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二项式定理4(不含答案)

二项式定理4(不含答案)
二项式定理4(不含答案)

二项式定理

知识梳理:

1.二项式定理的有关概念

(1)二项式定理:(a +b )n =C 0n a n +C 1n a n -1b 1+…+C k n a n -k b k +…+C n n b n

(n ∈N *),这个公式叫做______________.

①二项展开式:右边的多项式叫做(a +b )n 的二项展开式. ②项数:二项展开式中共有________项.

③二项式系数:在二项展开式中各项的系数________(k =______________)叫做二项式系数.

④通项:在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项,用T k +1表示,即通项为展开式的第k +1项:T k +1=____________________.

2.二项式系数的性质

(1)对称性:与首末两端________的两个二项式系数相等.

(2)增减性与最大值:当n 是偶数时,中间的一项二项式系数________________取得最大值;当n 为奇数时,中间的两项二项式系数____________、________________________相等,且同时取得最大值.

(3)各二项式系数和:C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =______,C 0n +C 2n +C 4

n +…+C 偶n =________,

C 1n +C 3n +C 5

n +…+C 奇n =________.

自我检测 1.(2011·福建)(1+2x )5的展开式中,x 2的系数等于( ) A .80 B .40 C .20 D .10

2.(2011·陕西)(4x

-2-x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A .-20 B .-15 C .15 D .20 3.(x -2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A .840 B .-840 C .210 D .-210

4.(2010·四川)?

????2-13x 6

的展开式中的第四项是______.

5.(2011·山东)若(x -a

x

2)6展开式的常数项为60,则常数a 的值为________.

6.(2011·烟台期末)已知n 为正偶数,且?

???x 2-1

2x n 的展开式中第4项的二项式系数最大,则第4项的系数是__________.(用数字作答) 探究点一 二项展开式及通项公式的应用

例1 已知在? ??

???3x -123x n 的展开式中,第6项为常数项. (1)求n ;(2)求含x 2的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

变式迁移1 (2010·湖北)在(x +4

3y )20的展开式中,系数为有理数的项共有________项. 探究点二 二项式系数的性质及其应用

例2 (1)求证:C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n

n =n ·

2n -1; (2)求S =C 127+C 227+…+C 27

27 除以9的余数.

变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C 22n +C 42n +…+C 2k 2n +…+C 2n

2n 的值.

探究点三 求系数最大项

例3 已知f (x )=(3

x 2+3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.

变式迁移3 (1)在(x +y )n 的展开式中,若第七项系数最大,则n 的值可能等于( ) A .13,14 B .14,15 C .12,13 D .11,12,13

(2)已知????12+2x n

,(ⅰ)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数的最大项的系数;

(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.

专项训练

1.在? ??

??

1x -2x 6的展开式中x 2的系数是________.

2.若? ?

???x 2+1ax 6的二项展开式中x 3的系数为52,则a =________.

3.? ????x

y

-y x 6的展开式中,x 3的系数等于________.

4.? ??

??2x +1x 27的展开式中倒数第三项为________. 5.已知(1+ax )5=1+10x +bx 2+…+a 5x 5,则b =________.

6.如果? ????x +1x 2n 的展开式中第4项与第6项的系数相等,求n 及展开式中的常数

项.

7.? ????x 2-1x n

的展开式中,常数项为15,则n =________. 8.(1+2x 2)? ??

??

x -1x 8的展开式中的常数项为________.

9.设f (x )=(2x +1)5-5(2x +1)4+10(2x +1)3-10(2x +1)2+5(2x +1)-1,则f (x )=________.

10.(1-x )4(1+x )4的展开式中x 项的系数是________.

11.在(3-x )20(x ∈R ,x ≠0)的展开式中,已知第2r 项与第r +1项(r ≠1)的二项式系数相等. (1)求r 的值;

(2)若该展开式的第r 项的值与倒数第r 项的值的1

256相等,求x 的值.

12.(3x +3

2)100展开式所得关于x 的多项式中系数为有理数的共有多少项?

