学业分层测评(三)
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1.在△ABC 中,a =7,b =43,c =13,则△ABC 的最小角为________.
【解析】 ∵c
∵cos C =a 2+b 2-c 2
2ab =72+(43)2-(13)22×7×43
=32, 又C ∈(0°,180°).
∴C =30°.
【答案】 30°
2.在△ABC 中,已知b 2=ac 且c =2a ,则cos B =________.
【解析】 ∵b 2=ac ,c =2a ,∴b 2=2a 2,∴cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-2a 22a ·2a
=34.
【答案】 34
3.三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ,其夹角的余弦是方程5x 2-7x -6=0的根,则此三角形的面积是________cm 2.
【解析】 ∵5x 2-7x -6=0的两根为-35,2,
设已知两边夹角为C ,则cos C =-35
(∵cos C =2>1,舍去). ∴sin C =1-cos 2
C =45,∴S △ABC =12×3×5×45=6 cm 2. 【答案】 6
4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为________.
【解析】 设顶角为C ,∵l =5c ,∴a =b =2c ,
由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 2
2ab
=4c 2+4c 2-c 22×2c ×2c =78
. 【答案】 78
5.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是________.
【解析】 由题可知,边长为7的边所对角为中间角,设为θ,则
cos θ=52+82-722×5×8
=12, ∴θ=60°,∴最大角+最小角=120°.
【答案】 120°
6.在△ABC 中,若a =2,b +c =7,cos B =-14,则b =________.
【解析】 由余弦定理知b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,
∴b 2=22+c 2-2ac ×? ??
??-14,∴b 2=4+(7-b )2+(7-b ), ∴b =4.
【答案】 4
7.在△ABC 中,a =1,b =2,cos C =14,则c =______,sin A =________.
【解析】 在△ABC 中,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 2
2ab ,把a =1,b =2,cos C =14代入可得c =2.
因为cos C =14,所以sin C =1-cos 2C =154.
再由正弦定理得a sin A =c sin C ,解得sin A =158.
【答案】 2 15
8
8.(2016·南京高二检测)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若b +c =2a,3sin A =5sin B ,则角C =________.
【导学号:91730011】
【解析】 ∵3sin A =5sin B ,
∴3a =5b ,
又b +c =2a ,∴3c =7b ,
∴a ∶b ∶c =5∶3∶7.
设a =5x ,b =3x ,c =7x ,则
cos C =25x 2+9x 2-49x 2
2×(5x )×(3x )
=-12.
又C ∈(0,π),
∴C =2π3.
【答案】 2π3
二、解答题
9.在△ABC 中,BC =a ,AC =b ,且a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,2cos(A +B )=1.
(1)求角C 的大小;
(2)求AB 的长.
【解】 (1)cos C =cos[π-(A +B )]
=-cos(A +B )=-12,
又∵C ∈(0,π),∴C =2π3.
(2)∵a ,b 是方程x 2-23x +2=0的两根,
∴???
a +
b =23,ab =2,
∴AB 2=a 2+b 2-2ab cos 120°
=(a +b )2-ab =10,
∴AB =10.
10.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知c =2,a cos B
-b cos A =72.
(1)求b cos A 的值;
(2)若a =4,求△ABC 的面积.
【解】 (1)∵a cos B -b cos A =72,根据余弦定理得,
a ·a 2+c 2-
b 22a
c -b ·b 2+c 2-a 22bc =72,
∴2a 2-2b 2=7c ,又∵c =2,∴a 2-b 2=7,
∴b cos A =b 2+c 2-a 22c =-34.
(2)由a cos B -b cos A =72及b cos A =-34,得a cos B =114.
又∵a =4,∴cos B =1116,
∴sin B =1-cos 2B =31516,
∴S △ABC =12ac sin B =3154.
[能力提升]
1.(2016·无锡高二检测)在△ABC 中,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为________.
【解析】 由(a 2+c 2-b 2
)tan B =3ac 得a 2+c 2-b 22ac =32×cos B sin B ,即cos B =32×cos B sin B ,
∴sin B =32,又∵B 为△ABC 的内角,
∴B 为π3或2π3.
