当前位置：文档库 › 高等数学第七章微分方程试题及答案

高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章常微分方程

一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式：

()()()()0≠=y Q y Q x P dx

通解()

()?

?+=C dx x P y Q dy

（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）

（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M

通解()()()()

C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M

2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程

??=x y f dx dy 令

u x

y =，则()u f dx du

x u dx dy =+= ()c x c x

u u f du +=+=-??

||ln

二．一阶线性方程及其推广

1．一阶线性齐次方程

()0=+y x P dx

dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx

x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程

()()x Q y x P dx

=+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx

x P e

x C y 代入方程求出()x C 则得

()()()[]

?+=??-C dx e

x Q e

y dx

x P dx

x P

3．伯努利方程

()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx

令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx

αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。

4．方程：

()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy

=+ 以y 为自变量，x

为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

四．线性微分方程解的性质与结构

我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的

线性微分方程。二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1）二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合

()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当

()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=

2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为

对应的二阶齐次线性方程的一个特解。

3．若()x y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()x y 为对应的二阶齐次线性

方程的任意特解，则()()x y x y +为此二阶非齐次线性方程的一个特解。 4．若y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而()()x y C x y C 2211+为对应的二

阶齐次线性方程的通解（1C ，2C 为独立的任意常数）则

()()()x y C x y C x y y 2211++=是此二阶非齐次线性方程的通解。

5．设()x y 1与()x y 2分别是()()()x f y x q y x p y 1=+'+''与 ()()()x f y x q y x p y 2=+'+''的特解，则()()x y x y 21+是 ()()()()x f x f y x q y x p y 21+=+'+''的特解。

五．二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1．二阶常系数齐次线性方程

0=+'+''qy y p y 其中p ，q 为常数，特征方程02=++q p λλ

特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式

（1）特征方程有两个不同的实根1λ，2λ则方程的通解为x x

e C e

C y 2121λλ+=

（2）特征方程有二重根21λλ= 则方程的通解为()x

x C C y 121λ+=

（3）特征方程有共轭复根βα

i ±，则方程的通解为()x C x C e y x sin cos 21ββα+=

2．n 阶常系数齐次线性方程

()()()012211=+'++++---y p y p y p y p y n n n n n 其中()n i p i ,,2,1 =为常数。相应的特征方程0 12211=+++++---n n n n n p p p p λλλλ 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。

（1）若特征方程有n 个不同的实根n λλλ,,, 21 则方程通解

x n x x n e C e C e C y λλλ+++= 2121

（2）若0λ为特征方程的k 重实根()n k ≤则方程通解中含有

y=()

k k e

x C x C C 0121λ-+++

（3）若βαi ±为特征方程的k 重共轭复根()n k ≤2，则方程通解中含有

()()[]

x x D x D D x x C x C C e k k k k x sin cos 121121ββα--+++++++

由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。

六、二阶常系数非齐次线性方程

方程：()x f qy y p y =+'+'' 其中q p ,为常数通解：()()x y C x y C y y 2211++=

其中()()x y C x y C 2211+为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y 如何求？ 1．()()x n e x P x f α=其中()x P n 为n 次多项式，α为实常数，（1）若α不是特征根，则令()x n e x R y α= （2）若α是特征方程单根，则令()x n e x xR y α= （3）若α是特征方程的重根，则令()x n e x R x y α2= 2．()()x e x P x f x n sin βα= 或 ()()x e x P x f x n cos βα= 其中()x P n 为n 次多项式，βα,皆为实常数

（1）若βαi ±不是特征根，则令()()[]x x T x x R e y n n x sin cos ββα+= （2）若βαi ±是特征根，则令()()[]x x T x x R xe y n n x sin cos ββα+=

例题：

一、齐次方程

1.求dx

xy dx dy x

y =+2

的通解解：10

)(2

2222-??

???

??=-==-+x y x y x xy y dx dy dx

dy xy x y 令1

-=+=u u dx du x u u x y 则 0)1(=-+du u x udx

??=+-1

1C x dx du u u ，1||ln C u xu =-，x y

u C ce y ce e xu =∴==+,1 2. 011=???? ??-+???

? ??+dy y x e dx e y x

x 解：y

y x e dy dx +????

??-=11，令yu x u y x ==,.(将y 看成自变量)

dy du y u dy dx +=, 所以 u u e

u e dy du y u +-=+1)1( u

u u u e e u u e e ue dy du y ++-

=-+-=11 y dy du e u e u u -=++1, y dy

e u e u d u u -=++)(, y y c e u u 1ln ln ln =-=???

? ??+ c e u y u

+=1, y x

u e y

c e u c y +=+=, c ye x y x

=???

??+. 二、一阶线形微分方程

1..1)0(,0)(==-+y dy x y ydx

解：可得??

???=-=-0)1(1

x y x

dy dx . 这是以y 为自变量的一阶线性方程解得 )ln (y c y x -=.

0)1(=x , 0=c . 所以得解 y y x ln -=.

2.求微分方程4

y x y

dx dy +=

的通解解：变形得：341

y x y

dy dx y y x dy dx =-+=即，是一阶线性方程

3)(,1

)(y y Q y

y P =-= Cy y C dy e y e

x dy y

dy y

+=???????