13.(创新拓展)求? ????

a +1a 2+110展开式中的常数项.

高考专区:

1.(2011·陕西高考理科·T4)6(4

2)x

x --(x ∈R )展开式中的常数项是 ( )

(A )20- (B )15- (C )15 (D )20

2.(2011.天津高考理科.T5)在6

的二项展开式中,2x 的系数为 ( ) (A )154-

(B )15

4

(C )38-

(D )3

8

3.(2011·福建卷理科·T6)(1+2x )5

的展开式中,x 2

的系数等于( ) (A )80 (B )40 (C )20 (D )10

4.(2011·新课标全国高考理科·T8)5

12a x x x x ?

???+- ????

???的展开式中各项系数的和为2,

则该展开式中常数项为( )

(A )-40 (B )-20 (C )20 (D )40 二、填空题

5.(2011·安徽高考理科·T12)设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- (,则

1110a a += .

6.(2011·广东高考理科·T10)72

()x x x

-的展开式中,4x 的系数是______ (用数字作答).

7.(2011·山东高考理科·T14)若6

x ?- ??

的展开式的常数项为60,则常数a 的值

为 .

8.(2011·浙江高考理科·T13)设二项式6

(x

(0)a >的展开式中3x 的系数为A ,常数项为B ,若4B A =,则a 的值是 .

二项式定理知识点总结

二项式定理 一、二项式定理: ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110(*∈N n )等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式,其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解: (1)二项展开式有1+n 项 (2)字母a 按降幂排列,从第一项开始,次数由n 逐项减1到0;字母b 按升幂排列,从第一项开始,次数由0逐项加1到n (3)二项式定理表示一个恒等式,对于任意的实数b a ,,等式都成立,通过对b a ,取不同的特殊值,可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==,1,则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101(*∈N n ) (4)要注意二项式定理的双向功能:一方面可将二项式()n b a +展开,得到一个多项式; 另一方面,也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项:k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项,它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解: (1)字母b 的次数和组合数的上标相同 (2)a 与b 的次数之和为n (3)在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素,知道4个元素便可求第5个元素 例1.n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 ( ) A .n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2.(1)求7 (12)x +的展开式的第四项的系数; (2)求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数

排列组合与二项式定理知识点

排列组合与二项式定理知识点

第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种) 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序...... 排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ⑷排列数公式: ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C

2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式: )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式:①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素,因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. (或者从n+1个编号不同的小球中,n 个白球一

排列组合与二项式定理精华总结

排列组合 知识点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理:分类相加,分步相乘。 二、排列:元素是有顺序的 (1):对排列定义.:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. (2):排列数公式: ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10==n n n C C (3): 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中有限重复数为n 1、n 2……n k ,且 n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 三、组合:元素没有顺序之分 (1):组合:从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2):组合数公式:)! (!!! )1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ (3):两个性质:①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ (4):常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如: )!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ(利用! 1 )!1(1!1n n n n --=-) ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法(即用m n m n m n C C C 11+-=+递推)如:4 13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如:n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ 证明:这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数,左边为 2 2120022110) ()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?--ΛΛ,而右边n n C 2= 四、排列、组合综合 (1)直接法 (2)间接法 (3)捆绑法 (4)插空法 (5)占位法 (6)调序法 (7)平均法 (8)隔板法 (9)定位问题 (10)指定元素排列组合问题 五、二项式定理. 1. ⑴二项式定理:n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+--ΛΛ. 展开式具有以下特点:

