马尔柯夫转移概率矩阵的估计及其在市场占有率预测中的应用

马尔柯夫转移概率矩阵的估计及其在市场占有率预测中的应用

钟　卫

市场经济条件下,每个企业都力图稳固地占领自己的产品销售市场,并千方百计打入别的厂家占有的市场,以扩大自己的产品销路,获得最大限度的利润。因而即时了解市场动态,掌握各类品牌的市场份额。对企业的生存和发展来说至关重要。这就使的企业的决策者非常重视市场占有率的预测。本文将要介绍的马尔柯夫链理论就是其中一种定量的预测方法,它只要求有上期市场占有率和转移概率矩阵的资料,就可对本期和以后几期市场占有率作短期预测。然而,在实际操作中,有关状态转移的数据是很难获得的。例如,我们往往只知道各年份甲、乙、丙三种商品的需求数量和它们各占的比重,而无法得知对某一种商品的需求数量中,有多少数量是由其它商品转化过来的,状态转移概率也因此难以求得。这就大大限制了马尔柯夫预测法的应用。这就使得马尔柯夫链方法在实际应用中具有很大的局限性,以至于近年来介绍这种方法的文章不少,但实际应用的例子却很少。本文将以中国碳酸饮料行业市场占有率为例,说明在没有状态转移资料的情况下,如何从二次规划模型的角度,估计状态转移概率矩阵,从而使马尔柯夫链方法在对市场占有率预测时得到广泛的应用。

一、应用马尔柯夫链理论研究市场占有率的两个前提

11满足马尔柯夫性假设

所谓马尔柯夫性,也称为无后效性,即将来t+1时刻市场占有率仅依赖于t时刻市场占有率的分布,与过去时刻t-1,t-2,……的市场占有率的转移状态及过程无关。

从消费者对商品选择的心理来看,市场的马尔柯夫性是基本符合的。因为消费者选择商品通常依据前一期各种可供选择的商品的评价,与再远期关系不大。

21满足转移概率矩阵稳定性的假定

马尔柯夫链理论以固定的转移概率矩阵为根本规律和特征。所以对于市场占有率问题同样也要求转移概率矩阵具有相对稳定性,这包括:在研究期内没有商品发生价格变动,无新产品冲击市场,消费者的收入没有大幅变动等等。这样我们就可通过往年的数据资料模拟出较精确的转移概率矩阵,从而进行下期的预测。这里需要注意的是,一旦外部环境发生了变化,或者在长期预测时,随机过程呈现一定的长期趋势,转移概率矩阵就不可能保持不变,从而破坏了原有的稳定性假设。因此,马尔柯夫预测较适合短期预测。

二、市场占有率预测

11选取数据,化分状态

自80年代初期,世界著名跨国公司可口可乐公司和百事可乐公司在我国建立合资、合作企业以来,中国碳酸饮料工业一直被以“两乐”为首洋品牌一统天下,国产品牌虽然正逐步扩大市场份额,但从最近几年数据资料来看,“两乐”公司产品依然独领风骚、高居榜首。由于资料所限,笔者以96～99年中国碳酸饮料行业市场占有份额为例,说明这种估计、预测方法。

首先划分状态,凡消费者选择了可口可乐公司产品或者百事可乐公司产品,我们可将其并入“两乐”这种状态。而消费者选择

?

5

3

?

了国产品牌或其他洋品牌的碳酸饮料,则可并入“其他”这种状态。表1是这种化分的具体数据:

表1　美国“两乐”合资企业在碳酸饮料部门市场份额

品牌

　时间

美国“两乐”合资企业其他1996015646014354

1997015733014267

199801670133

19990174301257

(注:资料根据《管理世界》2000131P70和《销售与市场》2000161P45整理合并而来1)

21估计转移概率矩阵

转移概率矩阵是马尔柯夫链理论进行预测的关键。正如前文所述,对于许多实际问题,往往无法利用市场调查得到转移概率矩阵。下面,我们利用表1的数据,根据二次规划模型,求解出转移概率矩阵P。这种方法优点是可操作性强,只要有连续几期市场占有率数据,就可通过求解二次规划问题的L indo软件,估计转移概率矩阵。

