数列放缩技巧(正式版)
数列放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩
例1.(1)求
∑=-n
k k
1
2
1
42
的值; (2)求证:
2
1153n
k k
=<∑. 解析:(1)因为121
121)12)(12(2142
2+-
-=+-=-n n n n n ,所以12212111
4212+=+-=-∑=n n n k n
k (2)因为2221141
1214121214
n n n n n ??<==- ?--+??-
, 所以3532112112151
3121112=+
+-+<∑=n n k
n
k 技巧积累:(1)2221441
124412121n n n n n ??=<=- ?--+??
(2)
12
11211
(1)(1)(1)(1)
n n C C n n n n n n n +==-+--+ (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<
=+r r
r r r r n r n r n n C T r r r
n r (4)2
5
)1(123112111)11(<-++?+?++<+
n n n n (5)
n
n n n 2
1
121)12(21--=- (6) n n n -+<+22
1
(7))1(21)1(2--<<
-+n n n
n n
(8) n n n
n n n n 2)32(12)12(12
13211221?+-?+=???? ??+-+- (9)
???
??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10)
!
)1(1
!1!)1(+-=+n n n n
(11)2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+<
n n n n n n n
(12) )2(1
21
121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n
(13)
1
11)1(1)1(1)1)(1(1112
3
--+????? ??+--=+-<
?=
n n n n n n n n n n
n n
1
1
1121
1111
1+-
-<-++?
???
??
+--=n n n n n n n (14) 3
212132122)12(332)13(222
1
n
n n n
n
n
n
n
n <-?>-?>-?>?-=?=+
(15) !
)2(1
!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k
(16)
)2(1)
1(1
≥--<+n n n n n
(17)
11
1)
11)((112
2
2
22
222<++
++=
++
+--=
-+-+j i j i j i j i j i j i j i
例2.(1)求证:)2()12(2167)
12(1513112
22≥-->-++++
n n n (2)求证:
n n
41
2141361161412-<++++ (3)求证:
1122642)12(531642531423121-+
n (4) 求证：)112(213
12
11)11(2-+<+
++
+
<-+n n
n
解析:(1)因为
??
?
??+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,
所以 )121
31(211)12131(211)
12(112
--+>+-+>-∑=n n i n
i (2))1
11(41)1211(414136116141222n n
n -+<+++=++++
(3)先运用分式放缩法证明出1
212642)
12(531+<
????-????n n
n ,再结合
n n n -+<+22
1进行
裂项,最后就可以得到答案
(4)首先
n n n n n
++=
-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到
n
n 13
1
2
11)11(2+
++
+<-+
再证
2
12121
21222)1212(21-++
=
-++=
--+ 而由均值不等式 知道这是显然成立的，所以)112(213 12 11-+<+ ++ + n n 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析:一方面:因为 ??? ??+--=-= - <121121 2144 4111 2 22n n n n n ,所以 3532112112151 3121112 =+ n k 另一方面:1 111)1(143132111914112+=+-=+++?+?+>++++ n n n n n n 当3≥n 时, ) 12)(1(61++> +n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ , 当2=n 时, 21 91411)12)(1(6n n n n ++++<++ ,所以综上有 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列 {}n a 满足1 01a <<.1()n n a f a +=.设 1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b -≥ .证明:1 k a b +>. 解析:由数学归纳法可以证明 {}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否 则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤ 0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+- =-=k m m m k k k k a a a a a a a 1 11ln ln , 因为 )ln (ln 11 b a k a a k m m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111 例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈ + 321,1,,, 求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n . 解析:首先可以证明:nx x n +≥+ 1)1( ∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1 111 1 1 1 1 1 ])1([01 ) 2() 1()1( 所以要证 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证: 1 1 11111111 1 1 111 [(1) ](1)(1)1(1)(1)2[(1)] n n m m m m m m m m m m k k n m m k k k m k n n n n n k k +++++++++==++=--<+<+-=+-+--+ +-=+-∑∑∑ 故只要证 ∑∑∑=++==++-+<+<--n k m m n k m n k m m k k k m k k 1 111 1 1 1 ])1[()1(]) 1([,即等价于 m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(, 即等价于11)1 1(11,)11(11++-<+-+<++ m m k k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,n n n a a a T +++= 212,求证:2 3321<++++n T T T T . 解析:)21(2)14(3 421)21(241)41(4)222(44442 1 3 2 1 n n n n n n n T -+-=-----= +++-++++= 所以11 1111222244442(41)2(12)222333333232432222(2)321 n n n n n n n n n n n n n n n n T ++++++===-+--+-+-?