如何寻求解题的思路
如何寻求解题的思路
陕西洋县中学 （723300） 刘大鸣
数学教育使学生在掌握有关的基本概念，原理，法则的基础上，培养学生的数学思想方法与技巧，提高学生的解题能力。也就是说，要解决好“怎样解题”的问题。解题一般要经过三个步骤：一是审题；二是寻求解题途径，即解题思路；三是表达解法。如何寻求解题思路？
一 分析综合法
一般也可以形象地叫“两头凑”法，即从未知反推分析，寻求需知，再从已知综合推出可知，到某时的需知即为可知，解题思路就接通了。这种方法归纳为：转化结论，发展条件，寻找联系。
例1、已知tan()3tan α
βα+=，求()2sin 2sin 2sin 2βααβ--+的值。
【思路分析】：①发展条件，向未知靠近
tan()3tan αβα
+=sin()3sin cos()cos αβα
αβα
+?=
+sin()cos 3sin cos()
αβαααβ?+=+sin()cos sin cos()2sin cos()αβαααβααβ?+-+=+()sin 2cos sin βαβα?=+（向下变形的方向较为模糊，可
转化结论即以所求方向寻求需知） ② 转化“结论”：
()()2sin 2sin 2sin 22sin 2sin 2sin 2βααββααβ--+=--+????
()()2sin 22sin 2cos βαβα=-+-()2cos 2sin sin 2ββαβ=-+????……………（*）
③ 寻求联系：()()sin 2cos sin sin sin 2sin βαβαβαββ=+?=+-? ()2sin sin 2βαβ=+将此式代入（*）式，
则有()2sin 2sin 2sin 2β
ααβ--+=()()2cos sin 2sin 20βαβαβ+-+=????
注：分析综合法的实质是转化思想的一种具体应用，是知识活化的生动体现，也是探寻解题思路的总纲。 例2设0α
π<<，0βπ<<，且()3
cos cos cos 2
αβαβ+-+=
，求α、β的值。
【思路分析】：①转化结论由习题要求的结论是求α、β的值，按照常规分析应该建立关于α、β的二元方程组，但是所给的条件只有一个已知式，如何从已知条件中变出二元方程组只是解题的关键。
②
发
展
条
件
：
(
)3
c o s
c o s 2
αβαβ+
-+=2
3
2
c o s
2
2αβα
+
-???--=
???
2
12
c
o
s
2c o
2
2
2
2
αβ
α
βα
β
+
+-?-
+=
2
4c
o
s
22
αβα
+
+?-2
2
2c
o s
c o
s
2
2
2
αβ
αβ
α
β
+--
???-
+= ??
?
?两个非负数
的和为零
0s i n 02
10cos 2cos cos 02322122cos 22
αβ
αβαβαβαπαβπαββπαβαβαβ=?-??==<<=???????????+?
???+<<+-==????-=??+???=
??3
π
αβ?==
。
二、类比联想法：是一种“相似”思维方法，解决A 问题。寻找出类比对照物B ，找出A 、B 某种性质的相似性，仿照B 问题去解决A 问题，确定A 问题的解题方向。
例3、求函数
3sin 54cos 7
θθ+-的最大值和最小值。
【思路分析I 】：此题和2
121x x y y k --=相似，可以得出把所解习题转化为：在椭圆上求点，使它和点（7，-5）的连线的斜
率为最大和最小的问题。
从而的解法：y kx =把点（7，-5）
代入得：
57x -=
k ?
3sin 54cos 7θθ+≤-
故max 3sin 54cos 7θθ+??
?-?
?
min 3sin 54cos 7θθ+??
= ?-??。
【思路分析II 】：令3sin 5
4cos 73sin 54cos 7
t
t t θθθθ+=
?-=+-
()3sin 4cos 7575t t t θθθ??-=--?+=--(
)sin θ??+=
由()1sin 1
θ?-≤+≤可以解出t 的最大和最小值。
例4、解方程4
28160x
x x -++=。
【思路分析】：此题属于高次方程不易求解，我们希望能转换成一元二次方程，可以将x 看成常量，设数字“4”为未知元，由此原方程可以变为：
2424240x x x -?-+=由一元二次方程求根公式得：
244x x =
=±得到方程
2
40
x x +-=和
240x x -
+=（无实根）所以原方程实数解为x
三 数形结合法：是一种数形结合探求解题思路的方法。
例5、直线()1y a x =+和
()2
2
113
2
x y -+=椭圆相交被截得的线段长最大时a 等于（ ） A 、1；B 、-1；C 、2；D 、0。
【思路分析】：用代数方法，由直线和椭圆相交，可联立相对应方程，解方程组得
交点，再由两点距离公式可以求得距离d 的表达式，取最大时，得a 值运算复杂，可以画图由图定数。由图象观察知当a=0时直线()1y a x =+被椭圆所截得的
线段最
大，故选D 。
例6（94高考）若复数满足
2z i z i ++-=，那么1z i ++的最小
值是：
（ ）A 、
1；B C 、
2；D
【思路分析】：若用数形结合法求解，较为巧妙。由题设方程可以知道2z i z i ++-=是由图所示线段AB
的距离
而
1z i ++则表示点（-1，-i ）到线段AB 的距离，显然可以得到1z i ++的最小值为1，故选A 。
解题就是要把所给的问题进行转化、变通、划归，一般地，就是要把复杂问题转化为简单问题，最基本的问题，从而使
得问题得以解决。在解题中，要运用我们丰富的想象力，多角度的立体思维去提供有益的联系和想象，由联想得到猜想，使我们很快探求到解题的思路。完成解题的全过程。
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