记W(t)=(W1(t)W2(t)),表示t 年的市场占有率向量,其中W1(t)、W2 (t)分别为t年“两乐”和“其他”两种状态的市场占有率。构建下面二次规划模型:

m in62j=1699t=97(W j(t)-62i=1W i(t-1)?P ij)2 S1t162j=1P ij i=1,2

P ij≥0

代入表1数据,可得下面估计结果

P11=1　P12=0　P21=01143877　P22=01856123

所以,转移概率矩阵为

P= 1 0 01143877　01856123

在该矩阵中,第一行各元素分别表示选择“两乐”产品的消费者的保留率及流向“其他”产品的流失率。第二行亦然。

31市场占有率预测

市场占有率预测公式为:

W(t+1)=W(t)?P

即第t+1期市场占有率等于第t期市场占有率乘以概率转移矩阵。根据上式,我们可以进行短期预测,取t=99,则未来3年的市场占有率如下:

W(2000)=W(99)?P=(01734　01257

1 0

01143877　01856123

=(0177998　012202)

同理W(2001)=W(2000)?P=(0181164　0118836) W(2002)=W(2001)?P=(0183874　0116126)

预测结果表明,如果市场环境没有大的变化,今后三年“两乐”公司的碳酸饮料市场占有率仍将逐年扩大。这种趋势已得到验证:对2000年夏季碳酸饮料市场的调查可知,“两乐”的市场占有率已超过79116%。

三、使用马尔柯夫链理论预测市场占有率应注意的问题

11鉴于转移概率矩阵稳定性的要求,马尔柯夫预测法较适合作短期预测。同时由于市场发展瞬息万变,必须用最新的市场资料不断做出及时性调整,才能达到科学、准确预测的目的。

21马尔柯夫预测法应尽量避免偶发性事件对市场的影响,但各种现象在市场中不可避免,此时,对马尔柯夫预测法可作相应调整,并结合其他定性、定量方法综合预测,才会取得更好的效果。

参考文献:

[1]暴奉贤,陈宏立《经济预测与决策方法》暨南大学出版社1995

[2]郝艳茹《马尔柯夫链理论与市场占有率分析和预测》《上海统计》2000年第1期

[3]杭斌,李景华《马尔柯夫转移概率的OL S估计—方法与实例》《数学的实践与认识》1993年第1期

(作者单位:山西财经大学研究生处)

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6

3

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马尔科夫链的转移概率矩阵

转移概率(transition probability) 什么是转移概率 转移概率是马尔可夫链中的重要概念，若马氏链分为m个状态组成，历史资料转化为由这m个状态所组成的序列。从任意一个状态出发，经过任意一次转移，必然出现状态1、2、……，m中的一个，这种状态之间的转移称为转移概率。 当样本中状态m可能发生转移的总次数为i，而由状态m到未来任一时刻转为状态ai 的次数时，则在m+n时刻转移到未来任一时刻状态aj的转移概率为： 这些转移移概率可以排成一个的转移概率矩阵：P(m,m+n)(Pij(m,m + n)) 当m=1时为一阶转概率矩阵，时为高阶概率转移矩阵，有了概率转移矩阵， 就得到了状态之间经一步和多步转移的规律，这些规律就是贷款状态间演变规律的表，当初始状态已知时，可以查表做出不同时期的预测。 转移概率与转移概率矩阵[1] 假定某大学有1万学生，每人每月用1支牙膏，并且只使用“中华”牙膏与“黑妹”牙膏两者之一。根据本月（12月）调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使用中华牙膏。又据调查,使用黑妹牙膏的3000人中，有60％的人下月将继续使用黑妹牙膏，40％的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70％的人下月将继续使用中华牙膏，30％的人将改用黑妹牙膏。据此，可以得到如表－1所示的统计表。 表－1 两种牙膏之间的转移概率 拟用 黑妹牙膏中华牙膏 现用 黑妹牙膏 60％40％ 中华牙膏 30％70％ 上表中的4个概率就称为状态的转移概率，而这四个转移概率组成的矩阵 称为转移概率矩阵。可以看出，转移概率矩阵的一个特点是其各行元素之和为１。在本例中，其经济意义是：现在使用某种牙膏的人中，将来使用各种品牌牙膏的人数百分比之和为1。 2．用转移概率矩阵预测市场占有率的变化 有了转移概率矩阵，就可以预测，到下个月（１月份）使用黑妹牙膏和中华牙膏的人数，计算过程如下： 即：1月份使用黑妹牙膏的人数将为3900，而使用中华牙膏的人数将为6100。 假定转移概率矩阵不变，还可以继续预测到2月份的情况为：