==? -?+?-?+ ?? ? ??---=--??=+12112123)12)(122(2231 n n n n n 从而2 3121121713 13 11231321 ?? ? ?---++-+-=+++++n n n T T T T 例7.已知11 =x ,?? ?∈=-∈-==) ,2(1) ,12(Z k k n n Z k k n n x n , 求证: *))(11(21 1 1 4 1 224 5 44 32N n n x x x x x x n n ∈-+>+ +?+ ?+ 证明: n n n n n n x x n n 222141 141 ) 12)(12(1 1 4 2 4 2 4 4 1 22= ?= > -= +-= +,因为 12++ )1(21 2 221 4 1 22n n n n n x x n n -+=++> > + 所以 *))(11(21 1 1 4 1 224 5 44 3 2N n n x x x x x x n n ∈-+> + +?+ ?+ 二、函数放缩 例8.求证：)(6 6 5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ . 解析:先构造函数有x x x x x 11ln 1ln -≤?-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++ 因为 ??? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 311212 1 9181716151413121313121 65333 23279189936365111n n n n n =???? ??+?++??? ??++??? ??++>--- 所以66 53651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n n 例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n α αααααα 解析:构造函数x x x f ln )(=,得到22 ln ln n n n n ≤αα ,再进行裂项)1(1111ln 2 22 +-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案 函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n 例10.求证: n n n 1 211)1ln(113121+++<+<++++ 解析:提示:2ln 1 ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=??-?+=+ n n n n n n n n n 所以有2ln 2 1 <,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1-- 1 3121+<++++n n 另一方面?-> n i n ABDE x S 1,从而有)ln(ln |ln 1 1i n n x x i i n n i n n i n --==>?---?取1=i 有, )1ln(ln 1 1 -->-n n n , 所以有n n 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 例11.求证:e n <+??++ )! 1 1()!311)(!211( 和e n < +??++)311()8111)(911(2 . 解析:构造函数后即可证明 例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++???+??+n e n n 解析:1 )1(3 2]1)1(ln[++- >++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 例13.证明:)1*,(4 ) 1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到: 1 2111)('--= --= x x x x f ,令0)('>x f 有21< 所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以 2 1 1ln -≤ +n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 例14. 已知112111,(1).2n n n a a a n n +==+ ++证明2 n a e <. 解析: n n n n n a n n a n n a )21)1(11(2 1))1(11(1+++<+++ =+,然后两边取自然对数,可以得 到n n n a n n a ln )2 1 )1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)放缩思路： ?+++ ≤+n n n a n n a )2 111(21?++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21n n n n a 211ln 2+++≤。于是n n n n n a a 211ln ln 21++≤-+，.221122 11)21 (111ln ln )211()ln (ln 1121 1 111<--=- -+-≤-?++≤---=+-=∑∑n n n i n i i i n i n n a a i i a a 即.2ln ln 2 1e a a a n n （0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当 然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n 来放缩： ?-+-+≤+) 1(1))1(11(1n n a n n a n n ?+-+≤++)1)()1(11(11 n n a n n a .) 1(1 ))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+ ≤+-++n n n n a a n n 11 1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21 2 11 2 <-<+-+?-<+-+?∑ ∑-=+-=n a a i i a a n n i i i n i ， 即.133ln 1)1ln(2e e a a n n <- 例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >?在0>x 上恒成 立. (I)求证：函数),0() ()(+∞=在x x f x g 上是增函数； (II)当)()()(:,0,0212121 x x f x f x f x x +<+>>证明时； (III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立， 求证： ).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*2 2 222222N n n n n n n ∈++> ++++++ 解析:(I)0) ()(')('2 >-= x x f x x f x g ,所以函数),0()()(+∞=在x x f x g 上是增函数 (II)因为),0() ()(+∞= 在x x f x g 上是增函数,所以 )()()()(212 11 1212111x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ 12 2212122x x f x x x x f x x x x f x x f +?+ (3) )()()()(212111212111n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ n n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++?