【答案】 π3或2π3
2.在△ABC 中,AB =2,BC =1,cos C =34,则BC →·CA
→=________. 【解析】 在 △ABC 中,由余弦定理得
|A B →|2=|CA →|2+|CB →|2-2|CA →|·|CB →
|cos C ,
即2=|CA →|2+1-2|CA →|×34, ∴|CA →|2-32
|CA →|-1=0,∴|CA →|=2, ∴BC →·CA →=|BC →||CA →|cos(180°-C )
=-|BC
→||CA →|cos C =-1×2×34=-32.
【答案】 -32
3.若△ABC 是钝角三角形,a =3,b =4,c =x ,则x 的取值范围是________.
【解析】 ∵b >a ,∴A 不可能为钝角.
当B 为钝角时,
??? a +c >b ,b 2>a 2+c 2,即??? 3+x >4,x 2<7,
解得1 当C 为钝角时, ??? a +b >c ,c 2>a 2+b 2,即? ?? 3+4>x ,x 2>25,解得5 【答案】 (1,7)∪(5,7) 4.已知四边形ABCD 中,AB =2,BC =CD =4,AD =6,且D =60°,试求四边形ABCD 的面积. 【解】 连结AC ,在△ACD 中,由AD =6,CD =4,D =60°,可得AC 2=AD 2+CD 2-2AD ·CD cos D =62+42-2×6×4cos 60°=28, 在△ABC 中,由AB =2,BC =4,AC 2=28, 可得cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =22+42-282×2×4 =-1 2.又0° 故B=120°. 所以四边形ABCD的面积S=S△ACD+S△ABC =1 2AD·CD sin D+ 1 2AB·BC sin B =1 2×6×4sin 60°+ 1 2×2×4sin 120° =8 3. 高中数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有个;非空的真子集有 个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式 (3)零点式;当已知抛物线与轴的交点坐标为时,设为此式 4切线式:。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得,具体如下: (1)当a>0时,若,则; ,,. (2)当a<0时,若,则, 若,则,. 9.一元二次方程=0的实根分布 1方程在区间内有根的充要条件为或; 2方程在区间内有根的充要条件为 或或; 3方程在区间内有根的充要条件为或 . 10.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如,,不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是 。 (3) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)的有解充要条件是 。 (4) 在给定区间 的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是 。 对于参数及函数.若恒成立,则;若恒成立,则;若有解,则 ;若 有解,则 ;若 有解,则 . 若函数无最大值或最小值的情况,可以仿此推出相应结论 11.真值表 12.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有个 小于 不小于 至多有个 至少有 个 对所有,成立 存在某,不成立 或 且 对任何,不成立 存在某,成立 且 或 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 解三角形 模块一:正余弦定理 在△ABC 中的三个内角A ,B ,C 的对边,分别用a ,b ,c 表示. 1.正弦定理:在三角形中,各边的长和它所对的角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C =2R . ① a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ; ② sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R ; ③ a:b:c =sin A :sin B :sin C . ④ 面积公式:S =1 2 ab sin C =1 2 bc sin A =1 2 ac sin B . 2.正弦定理用于两类解三角形的问题: ① 已知三角形的任意两个角与一边,求其它两边和另一角; ② 已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其它的边与角. 3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即:{c 2=a 2+b 2?2ab cos C ,b 2=a 2+c 2?2ac cos B ,a 2=b 2+c 2?2bc cos A. 变形式为:{ cos C =a 2+b 2?c 2 2ab , cos B =a 2+c 2?b 2 2ac ,cos A =b 2+c 2?a 22bc . 4.余弦定理及其变形常用来解决这样两类解三角形的问题: ① 已知两边和任意一个内角解三角形; ② 已知三角形的三边解三角形. 考点1:正弦定理 例1.(1)在ABC ?中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .若4 A π=,3 B π = ,a =, 则(b = ) A .1 B C .2 D .【解答】解:因为4 A π = ,3 B π = ,a =, 所以,由正弦定理 sin sin a b A B = ,可得:sin sin a B b A ===g 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 数学课本中的定理、公式、结论的证明 数学必修一 第一章 集合(无) 第二章 函数(无) 第三章 指数函数和对数函数 1.对数的运算性质: 如果 a > 0 , a 1, M > 0 ,N > 0, 那么 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log -log a a a M M N N =; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质 证明:(性质1)设log a M p =,log a N q =,由对数的定义可得 p M a =,q N a =, ∴p q p q MN a a a +=?=, ∴log ()a MN =p q +, 即证得log log log a a a MN M N =+. 证明:(性质2)设log a M p =,log a N q =, 由对数的定义可得 p M a =,q N a =, ∴ q p q p a a a N M -==, ∴q p N M a -=log , 即证得log log -log a a a M M N N =. 证明(性质3)设log a M p =,由对数的定义可得 p M a =, ∴n np M a =, ∴log n a M np =, 即证得log log n a a M n M =. 第四章函数应用(无) 数学必修二 第一章立体几何初步 直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明. 1、直线与平面平行的判定定理 若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行. 2、平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 必修五第一讲 正弦定理 知识梳理 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即a sin A =b sin B =c sin C . 2.