马尔科夫转移矩阵模型

马尔柯夫转移矩阵法 马尔柯夫转移矩阵法-马尔柯夫过程和风险估计 由于风险过程常常伴随一定的随机过程，而在随机过程理论中的一种重要模型就是马尔柯夫过程模型。 马尔柯夫转移矩阵法-马尔柯夫预测法 马尔柯夫预测以俄国数学家A.A.Markov名字命名，是利用状态之间转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势，也是一种随时间序列分析法。它基于马尔柯夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）的变动状况。 1.马尔柯夫链。状态是指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，称为状态转移。在事件的发展过程中，若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔柯夫过程。马尔柯夫链是参数t只取离散值的马尔柯夫过程。 2.状态转移概率矩阵。在事件发展变化的过程中，从某一种状态出发，下以时刻转移到其他状态的可能性，称为状态转移概率，只用统计特性描述随机过程的状态转移概率。 若事物有n中状态，则从一种状态开始相应就有n个状态转移概率，即。 将事物n个状态的转移概率一次排列，可以得到一个n行n列的矩阵： 3.马尔柯夫预测模型。一次转移概率的预测方程为： 式中：K——第K个时刻； S（K）——第K个时刻的状态预测； S（0）——对象的初始状态； P——一步转移概率矩阵。 应用马尔柯夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性

马尔柯夫转移矩阵法-4.1马尔柯夫过程 在一个随机过程中，对于每一t0时刻，系统的下一时刻状态概率仅与t0时刻的状态有关，而与系统是怎样和何时进入这种状态以及t0时刻以前的状态无关（即所谓无后效性），这种随机过程称为马尔柯夫随机过程。 对随机过程X（t）取确定的n＋1个时刻t0＜t1＜t2＜…＜tn，对应实数x0，x1，x2，…，xn，如果条件分布函数满足： 则随机过程X（t）即为马尔柯夫过程的数学描述。 依过程参数集和状态集的离散与连续性，马尔柯夫过程可分为马尔柯夫链－时间和状态均离散的过程、连续马尔柯夫链－时间连续和状态离散、连续马尔柯夫过程－时间连续和状态连续。 马尔柯夫转移矩阵法-4.2马尔柯夫过程与风险估计 从定义中可知，确定某一时刻的风险状态后，该风险转移的下一个状态所服从的概率规律，可以用马尔柯夫过程的数学描述估计出来。马尔柯夫风险过程的重要假定是在一定时间和客观条件下，风险状态的转移概率固定不变。转移概率是在给定时刻风险状态相关之下的下一时刻条件概率；转移概率构成的矩阵称为转移矩阵，矩阵中各元素具有非负性，而且行的和值为1。 例如某雷达每次开机状态记录如表4所示。由于雷达下一次开机状态只与现在的开机状态有关，而与以前的状态无关，所以它就形成了一个典型的马尔柯夫链。 取P11—开机连续正常状态的概率，P12—由正常状态转不正常的概率，P21—由不正常状态转正常的概率，P22—开机连续不正常状态的概率。由表4可知，在23次开机状态统计中，11次开机正常，3次连续正常，7次由正常转不正常；12次开机不正常，4次连续不正常，8次由不正常转正常；由于最后一次统计状态是开机正常状态，没有后继状态，所以P11＝3／（11－1）＝0.3，P12＝7／（11－1）＝0.7，P21＝8／12＝0.67，P22＝4／12＝0.33因为最后一次统计是正常状态，所以不正常状态的总数不减一。 表4某雷达每次开机状态记录表 类别开机次序 1234567891011121314151617181920212223

马尔科夫转移矩阵法

马尔科夫转移矩阵法 1.工具名称 马尔科夫转移矩阵法是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。 2.工具使用场合/范围 单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。 市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法 3.工具运用说明： 在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。 马尔科夫分析法的一般步骤为： ①调查目前的市场占有率情况； ②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型； ④预测未来市场的占有率。 二、马尔科夫分析模型 实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。 马尔科夫分析法的基本模型为： X(k+1)=X(k)×P 式中：X(k)表示趋势分析与预测对象在t=k时刻的状态向量，P表示一步转移概率矩阵，X(k+1)表示趋势分析与预测对象在t=k+1时刻的状态向量。 必须指出的是，上述模型只适用于具有马尔科夫性的时间序列，并且各时刻的状态转移概率保持稳定。若时间序列的状态转移概率随不同的时刻在变化，不宜用此方法。由于实际的客观事物很难长期保持同一状态的转移概率，故此法一