+++ )()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++ 所以)ln()(ln ln ln ln 2121332211n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++ 令2 )1(1n x n +=,有 ? ??++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21n n ???? ??++++????? ??+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n ???? ? ?+++?+?????? ??++++ =?? ? ??+-??? ?? +- ).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*2 2 222222N n n n n n n ∈++> ++++++ (方法二)?? ? ??+-+=++≥+++>++2111 4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(222n n n n n n n n n 所以 )2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 212 2222222+=? ? ? ??+->++++++n n n n n 又1 114ln +>>n , 所以 ).()2)(1(2)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21*2 2 222222N n n n n n n ∈++> ++++++ 例16.(2008年福州市质检)已知函数.ln )(x x x f =若).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明 解析:设函数()()(),(0)g x f x f k x k = +-> . 2 021,0)(,ln 1)ln(1ln )(.0),ln()(ln )(, ln )(k x k x k k x x k x x g x k x x k x x g k x x k x k x x x g x x x f <--?>->'-=---+='<<∴--+=∴=则有令 ∴函数k k x g ,2 [)(在）上单调递增，在]2 , 0(k 上单调递减. ∴)(x g 的最小值为)2 (k g ，即总有 ).2()(k g x g ≥ 而,2ln )()2ln (ln 2 ln )2()2()2(k k f k k k k k k f k f k g -=-==-+= ,2ln )()(k k f x g -≥∴ 即 .2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+ 令,,b x k a x =-=则.b a k += .2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴ ).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴ 例17. ⑴设函数 )10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； ⑵设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明 n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log ． 解析:对函数)(x f 求导数：])1(log )1[()log ()(22'--+'='x x x x x f .2 ln 1 2ln 1)1(log log 22-+ --=x x ).1(log log 22x x --=于是.0)21(='f 当221 ,()log log (1)0,()2 x f x x x f x '<=--<时在区间)21,0(是减函数， 当221 ,()log log (1)0,()2x f x x x f x '>=-->时在区间)1,2 1(是增函数. 所以21)(= x x f 在时取得最小值，1)2 1 (-=f ， （Ⅱ）证法一：用数学归纳法证明. （i ）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立. （ii ）假定当k n =时命题成立，即若正数1,,,221221=+++k k p p p p p p 满足， 则 .log log log 222222121k p p p p p p k k -≥+++ 当1+=k n 时，若正数,1,,,1 1 221221=+++++k k p p p p p p 满足令.,,,,22 2211221x p q x p q x p q p p p x k k k ===+++= 则k q q q 221,,, 为正数，且.1221=+++k q q q 由归纳假定知.log log log 22222212 1k q q p p p q k k -≥+++ k k k k q q q q q q x p p p p p p 222222121222222121log log log (log log log +++=+++ ,l o g )()l o g 22x x k x x +-≥+ ① 同理，由x p p p k k k -=++++++1122212 可得 1122212212log log ++++++k k k k p p p p ).1(log )1())(1(2x x k x --+--≥ ② 综合①、②两式 11222222121log log log +++++k k p p p p p p ).1()1(log )1(log ))](1([22+-≥--++--+≥k x x x x k x x 即当1+=k n 时命题也成立. 根据（i ）、（ii ）可知对一切正整数n 命题成立. 证法二： 令函数那么常数)),,0(,0)((log )(log ) (22c x c x c x c x x x g ∈>--+= ],log )1(log )1(log [)(222c c x c x c x c x c x g +--+= 利用（Ⅰ）知，当1(),().22 x c x g x c ==即时函数取得最小值 对任意都有,0,021 >>x x 2 log 22log log 2 12 21222121x x x x x x x x ++?≥+]1)()[log (21221-++=x x x x . ① 下面用数学归纳法证明结论. （i ）当n=1时，由（I ）知命题成立. （ii ）设当n=k 时命题成立，即若正数 有满足,1,,,221221=+++k k p p p p p p 111111 12122222212122212122222212122log log log . 1,,, , 1. log log log log k k k k k k k k p p p p p p k n k p p p p p p H p p p p p p p p ++++++--++ +≥-=+++ +==++ ++当时满足令 由①得到 11111112212221221212212()[log ()1]()[log ()1], ()()1, k k k k k k H p p p p p p p p p p p p ++++++---≥++-++++-++ ++=因为 由归纳法假设 11 11 1221 2221 2 212 ()l o g ()()l o g (),k k k k p p p p p p p p k ++++-- +++++ +≥-得到 1112212()(1).k k H k p p p p k +++≥--++ ++=-+ 即当1+=k n 时命题也成立. 所以对一切正整数n 命题成立. 例18. 设关于x 的方程012=--mx x 有两个实根βα,，且βα<，定义函数.1 2)(2 +-= x m x x f 若μλ,为正实数，证明不等式：|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f . 解析:12)(2+-= x m x x f 2 22222)1()1(2)1(2)2()1(2)(+--- =+?