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专题03 随机变量的分布列、期望、方差(解析版)-备战2020高考数学——2019浙江高考数学试题探源与变式

专题三随机变量的分布列、期望、方差

【母题原题1】【2019浙江，7】设01a <<，则随机变量X 的分布列是：

则当a 在()0,1内增大时（） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小

C. ()D X 先增大后减小

D. ()D X 先减小后增大

【答案】D 【解析】

方法1：由分布列得1()3

E X +=

，则 2

111111211()01333333926a a a D X a a +++???????

?=-?+-?+-?=-+ ? ? ? ????????

?，则当a 在

(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.

方法2：则

()22222

1(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ??+-+??=-=++-==-+?? ???????

故选D.

【母题原题2】【2018浙江，7】设0

则当p 在（0，1）内增大时， A. D （ξ）减小 B. D （ξ）增大

C. D （ξ）先减小后增大

D. D （ξ）先增大后减小【答案】D 【解析】

，

，∴

先增后减,因此选D.

点睛：

【母题原题3】【2017浙江，8】已知随机变量i

ξ满足P （i

ξ=1）=p i ，P （i

ξ=0）=1—p i ，i=1，

2.若0

，则

A. ()1E ξ< ()2E ξ， ()1D ξ< ()2D ξ

B. ()1E ξ< ()2E ξ， ()1D ξ> ()2D ξ

C. ()1E ξ> ()2E ξ， ()1D ξ< ()2D ξ

D. ()1E ξ> ()2E ξ， ()1D ξ> ()2D ξ 【答案】A

【解析】∵()()1122,E p E p ξξ==，∴()()12E E ξξ<， ∵()()()()1112221,1D p p D p p ξξ=-=-，

∴()()()()12121210D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．

【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．

【命题意图】1.分布列的概念及其性质；2.考查期望、方差的关系及其计算公式；3.考查运算求解能力、分析与解决问题的能力.

【命题规律】离散型随机变量的均值与方差是高考的热点题型，前几年以解答题为主，常与排列、组合、概率等知识综合命题．以实际问题为背景考查离散型随机变量的均值与方差在实际问题中的应用，是高考的主要命题方向．近三年浙江卷略有淡化，难度有所降低，主要考查分布列的性质、数学期望、方差的计算，及二者之间的关系.同时，考查二次函数性质的应用，逐渐形成稳定趋势. 【答题模板】

求离散型随机变量均值、方差的步骤：

(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 的每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由公式求出()E X 、方差．【方法总结】

1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法

(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数a b ηξ=+的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；

(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解． 2. 六条性质

(1) ()E C C = (C 为常数)

(2) ()()E aX b aE X b +=+ (,a b 为常数) (3) ()()()1212E X X E X E X +=+

(4)如果12,X X 相互独立，则()()()1212E X X E X E X ?=? (5) ()()()()

D X

E X

E X =-

(6) ()()2

D aX b a D X +=

3. 均值与方差性质的应用若X 是随机变量，则()f X η=一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．

一、选择题

1．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】设01p <<，随机变量ξ的分布列是

则当p 在(0,1)内增大时（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大

【答案】A 【解析】

由题意得11()01212222

p p p

E ξ-=?

+?+?=-，所以当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减少； 221()[0(1[1(12222p p p D ξ=--?+--?22132

[2(1)]222

p p p p --++--?=

231

()242

p --

，所以当p 在(0,1)内增大时，()D ξ减少．故选：A ．

2.【浙江省浙南名校联盟2019届高三上学期期末】已知随机变量的分布列如下表：

其中.若的方差对所有

都成立，则( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】

由的分布列可得：的期望为，，

所以的方差

，

因为

所以当且仅当时，取最大值，

又对所有都成立，所以只需，解得，所以.

故选D

3.【浙江省嘉兴市2019届高三上期末】已知随机变量ξ的分布列如下，则E（ξ）的最大值是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

根据分布列的性质的到,所有的概率和为1,且每个概率都介于0和1之间，得到b-a=0,，根据公式得到化简得到，根据二次函数的性质得到函数最大值在轴处取，代入得到.

此时,经检验适合题意.

故答案为：B.

，随机变量ξ的分布列如下：

当 a 增大时，（）

A. E (ξ)增大， D (ξ)增大

B. E (ξ)减小， D (ξ)增大

C. E (ξ)增大， D (ξ)减小

D. E (ξ)减小， D (ξ)减小【答案】A

【解析】分析：由随机变量的分布列，推导出，从而当增大时，

增大；

，由

，得到当

增大时，

增大.

