,x x x R ∈，且120x x +>，230x x +>，310x x +>，则 123()()()f x f x f x ++的值为( ) A.正 B.负 C.零 D.可正可负 3.已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为（） A ．4+ 52π B ．4+32π C ．4+2 π D ．4+π 4.如图所示为函数π ()2sin()(0,0)2 f x x ω?ω?=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( ) A ．-1 B ． C D ．1

5.（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题： ①若m⊥n，m⊥α，则n∥α； ②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β； ③若m、n是两条异面直线，m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β； ④若α⊥β，α∩β=m，n?β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（） 6.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 A． B．C． D． 7.已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点且，则此椭圆离心率的取值范围是（） B 8.已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1﹣x），且x∈[0，1]时，，则方程在区间[﹣3，3]上的根的个数为（）

全国高校自主招生数学模拟试卷11

2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十一一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．若a > 1, b > 1, 且lg(a + b)=lga+lgb, 则lg(a –1)+lg(b –1) 嘚值( ) （A ）等于lg2 （B ）等于1 (C ) 等于0 (D) 不是与a, b 无关嘚常数 2.若非空集合A={x|2a+1≤x ≤3a – 5},B={x|3≤x ≤22},则能使A ?A ∩B 成立嘚所有a 嘚集合是( ) （A ）{a | 1≤a ≤9} (B) {a | 6≤a ≤9} (C) {a | a ≤9} (D) ? 3.各项均为实数嘚等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若S 10 = 10, S 30 = 70, 则S 40等于( ) (A) 150 (B) - 200 (C) 150或 - 200 (D) - 50或400 4.设命题P ：关于x 嘚不等式a 1x 2 + b 1x 2 + c 1 > 0与a 2x 2 + b 2x + c 2 > 0嘚解集相同；命题Q ：a 1a 2=b 1b 2=c 1 c 2．则命题Q( ) (A) 是命题P 嘚充分必要条件 (B) 是命题P 嘚充分条件但不是必要条件 (C) 是命题P 嘚必要条件但不是充分条件 (D) 既不是是命题P 嘚充分条件也不是命题P 嘚必要条件 5.设E, F, G 分别是正四面体ABCD 嘚棱AB,BC,CD 嘚中点,则二面角C —FG —E 嘚大小是( ) (A) arcsin 63 (B) π2+arccos 33 (C) π2－arctan 2 (D) π－arccot 2 2 6.在正方体嘚8个顶点, 12条棱嘚中点, 6个面嘚中心及正方体嘚中心共27个点中, 共线嘚三点组嘚个数是( ) (A) 57 (B) 49 (C) 43 (D)37 二、填空题( 本题满分54分,每小题9分) 各小题只要求直接填写结果. 1．若f (x) (x ∈R)是以2为周期嘚偶函数, 当x ∈[ 0, 1 ]时,f(x)=x 1 1000 ，则f(9819)，f(10117)，f(10415)由小到大排列是． 2．设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i)z ，2－z 在复平面上对应嘚三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R 不共线时,以线段PQ, PR 为两边嘚平行四边形嘚第四个顶点为S, 点S 到原点距离嘚最大值是___________. 3．从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数中取出3个数, 使其和为不小于10嘚偶数, 不同嘚取法有________种. 4．各项为实数嘚等差数列嘚公差为4, 其首项嘚平方与其余各项之和不超过100, 这样嘚数列至多有_______项. 5．若椭圆x 2+4(y －a)2=4与抛物线x 2=2y 有公共点，则实数a 嘚取值范围是． 6．?ABC 中, ∠C = 90o , ∠B = 30o , AC = 2, M 是AB 嘚中点. 将?ACM 沿CM 折起,使A,B 两点间嘚距离为 22 ，此时三棱锥A-BCM 嘚体积等于__________. 三、（本题满分20分）已知复数z=1－sin θ+icos θ(π 2<θ<π)，求z 嘚共轭复数－z 嘚辐角主值．

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