利用放缩法证明数列型不等式压轴题

利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要:纵观近几年高考数学卷,压轴题很多是数列型不等式,其中通常需要证明数列型不等式,它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法,而且还可以综合考查其它多种数学思想方法,充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算,利用不等式的传递性,其优点是能迅速地化繁为简,化难为易,达到事半功倍的效果;其难点是变形灵活,技巧性强,放缩尺度很难把握。对大部分学生来说,在面对这类考题时,往往无从下笔.本文以数列型不等式压轴题的证明为例,探究放缩法在其中的应用,希望能抛砖引玉,给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词:放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体: 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法:放缩法与裂项求和的结合,用放缩法构造裂项求和,用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型: (1)先放缩通项,然后将其裂成某个数列的相邻两项的差,在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+,1,2,3, n =。设2n n n T S =, 1,2,3, n =,证明: 1 32 n i i T =< ∑。 证明:易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----, 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评: 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---,然后再求和,即可达到目标。 (2)先放缩通项,然后将其裂成(3)n n ≥项之和,然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-,1n n b a =-,数列{}n b 的

二项式定理11种题型解题技巧

二项式定理知识点及11种答题技巧 1.二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L , 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:

排列组合二项式定理知识点

排列组合项定理考试内容:分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质.二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以.有.重.复.元.素.的排列. 从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以 从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例

3! 1 . 3! 如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素,按照一定顺序 排成一列, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用 符号表 示. ⑷排列数公式: 注意:n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如:数字5、5、5、 求其排列个数?其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k

(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计

主讲人:黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分,是进一步学习概率论的基础知识,该部分内容,不论其思想方法和解题均有特殊性,概念性强,抽象性强,思维方法新颖,解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误,且且结果数目较大,无法一一检验,因此给考生带来一定困难.解决问题的关键是加深对概念的理解,掌握知识的内于联系和区别,科学周全的思考、分析问题. 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识,把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点. 概率则是概率论入门,目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础,做好铺垫.学习中要注意基本概念的理解,要注意与其他数学知识的联系,要通过一些典型问题的分析,总结运用知识解决问题的思维规律. 纵观近几年高考,排列、组合、二项式定理几乎每年必考,考题多以选择题、填空题出现,题小而灵活,涉及知识点均于两三个左右,综合运用排列组合知识,分类计数和分步计数原理;二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见,概率及概率统计的内容,从近几年新课程卷高考来看,每年均有一道解答题,占12分左右. 排列与组合的应用题,是高考常见题型,其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素.(2)

以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.(4)某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种方法称为“捆绑法”;(5)某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”; 于求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 二、典例剖析 题型一:排列组合应用题 解决此类问题的方法是:直接法,先考虑特殊元素(或特殊位置),再考虑其他元素(或位置);间接法,所有排法中减去不合要求的排法数;对于复杂的应用题,要合理设计解题步骤,一般是先分组,后分步,要求不重不漏,符合条件. 例1、(08安徽理12)12名同学合影,站成了前排4人后排8人.现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是()A.B.C.D.

用“放缩法”证明不等式的基本方法

2 3、先放缩,后裂项(或先裂项再放 缩) n a =n ,求证:k=1 例3、已知 a k n 证明:苕 1 V (k — 1)k(k + 1) _________ 二[+£莖壬匹 ^/(k — 1)(k + 1) ( >/k + 1 +寸 k — 1 ) k z2 (二 学习必备 欢迎下载 用放缩法”证明不等式的基本方法 近年来在高考解答题中,常渗透不等式证明的内容,而不等式的证明是高中数学中的一个难点,它可以考察学生 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。特别值得一提 的是,高考中可以用 放缩法”证明不等式的频率很高, ,对它的运用往往能体现出创造性。 放缩法”它可以和很 而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察, 例谈 若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。由于证明不等式的 需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。本题在放缩 k 时就舍去了 2 -2,从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和(或先求和再放缩) 例 2、函数 f (x )= 一,求证:f (1) +f (2) + …+f (n ) 1 +4x f(n)=二=1--^A 1-丄 1 +4n 1+4 2 *2 1 1 1 +f (2) + …+f (n ) >1—+1屮"+1— 2 21 2 22 2 2n +1 +1 +…=n + 丄一1 (n 迂 N *). 2 4 2n 2n '1 2 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数, 再对分母进行放缩,从而对左边可以进行 求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。女口 它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点 ,有极大的迁移性 多知识内容结合,对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标, 放缩时要注意适度,否则就不能同向传递。下面结合一些高考试题, 1、添加或舍弃一些正项(或负项) 放缩”的基本策略,期望对读者能有所帮助。 例1、已知 a n =2“ -1(n 亡 N ).求证: n 1 2—3 a 2 a 3 + a n 证明:,— a k + 2k -1 =2^ 1 2 "2(22-1) _ 1 "2"3.2k +2k -2 >1-1.l^,k=1,2,..., n, 2 3 2k 玉+更+ +旦 a 2 a 3 「-1(1 +-+...+丄)」-丄(1二)「-1 , 2 3 2 22 2n 2 3 2n 2 3 2 3 a 2 a 3 + <-(n 迂 N *). a n + 2 证明:由 需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可; 如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。

