分块矩阵技巧
分块矩阵在行列式计算中的应用(1)
矩阵与行列式的关系 矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1． 行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义 有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法． 定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ， 就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）． 注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数． 例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ， 其中
分块矩阵的应用论文
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义 矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素 （ 数） 一 样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ， 其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块 设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数， 定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为 设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵， 定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs
分块矩阵乘法的例子
分块矩阵乘法的例子 例 1 用分块法计算,AB 其中 00 51 2414 21,5 31001200 2 0-???? ? ?== ? ? ? ?-? ?? ? A B . 解 B A,如上分块， ???? ??=2221 1211 A A A A A ， ??? ? ??=2322 21 131211 B B B B B B B ， 其中 111221224 21(0,0),(5), ,,0 12????==== ? ?-?? ?? A A A A ()()()0,20,0,01,1342,51232221131211===??? ? ??-=???? ??=???? ??=B B B B B B ； 令==C AB ??? ? ??232221 131211 C C C C C C ，其中 =+=2112111111B A B A C )0()0)(5(51)00(=+??? ? ??， =+=2212121112B A B A C )00(()()()1002051342=+???? ??， =+=2312131113B A B A C )0()0)(5(01)00(=+???? ??-， =+=2122112121B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ?????? ??-514)0(21511024， =+=2222122122B A B A C ???? ??-=???? ??+???? ?????? ??-332014)20(2113421024， =+=2322132123B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ??-???? ??-04)0(21011024.
矩阵的分块及应用
矩阵的分块及应用 武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩
阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is
并行计算-实验二-矩阵乘法的OpenMP实现及性能分析
深圳大学 实验报告 课程名称：并行计算 实验名称：矩阵乘法的OpenMP实现及性能分析姓名： 学号： 班级： 实验日期：2011年10月21日、11月4日
一. 实验目的 1) 用OpenMP 实现最基本的数值算法“矩阵乘法” 2) 掌握for 编译制导语句 3) 对并行程序进行简单的性能 二. 实验环境 1) 硬件环境：32核CPU 、32G 存计算机； 2) 软件环境：Linux 、Win2003、GCC 、MPICH 、VS2008； 4) Windows 登录方式：通过远程桌面连接192.168.150.197，用户名和初始密码都是自己的学号。 三. 实验容 1. 用OpenMP 编写两个n 阶的方阵a 和b 的相乘程序，结果存放在方阵c 中，其中乘法用for 编译制导语句实现并行化操作，并调节for 编译制导中schedule 的参数，使得执行时间最短，写出代码。 方阵a 和b 的初始值如下： ????????? ? ??????????-++++=12,...,2,1,..2,...,5,4,31,...,4,3,2,...,3,2,1n n n n n n n a ???????? ? ???????????= 1,...,1,1,1..1,...,1,1,11,...,1,1,11,..., 1,1,1b 输入： 方阵的阶n 、并行域的线程数 输出： c 中所有元素之和、程序的执行时间 提示： a,b,c 的元素定义为int 型，c 中所有元素之各定义为long long 型。 Windows 计时: 用
浅谈分块矩阵的性质及应用