+=?-??4

313

三、伯努力方程6

'y x y xy =+

解：3

'x y

y xy =+--， 25

6x x

y y dx dy =+--，令,5u y =- ''56u y y =--, 25x x

u u =+'-，255

'x u x u -=-.

解得 )25(25-+=x c x u ，于是 35

5x cx y +=-

四、可降阶的高价微分方程

1.求)1ln()1(+='+''+x y y x 的通解

解：令p y p y '=''='则,,原方程化为)1ln()1(+=+'+x p p x

)1ln(11++=++

'x x p x p 属于一阶线性方程 ??

????+++=?+?+-?1111

1)1ln(C dx e x x e p dx x dx x

[]

1)1ln()1ln(11

++-+=+++=

?x C x C dx x x ?+?????

++-+=2111)1ln(C dx x C x y 212)1ln()(C x x C x +-++=

2.1)0(',2)0()'(''22===+y y y y y ，解：令dy dp p

y p y =='''，则，得到 y p dy

dp p =+22 令u p =2, 得到

y u dy

=+为关于y 的一阶线性方程. 1)]0('[)0(0

|22====y p x u

，解得 y ce y u -+-=1

所以 2)0(121)0(0

|1--+-=+-===ce ce y x u

y , 0=c .

于是 1-=y u , 1-±=y p

dx y dy

±=-1

, 112c x y +±=-, 2

211c x y +±=- 2)0(=y , 得到

=c , 得解 12

1+±

=-x y 五、二阶常系数齐次线形微分方程 1.0'''2'''2)4()

5(=+++++y y y y y y

解：特征方程 01222

=+++++λλλλλ 0)1)(1(22=++λλ，i i -==-=5,43,21,,1λλλ

于是得解 x x c c x x c c e c y x

c o s )(s i n )(54321++++=-

2.06'10''5)

4(=-+-y y y y

，14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====y y y y

解：特征方程 061052

4=-+-λλλ, 0)22)(3)(1(2=+-+-λλλλ

11=λ, 32-=λ, i ±=14,3λ

得通解为 )s i n c o s (43321x c x c e e c e c y x x x +++=- 由 14)0(''',6)0('',0)0(',1)0(-====y y y y

得到 211-

=c , 21

2=c , 13=c , 14=c 得特解 )s i n (c o s 2

1213x x e e

e y x x

x +++-=- 六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1.求x

e y y y 232=-'+''的通解

解：先求齐次方程的通解，特征方程为0322

=-+λλ，特征根为1,321=-=λλ。因此齐次方程通解为x x

e C e

C Y 231+=-

设非齐次方程的特解为1,=α由于y 为特征根，因此设x xAe y =,

代入原方程可得2

1=A ，故原方程的通解为x x

x xe e C e C y 21231++=-

2.求方程x y y y cos222=-'+''的通解

解：特征方程为022

=-+λλ，特征根为1,221=-=λλ，因此齐次方程的通解为x x

e C e

C Y 221+=-

设非齐次方程的特解为y ,由于题目中i i 2,2,0=+==βαβα不是特征根，因此设x B x A y 2sin 2cos +=，代入原方程可得

x x B A B x A B A 2cos 22sin )422(2cos )422(=---+-+- 226=+-B A ，026=--A B

解联立方程得101

,103=-=B A ，因此x x y 2sin 10

12cos 103__

-= 故原方程的通解为 x x e C e

C y x x

2sin 10

12cos 103221+-+=- 3.x x x y y cos 22sin 3''++=+

解：特征根为i ±=λ，齐次方程的通解为：x c x c y sin cos 21+=

x y y =+''，()x y c c x c c y =?==?+=??1,02121

x y y 2sin 3''=+，[]x c x c x c x c e x y x 2cos 2sin sin cos 21210+=+=?ββλ

待入原式得出：0,121=-=c c ，所以x y 2sin -=?

x y y cos 2''=+，[]x x c x c x c x c e x y x )sin cos (sin cos 21211+=+=?ββλ

待入原式得出：1,021==c c ，所以x x y sin =?

故原方程的通解为x x x x x c x c y sin 2sin sin cos 21+-++= 七、作变量代换后求方程的解 1.求微分方程2322

)1(1)(y dx

x y +=+-的通解解：令,tan ,tan v x u y == 原方程化为u vdv

udu v v u 3

2sec sec sec sec )tan (tan =- 化简为1)

sin(=-dv du v u 再令方程化为则,1,-=-=dv

du dv dz v u z z dv

dz z sin 1sin -=，???+=-+-+=-,sin 11)1(sin ,sin 1sin c v dz z z c dv dz z z

c v dz z

z z +=-++-?2sin 1sin 1，c v dz z z z +=++-?2cos sin 1 c v z z z +=++-sec tan 最后Z 再返回x,y,v 也返回x ,即可。

2.0)2

(0)sin()1(==+++'π

y y x y x ，

解：设1-=?

