高中数学演绎推理

演绎推理

教学目标：

（1）知识与能力：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式

（2）过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系

（3）情感态度价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言

之有理论证有据的习惯。

教学重点：演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系 教学难点：演绎推理的应用

教具：导学案、课件

教学方法：自学指导法

教学设计

一、导入新课

现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。

被人们称为世界屋脊的西藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆郎玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小。谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢？

科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。

二、讲授新课（学生阅读课本，找到定义）

1．演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。

2．演绎推理的一般模式

分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋推理过程：

鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里……大前提 在喜马拉雅山上发现它们的化石……小前提

喜马拉雅山曾经是海洋……结论

三段论（1）大前提……已知的一般原理

（2）小前提……所研究的特殊情况

（3）结论……根据一般原理，对特殊情况作出的判断

3．练习把下列推理写成三段论的形式

（1）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行；

（2）在一个标准大气压下，水的沸点是100°C ，所以在一个标准大气压下把水加热到100°C 时，水会沸腾；

（3）一切奇数都不能被2整除，)12(100+是奇数，所以)12(100+不能被2整除；

（4）三角函数都是周期函数，αtan 是三角函数，因此αtan 是周期函数；

（6）两条直线平行，同旁内角互补。如果∠A 与∠B 是两条平行

直线的同旁内角，那么∠A+∠B=180°；

M A B

三、例题讲评：

例1．如图所示，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 为垂足，

求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等。

证明：(1)因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，…………大前提

在△ABD 中，AD ⊥BC ，∠ADB ＝90?,………………………小前提

所以△ABD 是直角三角形. ……………………………………结论

同理，△AEB 也是直角三角形

(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，…………………大前提

而M 是Rt △ABD 斜边AB 的中点，DM 是斜边上的中线，………小前提

所以DM ＝AB 2

1，……………………………………………………结论 同理，EM ＝AB 2

1. 所以DM ＝EM 评注：“三段论”可以表示为

大前题：M 是P 小前提：S 是M 结论：S 是P 。

用集合论的观点分析：若集合M 中的所有元素都具有性质P ，S 是M 的一个子集，那么S 中所

有元素也都具有性质P 。

例2、证明函数f(x)=－x 2+2x 在(－∞,1]上是增函数。

分析：大前题：增函数的定义。小前提：f(x)在(－∞,1]上满足定义

学生 板演证明过程。

练习：分析下面几个推理是否正确，说明为什么？

(1) 因为指数函数x a y =是增函数， (2) 因为无理数是无限小数

而x y )2

1(=是指数函数 而π是无限小数 所以x y )2

1(=是增函数 所以π是无理数 （3）因为无理数是无限小数，而31(=0.333……)是无限小数，所以3

1是无理数 说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。

比较：合情推理与演绎推理的区别与联系

从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。

从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色

就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。

四、练习（自己动手练习巩固，寻找不足当堂解决）

1．用三段论证明：通项公式为)0(≠=cq cq a n n 的数列{}n a 为等比数列。

2．用三段论证明：若梯形的两个腰和一个底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角。

五、小结：

1．俗话说，打鱼人识不完鱼，庄稼人识不完草。认识事物的任务十分艰巨，把握规律的道路分外漫长。我们不能事事去亲知，事事去实验。但是我们运用这种演绎方法，你就能以一知十，以近知远，以少知多。演绎推理还使人们产生新的创意或新的发现。如一种被称为“铜草”的植物，是铜矿的“指示剂”，因为它们之间相互依存、相伴而生。发现生长良好的“铜草”，往往就能找到铜矿。

2．演绎方法是一种重要的认识工具，也是科学发现的有用方法。我们面前，一个无限广阔的世界正等待我们去认识，等待着我们去利用，去改造。 许多发明和发现就是运用这一方法得到的，浮法制造玻璃是根据液体自由流平的原理演绎而来，钢笔主要是根据毛细管原理演绎而来等等。

六、作业：

1．用三段论证明：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，则∠B=∠C 。

2．写出三角形内角和定理的证明，并指出每步推理的大前题和小前题。

3．设实数0>a ，且函数)12()1()(2a

x x a x f +-+=有最小值—1， （1）求a 的值；

（2）设数列{}n a 的前n 项和)(n f S n =，令n

a a a

b n n 242+++= ， 证明数列{}n b 是等差数列。