江门市2017-2018学年普通高中高二下学期期末调研测试
数 学(理科)
本试卷共4页,24题,考生作答22题,满分150分,测试用时120分钟. 注意事项:
⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
⒉做选择题时,必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。 ⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不在指定位置作答的答案无效.............。 ⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。
参考公式:独立性检验观测值计算公式)
)()()(()(2d b c a d c b a bc ad n k ++++-=,d c b a n +++=.
独立性检验临界值表
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是
符合题目要求的. 1.在复平面内,表示复数i 32-( i 是虚数单位)的点位于
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 2.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是 A .720 B .648 C .310 D .103
3.设某大学的女生体重y (单位:kg )与身高x (单位:cm )具有线性相关关系,根据一组样本数据) , (i i y x (n i , , 2 , 1 =),用最小二乘法建立的回归方程为71.8585.0-=x y
,则下列结论中不正确...的是 A .若该大学某女生身高为170cm ,则她的体重必为58.79kg B .y 与x 具有正的线性相关关系 C .回归直线过样本点的中心) , (y x D .身高x 为解释变量,体重y 为预报变量 4.执行如图所示的程序框图,输出=S
A .14
B .16
C .30
D .62 5.平面直角坐标系中,直线032=+-y x 的一个方向向量是 A .)2 , 1( B .)1 , 2( C .)2 , 1(- D .)1 , 2(- 6.10)1(-x 的展开式的第6项的系数是
A .6
10C B .6
10C - C .5
10C D .5
10C -
7.天气预报,端午节假期甲、乙、丙三地降雨的概率分别是0.9、0.8、0.75,若甲、乙、丙三地是否降雨相互之间没有影响,则其中至少一个地方降雨的概率为 A .0.015 B .0.005 C .0.985 D .0.995
8.函数x x x f 12)(3-=(R x ∈)的极大值点是
A .2-
B .2
C .)16 , 2(-
D .)16 , 2(- 9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某 多面体的三视图,则该多面体的体积=V A .
3
32
B .316
C .32
D .16
10.1F 、2F 是椭圆13
422=+y x 的焦点,P 是椭圆上任意一点,21PF ?的最大值为 A .1 B .2 C .3 D .4 11.设函数2
11
|)|1ln()(x
x x f +-
+=,R x ∈,则)(x f 零点的个数是 A .1 B .2 C .3 D .4
12.分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数。1可以分拆为若干个不同的单位分数
之和:6131211++=
,1216141211+++=,201
1216151211+
+++=,…,依此类推可得:156
1
132111019017215614213011112161211+
+++++++++++=n m ,其中,m 、*N n ∈,则=mn
A .228
B .240
C .260
D .273
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.化简:=-++
55)1()1(x x .
14.某射手每次射击击中目标的概率是8.0,这名射手在5次射击中,恰有4次击中目标
的概率=P .
15.小赵,小钱,小孙,小李四位同学被问到谁去过长城时,
小赵说:我没去过; 小钱说:小李去过; 小孙说;小钱去过; 小李说:我没去过.
假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过长城的是 . 16.根据定积分的性质和几何意义,=---?
1
2])1(1[dx x x .
三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分12分)
ABCD 是复平面内的平行四边形,A 、B 、C 三点对应的复数分别是i 31+、i -、
i +2.
(Ⅰ)求点D 对应的复数; (Ⅱ)求ABC ?的边BC 上的高.
18.(本小题满分12分)
在数列{}n a 中,11=a ,n
n
n a a a +=+221(*N n ∈). (Ⅰ)计算2a 、3a 、4a ;
(Ⅱ)试猜想这个数列的通项公式,并给出证明.
19.(本小题满分12分)
本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是:每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两个小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按 1小时计算).甲、乙两人独立来该租车点车租骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时的概率分别为
41、2
1
;两小时以上且不超过三小时的概率分别为21、4
1
;两人租车时间都不会超过四小时. (Ⅰ)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(Ⅱ)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望
ξE .
20.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥ABCD P -中,底面ABCD 是菱形,且0120=∠ABC .点E 是棱
PC 的中点,平面ABE 与棱PD 交于点F .