-=?=+dx

du dx dy x u y u y x c x u u x

dx u du u dx du x

ln ln cot csc ln sin 0sin +-=-?=?=+ ()()x

y x y x x c u u =++-?=

-sin cos 1cot csc ，因为20,2ππ=?==c y x

所以

()()x

y x y x 2sin cos 1π

=++-

122

sin 22sin '1x e

y x y y x ++=+

解：令y y u y u 2sin '',sin 2

==则. 得到

22'1x

e xu u x ++=+, 2

112'2

e u x

x u x +=

+为一阶线性方程

解得 |)1|ln (212

x x c e u x +++=+. 即 |)1|ln (sin 212

x x c e y x +++=+.

4.0)cos 1(cos sin ln '=-+y x y y x xy

解：令u y =cos , 则 y y u sin ''-=. 原方程化为0)1(ln '=-+-xu u x x u

u x x u u ln ln '2

+-, 为贝奴利方程，x u x x u u ln 11ln 1'2=?+-. 令u z 1=

, 则2''u u z -=. 方程化为 x

z x x z ln 1

ln 1'=+, 为一阶线性方程.

解得 x c x z ln )(+=. 即 x

x y ln cos 1+=, x y c x ln cos )(=+.

八、综合题

1.设f （x ）＝x x sin －

?-x

dt t f t x 0

)()(，其中f （x ）连续，求f （x ）

解：由表达式可知f （x ）是可导的，两边对x 求导，则得

()()?-+='x dt t f x x x x f 0

sin cos

再对两边关于x 求导，得 ())(cos 2sin x f x x x x f -+-=''

即 ()()x x x x f x f c o s 2s i n +-=+'' 属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解 x C x C y sin cos 21+=，

非齐次方程特解设()()x D Cx x x B Ax x y sin cos __

+++= 代入方程求出系数

A,B,C,D 则得x x x x y sin 4

cos 412__

，故f （x ）的一般表达式 x C x C x x x x x f sin cos sin 4

cos 41)(212+++=

由条件和导数表达式可知f （0）＝0，()00='f 可确定出0,021==C C 因此

x x x x x f sin 4

cos 41)(2+=

2.已知x

e xe y 21+=，x

e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解.

解：由线性微分方程的解的结构定理可得，

x e y y -=-31，x x e e y y --=-221，()()x e y y y y 22131=-+-

对应的齐次方程的解，由解x

-与x

2的形式，可得齐次方程为02=-'-''y y y .

设该方程为)(2x f y y y =-'-''，代入x x e xe y 21+=，得()()x

e x x

f 21-=.

所以，该方程为()x

e x y y y 212-=-'-''，其通解为x x x x

e xe e C e

C 2221+++-.

3.设在，其中)()(),()()(x g x f x g x f x F =),(+∞-∞内满足以下条件

e x g x

f f x f x

g x g x f 2)()(,0)0(),()(),()(=+=='='且

（1）求)(x F 所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出)(x F 的表达式

解：)(2)2()()(2)]()([)()()()()()()(2222x F e x g x f x g x f x f x g x g x f x g x f x F x -=-+=+='+'=' 可知)(x F 所满足的一阶微分方程为x

e x F x F 24)(2)(=+' （2）[][]

x x x x x

ce e c dx e e c dx e e

x F 22422dx 2244)(--??-+=+=+?=??

将10)0()0()0(-===c g f F 代入，可知于是

x x e e x F 22)(--=

4.设函数()x y y =在()+∞∞-,内具有二阶导数，且()y x x y =≠',0是()x y y =的

反函数（1）试将()y x x =所满足的微分方程()0sin 3

22=???

? ??++dy dx x y dy x

d 变换为()x y y =满足的微分方程；

（2）求变换后的微分方程满足初始条件()00=y ，()2

'y 的解。解：（1）由反函数导数公式知

y dy dx '=1 即1='dy

dx y ，两端关于x 求导得 ()022

2='+''y dy x d dy dx y ，所以()()

3222y y y y dy

dy x d '''-='''-=。代入原微分方程得x y y sin =-'' （*）

（2）方程（*）所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为x

x e C e C Y -+=21

设方程（*）的特解为__

y ＝A x cos + B x sin ，

代入方程（*）求得A ＝0，B ＝－21，故__

y ＝－2

x sin ，

从而x y y sin =-''的通解是x e C e C x y x

x sin 2

1)(21-+=-.

由()2

0,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ，

故所初值问题的解为x e e x y x

x sin 2

1)(--=-.

5.设(x)?是以2π为周期的连续函数，0)(20,(0)(x),(x)≠=='πφφ?φ （1）求微分方程

cosx (x)e ysinx dx

?=+的通解（2）以上这些解中，有没有以2π为周期的解？若有，求出，若无，说明理由。解：（1）先解对应的齐次方程：

x e c cos c cosx e y 0ysinx dx

?==?=++ ()()()()x e x c e x c dx

e x c y x x x sin cos cos cos -+'=?

