2011年高考数学天津卷(理科)

2011年高考数学天津卷(理科) D

D ．311,,44????--?+∞ ???????

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法

从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人

数为___________

10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体

的体积为__________3m 11．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ?=?=?

（t 为参数），若斜率为1的 直线经过抛物线C 的的焦点，且与圆()2

224(0)x y r r -+=>相切，则r =________

12．如图已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线

上一点，且 2,::4:2:1.DF CF AF FB BE ===若CE 与圆相

切，则CE 的长为__________

13．已知集合{}1|349,|4,(0,)A x R x x B x R x t t t ??=∈++-≤=∈=+∈+∞????，则集合A B ?=________

14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数()tan(2),4

f x x π

=+， （Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期； （Ⅱ）设0,4πα??∈ ???

，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．

16．（本小题满分13分）

学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）

（Ⅰ）求在一次游戏中，

（i ）摸出3个白球的概率；

（ii ）获奖的概率；

（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X

17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，

H 是正方形11AA B B 的中心，122AA =，1C H ⊥平面11AA B B ，

且1 5.C H =

（Ⅰ）求异面直线与所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；

（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．

18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22

221x y a b

+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；

（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．

19．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2

f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 2ln 253

a -≤≤．

20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足： 1123(1)0,2n

n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．

（Ⅰ）求345,,a a a 的值； （Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；

（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++???+∈证明：4*17()6n

k k k S n N a =<∈∑．