2020年考研数学一真题及答案(全)

全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）试题

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上． （1

）若函数0(),0x f x b x >=?≤?

在x 连续，则 (A) 12

ab =． (B) 12

ab =-

． (C) 0ab =． (D) 2ab =．

【答案】A

【详解】由0

11lim 2x b ax a +

→-==,得1

2

ab =.

（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则

(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.

【答案】C

【详解】2()

()()[]02

f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2

2

(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．

(C) 4．

(D)2 ．

【答案】D

【详解】方向余弦12

cos ,cos cos 33

=

==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．

【答案】C

【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) T

E -αα不可逆． (B) T

E +αα不可逆． (C) T 2E +αα不可逆． (D) T

2E -αα不可逆．

【答案】A

【详解】可设T α=(1,0,

,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为

011,,,,因此T αα-E 不可逆.

（6）设有矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，122C ?? ?

= ? ???

(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．

(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B

【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以

A 可对角化,

B 则不行.

（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件

(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．

【答案】A

【详解】由(|)(|)P A B P A B >得

()()()()

()()1()

P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;

由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,

,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i i X X n ==∑，则下

列结论不正确的是 (A)

2

1

()n

i

i X μ=-∑服从2χ分布 ． (B) 2

12()n X X -服从2

χ分布．

(C)

21

()n

i

i X

X =-∑服从2χ分布． (D) 2

()n X -μ服从2

χ分布．

【答案】B

【详解】

22

2211

~(0,1)()~(),()~(1)1n n

i i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 22

1~(,),()~(1);X N n X n

-μμχ2211()~(0,2),

~(1)2n n X X X X N --χ.

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数2

1

(),1f x x

=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】24

2

1()1(11)1f x x x x x

=

=-++-<<+,没有三次项.

（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．

【答案】12e ()x

y C C -=+

【详解】特征方程2

230r r ++=

得1r =-,

因此12e ()x y C C -=+.

（11）若曲线积分?-+-L y x aydy xdx 122在区域{}

1),(2

2<+=y x y x D 内与路径无关，则=a

． 【答案】1-

【详解】有题意可得

Q P

x x

??=

??,解得1a =-. （12）幂级数

11

1

)

1(-∞

=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．

【答案】

2

1

(1)

x + 【详解】

1

1

2

1

1

1

(1)[()](1)n n n n n nx

x x ∞

∞

--=='-=--=

+∑∑.

（13）???

?

? ??=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩

为 ．

【答案】2

【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A

（14）设随即变量X 的分布函数4

()0.5()0.5()2

x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】0

0.54()d [0,5()()]d 222

x EX xf x x x x x +∞

+∞

-∞

-=

=+

=?

?

??. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答

案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．

设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),x

y f x =求

2200

,x x dy

d y dx

dx

==.

【答案】

(e ,cos )x y f x =

()

''12'12''''''''''

11121212222

2''''

11122

sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dy

f e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴

=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．

求2lim

ln(1)n k k

n n

→∞+.

【答案】

21222112

0012202lim ln(1)1

122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)2

1111

ln(1)02211111

ln 2221n k n n k k n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dx

x x ∞

→∞=→∞→∞+??=++++++ ??

???=++++++ ???=+=+=+-+-+=-∑

???101

1002111ln 2[(1)]

22111111

ln 2[()ln(1)]

002221111

ln 2(1ln 2)2224

dx

x

x dx dx x

x x x +=--++=--++=--+=???

（17）（本题满分10分）．

已知函数)(x y 由方程3

3

3320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】3

3

3320x y x y +-+-=①，

方程①两边对x 求导得：2

2

'

'

33330x y y y +-+=②，

令'

0y =，得2

33,1x x ==±.

当1x =时1y =，当1x =-时0y =.

方程②两边再对x 求导：'2

2

''

''

66()330x y y y y y +++=，

令'

0y =，2

''

6(31)0x y y ++=，

当1x =，1y =时''

32

y =-

，当1x =-，0y =时''

6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.

（18）（本题满分10分）．

设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0

()

lim 0x f x x

+

→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;

（II ）方程2

()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)

()

lim 0x f x x

+

→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ?∈<使得，又(1)0,f >由零

点存在定理知，(c,1)ξ?∈，使得，()0f ξ=.