=带入上式 ()()()()dx x x c x x c ?=?='??，因为()()dx x x ?=?='?φ?φ(x)(x)

()()()x x ce e x y c x x c cos cos +=?+=φφ

（2）若有以π2为周期的解，满足：()()02=-+x f x f π

()()()()[]()()[]()[]

c x e c x e

x f c x e x f x f x

x +-++=-++=-++φπφπφππcos cos 2cos 222

关键是看()x φ是否为周期函数：()()dx x x x

?=0

?φ

()()()00220

≠-=?φπφ?π

dx x ，()x φ不是周期函数，

所以没有π2为周期的解。

6.已知曲线y ＝f(x)（x>0）是微分方程2y //+y /-y=(4-6x)e -x 的一条积分曲线，此曲线通过原点，且在原点处的切线斜率为0，试求：（1）曲线y ＝f(x)到x 轴的最大距离。（2）计算?

+∞

)(dx x f

解：()1,2

0212132221212-==?=-+?-=-'+

''-λλλλx e x y y y 齐次方程通解为：x x e c e

c y -+=22

1，根据已知条件特解为：()x e bx a x Y -?+=

特解代入原式得：1,0==b a ，所以x

e x Y -?

=2，

所以通解为：x x x e x e c e

c y --++=222

1，由已知得：()()00,00='=f f

所以021==c c ，所以x

x y -=2

求()x f y =到x 轴的最大距离，即求y 的最大值。

()

22x x e y x -='-，当0='y 时，2,0==x x ，()()242,00-==e f f

()0lim lim 2

2===∞∞→-∞

→x x x

x e

x f 所以()x f y =到x 轴的最大距离为()2

42-=e f 。（2）

2202)(0

=+=?+-=-=???

+∞-∞

+∞--+∞

+∞

xdx e e

x de

x dx x f x

九、微分方程的几何和物理应用

1.设函数)0)((≥x x y 二阶可导，且,1)0(,0)(=>'y x f 过曲线)(x y y =上任意一点),(y x P 作该曲线的切线及x 轴的垂线，上述两直线与x 轴所围成的三角形的面

积记为,1S 区间[]x ,0上以)(x y y =为曲边的曲边梯形面积记为2S ，并设212S S -恒为1，求此曲线)(x y y =的方程。

解：)(x y y =在点),(y x P 的切线方程为：()()()x X x y x y Y -'=- 它与x 轴的交点为???

?'-

0,y y x ，由于()()10,0=>'y x y ，因此()0>x y 于是有y y y y x x y S '=???? ?

?'--=2212

1，又因为()dt t y S x ?=02，1221=-S S ()120

2=-'?dt t y y y x ，两边求导并化简得：()2

y y y '=' 解上述微分方程：设y p '=，则上述方程化为y

dy p dp p dy dp yp

=?=2 y C p 1=，即

211C x C e y y C dx

+=?=，根据()()0,110,1021==?='=C C y y 。所以曲线方程为：x

e y =

2.设曲线L 的极坐标方程为)(θr r =，),(θr M 为L 任一点，)0,2(0M 为L 上一定

点，若极径0OM ，OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0M M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。

解：因为θd r r dx y ds 2

221'+='+= ()θθθ

d r s 2

= 由已知可得：θθθd r r dr r ??'+=02

2022

121，两边对θ求导可得： 222r r r '+=，即θd r r dr r r r ±=-?

-±='1

2，设t r sec =，

1arcsin 1arcsin 12π

θ=?±=+-?+-=-?C C r C r r r dr

236csc 16sin =±???

??±=?=??? ??±y x r r θπθπ

3.有一在原点处与x 轴相切并在第一象限的光滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。

设曲线在原点与P 点之间的弧长为S 1，曲线在P 点处的切线在P 点与切线跟y 轴的交点之间的长度为S 2，且

123S S +=x x )

1(2+，求该曲线的方程。

解：设曲线方程为()x f y =，dx y S x

'+=

211

曲线在P 点的切线方程为：()x X y y Y -'=- 因此与y 轴的交点为：()x y y '-,0，因此2222y x x S '+=

因为2

123S S +=x x )1(2+，所以()x y x x y x ??? ??+'+=+?'+?022213112

两边求导得出：()y y x y '''+='+1212

，解方程得出：32

x y =

4.设函数()x f 在[)+∞,1上连续，若曲线()x f y =，直线1=x ，()1>=t t x 与x 轴围成平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积()()()[]

f t f t t V -=

，试求

()x f y =所满足的微分方程，并求9

=x y

的解. 解：由题意可知()()()()[]

=t f t f t dx x f t V 1

213

则()()()?

-=t f t f t dx x f 1

2213

，两边对t 求导，()()()t f t t tf t f '+=2223 ()()y x f t f x t ===,，得xy y y x 2322-='，??