马尔科夫转移矩阵法(一)

马尔科夫转移矩阵法(一) 专业培训解决方案与企业管理咨询服务商地址:廣州市花城大道5號南天廣場龍庭閣2006室电话：862022223190；2222319122223192；22223193传真：862022223196網址：xxxxxx邮件:xxxxxx一、马尔科夫转移矩阵法的涵义单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化。企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。市场占有率的预测可采用马尔科夫转移矩阵法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。马尔科夫是俄国数学家，他在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第n次结果只受第n-1的结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。比如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计：销售额都无关。，在马尔科夫分析中，引入状态转移这个概念。所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转穆到另一种状态的概率。马尔科夫分析法的一般步骤为：①调查目前的市场占有率情况；②调查消费者购买产品时的变动情况； ③建立数学模型；④预测未来市场的占有率。二、马尔科夫分析模型实际分析中，往往需要知道经过一段时间后，市场趋势分析对象可能处于的状态，这就要求建立一个能反映变化规律的数学模型。马尔科

夫市场趋势分析模型是利用概率建立一种随机型的时序模型，并用于进行市场趋势分析的方法。

马尔科夫矩阵

移步转移矩阵的性质与证明 数学1401吴宝龙201464100122 移步转移矩阵的定义：我们称满足如下条件的矩阵n n P ?为移步转移矩阵 1.ij P 0 i,j n ≥≤ 2.ij 1P 1 i=1,2, 3...n n j ==∑ 先说明高等代数中的几个概念： 1.向量范数：如果向量X n R ∈的某个实值函数N （x ） =X 满足条件： ①X 0≥ ②X =X ，R ααα?∈ ③X+Y X +Y ≤ 则称n N （x ）是R 上的一个向量范数 2.向量的p 范数：1/1 () p n p i p i X x ==∑ 3.向量的i 1i n 范数：X =max x ∞≤≤∞ 4.矩阵范数：如果矩阵n n A R 的某个非负的实值函数N （A ） = A ?∈ 满足条件： ①A 0≥ ②cA =c A ，c 为实数

③A+B A +B ≤ ④AB A B ≤ 则称N(A)是R n n ?上的一个矩阵范数 5.矩阵算子范数：设,n n n x R A R ?∈∈，给出一个向量范数p x ， 则称p p x 0 Ax A =max x p ≠，为A 的算子范数 6.矩阵的行范数：ij 1i n 1 A =max n j α∞≤≤=∑ 7.矩阵的谱半径：矩阵特征值的绝对值的最大值 移步转移矩阵的性质 ① 1为移步转移矩阵的一个特征值 证明： n ij j=1 若1为的特征值则有|P-E|=0 （1）下面证明上式成立 由于矩阵P-E 的每行加到第一行可得P -1=0 i=1,2,3...n 所以行列式|P-E|=0得证 移步转移矩阵∑

②移步转移矩阵的特征值的绝对值不大于1 方法一： 先说明数值分析里的一个定理： 设A=ij n （a ）n ?则A 的每个特征值必属于下述的某个圆盘中 ij 1 |-a |||j i n ij j a λ≠=≤ ∑ 定理证明如下： 12k i kk k j 1 kk k j j 1 j j 1 1 1 设为A 的任意特征值，X 为对应的特征向量则有 （）X=0 设X=（x ,x ,...,x ） 计X 的范数为X （即max|x | i=1,2,...,n ）矩阵A 的第k 行乘以X 有方程（-a ）X -0 故 |（-a ）| |X |=|| （-a j k j k j k j k j k T n n kj j n kj n n n kj kj j kj k j j I A X a x a x a x a x a x λλλλλ≠≠≠≠≠=====-≠∞=≤ ≤ ?∑∑∑∑∑kk j 1 ）j k n kj a ≠=≤ ∑ 由定理可以得到移步转移矩阵的特征值λ满足 ii ii ii -a 1a 1a λ≤-=- 故1λ≤ 得证

连续马尔科夫过程的转移概率及应用

《随机过程》 课程设计（论文） 题目: 连续马尔科夫过程的转移 概率及应用 学院：理学院 专业：应用统计学 班级： 13090501 学生姓名：张志达 学生学号： 1309050131 2015年 12 月 29 日