(Ⅰ)求证:EF AB //;
(Ⅱ)若2===AD PD PA ,且平面⊥PAD 平面ABCD ,求平面PAF 与平面
AEF 所成的二面角的正弦值.
21.(本小题满分12分)
已知函数c x
b
ax x f ++
=)((0>a )的图象在点))1( , 1(f 处的切线方程为1-=x y .
(Ⅰ)用a 表示出b ,c ;
(Ⅱ)若x x f ln )(≥在) , 1[∞+上恒成立,求a 的取值范围.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答题请写清题号.
22.(本小题满分10分)选修2-1
已知p :方程122
2=+m y x 表示焦点在y 轴上的椭圆;q :对任意实数x ,不等式03222>+++m mx x 恒成立.
(Ⅰ)若“q ?”是真,求实数m 的取值范围;
(Ⅱ)若“q p ∧”为假,“q p ∨”为真,求实数m 的取值范围.
23.(本小题满分10分)选修2-2
一边长为a 的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形,然后做成一个无盖方盒.
(Ⅰ)试把方盒的容积V 表示为x 的函数; (Ⅱ)x 多大时,方盒的容积V 最大?
24.(本小题满分10分)选修2-3
为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,随机调查了某市300名高中学生,得到下面的数据表:
②用分层抽样方法从“喜欢数学课程”和“不喜欢数学课程”两类同学中随机抽
取一个容量为10的样本,则应从“喜欢数学课程”的同学中抽取几人?
(Ⅱ)根据调查结果,能否有97.5%的把握认为是否喜欢数学课程与性别有关?
参考答案
一、选择题 DBAC BDDA ACBC
二、填空题 ⒔210202x x ++; ⒕4096.0或48.0; ⒖小钱; ⒗
4
2
-π
三、解答题
17.解:(Ⅰ)复平面内A 、B 、C 对应点的坐标分别为(1,3),(0,1)-,(2,1)……1分,
设D 的坐标为(,)x y ,由于AD BC =,(1,3)(2,2)x y ∴--=……2分
∴12,32x y -=-=……3分,解得3,5x y ==……4分
故(3,5)D ……5分,则点D 对应的复数为:35i +……6分 (Ⅱ)
(0,1),(2,1)B C -,则BC 直线的方程为:10x y --=……8分
A 到BC 直线的距离
2
d =
=
分(列式2分,化简1分)
故BC
边上的高为2
……12分 18.解:(Ⅰ)依题意,3222112=+=
a a a ,2122223=+=a a a ,5
2
22334=+=a a a ……3分 (Ⅱ)猜想2
1
n a n =
+……4分 (方法一·数学归纳法)
①当0n n =(10=n ,2或3)时,由(Ⅰ)知,猜想成立……6分 ②假设当) , ( *0N k n k k n ∈≥=时,2
1k a k =
+……7分 则当1n k =+时,1
2422221122(1)222(1)1211
k k k a k k a k a k k k k +?++=====
+++++++
++猜想也成立……11分(列式1分,代入2分,化简1分)
综上所述,对于一切*n N ∈,1
2
+=n a n ……12分 (方法二)由122n
n n
a a a +=+与11=a 得,对于一切*n N ∈,0≠n a ……4分 两边取倒数得1
2111
22
n n n n a a a a ++=
=+……6分 故
1
1112n n a a +-
=,从而1{}n a 是以111a =为首项,1
2
为公差的等差数列……9分 1111(1)22n n n a +=+-?=……11分,故1
2+=n a n ……12分 19.解:(Ⅰ)依题意,甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率均为
4
1
……2分 记甲、乙两人所付租车费用相同为事件A ,则
1111115
()42244416
P A =?+?+?=……3分
所以,甲、乙两人所付租车费用相同的概率为
5
16
……4分 (Ⅱ)设甲、乙两个所付的费用之和为ξ,ξ可能取得值为0,2,4,6,8……5分
1111151111115
(0),(2),(4)844221644242416====?+?===?+?+?=P P P ξξξ,
11113(6)442416==?+?=P ξ,111
(8)4416
==?=P ξ……10分
故分布列为: ……11分