浅谈分块矩阵的性质及应用 摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知 逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。 关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换 On the nature of block matrix and its application Abstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言： 矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。 1.预备知识： 分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。 分块矩阵的运算：
1.2.1分块矩阵的加法： 设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有 A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ，1111n m mn B B B B B ?? ?= ? ??? K M O M L 其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A B A B ++?? ? ? ?++?? K M O M L 1.2.2分块矩阵与数的乘法： A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ,1111n m mn A A A A A λλλλλ?? ? = ? ??? K M O M L 1.2.3设A 为m l ?矩阵，B 为l n ?矩阵，分块成 1111111 1 t r s st t tr A A B B A B A A B B ???? ? ?== ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么 1111 r s sr C C AB C C ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中1 t ij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r) 1.2.4设1111 t s st A A A A A ?? ? = ? ???K M O M L ，则1111T T t T T T s st A A A A A ?? ?= ? ?? ? K M O M L 2. 分块矩阵的性质及应用： 分块矩阵的性质： 设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即
并行计算矩阵分块乘法
目录 一、题目及要求 (1) 1、题目 (1) 2、要求 (1) 二、设计算法、算法原理 (1) 三、算法描述、设计流程 (2) 3.1算法描述 (2) 3.2设计流程 (4) 四、源程序代码及运行结果 (6) 1、超立方 (6) 1.1超立方的源程序代码 (6) 1.2运行结果 (11) 2、网孔连接 (11) 2.1源程序代码 (11) 2.2运行结果 (18) 3、在数学软件中的计算结果 (19) 五、算法分析、优缺点 (19) 1、简单的并行分块乘法的过程为 (19) 2、使用Cannon算法时的算法分析 (20) 3、算法的优缺点 (21) 六、总结 (22) 参考文献 (23)
一、题目及要求 1、题目 简单并行分块乘法：（1）情形1: 超立方连接；（2）情形2：二维环绕网孔连接 已知,177511195310135411274329,7563895712314 2120143321 ?????? ? ??----=??????? ??----=B A 求B A C ?=。 2、要求 （1）题目分析、查阅与题目相关的资料； （2）设计算法； （3）算法实现、代码编写； （4）结果分析和性能分析与改进； （5）论文撰写、答辩； 二、设计算法、算法原理 要考虑的计算问题是C=AB,其中A 与B 分别是n n ?矩阵。 ①A 、B 和C 分成p p p ?=的方块阵ij A ,ij B 和ij C ,大小均为p n p n ? ，p 个处理器编号为1 ,1, (1) 0,....,0,0---p p p p p p , ij P 存放ij A ,ij B 和ij C 。 ②通讯:每行处理器进行A 矩阵块的多到多播送(得到ik A , k=0~1-p ) 每列处理器进行B 矩阵块的多到多播送(得到kj B , k=0~ 1-p ) ③乘-加运算: ij P 做kj p k ik ij B A C ∑-== 1
分块矩阵的若干应用
分块矩阵的若干应用 摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式. 关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩
Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix. Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank
目录 1 引言 (4) 2 分块矩阵的应用 (4) 2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4) 2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6) 2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10) 2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11) 结论 (13) 参考文献 (14) 致谢 (15)