详解：由随机变量的分布列，得，∴当增大时，

增大；

，∵

，∴当增大时，

增大，故选A ．

5.【浙江省宁波市2019届高三上期末】已知是离散型随机变量，则下列结论错误的是( ) A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】在A 中，

，故A 正确；

在B 中，由数学期望的性质得，故B 正确；在C 中，由方差的性质得，故C 正确；

在D 中，，故D 错误．

故选D.

6．【2018年浙江省普通高等学校全国招生统一考试模拟】已知随机变量()1,2i ξ=的分布列如表所示：

若1212

023

p p <<

<<，则（） A. ()()()()1212,E E D D ξξξξ<< B. ()()()()1212,E E D D ξξξξ C. ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> D. ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> 【答案】D 【解析】

由题意得()24

233

i i i i E p p p ξ??=+-=- ???. ∵1212

023

p p <<

<< ∴()()12E E ξξ> ∵()()()()2221201233i i i i i i D E p E p E ξξξξ????????=

-+-+-- ?????????

∴()222

214122183333339i i i i i i i i D p p p p p p p ξ???????

?=-+-+-+=--+ ? ? ??????????

设()21839f x x x =--+，则()f x 在20,3??

???

上单调递减. ∵1212023

p p <<

<< ∴()()12D D ξξ> 故选D.

7．【2018年4月浙江省金华十校高考模拟】随机变量的分布列如下：

其中，，成等差数列，则

的最大值为（）

A. B. C. D. 【答案】A

【解析】因为，，成等差数列，

，

则

的最大值为 .

本题选择A 选项.

当增大时，（） A. 增大，增大 B. 减小，增大 C.

增大，

减小 D.

减小，

减小

【答案】B 【解析】由题意得，

，

，又∵

，∴故当增大时，

减小，

增大，故选B.

9．【2017年12月浙江省重点中学期末热身】已知随机变量ξ满足()1

P ξ==

， ()1P x ξ==， ()223P x ξ==

-，若2

x <<，则（） A. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而增大 B. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而增大 C. ()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小

D. ()E ξ随着x 的增大而增大， ()D ξ随着x 的增大而减小【答案】C

【解析】∵ 随机变量ξ满足()103P ξ==， ()1P x ξ==， ()2

P x ξ==- ∴()124

012333

E x x x ξ??=?+?+?-=- ??? ∴

()222

414421412012333333333D x x x x x x x x x ξ??????

?????????????

?=--?+--?+--?-=-+-?++ ? ? ? ? ? ? ?

??????

?????????????

??????? 2

1811139612x x x ?

?=--+=-++ ??

∵2

x <<

∴()E ξ随着x 的增大而减小， ()D ξ随着x 的增大而减小故选C 二、填空题

10．【2018届浙江省宁波市5月模拟】已知随机变量的分布列如下表：

若

，则

______；

______．

【答案】 0. . 【解析】由题得

所以.

解得a=0. 所以

故答案为：0，.

11．【浙江省2018年12月重点中学高三期末热身】已知随机变量的分布列为：

若，则__________；___________.

【答案】

【解析】

由分布列的性质以及期望公式可得，，

解得，，

，

故答案为.

12．【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二)】若随机变量的分布列如表所示：则______，____．

【答案】

【解析】

由题意可知：，解得（舍去）或

由方差计算性质得

(完整word版)高中数学解析几何大题精选

解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ．由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?．显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围．【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．

高三数学解析几何专题

专题四解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查．例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

2017年山东省高考数学试卷(理科)

2017年高考数学山东卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1、设函数24x y -=的定义域为A ，函数)1ln(x y -=的定义域为B ，则=B A （） A 、（1，2） B 、（1，2] C 、（－2，1） D 、[－2，1） 2、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则=a （） A 、1或－1 B 、7或7- C 、3- D 、3 3、已知命题p ：0>?x ，0)1ln(>+x ；命题q ：若b a >，则22b a >，下列命题为真命题的是（） A 、q p ∧ B 、q p ∧ C 、q p ∧ D 、q p ∧ 4、已知x 、y 满足约束条件?? ???≥+≤++≤+-0305303x y x y x ，则y x z 2+=的最大值是（） A 、0 B 、2 C 、5 D 、6 5、为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为a x b y +=，已知225101=∑=i i x ，160010 1=∑=i i y ，4=b ，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） A 、160 B 、163 C 、166 D 、170 6、执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的x 值为7，第二次输入的x 值为9，则第一次、第二次输出的a 值分别为（） A 、0，0 B 、1，1 C 、0，1 D 、1，0 7、若0>>b a ，且1=ab ，则下列不等式成立的是（） A 、)(log 212b a b b a a +<<+ B 、b a b a b a 1)(log 2 2+<+< C 、a b b a b a 2)(log 12<+<+ D 、a b b a b a 21)(log 2<+<+ 8、从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到在2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（） A 、185 B 、94 C 、95 D 、9 7