(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，

()lim 0,'(0)0,x f x f x +

→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)

(0,1),'()010

f f f ηη-?∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη?∈?，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。

（19）（本题满分10分）．

设薄片型物体S 是圆锥面22y x z +=

被x z 22=割下的有限部分，

其上任意一点处的密度为2229),,(z y x z y x ++=μ，记圆锥面与柱面的交线为C ； （I ）求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程；

（II ）求S 的质量M 。

【答案】(1)C 的方程为2

2z z x

?=??=??xoy 平面的方程为：22(1)1

0x y z

?-+=?=

?

(2)(,,)M u x y z dS

∑

∑

∑

===????2cos 3220

2

2

8

1818cos 3d d π

π

θ

ππθθθ--==??

?

3202

96cos 96(1)643

d π

θθ===?=?

（20）(本题满分11分)．

设3矩阵123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，3122ααα=+ （I ）证明：(A)2r =;

（II ）若123βααα=++，求方程组Ax β=的解.

【答案】

().

00121,,,

021*********的特征值是，故，A ==???

?

? ??-∴=-+∴+=λααααααααα

又A 有三个不同的特征值，故01=λ为单根，且A 一定能相似对角化.

.

2)()(,

~=Λ=∴Λ∴r A r A

（2）由（1），0=Ax 的通解为()T

k 1,2,1-，

321αααβ++= ，故有()()ββααα==?????

??T

A 1,1,1111,,321，即.

()).()1,1,1(1,2,1为任意常数的通解为k k Ax T T

+-=∴β

（21）（本题满分11分）．

设二次型222

123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换Qy x = 下的标准形为22

1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q 。

（21）【答案】二次型的矩阵???

?

? ??---=a A 14111412，

因为二次型在正交变换下的标准形为22

1122y y λλ+，故A 有特征值0，

0=∴A ，故2=a .

由0)6)(3(2

1

411

1

4

12

=-+=---+---=-λλλλλλλA E 得特征值为

0,6,3321==-=λλλ.

解齐次线性方程组()0=-x A E i λ，求特征向量.

对31-=λ，????? ??-→????? ??-------=--0001101015141214153A E ,得???

?? ??-=1111α；

对62=λ，????? ??→????? ??----=-0000101014141714146A E ,得???

?

? ??-=1012α；

对03=λ，????? ??--→????? ??------=-0002101012141114120A E ,得???

?

? ??=1213α；

因为123,,ααα属于不同特征值，已经正交，只需规范化： 令()()()T T T 1,2,16

1,1,0,121,1,1,131

3222111=-==-=

=

βααβααβ， 所求正交矩阵为????????

? ??-

-=612

13

16

2031

6121

31Q ,对应标准形为2

22163y y f +-=. （22）（本题满分11分）．

设随机变量X 与Y 相互独立，且X 的概率分布为1

{X 0}{X 2}2

P P ====，Y 的概率密度为2,01

()0,y y f y <

（I ）求{Y EY}P ≤

（II ）求Z X Y =+的概率密度。 22、【答案】（1）32

d 2d )(10

=?==

??+∞

∞-y y y y y yf EY Y ， {}9

4d 2d )(320

32

=

==≤∴??∞

-y y y y f EY Y P Y . （2）Z 的分布函数为

{}{}{}{}{}{}{}[][])2()(2

1

22

1

2202,0,)(-+=

-≤+≤=≤+=+≤===≤++=≤+=≤=z F z F z Y P z Y P z Y X P z Y X P X z Y X P X z Y X P z Z P z F Y Y Z ，， 故Z 的概率密度函数为

[]???

??<≤-<≤=??

???????≥<≤-<≤<≤<=-+='=其它,03

2,210,3,

032,221,010,0,

0)2()(21)()(z z z z z z z z z z z z f z f z F z f Z Z .

（23）（本题满分11分）．

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量

μ是已知的.设n 次测量结果n X X X ,,21相互独立且均服从正态分布),(2σμN .该工

程师记录的是n 次测量的绝对误差),,2,1(n i X Z i i =-=μ.利用n Z Z Z ,,21估计

σ.

（I ）求i Z 的概率密度；

（II ）利用一阶矩求σ的矩估计量； （III ）求σ的最大似然估计量.

【答案】1Z 的分布函数为{}{}

?

???

?

?≤

-=≤-=≤=σσ

μμz X P z X P z Z P z F Z 111)(1， .

12)(,0;

0)(,011-??

?

??Φ=>=≤σz z F z z F z Z Z 时时 所以i Z

的概率密度均为2

22e ,0()()0,

z Z Z

z f z F z -?>'==?