1 引言 矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1 .分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩 阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果. 矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用. 2 分块矩阵的应用 行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法. 2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式 各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推 法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以?22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ?? = ???,则 （1） 当A 为r 阶可逆矩阵时, 1 A B W A D C A B C D -==-;
分块矩阵的初等变换及应用_百度文库.
十．研究创新题 解： 1.分块矩阵的初等变换 分块矩阵的初等变换与初等矩阵 吴云在1997年8月的《工科数学》上的《分块矩阵的初等变换》一文中提到定义1分块矩阵的行(列初等变换是指: （1）交换两行(列的位置; （2）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘该行(列的一个阶左(右保秩因子Ｈ; （3）第ｉ行(列的各个元素分别左乘(右乘一个阶矩阵Ｋ后加到第ｊ行. 定义2 对应于分块矩阵的初等分块矩阵是指: （1）= 或=
（2）=或= 其中Ｈ为第ｉ行(列的一个左(右保秩因子； (1 = (2 或= 初等分块矩阵与通常的初等矩阵类似,但由于矩阵乘法不满足交换律,故需要分为左、右两种.直接验算可得: 定理1(1交换的第ｉ行与第ｊ行,相当于左乘一个ｍ阶初等分块矩阵,其中中的元素为ｈ(i阶单位矩阵,为ｈ(j阶单位矩阵, 当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｈ(ｒ阶单位矩阵;交换的第ｉ列与第ｊ列相当于右乘一个ｎ阶初等分块矩阵,其中为ｌ(i阶单位矩阵,为ｌ(j阶单位矩阵,当ｒ≠ｉ且ｒ≠ｊ时,为ｌ(ｒ阶单位矩阵；
(2 的第ｉ行的每一个元素左乘一个矩阵Ｈ相当于左乘一个ｍ阶分块矩阵 中Ｈ为ｈ(ｉ阶方阵; 的第ｉ列的每一个元素右乘一个矩阵Ｈ,相当于 右乘一个ｎ阶初等到变换矩阵,其中Ｈ为ｌ(ｉ阶方阵； (3 的第ｊ行的每个元素分别左乘一个ｈ(ｉ×ｈ(ｊ矩阵Ｋ后加到第ｉ行,相当 于左乘一个初等分块矩阵;第ｊ列的每一个元素分别右乘ｌ(ｊ×ｌ(ｉ矩阵Ｋ后加到第ｉ列,相当于右乘. 定理2设Ａ为方阵,则分块矩阵施行第一种行初等变换后,对应的行列式为 , 其中 h(i,j=h(ih(j-l+h(i+l]+…+h(j[h(i+h(i+j+…+h(j-l], l(i,j=l(ih(j-l+l(i+l]+…+l(j[l(i+l(i+j+…+l(j-l], 施行第二种初等变换后,对应的行列式为|Ｈ|·|Ａ|;施行第三种初等变换后,对应的行列式的值不变. 证明: ,显然成立. 下证,所在的第1行逐次与它相邻的行交换,移至前,共进行ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1次交换两行,第2行逐次与它相邻的行交换,移至前,同样进行相同次交换两行,依此类推,把所在的行移至所在的行前,共进行 ｈ(ｉ[ｈ(ｉ-1+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,然后把移至适当的位置,同理共进行ｈ(ｊ[ｈ(ｉ+ｈ(ｉ+1+…+ｈ(ｊ-1]次交换两行,所以交换两行的总次数为ｈ(ｉ,ｊ,故 ;同理. 所以有==(-1或==（-1） ==或= ==== 定理3 分块矩阵进行初等变换后,秩不变.
分块矩阵的应用论文
分块矩阵的应用 引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性 方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.
1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法 设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=， 其中ij A ，ij B 的级数相同， 则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘 设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法 设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置 设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换 分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其应用 【摘要】矩阵论是代数学中是一个重要的组成部分和主要的研究对象。而分块矩阵可以降低较高级数的矩阵级数，使矩阵的结构更加清晰，从而使矩阵的相关计算简化，并且可以证明一些与矩阵有关的问题。本文详细且全面论述了分块矩阵阵的概念、分块矩阵的运算和其初等变换，而且证明了矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵秩的问题，用分块矩阵求行列式问题，用分块矩阵求逆矩阵的问题,分块矩阵相似的问题。 【关键词】：分块矩阵；矩阵的秩；逆矩阵；行列式 目录 1引言 (2) 2矩阵分块的定义和性质 (2) 2.1 矩阵分块的定义 (2) 2.2 分块矩阵的运算 (2) 2.3 分块矩阵的初等变换 (3) 2.4 n阶准对角矩阵的性质 (3) 3分块矩阵在高等代数中的应用 (4) 3.1 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用 (4) 3.2 利用分块矩阵计算行列式 (7) 3.3 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 (11) 3.4 分块矩阵在解线性方程组方面的应用 (16) 4总结 (19) 参考文献 (20)