??-??? ??=x y x y dx dy 232

令dx du x u dx dy xu y x y u +===

,,，()13-=u u dx

du x ，当时1,0≠≠u u ()x

u u du 31=- 两边积分后得31cx u u =-，方程通解为 y cx x y 3=-，再由9

=x y

，可得1-=c 3

1x x y +=∴ 5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数

0>K ，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r 的雪堆开始融化

的3小时内，融化了其体积的

，问雪堆全部融化需要多少小时。解：设雪堆在时刻t 的体积33

2r V π=，表面积为2

2r S π=。

由已知可得Ks dt dV -=， dr r dr r dV 222332

ππ=??= 2222r K dt dr r ππ?-=，于是C Kt r K dt

dr +-=?-=，由()00r r =

Kt r r -=0，又因为()()0813V V =，()303

03281332r K r ππ?=-，06

1r K =

t r r r 006

-=，雪球全部融化时，60=?=t r ，即雪球全部融化需要6小时。

6.有一房间容积为1003

m ，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为103

m /分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空

气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出10分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？

解：设t 时刻二氧化碳的浓度为x ，在时间间隔[]dt t t +,，浓度改变dx

dx xdt dt dx dt x dt 10010004.010010%04.010=-??=??-??

1010410010004.04

x dx dt x dx -=?-?=--，两边积分可得：

(

)

104

10410

4ln t

Ce x C t x ---+?=?+-=?-

因为441081012,0--?=??==C x t 所以%07.0,1010810410

44==??+?=---x t e

x t

7.有一容积为5003

m 的水池，原有1003

m 的清水，现在每分钟放进23

m 浓度为50%的某溶液，同时每分钟放出13

m 溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。解：设t 时刻溶液中溶质的量为x ，在时间间隔[]dt t t +,，质量改变dx

11001001%502=++?

=??? ?

+?-?t x dt dx dx dt t x ，这是一阶线性微分方程先解对应的齐次方程：t c x +=100，再解非齐次方程()t t c x +=100

()c

t t x c t t t c +++=?++=10010021100212

2 因为t t t x c x t ++=?=?==100

100

2100,02

，当水池充满时，

400,500100=?=+t t 分钟，溶液浓度为%48100

8.某湖泊的水量为V ，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6

，流入湖泊内不

含污染物A 的污水量为6V ，流出湖泊的水量为3

，已知1999年底中湖中A 的含

量为05m ，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000年初起，限制排入湖泊中

含A 污水的浓度不超过V

0，问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量才

可降至0m 以内。（设湖水中A 的浓度是均匀的）。

解：设从2000年初（令此时，0=t ）开始，第t 年湖泊中污染物A 的总量为()t m ，浓度为

，则在时间间隔[]dt t t +,上，排入湖泊中A 的量近似为

dr m dt V V m 6

600=?，，排出量为：dt m

dt V V m 33=?，则在时间间隔

[]dt t t +,上，

()t m 的改变量为：dt m m dm ???

??-=360，分离变量解方程：302t

Ce m m --=

代入初始条件()050m m =，029

m C -=，于是???

? ??+=-32912t e m m 令0m m =，3ln 6=t ，即至多需要经过3ln 6=t 年，湖泊中污染物A 的含量才可以降至0m 以内。

9.已知某车间的容积为63030?? 3

m ，其中的空气含%12.0的二氧化碳，现以含二氧化碳%04.0的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车

间空气中二氧化碳的含量不超过%06.0，（假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀，且以相同流量排出）。解：设每分钟应输入3

am ，t 时刻浓度为x ，在时间间隔[]dt t t +,，浓度改变dx

()()dx dt ax a dx dt ax a 540010463030%04.04=-?????=-?-

()

C dt a x dt a x

dx ax a dt dx +-=?-?=-??-?=---??5400104ln 540010454001044

44 dt a

x 5400

4104-

-+?=，因为44

10810

12,0--?=??==C x t

t a e

x 5400

108104---?+?=，当34

25010

6,30m a x t ≥??≤=-

10.有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ?绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min /33

m 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min /2

m π的速率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体）.

(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ?之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ?=的方程.

解：液面的面积将以min /2

m π的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：

t ππ+22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y ?之间的关

系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为3t ，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可. (1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，则由题设知此时液面的面积为t y πππ?+=4)(2

, 从而 .4)(2

-=y t ?

(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(0

22-==?

y t du u y

??π

上式两边对y 求导，得 )()(6)(2y y y ??π?'=，即 ).(6)(y y ?π?'=

解此微分方程，得

Ce y 6)(π

?=，其中C 为任意常数，

由2)0(=?知C=2，故所求曲线方程为：.26y

e x π

高等数学第七章微分方程习题

第七章微分方程与差分方程习题7－1（A ） 1．说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2．下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：点横坐标的平方。处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题：平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。速度成反比（比例系数同时阻力与，成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'

(完整版)高等数学微分方程试题

第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是。三、选择题 1．下列方程中是常微分方程（A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ）、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中是二阶微分方程（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是其中c.c 1.c 2均为任意常数（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

高数公式大全(全)

高数公式大全 1.基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

高等数学微分方程

第十二章微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程（） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（） A.可分离变量的微分方程一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。

高等数学微分方程试题及答案.docx

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p，即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1

高等数学微分方程练习题

(一)微分方程的基本概念微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶线性微分方程、微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、

(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确

高等数学第九章微分方程试题及答案

第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程

第五章高等数学(理专) 微分方程试题库1

第五章微分方程试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是阶微分方程. (2)通过点)1,1(处，且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2．选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（）. A.1； B.2； C.3； D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（）. A.y xy x y +=d d ； B. y x y xy sin e d d =； C. 2d d y xy x y +=； D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（）. A. 2d d y xy x y +=； B.x xy y =+''； C.x xy y =+'； D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为（）. A. x y e =； B. C y x +=e ； C. Cx y x +=e ； D. 21e C x C y x ++=.