其他

σ.

（2）πσπσπ

σσ

πσ

σ2222d 22d 220

20

2

20

12

22

2=???

? ?

?-=

?=

∞

+-∞

+-

=-

∞

+?

=

?

t t z t z e t te

z

e

z EZ 令， 令Z EZ =1，即

Z =π

σ

22，得σ的矩估计量为：

Z 22?πσ

=，其中∑==n

i i Z n Z 1

1. （3）记n Z Z Z ,,,21 的观测值为n z z z ,,,21 ，当),,2,1(0n i z i =>时，

似然函数为∑??===

=-

---==∏

∏n

i i i z n n n z n

i n i i

e

e z

f L 1

2

2

22

212

21

1

)2(222

);()(σ

σσπσ

πσσ，

∑=-

--=∴n

i i

z

n n n L 1

2

2

21

ln )2ln(22ln )(ln σσπσ，

令∑∑====+-=n i i n i i z n z n d L d 12123101)(ln σσσσσ，得 ∑==∴n i i Z n 1

2

1?σσ的最大似然估计量为.

1、最困难的事就是认识自己。20.11.211.2.202015:2015:20:40Nov-2015:20

2、自知之明是最难得的知识。二〇二〇年十一月二日2020年11月2日星期一

3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。15:2011.2.202015:2011.2.202015:2015:20:4011.2.202015:2011.2.2020

4、与肝胆人共事，无字句处读书。11.2.202011.2.202015:2015:2015:20:4015:20:40

5、三军可夺帅也。Monday, November 2, 2020November 20Monday, November 2, 202011/2/2020

6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。3时20分3时20分2-Nov-2011.2.2020

7、人生就是学校。20.11.220.11.220.11.2。2020

年11月2日星期一二〇二〇年十一月二日 8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。15:2015:20:4011.2.2020Monday, November 2, 2020

亲爱的用户： 烟雨江南，画屏如展。在那桃花盛开的地方，在这醉

人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。

考研数学一历年真题(2002-2011)版)

2002数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? ∞+e x x dx 2ln = _____________. (2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1 (0)1,(0)2 y y '== 的特解是_____________. (4)已知实二次型3231212 32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则 a =_____________. (5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题(每小题3分.) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?① (D)③?①?④ (2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数)11 ()1(11+++ -∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数)(x f 在+ R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞ →x f x 时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (B)当)(lim x f x '+∞ →存在时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (C) 当0)(lim 0=+ →x f x 时,必有0)(lim 0='+ →x f x (D) 当)(lim 0x f x '+ →存在时,必有0)(lim 0='+ →x f x . (4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和 )(y F Y ,则 (A))(x f X ＋)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数

历年考研数学三真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…（-） ，其中n为正整数，则 (0) f' =（ ） （A） 1 (1)(1)! n n - -- （B） (1)(1)! n n -- （C） 1 (1)! n n - - （D） (1)! n n - （3）设函数 () f t 连续，则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =（） （A ） 2 22 0 () dx x y dy + ? （B ） 2 22 0 () dx f x y dy + ? （C ） 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? （D ） 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? （4 ）已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛， 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛，则 α范围为（） （A）0<α 1 2 ≤ （B） 1 2< α≤1 （C）1<α≤ 3 2（D） 3 2<α<2

（5）设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（ ） （A ）123ααα，， （B ）124ααα，， （C ） 134ααα，， （D ） 234ααα，， （6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?， 123=P ααα（，，），1223=Q αααα（+，，）则1 =Q AQ -（） （A ）1 2 1?? ? ? ??? （B ）1 1 2?? ? ? ??? （C ）212?? ? ? ?? ? （D ）22 1?? ? ? ?? ? （7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+P X Y ≤2 2 ｛1｝ （ ） （A ） 1 4 （B ） 1 2 （C ） 8π （D ） 4 π （8）设1234X X X X ，，，为来自总体 N σσ>2 （1，）（0）的简单随机样本，则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布（ ） （A ） N （0，1） （B ） (1) t （C ） 2 (1)χ （D ） (1,1) F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→

2011年考研数学二真题答案解析

2011年考研数学二真题答案解析 2011年考研已经结束，以下是 2011年考研数学二真题答案解析，希望对考生有所帮助 2(111考研数学真题解析——数学二 = XC I €Jk +C J r->)故选( （5）鲁案:（X ） 【解答】 “姻?3铁广他3 占=釜=/V )€ V) X=^|= /f (x)g(y) C i 篇二《/他 3 在(0.0)点 4 = /r (0)g(0) B =?f 伽g “ C= AC-B^ >0 M ^>0=> r (0)<0 g*(0) > 0 故选 A ⑹答案：2 【解存】 x e (0,―) A $m x 0 $ h ?n xdx < $ In cs x