--+='∴x mx x x x m x x x f 当0))(,(1,),(2 <-=--∈βαβαx x mx x x 时0)(>'∴x f ),()(βα在x f ∴上为增函数β αμλ<∈+且R , 0)()(>+-=++-+=-++∴ μ λαβμμλαμλμβλααμλμβλα, )()(<+-=++-+=-++μ λβαλμλβμλμβλαβμλμβλαβμλμβλα<++<∴a 由可知)()( )(βμλμβλαf f a f <++<同理可得)()()(βμ λμβ λαf f a f <++< )()()()( )()(αβμ λλβ μαμλμβλαβαf f f f f f -<++-++<-∴ |)()(||)()( |βαμλλβμαμλμβλαf f f f -<++-++∴又由（Ⅰ）知1,1 )(,1)(-===αββ βααf f |||||11| |)()(|βααβα βββα-=-=-=-∴a f f 所以|||)()(|βαμ λλβμαμλμβλα-<++-++f f 三、分式放缩 姐妹不等式: )0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++< m b a m a m b a b 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:12)1 21 1()511)(311)(11(+>-+ +++n n 和1 21)211()611)(411)(211(+< +---n n 也可以表示成为 12) 12(5312642+>-???????n n n 和 1 212642)12(531+ 解析: 利用假分数的一个性质 )0,0(>>>++>m a b m a m b a b 可得 >-??122563412n n =+??n n 2126 74523 )12(212654321+?-??n n n ? 12)1 22563412(2 +>-??n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n 例20.证明:.13)2 31 1()711)(41 1)(11(3+>-++++n n 解析: 运用两次次分式放缩: 1 338956.232313784512-????>--????n n n n (加1) n n n n 31 391067.342313784512+? ???>--???? (加2) 相乘,可以得到: )13(1323875421131381057.24231378 45122 +?--????=-+? ???>?? ? ??--????n n n n n n n 所以有.13)2 31 1()711)(41 1)(11(3+>-+ +++n n 四、分类放缩 例21.求证:2 12131211n n >-++++ 解析: +++++++++>-++++ )2 1212121()4141(211121312113333n 2)211(221)212121( n n n n n n n >-+=-+++ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n A 与曲线 x y 2=（x ≥0）上的点列{}n B 满足n OB OA n n 1==，直线n n B A 在x 轴上的截距为n a .点n B 的横坐标 为n b ,* ∈N n . (1)证明n a >1+n a >4，*∈N n ; (2)证明有*∈N n 0，使得对0n n >?都有 n n n n b b b b b b b b 1123 12+-++++ <2008-n . 解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ??> ??? ，由1n OB n =得： 2*212,1,n n n b b b n N n += ∴=∈,又直线n n A B 在x 轴上的截距为n a 满足 ( )()11000n n a b n n ???-=--? ??? ? n a 2222 1 210,2n n n n n b n b b n b =->+= ( 22 11212n n n n n b a b n b n b +∴===+- 1n a 显然，对于1101 n n >>+，有*14,n n a a n N +>>∈ (2)证明：设*1 1,n n n b c n N b +=- ∈，则 ( ) ()() 2 2222 11121121 2121n c n n n n n n n ?= =- +??? ?++ => ++ ? ()()() 2 *1 212210,,2 n n n n n c n N n ++-+=>∴> ∈+ 设*12,n n S c c c n N =++ +∈，则当() *221k n k N =->∈时， 2311111111 11 1 34 2123421 221 2n k k k k S -??????>++ + +=++++ +++ ? ? ?-++?????? 21231111 22222 22 k k k -->? +?++? =。 所以，取4009 022n =-，对0n n ?>都有： 200821 4017111012312=->>=???? ? ?-++???? ??-+???? ??-+n n n n S S b b b b b b 故有 n n n n b b b b b b b b 1123 12+-++++ <2008-n 成立。 例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域为[－1，0]， 值域也为[－1，0].若数列}{n b 满足)()(* 3N n n n f b n ∈=，记数列}{n b 的前n 项和为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A T n <？并证明你的结论。 解析:首先求出x x x f 2)(2 +=,∵n n n n n n f b n 1 2)(323>+== ∴n b b b b T n n 1 31211321++++>++++= , ∵21412413 1 =?>+ ,218148 1 716151=?>+++,… 2121221221121 111=?>++++ +---k k k k k ,故当k n 2>时,12 +>k T n , 因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数，则当2 22->m n 时,必有A m m T n >=+-> 12 2 2. 故不存在常数A 使A T n <对所有2≥n 的正整数恒成立. 例24.(2008年中学教学参考)设不等式组?? ? ??+-≤>>n nx y y x 3,0,0表示的平面区域为n D ,设n D 内整数坐标点的个数 为n a .设n n n n a a a S 22 1 1 11+ ++ = ++ ,当2≥n 时,求证:3611711112321+≥++++n a a a a n . 解析:容易得到n a n 3=,所以,要证 36 11 711112321+≥ ++++n a a a a n 只要证1211 721312112+≥++++ =n S n n ,因为n n n n S 21221121()81716151()4131(211112 ++++++++++++++=-- 12 11 7)1(12723211121222+= -+≥+++++=-n n T T T n ,所以原命题得证. 五、迭代放缩 例25. 已知1,1 4 11=++= +x x x x n n n ,求证:当2≥n 时,n n i i x -=-≤-∑11 22|2| 解析:通过迭代的方法得到1 212-≤ -n n x ,然后相加就可以得到结论 例26. 设n n n S 2!sin 2!2sin 2!1sin 21+++= ,求证:对任意的正整数k ,若k ≥n 恒有:|S n+k －S n |<1 n 解析: |2)sin(2)!2sin(2)!1sin(|||21k n n n n k n k n n n S S ++++++++++=- k n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2 1 2121|2)s i n (||2)!2sin(||2)!1sin(| 2121 n k n k n 2 1)2 11(2 1)2 12 12 1(2 12<-?