解三角形:一般地,把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 题型分析 [例1] 在△ABC 中,已知a [解] A =180°-(B +C )=180°-(60°+75°)=45°.由 b sin B =a sin A 得,b =a sin B sin A =8×sin 60°sin 45°=46,由a sin A = c sin C 得, c =a sin C sin A =8×sin 75°sin 45°=8×2+642 2=4(3+1).∴A =45°,b =46,c =4(3+1). [变式训练]在△ABC 中,已知c =10,A =45°,C =30°,解这个三角形. 解:∵A =45°,C =30°,∴B =180°-(A +C )=105°.由 a sin A =c sin C 得a =c sin A sin C =10×sin 45°sin 30°=10 2. 由 b sin B = c sin C 得b =c sin B sin C =10×sin 105°sin 30°=20sin 75°,∵sin 75°=sin (30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45° =2+64,∴b =20×2+64 =52+5 6. [例2] 在△ABC [解] ∵a sin A =c sin C ,∴sin C =c sin A a =6×sin 45°2=32,∴C =60°或C =120°. 当C =60°时,B =75°,b =c sin B sin C =6sin 75°sin 60°=3+1; 当C =120°时,B =15°,b = c sin B sin C =6sin 15°sin 120°=3-1. ∴b =3+1,B =75°,C =60°或b =3-1,B =15°,C =120°. [变式训练]在△ABC 中,若c =6,C =π3 ,a =2,求A ,B ,b . 解:由a sin A =c sin C ,得sin A =a sin C c =22.∴A =π4或A =34π.又∵c >a ,∴C >A ,∴只能取A =π4 , ∴B =π-π3-π4=5π12,b =c sin B sin C =6·sin 5π12sin π3=3+1. 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理: 2.正弦定理的证明: (1)向量法证明 (2)平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和另一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点: (1) (2) (3) 知识点3 解三角形 1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题: 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点: (1) (2) (3) (4) 知识点2 余弦定理的的证明 证法1: 证法2: 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题: (1)已知三边求三角; (2)已知两边和它们的夹角,可以求第三边,进而求出其他角。 例1(山东高考)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,tanC=73. (1) 求C cos ; (2) 若 =2 5 ,且a+b=9,求c. 1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 (1)仰角和俯角: (2)方位角: 知识点2 解三角形应用题的一般思路 (1)读懂题意,理解问题的实际背景,明确已知和所求,准确理解应用题中的有关术语、名称,如仰角、俯角、视角、方位角等,理清量与量之间的关系; (2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形模型; (3)合理选择正弦定理和余弦定理求解; (4)将三角形的解还原为实际问题,注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 (1)首先要准备皮尺、测角仪器,然后选定测量的现场(或模拟现场),再收集测量数据,最后解决问题,完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确,为此可多测量几次,取平均值。要有创新意识,创造性地设计实施方案,用不同的方法收集数据,整理信息。 (2)实习作业中的选取问题,一般有:○1距离问题,如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离,或两个不可到达点之间的距离;②高度问题,如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。 高中数学公式及定理Newly compiled on November 23, 2020 1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注:(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注:D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 必修五正余弦定理习题练习 一.选择题(共5小题) 1.(2015?秦安县一模)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且c=2a,则cosB=() A.B.C.D. 2.(2016?太原校级二模)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,a=2,,则b的值为() A.B.C. D. 3.(2016?大连一模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足acosA=bcosB,那么△ABC的形状一定是() A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形 4.(2016?宝鸡一模)在△ABC,a=,b=,B=,则A等于()A.B.C. D.或 5.(2014?新课标II)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5 B.C.2 D.1 二.填空题(共6小题) 6.(2015?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b﹣c=2,cosA=﹣,则a的值为______. 7.(2015?重庆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=﹣,3sinA=2sinB,则c=______. 8.(2015?广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=______. 9.(2015?北京)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=______.10.(2015?安徽)在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=______.11.(2013?福建)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为______. 期末测试题 考试时间:90分钟 试卷满分:100分 一、选择题:本大题共14小题,每小题4分,共56分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.在等差数列3,7,11…中,第5项为( ). A .15 B .18 C .19 D .23 2.数列{}n a 中,如果n a =3n (n =1,2,3,…) ,那么这个数列是( ). A .公差为2的等差数列 B .公差为3的等差数列 C .首项为3的等比数列 D .