高数第七章题库微分方程

第十二章微分方程答案一、选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为（ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为（ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为（ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程（1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式（1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =，则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。

高等数学——微分方程

第八章常微分方程一、本章学习要求与内容提要（一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为x m x P λe )(或x x P x m βαcos e )(，x x P x m βαsin e )(时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解. 6. 知道特殊的高阶微分方程（)()(x f y n =，),(y x f y '=''，),(y y f y '=''）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。难点一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题. （二）内容提要 ⒈ 微分方程的基本概念 ⑴ 微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. ⑵ 微分方程的阶、解与通解微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. ⑶ 初始条件与特解用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解. ⑷ 独立的任意常数 ①线性相关与线性无关设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k

高等数学微分方程试题汇编

第十二章微分方程 §2-1 微分方程的基本概念一、判断题 1. y=ce 2x （c 的任意常数）是y ' =2x 的特解。（） 2. y=（ y ）3是二阶微分方程。（） 3. 微分方程的通解包含了所有特解。（） 4. 若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5. 微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 _______________ 。 2. 函数y=3sinx-4cosx ___________ 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1 +c 2x)e 2x 中满足 y x=o =O, y" x=o =1的曲线是 _________________ 。三、选择题 1. _________________ 下列方程中是常微分方程 _2 _2 2 2 2 d arctan x 3 '3 2 2 (A )、x+y =a (B)、 y+——(e ) = 0 (C)、—2 +— =0 ( D )、y =x +y dx ex cy 2. _______________ 下列方程中是二阶微分方程 2 y 2 i-2 2 3 2 (A ) ( y ) +x +x =0 (B) ( y ) +3x y=x (C) y +3 y +y=0 (D) y -y =sinx (A ) y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c i coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程 y =3y 3的一个特解是 ______________ 3 3 3 3 (A ) y-=(x+2) (B)y=x +1 (C) y=(x+c) (D)y=c(x+1) 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 2 2 2x 3x 1. y =Cx C (其中C 为任意常数) 2.y =C i e C 2e (其中C-C ?为任意常数) 五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运 3.微分方程穿+w2y =0的通解是 ______ 中c.c i.c 2均为任意常数

高等数学微分方程练习题

高等数学微分方程练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

（一）微分方程的基本概念微分方程：含未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程. 微分方程的阶：微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数. 1.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确 2.不是一阶微分方程． A.正确 B.不正确一阶线性微分方程：未知函数及其导数都是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x += 称为一阶线性微分方程. 微分方程的解：如果一个函数代入微分方程后，方程两边恒等，则称此函数为微分方程的解. 通解：如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解. 特解：在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解，称为特解. 1.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 2.是微分方程的解． A.正确 B.不正确 3.是微分方程的通解． A.正确 B.不正确

4.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. （二）变量可分离的微分方程：()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法是：（1）分离变量：1221()()()() g y f x dy dx g y f x =；（2）两边积分：1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分，右边对x 积分，即可得微分方程通解. 1.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 2.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 3.微分方程的通解是（）． A. B. C. D. 4.微分方程的通解是（）．

高等数学基础班常微分方程

第六章常微分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。【大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。【考点分析】本章包括三个重点内容： 1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。 2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。 3．数学三要求掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法，了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，会用差分方程求解简单的经济应用问题。【考点一】形如()()y f x g y '=的一阶微分方程称为变量可分离微分方程。可分离变量的微分方程的解题程序：当()0,()()()() dy g y y f x g y f x dx g y '≠=?=时，然后左、右两端积分 (),()dy f x dx C g y =+? ?上式即为变量可分离微分方程的通解。其中，C 为任意常数，1()() dy g y g y ?表示函数的一个原函数，()f x dx ?表示函数()f x 的一个原函数. 【例1】若连续函数()f x 满足关系式()20ln 22x t f x f dt ??=+ ????，则()f x 等于（）（A ）ln 2.x e （B ）2ln 2.x e （C ）ln 2.x e +（D ）2ln 2.x e + 【例2】已知曲线()()10,,,2y f x x y ? ?=- ??? 过点且其上任一点处的切线斜率为

高等数学题库第06章(常微分方程)

第6章常微分方程习题一一、填空题： 1、微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为__________。 2、设某微分方程的通解为()x e x c c y 221+=，且00==x y ，10='=x y 则 ___________1=c ，_____________2=c 。 3、通解为x ce y =（c 为任意常数）的微分方程是___________。 4、满足条件()()=+?dx x f x f x 02的微分方程是__________。 5、 y y x 4='得通解为__________。 6、 1+=y dx dy 的满足初始条件()10=y 的特解为__________。 7、设()n c c c x y y ???=,,,21是微分方程12=+'-'''y y x y 的通解，则任意常数的个数__________=n 。 8、设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方程为___________ 。二、求下列微分方程满足初始条件的特解： 1、y y x y ln sin ='，e y x ==2π 2、()0sin 1cos =-+-ydy e ydx x ，40π==x y 3、y x e y -='2，00==x y 4、xdx y xdy y sin cos cos sin =，40π ==x y 三、求下列微分方程得通解： 1、122 2+='y y y x 2、2211y y x -='- 3、0ln =-'y y y x 4、 by ax e dx dy += 5、022=---'x y y y x 6、x y y dx dy x ln = 四、验证函数x e c x c y 21+=是微分方程()01=-'+''-y y x y x 的通解，并求满足初始条件1,100='-===x x y y 的特解。五、验证函数2 2x x y -=是微分方程x y y x =-''22的解。