=+++= 又n C C C n n n n n n >+++=+= 10)11(2 所以n S S n n k n 121||<< -+ 六、借助数列递推关系 例27.求证:1222642) 12(531642531423121-+ n 解析: 设n n a n 2642) 12(531????-????= 则 n n n n n a na a n a n n a +=+?++= ++2)1(2) 1(21 211,从而n n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可 以得到12 21)22(13 21)1(22)1(21121-+? +<-+? +<-+=++++n n n n a a n a a a n n 所以 1222642)12(531642531423121-+ n 例28. 求证: 1122642) 12(531642531423121-+ n 解析: 设n n a n 2642) 12(531????-????= 则 111)12(]1)1(2[) 1(21 2+++++=++?++= n n n n n a a n a n a n n a ,从而 n n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到 1122 3 1 21)12(3)12(1121-+<- +? +<-+=++++n n n a a n a a a n n 例29. 若1,111+=?=+n a a a n n ,求证: )11(211121-+≥+++n a a a n 解析: n n n n n n n a a a a a n a a -=? +?=+=?+++++21 112112 所以就有 21221 111211211 21-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n 七、分类讨论 例30.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数4m >，有 45 11178 m a a a +++ < 解析:容易得到[] .)1(23 212 ---+= n n n a , 由于通项中含有n )1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当3≥n 且n 为奇数时1 2222223)121121(23112 13 21 2121--++?=-++=+-------+n n n n n n n n n a a )2 121(23222231 23212 -----+?=+? +++m a a a 1 1154 )11()11(11654m m a a a a a +++++- .878321)2 11(412321)212121(23214243=+<-??+=++++<--m m ②当4>m 且m 为奇数时 <+++m a a a 1 1154 1541111+++++m m a a a a （添项放缩）由①知 .8 7 1111154<+++++m m a a a a 由①②得证。 八、线性规划型放缩 例31. 设函数221 ()2 x f x x += +.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。 解析:由22 221(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-=+知1(())((1)1)02f x f +-≤ 即 1()1 2 f x -≤≤ 由此再由()f x 的单调性可以知道()f x 的最小值为1 2 - ，最大值为1 因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，133233 a b a b ?-≤-+≤???-≤+≤? 即a ，b 满足约束条件3,3 11 3,322 a b a b a b a b +≥-+≤?? ?-+≥--+≤??， 由线性规划得，a b -的最大值为 5． 九、均值不等式放缩 例32.设(n S n n =++求证.2 )1(2)1(2+<<+n S n n n 解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k =+=2 121)1(+=++<+ 11 1()2n n n k k k S k ==∴<<+∑∑，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a a b +≤ ，若放成 1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2 1 +>++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 211111 1++≤++≤ ≤++ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 例33.已知函数1()12bx f x a = +?，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为2 1 ，求证：.2 1 21)()2()1(1 -+ >++++n n n f f f 解析: )221 1()()1()0(2 2114111414)(?->++?≠?->+-=+=n f f x x f x x x x .21 2 1)21211(41)2211()2211(1 12-+=+++-=?-++?-++-n n n n n 例34.已知b a ,为正数，且 111=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1 222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 解析: 由111=+b a 得 b a ab +=，又42)1 1 )((≥++=++a b b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而 n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(， 令 n n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =11 11----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ，因为 i n n i n C C -=，倒序相加得 )(2n f =)()()(111 111b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r n r r r n r n n n n -------+++++++ ， 而12 1 1 1 1 2422+------=?≥≥+==+==+n n n n n n r n r r r n n n b a b a ab b a b a ab b a ， 则)(2n f =))(22())((1 1r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ? -≥)22(n 12+n ， 所以 )(n f ?-≥)22(n n 2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a . 例35.求证),1(2 2 1321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- 解析: 不等式左=++++n n n n n C C C C 321 12222112-++++=-n n n n n 1 2 2221-?????> =2 1 2 -?n n ，原结论成立. 例36.已知x x e e x f -+=)(,求证:2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 解析:11)1()1()()(2 12 11221212211 21+>?