首项为1的等比数列 3.等差数列{a n }中,a 2+a 6=8,a 3+a 4=3,那么它的公差是( ). A .4 B .5 C .6 D .7 4.△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =3,b =4,∠C =60°, 则c 的值等于( ). A .5 B .13 C .13 D .37 5.数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N +),那么a 4的值为( ). A .4 B .8 C .15 D .31 6.△ABC 中,如果A a tan =B b tan =C c tan ,那么△ABC 是( ). A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰直角三角形 D .钝角三角形 7.如果a >b >0,t >0,设M =b a ,N =t b t a ++,那么( ). A .M >N B .M <N C .M =N D .M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8.如果{a n }为递增数列,则{a n }的通项公式可以为( ). A .a n =-2n +3 B .a n =-n 2-3n +1 C .a n = n 21 D .a n =1+log 2n 2021年高中数学必修5全册基础知识点复习提纲 (全册完整版) 第一章:解三角形 1、正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===. (其中R 为AB C ?外接圆的半径) 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ?=== sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R ?= == ::sin :sin :sin .a b c A B C ?= 用途:⑴已知三角形两角和任一边,求其它元素; ⑵已知三角形两边和其中一边的对角,求其它元素。 2、余弦定理: 222222 2222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ?=+-?=+-??=+-? 222 222222 cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=?? +-? = ?? ?+-= ?? 用途:⑴已知三角形两边及其夹角,求其它元素; ⑵已知三角形三边,求其它元素。 做题中两个定理经常结合使用. 3、三角形面积公式: B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 4、三角形内角和定理: 在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=?=-+ 222 C A B π+? =- 222()C A B π?=-+. 5、一个常用结论: 在ABC ?中,sin sin ;a b A B A B >?>?> 若sin 2sin 2,.2 A B A B A B π ==+=则或特别注意,在三角函数中, sin sin A B A B >?>不成立。 第二章:数列 1、数列中n a 与n S 之间的关系: 1 1,(1),(2). n n n S n a S S n -=?=? -≥?注意通项能否合并。 2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即n a -1-n a =d ,(n ≥2,n ∈N +), 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项:若三数a A b 、、成等差数列2 a b A +?= ⑶通项公式:1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数). ⑷前n 项和公式: ()() 11122 n n n n n a a S na d -+=+ = ⑸常用性质: ①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,,则q p n m a a a a +=+; ②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++,仍组成等差数列; 高中数学公式及定理标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N] 1.乘法与因式分解 a^2-b^2=(a+b)(a-b) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a^3-b^3=(a- b(a^2+ab+b^2) 2.三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 3.一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a 4.根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理判别式 b^2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根 b^2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根 b^2-4ac<0 注:方程没有实根,有共轭复数根 5.三角函数公式两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6.倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 7.半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 8.和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB; 9.某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15++(2n- 1)=n2 _ 2+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1) 5 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2++n^2=n(n+1)(2n+1)/6 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+n^3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7++n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 10.正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中 R 表示三角形的外接圆半径 11.余弦定理 b^2=a^2+c^2-2accosB 注:角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 (x- a)^2+(y-b)^2=^r2 注:(a,b)是圆心坐标 _ 圆的一般方程 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 注:D^2+E^2-4F>0 12.抛物线标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 13.直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 14.锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L高级中学数学公式定理汇总
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