摘要 选取 1978 ～ 2009 年四川农村居民人均生活消费值的 32 个样本，首先，通过 Markov 预测法预测未来生活消费水平的增长速度以 10% ～ 20% 的概率较大; 然后，为提高预测精度，在传统 ARMA 模型中加入时间变量 t 进行建模并预测，预测结果表明平均相对误差率为 1． 56% ，其中 2006 ～ 2009 年的相对误差的绝对值均小于 0． 5% ; 最后，将 Markov 预测和 ARMA 模型对2010 ～ 2012 年的预测结果对比，发现两者在生活消费增长幅度上吻合，预测结果可靠。结果表明，在与目前相似的政策力度下，短期内四川省农村居民消费需求将持续增长，需进一步扩大消费市场。 关键词农村居民; 生活消费; Markov 预测

目录 一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用 (4) 二.连续时间马尔可夫链基本理论 (5) 2.1定义 (5) 2.2转移概率 (5) 三. 马尔可夫过程研究的问题的分析 (7) 数据来源与研究方法 (7) 2.计算状态转移概率矩阵 (8) 3.结果与分析 (10) 四结论和展望 (11) 五.参考文献 (12) 六计算结果及程序 (12)

一.连续马尔科夫过程的转移概率及其应用 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后， W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 类重要的随机过程,它的原始模型马尔可夫链,由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态(现在)的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的,当现在所处的位置已知时,它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用012,,......x x x 分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{},0n x n ≥ 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗传过程）在一定条件下可以用马尔可夫过程来近似。 关于马尔可夫过程的理论研究，1931年Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，首先将微分方程等分析方法用于这类过程，奠定了它的理论基础。1951年前后，伊藤清在P.莱维和C.H.伯恩斯坦等人工作的基础上，建立了随机微分方程的理论，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路。1954年前后，W.弗勒将泛函分析中的半群方法引入马尔可夫过程的研究中，Ε.Б.登金（又译邓肯）等并赋予它概率意义（如特征算子等）。50年代初，角谷静夫和J.L.杜布等发现了布朗运动与偏微分方程论中狄利克雷问题的关系，后来G.A.亨特研究了相当一般的马尔可夫过程（亨特过程）与 位势的关系。目前，流形上的马尔可夫过程、马尔可夫场等都是正待深入研究的领域。

第三章 马尔科夫过程

第三章 马尔科夫过程 第一节 随机过程的概念 1、 随机系数 必然事件 自然界中出现的事件分为 不可能事件 随机事件 事物的变化过程 必然过程 随机过程 （1） 必然过程：有确定的变化形式，可以用精确的数学关系式来描述。如 ()()sin m u t U t ω= ()()sin m i t I t ω?=+ （2） 随机过程：没有确定的变化形式，只能用随机函数来描述。例如：在24h 内对某 电网的负荷进行几天的观测，如下图所示： 随机系数：观测对象随时间的变化时不确定的，用()x t 表示。 现实：每次观测得到一个具体的系数，称为随机系数的一个“现实”。如： ()()()12,...............n x t x t x t 参数。t 是随机变量，称为过程的参数，其所有可能的集合为 “参数空间”或“时间空间”。 状态：随机函数()x t 在1t 时刻的值()1x t ，称为()x t 在1t t =时的状态。则所有可能的集合称为“状态空间”。 2、 随机系数的分类 （1） 时间（分数）离散，状态空间离散 （2） 时间（分数）连续，状态空间连续 （3） 时间（分数）离散，状态空间连续 （4） 时间（分数）连续，状态空间离散 其中（1）与（4）研究的较多 3、 随机系数的概率分布 当，n t t =时，()n t X 的分布与历史i t t =时()()11i t i n X ≤≤-的关系，即 根据过程的历史来确定()n t X 的分布：

用条件概率来描述：（()i x t 简化成i x ） ()112211/,............n n n n P x x x x --X =X =X =X = （1） 若在特定的情况下，n X 的分布与过去的历史无关，则 ()()112211/,............n n n n n n P x x x x P x --X =X =X =X ==X = 称为过程独立（无记忆过程）。 若n X 的分布只与过去的一部分历史有关，如只与最近一次时间的状态有关，而与以前所有时刻的状态都是无关，即 ()()11221111/,............/n n n n n n n n P x x x x P x x ----X =X =X =X ==X =X = 第二节 马尔科夫链 1、 概述 将参数和状态空间都是系数的马尔科夫过程称为马尔科夫链。即