3.4 导数在实际生活中的应用
3.4导数在实际生活中的应用
教学目标：
1.通过生活中优化问题的学习，体会导数在解决实际问题中的作用，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；
2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．
教学重点：
如何建立实际问题的目标函数．
教学难点：
如何建立实际问题的目标函数．
教学过程：
一、问题情境
问题1把长为60cm的铁丝围成矩形，长宽各为多少时面积最大?
问题2把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最小？
问题3做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？
二、新课引入
导数在实际生活中有着广泛的应用，利用导数求最值的方法,可以求出实际生活中的某些最值问题．
1．几何方面的应用（面积和体积等的最值）．
2．物理方面的应用（功和功率等最值）．
3．经济学方面的应用（利润方面最值）．
三、知识应用
例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
说明1 解应用题一般有四个要点步骤：设－列－解－答．
说明2 用导数法求函数的最值，与求函数极值方法类似，加一步与几个极 值及端点值比较即可．
例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才 能使所用的材料最省？
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？
说明1 这种在定义域内仅有一个极值的函数称单峰函数 ．
说明2 用导数法求单峰函数最值，可以对一般的求法加以简化，其步骤为： S1 列：列出函数关系式；
S2 求：求函数的导数；
S3 述：说明函数在定义域内仅有一个极大（小）值，从而断定为函数的最 大（小）值，必要时作答．
例3 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r ，电动势为 ．外电阻R 为 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
说明 求最值要注意验证等号成立的条件，也就是说取得这样的值时对应的自变量必须有解．
例4 强度分别为,a b 的两个光源,A B ，它们间的距离为d ，试问：在连接 这两个光源的线段AB 上，何处照度最小？试就8,1,3a b d ===时回答上述问题．（照度与光的强度成正比，与光源的距离的平方成反比）
例5 在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ；出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ；()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ．
（1）设632()100.00351000
C x x x x -=-++，生产多少单位产品时，边际成本
'()C x 最低？ （2）设()5010000C x x =+，产品的单价1000.1p x =-，怎样的定价可使利润最大？
变式 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p
与产量q 的函数关系式为q p 8
125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？ 分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．
四、课堂练习
1．将正数a 分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___．
2．在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时，它的面积最大．
3．有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去相同的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形边长应为多少？
4．一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周l ＝AB ＋BC ＋CD 最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b ．
五、回顾反思
（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 ．
六、课外作业
1．课本第96页第1，2，3，4题．
2．补充练习： 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()()01035
k C x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及()f x 的表达式；（Ⅱ）隔热层修建多厚对，总费用()f x 达到最小，并求最小值．