2011年考研数学试题及参考答案(数学一)

2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ） (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此，幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛，2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z =

2019年考研数学试题(数学一)错误修正共17页

2011年考研数学试题（数学一） 一、选择题 1、 曲线()()()() 4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()2 3 4 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函 数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 1 2,1ΛΛ无界，则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径 1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ， 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0 x =

2011考研数学一真题(3页打印版-附标准答案5页)

2011考研数学一真题试卷 一选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A(1，０) B(2,０） C （3，0) D(４，０） 2设数列{}n a 单调递减，∑=∞→?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-n k n k x a 1)1(的收敛域 A （-1，1] B ［-1，1) Ｃ［0，2) D （0，2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ,则函数)(ln )(y f x f z =在点(0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>''

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

n ∑a (x -1) ? ? ? ? 1 2 2 1 0 0 2011 年考研数学一试题 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的 四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸． 指定位置上． (1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3(x - 4)4 的拐点是( ) (A) (1, 0) ． (B) (2, 0) ． (C) (3, 0) ． (D) (4, 0) ． (2) 设数列{a n } 单调减少， lim a n = 0 ， S n = ∑a k (n = 1, 2, 无界，则幂级数 n →∞ k =1 ∞ n 的收敛域为( ) n =1 (A) (-1,1] ． (B) [-1,1) ． (C) [0, 2) ． (D) (0, 2] ． (3) 设函数 f (x ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， 且 f (x ) > 0 ， f '(0) = 0 ， 则 函 数 z = f (x ) l n f ( y ) 在点(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f (0) > 1， f ''(0) > 0 ． (B) f (0) > 1， f ''(0) < 0 ． (C) f (0) < 1， f ''(0) > 0 ． (D) f (0) < 1， f ''(0) < 0 ． π π π (4) 设 I = ? 4 ln sin xdx ， J = ? 4 ln cot xdx ， K = ? 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大 小关系是( ) (A) I < J < K ． (B) I < K < J ． (C) J < I < K ． (D) K < J < I ． (5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3 ? 1 0 0 ? 行得单位矩阵，记 P = 1 1 0 ? ， P ? 1 0 0 ? = 0 0 1 ? ，则 A = ( ) 1 ? 0 0 1 ? 2 ? 0 1 0 ? (A) P 1P 2 ． (B) P -1 P ． (C) P 2 P 1 ． (D) P P -1 ． (6) 设 A = (α ,α ,α ,α ) 是 4 阶矩阵， A * 为 A 的伴随矩阵，若(1, 0,1, 0)T 是方程组 1 2 3 4 ) n

2011年考研数学一试卷真题及答案解析

2011年考研数一真题及答案解析 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()() ()() 2 34 12340 y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数() 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域 为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛，可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛，2x =时 幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)(>x f ，0)0(='f ，则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ） （A ） 0)0(1 )0(>''>f f ， (B) 0)0(1)0(<''>f f ， (C) 0)0(1 )0(>''

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导，且()0f =0，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列，则下列命题正确的是 ( ) (A)若 1n n u ∞ =∑收敛，则 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则1n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1 n n u ∞ =∑收敛，则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π= ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大小关 系是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第三行得 单位矩阵，记1100110001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A = ( ) (A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 1 21-P P (6) 设A 为43?矩阵， 123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解，12,k k 为任意常数，则Ax β=的通解为( ) (A) 23 121()2 k ηηηη++- (B) 23 121()2 k ηηηη-+-

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版附答案分析及详解

2011年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版 附答案分析及详解 一、选择题 1、 曲线()()()()4 324321----=x x x x y 的拐点是（ ） （A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0） 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，则幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0， 2) （D ）(0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界，说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤； {}n a 单调减少，0lim =∞ →n n a ，说明级数()11n n n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。 因此，幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。又由于0x =时

2011考研数学一真题及答案解析-新修正版

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上． (1) 曲线234 (1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( ) (A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞ =，1 (1,2,)n n k k S a n == =∑ 无界，则幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A) (1,1]-． (B) [1,1)-． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数 ()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<． (4) 设40 ln sin I x dx π = ? ，4 ln cot J x dx π =?，40 ln cos K x dx π =?，则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵，记11001 10001P ?? ?= ? ???，2100001010P ?? ? = ? ??? ，则A =( ) (A) 12P P ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 1 21P P -． (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组 0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( ) (A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．