1 引言 矩阵是高等代数中的一个重要内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。在学习高等代数的时候常常碰到一些很难的问题，我们要经常用到矩阵的分块去解决，它可以使矩阵的结构更简单，从而使问题的解决更简明。比如当我们处理阶数较高或具有特殊结构的矩阵时，用处理一般低阶矩阵的方法，往往比较困难，为了研究问题的方便，也为了显示出矩阵中某些部分的特性，我们常把一个大型矩阵分成若干子块，把每个子块看作一个元素，从而构成一个分块矩阵，这是处理矩阵问题的重要技巧。利用矩阵的分块，可以把高阶矩阵划分成阶数较低的“块”，然后对这些以“块”为元素的矩阵施行矩阵的运算。本文就分块矩阵的加法、乘法、转置、初等变换等运算性质，及分块矩阵在证明矩阵相关秩的问题、矩阵求逆、行列式展开计算等方面的应用作了较为深入的研究。矩阵的分块能使矩阵的一些证明和计算变的非常简洁和快速，易于理解和掌握，而且能开拓思维，提高灵活应用知识解决问题的能力。
矩阵相乘并行算法
并行处理技术 课程设计分析报告 课程设计题目矩阵相乘并行算法设计姓名廖杰 学号M201372880 专业计算机技术 任课教师金海石宣化 所在学院计算机科学与技术学院报告提交日期2014-01-13
一、实验目的 1、学习使用集群； 2、掌握并行处理或分布计算的编程方法； 3、学会以并行处理的思想分析问题。 二、实验要求 1、自行生成矩阵作为算法的输入； 2、使用并行处理技术编程，例如：MPI、OpenMP、MR； 3、矩阵大小至少为1000*1000； 4、加速比越大成绩越高。 三、实验内容 3.1、矩阵的划分： 对于矩阵相乘的并行算法，可以有三种：对矩阵按行划分、按列划分和棋盘式分块划分。和按行或列划分相比，棋盘式划分可以开发出更高的并行度。对于一个n×n的方阵，棋盘划分最多可以使用n^2个处理器进行并行计算，但使用按行或列分解最多可以使用n个。对矩阵相乘采用棋盘式划分的算法通常称作Cannon算法。 A）行列划分 又叫带状划分（Striped Partitioning），就是将矩阵整行或者整列分成若干个组，每个组指派给一个处理器。下图所例为4个CPU，8×8矩阵的带状划分。
在带状划分情况下，每个CPU将会均匀分配到2行(列)数据。8×8矩阵变成了一个1×4或4×1的分块矩阵，每个CPU所属的分块矩阵大小为8×2或2×8。
B）棋盘划分 就是将矩阵分成若干个子矩阵，每个子矩阵指派给一个处理器，此时任一处理器均不包含整行或者整列。下图所示即为4个处理器情况下8×8矩阵的棋盘划分，其中处理器阵列为2×2，每个处理器分配到的子矩阵大小为4×4。 矩阵划分成棋盘状可以和处理器连成二维网孔相对应。对于一个n×n维矩阵和p×p的二维处理器阵列，每个处理器均匀分配有（n/p）×(n/p)=n^2/p^2个元素。使用棋盘式划分的矩阵相乘算法一般有两种，Cannon算法和Summa算法。SUMMA算法能够计算 m*l的A矩阵和l*n的B矩阵相乘（m、l、n可不相等），而cannon算法只能实现n*n 的A矩阵和n*n的B矩阵相乘，具有很大的局限性。 3.2、算法原理 A) 行划分法 假设是M*N，计算前，将矩阵N发送给所有从进程，然后将矩阵M分块，将M中数据按行分给各从进程，在从进程中计算M中部分行数据和N的乘积，最后将结果发送给主进程。这里为了方便，有多少进程，就将M分了多少块，除最后一块外的其他数据块大小都相等，最后一块是剩下的数据，大小大于等于其他数据块大小，因为矩阵行数不一定整除进程数。最后一块数据在主进程中计算，其他的在从进程中计算。 定义两个矩阵M和N，N所有进程都需要，M可以只在主进程中定义。其他的变量视主进程和从进程需要按要求定义在合适的位置。
分块矩阵及其应用汇总
分块矩阵及其应用 徐健,数学计算机科学学院 摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量， 而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix
分块矩阵的应用研究样本
1引言 在数学名词中，矩阵(英文名Matrix)是用来表示统计数据等 方面的各种有关联的数据?这个定义很好的解释了 Matrix 代码杲制 造世界的数学逻辑基础?数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所 构成的方阵?把它用在解线性方程组上既方便，又直观?例如对于方 程组 a }x+ b }y+ c }z = d } .. -?(1.1) a 2x + b 2y + c 2z = d? ?… ??…(1.2) a 3x + b 3y + c 3z = d -- ?? (13) 我们能够构成一个矩阵 5 4 q 4 a 2 b 2 c 2 d 2 ............ (1.4) 他 b 5 c 3〃3 因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，因此数学家们 称之为矩阵，经过矩阵的变化，就能够得出方程组的解来?数学上, —个〃皿矩阵乃一个加行“列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般 的，由某环中元素组成. 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多 学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在 实际生活中有许多问题都能够借用矩阵抽象出来逬行表述并进行 运算，如在各循环赛中常见的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对 矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多 的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩 阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有 —个新的矩阵处理工具，来使这些冋题得到更好的解决，矩阵分块 的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重 要的