+++=+?+=?++x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e x f x f 经过倒序相乘,就可以得到2 1 )1()()3()2()1(n n e n f f f f +>????+ 例37.已知x x x f 1)(+ =,求证:n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? 解析:2)12(2)12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k 其中:n k 2,,3,2,1 =,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+?≥--=--+? 所以22)121 12)(1 (+≥-++ -++n k n k n k k 从而n n n f f f f 22 )22()]2()3()2()1([+>???? , 所以 n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>???? . 例38.若7>k ,求证:2 31121111>-++++++=nk n n n S n . 解析:)111()3121()2111()111 (2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+= 因为当0,0>>y x 时,xy y x xy y x 211,2≥+ ≥+, 所以4)1 1)((≥+ +y x y x ,所以y x y x +≥ +411,当且仅当y x =时取到等号. 所以1 ) 1(414324214142-+-= -+++-+++-+++-+>nk n k n nk n nk n nk n nk n S n 所以231421)1(211)1(2>+-=+->-+-> k k k n k k S n 所以23 1121111>-++++++=nk n n n S n 例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证:16 )1()0(2 a f f ≤?. 解析:16 )]1()][1([)1()0(2 22112 a x x x x a f f ≤--=?. 例40.已知函数f (x )=x 2－(－1)k ·2ln x (k ∈N*).k 是奇数, n ∈N*时,求证: [f’(x )]n －2n － 1·f’(x n )≥2n (2n －2). 解析: 由已知得)0(2 2)(>+ ='x x x x f ， (1)当n =1时，左式=22 (2)(2)0x x x x +-+=右式=0.∴不等式成立. (2)2n ≥, 左式=)22(2)22()(2)]([11n n n n n n n x x x x x f x f +?-+='?-'-- ).11(22 14 2422 1------++++=n n n n n n n n n n n x C x C x C x C 令1224 2 1 4 2 11n n n n n n n n n n S C x C x C C x x ------=++ ++ 由倒序相加法得： )1()1()1(222 1 4 4 22 21 -------++++++ =n n n n n n n n n n x x C x x C x x C S )22(2)(21 21-=+++≥-n n n n n C C C ， 所以).22(-≥n S 所以.)22(2)(2)]([1成立-≥'?-'-n n n n n x f x f 综上，当k 是奇数，N n + ∈时，命题成立 例41. （2007年东北三校）已知函数 )1()(>-=a x a x f x （1）求函数)(x f 的最小值，并求最小值小于0时的a 取值范围； （2）令)1()2()1()('1 ' 2 ' 1 -+++=-n f C f C f C n S n n n n 求证：)2 ()22()('n f n S n ?-> ''''min min 1 (1)()ln 1,()0,ln 1,,1log ln ,()0,ln log ln ,()(,log ln )log ln ,)()1ln ln 1ln ln (log ln ),()0,0,ln ln 1,ln ln ln x x x a a a a a f x a a f x a a a a x a f x a x a f x a a f x a a f a f x a a a a =->>∴> >∴>-<<--∞--+∞=++-=<<<-∴<由即：又同理：有所以在上递减，在（上递增；所以若即则1 1 ,1e a e a e ∴<<的取值范围是 12 2111221112 1 112 2211'2 2 (2)()(ln 1)(ln 1)(ln 1) ()ln () 1[()()()]ln (22)2 (22)ln (22)(22)(ln 1)(22)(n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n S n C a a C a a C a a C a C a C a a C C C C a a C a a C a a a n a a a a f ---------=-+-++-=++ +-++ += ++++++- -≥--- =--=-),2 所以不等式成立。 例42. (2008年江西高考试题)已知函数()f x =+()0x ,∈+ ∞. 对任意正数 a ,证明：()1 2f x < <． 解析:对任意给定的0a >,0x >,由() f x = + , 若令 8 b ax = ，则 8abx =① ,而 ()f x =++② （一）、先证()1f x >；因为1 1x >+1 1a >+11b >+， 又由 28a b x +++≥= ，得 6a b x ++≥． 所以()111 111f x x a b = >+++++ 32()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++= +++9()()(1)(1)(1) a b x ab ax bx x a b ++++++≥+++ 1()()1(1)(1)(1) a b x ab ax bx abx x a b +++++++= =+++． （二）、再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02b <≤ （ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥，因为 1 <， 1 ≤<，此时()2f x = +<． （ⅱ）、当7a b +<③，由①得 ,8x ab = = 因为 22 211[1] 114(1)2(1) b b b b b b b <-+=-++++ 所以 12(1)b b <-+④ 1 2(1)a a <-+⑤ ，于是 ()12211a b f x a b ?<-+- ++?⑥ 今证明 11a b a b +>++, 因为 11a b a b +≥++ ， 只要证 (1)(1)8 a b a b a b a b > +++，即 8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得 ()2f x <．综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x < <． 例43.求证:21 3121111<++++++< n n n 解析:一方面: 14 2214131211312111=+>??? ??++≥++++++n n n 高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+ 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高得放缩技巧而充满思考性与挑战性,能全面而综合地考查学生得潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题得极好素材。