高数知识汇总之微分方程.docx

第六章微分方程 6.1 微分方程的基本概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式称为微分方程。微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶。微分方程的通解：如果微分方程的解这中含有任意常数，且任意个不相关的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。微分方程的特解：在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。初始条件：用于确定通解中的任意常数而得到特解的条件称为初始条件。积分曲线：微分方程的特解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线。 6.2 一阶微分方程的求解方法 6.2.1分离变量法可分离变量的微分方程：形如dy f ( x) g ( y) 的微分方程，称为可分离变量的微分方程。dx 特点：等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个是只含有x 的函数，另一个是只含有y 的函数．解法：当 g( y)0 时，把dy f ( x) g( y) 分离变量为dy f ( x)dx, ( g ( y) 0) 对上式两边积dx g( y) 分，得通解为 dy f ( x)dx C g( y) （这里我们把积分常数 C 明确写出来，而把dy ， f ( x)dx 分别理解为 1 和f (x)的g( y)g( y) 一个确定的原函数。） 6.2.2齐次方程和可化为齐次方程的一阶方程不考。 6.2.3一阶线性微分方程一阶线性微分方程：如果一阶微分方程 F (x, y, y ) 0 可以写为 y p( x) y q( x) 则称之为一阶线性微分方程，

其中 p(x) 、 q(x) 为连续函数．当q( x)0 时，此方程为dy 0 ，称它为对应于 p(x) y dx 非齐次线性方程的齐次线性微分方程；当 q(x)0 时，称为非齐次线性微分方程。解法：用常数变易法可得其通解为： p( x) dx p( x) dx c) y e( q(x)e dx （注：其中每个积分，不再加任意常数C。）6.4可降阶的二阶微分方程 6.4.1不显含未知函数y 的二阶方程：y f ( x, y ) 解法：令 y p p( x) ，则 y dp dp ，方程变为 dx dx yp( x)dx ，即得通解。 6.4.2不显含自变量 x 的二阶方程 : y f ( y, y )解法：令 y= p = p( y) ，则y dp p ，方程变为p dp dy dy 解。f ( x, p) f ( y, p) ，解之得p ,再积分得，解之得p ,再积分得通 6.5二阶线性微分方程 6.5.1二阶线性微分方程的解的结构二阶线性微分方程：形如y p(x) y q( x) y f(x) 的方程,称为二阶线性微分方程。若 f ( x) 0，称之为二阶齐次线性微分方程；若 f ( x)0 ，称之为二阶非齐次线性微分方程。齐次线性方程解的叠加原理：如果函数 y1, y2是齐次方程y p( x) y q(x) y 0 的两个解,则y C1 y1C2 y2也是方程 y p(x) y q( x) y0的解 ,其中C ,C均为任意常数。 12 齐次线性方程的通解结构：如果函数 y1 ( x) , y2 (x) 是齐次方程y p(x) y q(x)y 0的两个线性无关解 ,则函数y C y C y C C y p( x) y q(x) y0

高数一试题库

南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站《高等数学一》课程复习题库一．选择题 1. 0sin 3lim x x x →=（） A.0 B. 1 3 C.1 D.3 2. 0sin lim 22x ax x →=，则a =（） A.2 B. 12 C.4 D. 1 4 3. 0sin 5sin 3lim x x x x →-?? ??? =（） A.0 B. 1 2 C.1 D.2 4. 极限0tan 3lim x x x →等于（） A 0 B 3 C 7 D 5 5.设()2,0 ,0x x x f x a x ?+<=?≥?，且()f x 在0x =处连续，则a =（） A.0 B. 1- C.1 D.2 6. 设()21,1 0,1ax x f x x ?+<=?≥?，且()f x 在1x =处连续，则a =（） A.1 B. 1- C.-2 D. 2 7. 设()2 1,02,0,0x x f x a x x x ???在0x =处连续，则a =（） A.1 B. 1- C.0 D. 12 8．设2cos y x =，则y '=（） A. 2sin x B. 2sin x - C. 22sin x x - D. 22sin x x