考研数学历年真题(2008-2019)年数学一

2008-2019年考研数学一 真题答案及解析 目录 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (2) 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (6) 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (10) 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (14) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (18) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (21) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (25) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (29) 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (34) 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (38) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (42) 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (46) 1

2 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3. （D ）4. （2）设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点. （3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=??，那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- （6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则 A.()()2,3r A r A == B.()() 2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()() 1,1r A r A ==

20年考研数学三真题及答案

2011年考研数学三真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)已知当时，与是等价无穷小，则 (A)(B) (C)(D) 【答案】C。 【解析】 【方法一】 (洛必达法则) (洛必达法则) () 由此得。 【方法二】 由泰勒公式知 则

故。 【方法三】 故 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则 (2)已知在处可导，且,则 (A)(B) (C)(D)0 【答案】B。 【解析】 【方法一】加项减项凑处导数定义

【方法二】拆项用导数定义 由于，由导数定义知 所以 【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数,则 而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B) 【方法四】由于在处可导，则 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数

和微分的四则运算 (3)设是数列，则下列命题正确的是 (A)若收敛，则收敛。 (B)若收敛，则收敛。 (C)若收敛，则收敛。 (D)若收敛，则收敛。 【答案】A。 【解析】 若收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件 (4)设,则的大小 关系为 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 【解析】 同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小， 由于当时， 又因为为上的单调增函数，所以

2011年考研数学三真题及答案解析

2011年考研数学（三）真题及答案详解 一．选择题 1.已知当0x →时，函数()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则 （A ） 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 2．已知 ()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()() 233 2lim x x f x f x x →-= （A ）()' 20f - （B ）()'0f - (C) ()'0f (D)0 3．设 {}n u 是数列，则下列命题正确的是 （A ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=+∑收敛 （B ）若 ()21 21n n n u u ∞ -=+∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 （C ）若 1n n u ∞ =∑收敛，则 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛 （D ）若 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛，则1 n n u ∞ =∑收敛 4．设4440 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ π ===???，则,,I J K 的大小关系是 （A ）I J K << （B ）I K J << （C ）J I K << （D ）K J I << 5．设A 为3阶矩阵，将A 的第二列加到第一列得矩阵B ，再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记 1100110001P ????=?????? ,2100001010P ?? ??=? ?????,则A = （A ）12P P （B ）1 12P P -

2011考研数学一真题及解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一 一、选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A （1，0） B （2，0） C （3，0） D （4，0） 2设数列{}n a 单调递减，∑=∞ →?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim ）无界，则幂级数∑=-n k n k x a 1 ) 1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数，且0)0(,0)(>'>f x f ，则函数 )(ln )(y f x f z =在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>''

2011年考研数学试题及参考答案(数学一)

3、设 函数f (x)具有二阶连续导数，且 f(x) 0， f (0) 0，则函数z f (x)ln f (y) 2011年考研数学试题(数学一) 、选择题 1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是( ) (A ) (1, 0) (B ) (2, 0) ( C ( 3, 0) ( D ) (4, 0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分 条件即可。 【解析】由y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4可知1,2,3,4分别是 2 3 4 y x 1 x 2 x 3 x 4 0的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的 关系可知 y(1) 0，y (2) y (3) y (4) 0 y (2) 0， y (3) y (4) 0，y (3) 0,y ⑷ 0，故(3，0)是一 拐点。 2、设数列 a n 单调减少，lim n a n 0， S n n a k n 1,2 k 1 无界，则幕级数 a n x 1 n 的收敛域为( ) (A) (-1 ， 1] (B ) [-1 ，1) (C ) [0，2) (D ) n 1 (0，2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幕级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项 级数收敛性的一些结论，综合性较强。 无界，说明幕级数 a n x 1 n 的收敛半径R 1 ； n 1 半径R 1。 因此，幕级数 a n x 1 n 的收敛半径 R n 1 收敛，x 2时幕级数发散。可知收敛域为 0,2。 n 【解析】S n a k n 1,2 k 1 a n 单调减少，lim a n n 0，说明级数 a n n 1 1 n 收敛，可知幕级数 a n x 1 n 的收敛 n 1 1，收敛区间为 0,2。又由于x 0时幕级数