一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构?本文即是经过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方 面的应用，以计算和证明两大方面为主. 在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下： (1)从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用? (2)分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多冋题都需 要它?借助分块矩阵的初等变换能够发现分块矩阵在计算行列式. 求逆矩阵及矩阵秩方廁的应用?如：设—［；:］是一个四分块〃阶矩阵，其中4、B、C、D分别是rxr, rx(n-r), (n-r)xr, (n-r)x (n-r) 阶矩阵，若A可逆,可证\M\ = \AD\-,另若D可逆,则可证得 |A/| = |D|-|Br)_1C . (3)经过绪论证明矩阵的分块在高等代数中的应用，包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵冋题，用分块矩阵求矩阵 行列式的问题，用分块矩阵求矩阵的秩的冋题，利用分块矩阵证明一个矩 阵是零矩阵的问题. 如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知矩阵秩(AB)S秩(A), 且秩(AB) S 秩(8)可证得秩(AB)< min {r(A), r(B)} ? (4)利用分块矩阵求高阶行列式.如设A、C都是〃阶矩阵，其中
矩阵相乘的并行算法的设计与实现
仲恺农业工程学院实验报告纸 计算机科学与工程学院（院、系）网络工程专业083 班组并行计算应用试验课 学号：200810224311 姓名：李志冬实验日期：2011-05-19 教师评定实验三矩阵相乘的并行算法的设计与实现 一、实验目的 理解和掌握矩阵相乘的并行算法的设计思想以及实现原理 二、实验内容 编译和运行一个两矩阵相乘算法的并行程序 三、实验步骤 1 使用vi编辑器输入并行计算的代码，保存在multi.c中 #include
dbsize, rows, averow,extra,offset, i,j,k, count; double a[NRA][NCA],b[NCA][NCB],c[NRA][NCB]; intsize = sizeof(int); dbsize = sizeof(double); MPI_Init(&argc,&argv); MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD,&taskid); MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD,&numtasks); numworkers = numtasks-1; if(taskid==MASTER) { printf("Number of worker tasks = %d\n",numworkers); for(i=0;i 第八讲 矩阵的分块法 一、矩阵的分块法 用处：（1）将高阶矩阵用低阶矩阵表示 （2）把每一小块看成元素一样按矩阵的运算来进行运算 （3）分块之后使得矩阵的一些运算简化 分块的标准：（1）能分出一些零子块 （2）能分出一些单位矩阵 （3）分成数量矩阵 二、分块矩阵的运算 简单解释一下即可，不做要求 三、分块对角矩阵 1、定义 2、对应的行列式的求法 3、逆矩阵的求法 例题1、设???? ? ??--=320210002A ，求A ，1-A 四、线性方程组的矩阵表示 1、一般表示 ?????=++=++m n mn m n n b x a x a b x a x a 1 111111 系数矩阵n m m m n a a a a A ?????? ??=11111 未知量矩阵???? ? ??=n x x X 1 常数项矩阵???? ? ??=m b b b 1 2、线性方程组的矩阵表示 将上面的方程组用矩阵表示： ???? ? ??=????? ??????? ??m n m m n b b x x a a a a 1111111 b AX = 例题：设?????=--=-+-=+-02212321 321321x x x x x x x x x ，写出矩阵表达式。 对角矩阵的行列式值和逆矩阵的求法要求必须会。 练习题 1、 求逆矩阵101210002A ?? ?= ? ??? 2、 求逆矩阵1200250000620032A ?? ? ?= ? ??? 3、求x 和y ，使2180341x y -??????+= ??? ?-?????? . 4、 求x ，y 和z ，使110101************x y z --?????? ??? ?-= ??? ? ??? ?-?????? 矩阵相乘并行实现 1、算法描述： 设有如下矩阵相乘： C=A×B 其中A，B分别是m×k和k×n矩阵，C是m×n矩阵。若处理器个数为p，且它们的编号依次是0,1，…,p-1,则设可将矩阵A、B、C分成p个大小为mxm的子 块，其中A=(Aij)m ×m ，B=(Bij)m ×m ，和C=(Cij)m ×m ，其中A?ij，Bij和Cij是n×n矩 阵。同时假设和。 定义对角块矩阵，则 其中，。利用此关系式，将节点编号从一维映射到二维，数据，，存放在中，可得到下面的在处理机 结点上的算法。该算法数据交量 算法流程如下： 流程图如下所示： 2、程序代码： #include void random_A_B() { int i,j; srand((unsigned int)time(NULL)); for(i=0; i第八讲 矩阵的分块法
北航并行计算矩阵相乘作业