这类问题得求解策略往往就是:通过多角度观察所给数列通项得结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: ⑴添加或舍去一些项,如:; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如:; ⑷二项式放缩:,, (5)利用常用结论: Ⅰ、得放缩 : Ⅱ、得放缩(1) : (程度大) Ⅲ、得放缩(2):(程度小) Ⅳ、得放缩(3):(程度更小) Ⅴ、分式放缩还可利用真(假)分数得性质:与 记忆口诀“小者小,大者大”。解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 Ⅵ、构造函数法构造单调函数实现放缩。例:,从而实现利用函数单调性质得放缩:。 一．先求与再放缩 例1、,前n项与为S n ,求证: 例2、 , 前n项与为S n ,求证: 二．先放缩再求与 (一)放缩后裂项相消 例3.数列,,其前项与为 ,求证: (二)放缩后转化为等比数列。 例4、满足: （1）用数学归纳法证明: （2）,求证: 三、裂项放缩 例5、(1)求得值; (2)求证:、 例6、(1)求证: (2)求证: (3)求证: 例7、求证: 例8、已知,,求证:、 四、分式放缩 姐妹不等式:与 记忆口诀”小者小,大者大” 解释:瞧b,若b小,则不等号就是小于号,反之亦然、 例9、姐妹不等式:与 也可以表示成为 与 例10、证明: 五、均值不等式放缩 例11、设求证 例12、已知函数,a>0,b>0,若,且在[0,1]上得最大值为, 求证: 六、二项式放缩 ,, 例13、设,求证、 例14、 , 试证明:、 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 常用放缩方法技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++ 1. 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n 求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 例2 已知函数bx a x f 211 )(?+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121 )()2()1(1-+ >++++n n n f f f 例3 求证),1(2 21321 N n n n C C C C n n n n n n ∈>?>++++- . 例4 已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1. 2．利用有用结论 例5 求证.12)1 211()511)(311)(11(+>-++++n n 例6 已知函数 .2,,10,)1(321lg )(≥∈≤x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1 12111,(1).2n n n a a a n n +==+++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥； )(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828 e ≈） 例8 已知不等式21111[log ],,2232 n n N n n *+++>∈>。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证.3,][log 222≥+ 放缩法在数列不等式中的应用 数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解 例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。 （Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。 （Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． （Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+． 故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立． 点评： 数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。 另外，熟悉一些常用的放缩方法， 如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = +-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 放缩技巧 （高考数学备考资料） 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n (15) 112 22 2+-+-+j i j i j i 高考数学数列放缩法技巧全汇总 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 351 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 42 2 +--=+-= -n n n n n ,所以122121114212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 111 2 22 n n n n n ,所以 353211211215 1 31211 1 2 = + -?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1 !)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) ) 2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 1 42 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k 技巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1) 1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+- =+n n n n >算数平均数可 证） 122a b +?>≥ (3)2n n ≥=> 易知恒成立，当 2)> ≥恒成立。 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n Λ (2)求证:n n 412141361161412 -<++++Λ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n ΛΛΛ (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n Λ (3)再结合 n n n -+<+22 1进行裂项,最后就可以得到答案 例3.求证: 3 5 191411)12)(1(62<++++≤++n n n n Λ 解析:一方面: 353211211215 1 31211 1 2 = + .. 2011 高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例 1.(1) n 2 的值 ; (2) 求证 : n 1 5 . 求 k 1 4k 2 1 k 1 k 2 3 解析 :(1) 因为 2 2 1 1 , 所以 n 2 1 1 2n 4n 2 1 (2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1 k 1 4k 2 1 2n 1 2 n 1 (2) 因为 1 1 4 1 1 , 所以 1 1 2 1 1 1 1 5 2 n 1 2 2 1 4 n 2 2n 1 2n 1 k 1 k 2 3 5 2n 1 2n 1 3 3 2 1 n n 4 奇巧积累 :(1) 1 4 4 2 1 1 (2) 1 2 1 1 n 2 4n 2 4n 2 2n 1 C n 1 1 C n 2 ( n 1)n( n 1) n( n 1) n(n 1) 1 2n 1 (3) T r 1 r 1 n! 1 1 1 1 1 (r 2) C n r!