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初中数学常用的解题方法

初中数学常用的解题方法

一、构造法

在解题时,我们常常会采用这样的方法,通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等,架起一座连接条件和结论的桥梁,从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法.运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透,有利于问题的解决.

例 一座抛物线型拱桥如图所示,桥下水面宽度是4m 时,拱高是2m .当水面下降1m 后,水面宽度是多少?(结果精确到0.1m )

【点拨】本题和实际问题结合紧密,图象是我们学过的抛物线,所

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以要学会构造数学模型,建立坐标系,通过这种方法,可以很巧妙

地利用我们学过的知识.

解:如图所示,以桥面为x 轴,以抛物线的对称轴为y 轴建立坐

标系,则点O (0,0),A (-2,-2),B (2,-2)设拱桥抛

物线的函数为2y ax bx c =++

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又因为抛物线过点O 、A 、B ,由图可知点A 、B 关于y 轴对称,

点C 、D 关于y 轴对称.将点O 、A 、B 的坐标代入抛物线的

函数,可得:0242242c a b c a b c =??-=-+??-=++?

解得:1

002a b c =-==、、,则抛物线的方程为212

y x =- 设点C (-m ,-3),D(m ,-3)可的m

CD

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=所以,若水面下降1

米,水面的宽度为

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练习:如果32

8x ax bx +++有两个因式1x +和2x + ,则a +b 的值是

(注:此题难度较大,学有余力的同学可以挑战一下!)

二、反证法

反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论.

反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n 个/至多有(n 一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个.

归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木.推理必须严谨,导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.

例 已知:如图,l 1∥l 2 ,l 2∥l 3,求证: l 1∥l 3

【点拨】此题直接证,证起来不太容易,如果

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能够采用从反面来证的话,非常容易达到目的.

证明:假设1l 不平行3l ,则1l 与3l 相交,设交点为P.

∵1l ∥2l , 2l ∥3l ,

则过点P 就有两条直线1l 、 3l 都与2l 平行,这与“经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾.

所以假设不成立,即求证的结论成立,即 1l ∥3l

练习:

已知:如图,直线a 、b 被直线c 所截,

∠1 ≠ ∠2

求证:

a ∥b

三、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理,不仅可用于计算面积,而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果.运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法,称为面积方法,它是几何中的一种常用方法.

用归纳法或分析法证明平面几何题,其困难在添置辅助线.面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来,通过运算达到求证的结果.所以用面积法来解几何题,几何元素之间关系变成数量之间的关系,只需要计算,有时可以不添置辅助线,

21c b

a A

即使需要添置辅助线,也很容易考虑到.

例 如图,已知在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC = 90°,BE ⊥CD ,CD =BC .求证:AB = BE .

【点拨】一般的四边形问题,通常就是把它转化为三角形来处理.初看AB 与BE 这两条线段,它们之间并没有什么明显的联系.在这里,作DM ⊥BC ,连接

BD 就实现了转化.

证明:连接BD ,作DM ⊥BC 于M .

则四边形ABMD 为矩形,有AB=DM ,在△BDC 中,BE 和DM 分别

是边CD 、BC 上的高,由面积相等,可得1122BC DM DC BE ?=?,即BC DM DC BE ?=?,由条件CD =BC ,可得DM=BE ,且AB=DM ,可得AB = BE .

练习:

如图,在△ABC 中,∠A =90°,D 是AC 上一点,BD=DC ,

P 是BC 上任一点,PE ⊥BD 于E ,PF ⊥AC 于F .求证:

PE +PF=AB .

四、几何变换法

在数学问题的研究中,常常运用变换法,把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决.中学数学中所涉及的变换主要是初等变换.有一些看来很难甚至于无法下手的习题,可以借助几何变换法,化繁为简,化难为易.另一方面,也可将变换的观点渗透到中学数学教学中.将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来,有利于对图形本质的认识.

几何变换包括:(1)平移;(2)旋转;(3)对称.

例 如图,线段AB=CD ,AB 与CD 相交于点O ,且∠AOC =60°,

CE 是由AB 平移所得,则AC+BD 与AB 的大小关系是

______________ 【答案】A C B D A B

+≥ 【解析】将AB 沿AC 平移到CE ,连结BE 、DE ,由平移的特征可知AB=CE ,AC=BE ,∴∠OCE =∠AOC =60°,

M E D C

B A F

E P D C B A E D C

B

A O

又∵CD =AB ,∴CD =CE ,

所以△CDE 是等腰三角形,即CD =CE =DE =AB ,

∵DB+BE >DE ,所以DB+AC >AB ,

而当AC ∥DB 时,DB+AC=AB ,

故 AC BD AB +≥

练习:复习“全等三角形”的知识时,老师布置了一道作业题:“如图①,已知在△ABC 中,AB =AC ,P 是△ABC 内部任意一点,将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ,使∠QAP =∠BAC ,连接BQ 、CP ,则BQ =CP .”

小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ ≌△ACP ,从而证得BQ =CP 之后,将点P 移到等腰三角形ABC 之外,原题中的条件不变,发现“BQ =CP ”仍然成立,请你就图②给出证明.

五、客观性题的解题方法

选择题是给出条件和结论,要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型.选择题的题型构思精巧,形式灵活,可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能,从而增大了试卷的容量和知识覆盖面.

填空题是标准化考试的重要题型之一,它同选择题一样具有考查目标明确,知识覆盖面广,评卷准确迅速,有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点,不同的是填空题未给出答案,可以防止学生猜估答案的情况.

要想迅速、正确地解选择题、填空题,除了具有准确的计算、严密的推理外,还要有解选择题、填空题的方法与技巧.下面通过实例介绍常用方法.

(1)直接推演法:直接从命题给出的条件出发,运用概念、公式、定理等进行推理或运算,得出结论,选择正确答案,这就是传统的解题方法,这种解法叫直接推演法.

(08河南)为支援四川地震灾区,中央电视台于5月18日晚举办了《爱的奉献》赈灾晚会,晚会现场捐款达1514000000元.1514000000用科学计数法表示正确的是 【 】

图① Q P B A A Q B P C

图②

A .6101514?

B .81015.14?

C .9101.514?

D .10101.514?

【解析】C 本题可直接按照科学计数法的定义来解题,10(110,n a a n ?≤<为整数)

(2)验证法:由题设找出合适的验证条件,再通过验证,找出正确答案,亦可将供选择的答案代入条件中去验证,找出正确答案,此法称为验证法(也称代入法).当遇到定量命题时,常用此法.

(08江西)下列四个点,在反比例函数6y x

=图象上的是( ) A .(1,-6) B .(2,4) C .(3,-2) D .(-6,-1)

【解析】D 直接采用代入验证的方法即可.

(3)特殊元素法:用合适的特殊元素(如数或图形)代入题设条件或结

论中去,从而获得解答.这种方法叫特殊元素法.

如图,在△ABC 中,AB =AC =4,P 是BC 上异于BC 的一点,求AP 2+BP ·PC

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的值 .

【解析】16 因为点P 在BC 上的位置不便,所以可以考虑点P 在点B 的

特殊情况,那么AP =4,则原式AP 2+BP ·PC =AP 2=16

(4)排除、筛选法:对于正确答案有且只有一个的选择题,根据数学知识或推理、演算,把不正确的结论排除,余下的结论再经筛选,从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法. (07甘肃)已知120k <

=的函数图象大致是( )

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【解析】D 此题可以通过排除的方法做出来,比如由10k <可得1y k x =过二、四象限,从而排除A、B两项,同时由20k >可以得出2k y x

=过一三象限,从而排除C