9. 设21y x -=+，则y '= （） A.32x - B.12x -- C.32x -- D.121x --+ 10．设5sin y x x -=+则y '=（） A ．65cos x x --+ B 45cos x x --+ C.45cos x x --- D.65cos x x --- 11. 设5 1 y x = ，则dy =（） A.45x - .B.45x dx -- C. 45x dx D.45x dx - 12. 设1cos 2,y x =-则dy =（） A ．sin 2xdx B sin 2xdx - C.2sin 2xdx D.2sin 2xdx - 13. 设() 2ln 1,y x =+则dy =（） A ． 21dx x + B 21dx x -+ C.221xdx x + D.2 21xdx x -+ 14. ()1 lim 1x x x →-=（） A. e B. 1e - C. 1e -- D. e - 15．()x x x 21 21lim +→ =（） A 0 B ∞ C e D 2e 16. 0 1lim 1x x x →?? += ??? （） A. e B. 1e - C.0 D. 1 17.226 lim 2 x x x x →+--=（）

高等数学微分方程试题及答案

(完整版)高等数学微分方程试题.doc

专业班级学号姓名成绩时间174 第十二章微分方程 §12-1 微分方程的基本概念一、判断题 1.y=ce 2 x (c 的任意常数 )是y =2x 的特解。( ) 2.y=( y ) 3是二阶微分方程。( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）二、填空题 1. 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。 2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2 x 中满足 y x=0=0, y x=0=1的曲线是。三、选择题 1．下列方程中是常微分方程（ A ）、 x2+y 2=a2 d (e arctan x ) 0 (C)、 2 a 2 a =0 （ D）、y =x 2+y 2 (B) 、 y+ 2 + 2 dx x y 2.下列方程中是二阶微分方程（ A ）（y）+x 2 y +x 2=0(B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y2=sinx d 2 y 2 1. 2 3.微分方程 dx2 +w y=0 的通解是其中 c.c c 均为任意常数（ A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 2 4. C 是任意常数，则微分方程y = 3y3 的一个特解是（ A ）y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 3 (D)y=c(x+1) 3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．y Cx2 C 2 （其中 C 为任意常数） 2. y C1e2 x C 2e3x （其中 C1 ,C2 为任意常数）五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

第三篇常微分方程第六章常微分方程函数是研究客观事物运动规律的重要工具，找出函数关系，在实践中有重要意义．但是在许多问题中，常常不能直接找出这种函数关系，但却能根据问题所处的环境，建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程，这样的方程称为微分方程．在本章中，主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法．第一节微分方程的概念下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念． 1．1 引例引例1 一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线斜率为x 2，求这条曲线方程．解设所求曲线方程为()y f x =，且曲线上任意一点的坐标为),(y x ．根据题意以及导数的几何意义得 x dx dy 2=. 两边同时积分得 2y x c =+ （c 为任意常数）．又因为曲线通过（1，2）点，把1x =，2y =代入上式，得1=c ．故所求曲线方程为 21y x =+．引例2 将温度为C ο100的物体放入温度为C ο0的介质中冷却，依照冷却定律，冷却的速度与温度T 成正比，求物体的温度T 与时间t 之间的函数关系．解依照冷却定律，冷却方程为 kt dt dT -= （k 为比例常数），所求函数关系满足0t =，100T =．以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系．下面我们介绍有关微分方程基本概念． 1.2 微分方程的基本概念

定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．在微分方程中，若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程．例如下列微分方程中，（1） 13=-'x y ；（2）sin 0dy y xdx +=；（3）21 ()20y y x '''+ += （4）22221u u x y ??+=??；（5）cos 3dy y x dx +=．都是微分方程，其中（1）、（2）、（3）、（5）是常微分方程，（4）是偏微分方程．本课程只讨论常微分方程．定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶．在上例中，（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程，（3）是二阶常微分方程．一般地，n 阶微分方程记为： 0) , , , ,()(='n y y y x F ．定义3 若将()y f x =代入微分方程中使之恒成立，则称()y f x =是微分方程的解（也称显式解）；若将0),(=y x ?代入微分方程中使之恒成立，则称关系式0),(=y x ?是微分方程的隐式解．定义4 微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．引例1中，积分后得到C x y +=2为微分方程的通解，由于通解中含有任意常数，所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性，必须确定这些常数，为此，要根据实际问题，提出确定通解中的常数的条件．设微分方程中未知函数)(x y y =，如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是 00 y y x x ==；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是00 y y x x ==，10 y y x x ='=，上述这些条件叫做初始条件．定义 5 求解微分方程),(y x f y ='满足初始条件00 y y x x ==的特解问题称为一阶微分方程的初值问题．记作 ?????=='=00 ) ,(y y y x f y x x ．例1 验证at c at c x sin cos 21+=是微分方程 02=+''x a x 的解．

高等数学第七章微分方程试题及答案

高等数学第七章微分方程习题

(完整版)高等数学微分方程试题

高数公式大全(全)

高等数学 微分方程

高等数学微分方程试题及答案.docx

高等数学微分方程练习题

高等数学第九章微分方程试题及答案

第五章 高等数学(理专) 微分方程试题库1

高数 第七章题库 微分方程

(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案

高等数学——微分方程

高等数学微分方程试题汇编

高等数学微分方程练习题

高等数学基础班常微分方程

高等数学题库第06章(常微分方程)

高数知识汇总之微分方程.docx

高数一试题库

高等数学微分方程试题及答案

(完整版)高等数学微分方程试题.doc

同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程

高等数学微分方程

第五章高等数学(理专) 微分方程试题库1

高数第七章题库微分方程