( n r )! n r r! r ( r 1) r 1 r n r (4) (1 1 ) n 1 1 1 1 1 1 5 n 2 3 2 n(n 1) 2 (5) 1 1 1 (6) 1 n 2 n 2 n (2 n 1) 2n 1 2 n n 2 (7) 2( n 1 n ) 1 2( n n 1) (8) 2 1 1 1 1 n 2 n 1 2n 3 2n (2 n 1) 2 n 1 (2n 3) 2n (9) 1 1 1 1 , 1 1 1 1 k (n 1 k) n 1 k k n 1 1 k ) k 1 n n 1 k n(n (10) n 1 1 (11) 1 2 2 2 (n 1) ! n ! (n 1) ! 2( 2n 1 2n 1) n 2n 1 2n 1 1 1 n n 2 2 (11) 2 n 2n 2 n 2n 1 1 1 (n 2 ) (2n 1)2 (2n 1)( 2n 1) (2 n 1)( 2 n 2) (2 n 1)(2n 1 1) 2n 1 1 2 n 1 (12) 1 1 1 1 1 1 n 3 n n 2 n (n 1)(n 1) n( n 1) n (n 1) n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 1 2 n n 1 n 1 (13) (14) 2 n 1 2 2n (3 1) 2n 3 3(2 n 1) 2n 2n 1 2n 1 2 n 3 2n 1 3 k 2 1 1 (15) 1 n n 1(n 2) k! (k 1)! (k 2)! (k 1) ! (k 2) ! n( n 1) (15) i 2 1 j 2 1 i 2 j 2 i j 1 i j (i j)( i 2 1 j 2 1) i 2 1 j 2 1 . .下载可编辑 . . 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:3511 2 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111 222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1) 1(1 ≥--<+n n n n n 放缩法技巧全总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:35112 <∑ =n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(2142 2+--=+-=-n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 111222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((112 2 2 22 222<++ ++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(21 67) 12(1513 112 22≥-->-+ +++n n n 压轴题放缩法技巧全总结 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址高考数学备考之 放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.求的值; 求证:. 解析:因为,所以 因为,所以 技巧积累: 例2.求证: 求证: 求证: 求证： 解析:因为,所以 先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的， 所以 例3.求证: 解析: 一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,, 所以综上有 例4.设函数.数列满足.. 设，整数.证明:. 解析: 由数学归纳法可以证明是递增数列, 故 若存在正整数,使,则, 若,则由知,, 因为,于是 例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证, 即等价于, 即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例7.已知,,求证: 证明: , 因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例8.求证：. 解析:先构造函数有,从而 cause 所以 例9.求证: 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例10.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例11.求证:和.解析:构造函数后即可证明 例12.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: 例13.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: “放缩法”技巧 例谈“放缩法”证明不等式的基本策略 近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性, 对它的运用往往能体现出创造性。“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对读者能有所帮助。 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知*21().n n a n N =-∈求证：*12231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的 值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 放缩法的应用技巧 放缩法证明数列不等式是高考数学命题的热点和难点。所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对不等式的局部进行合理的放大和缩小从而向结论转化，其难度在于放缩的合理和适度。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧从而充满思考性和挑战性。为了帮助更多的学生突破这一难点，我们从以下几个方面对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析。 一、常见的放缩方法 证题中经常用到的放缩方法法有： 1.“添舍”放缩：对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果； 2.分式放缩：分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果； 3.利用重要的不等式或结论放缩：把欲证不等式变形构造，然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩，例如均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等。 4.单调性放缩：挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数，利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩。 二、常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后，却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控，导致放缩的过大或过小，达不到欲证的目标。那么如何控制好放缩的尺度呢？ 例1．求证： 4 713121112222<++++n 分析1：不等式左边不能直接求和，我们希望通过合适的放缩后可以求和。 若采取“ )1(112-高中数列放缩法技巧大全
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