二项式定理 练习题 求展开式系数的常见类型

二项式定理 1.在()103x -的展开式中,6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3.92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中,含3x 的项的系数是 . 7.在x (1+x )6的展开式中,含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中,4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2+3x -4)4的展开式中x 的系数.

14.(x 2+x +y )5的展开式中,x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大,则n= ,展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项式系数最大的项的系数. 17.在(a +b )n 的二项展开式中,若奇数项的二项式系数的和为64,则二项式系数的最大值为________. 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈,则展开式的系数和为________. 19.已知(1-2x )7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 7x 7,则a 1+a 2+…+a 7的值是________. 20.已知(1-2x +3x 2)7=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 13x 13+a 14x 14.求:(1)a 1+a 2+…+a 14; (2)a 1+a 3+a 5+…+a 13.

排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理,两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中,任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r (r=0,1,…叫)做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即 c n = c n r (r=0,1,2,…,n ). 项和第n 3项)的二项式系数相等,并且最大,其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式: c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质: ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ; c n 2 c ; 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ,展开式共有n+1项,第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m

排列组合与二项式定理及概率应用综合

第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)=n ! (n -m )!(m ,n ∈N *,并且m ≤n ) A n n =n !=n ×(n -1)×(n -2)×…×3×2×1. 规定:0!=1. 组合与组合数公式 1.组合数公式 C m n =A m n A m m =n (n -1)(n -2)…(n -m +1)m !=n !m !(n -m )!(m ,n ∈N *,并且 m ≤n ) 2.组合数的性质 (1)C m n =C n -m n (2)C m n +1=C m n +C m - 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同. (1)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法? (2)把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒,有多少种不同的放法? 2、五位旅客到一个城市出差,这个城市有6家旅馆,有多少种住宿方法? 3、12名旅客在一辆火车上,共有六个车站,有多少种下车方案? 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼,有几种下楼方案? 二、染色问题 1、如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数. 2. 如图所示,用五种不同的颜色分别给A ,B ,C ,D 四个区域涂色,相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法共有________种. 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有________种.

高三数学专题复习概率二项式定理函数不等式及其证明等几大专题高考复习资料

高三数学专题概率二项式定理函数不等式及其证明 数学高考总复习:概率 知识网络目标认知考试大纲要求: 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 3.理解古典概型及其概率计算公式;会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 4.了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率;了解几何概型的意义。 5.了解条件概率和两个事件相互独立的概念,并能解决一些简单的实际问题. 重点: 理解互斥事件的概率加法公式,古典概型及其概率计算公式,并能计算有关随机事件的概率;求简单的几何概型的概率问题;条件概率和两个事件相互独立的概念,并能解决一些简单的实际问题. 难点: 古典概型及其概率计算公式;几何概型的意义,用条件概率和两个事件相互独立的概念,解决一些简单的实际问题. 知识要点梳理知识点一:事件及有关概念1.事件: 在一定条件下出现的某种结果。在一定的条件下,能否发生某一事件有三种可能: ①必然事件:在一定条件下,一定会发生的事件; ②不可能事件:在一定条件下,一定不会发生的事件; ③随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件; 必然事件和不可能事件的统称为确定事件,确定事件和随机事件统称为事件,其一般用大写字母A、B、C……表示。 2. 基本事件: 一次试验连同其可能出现的一个结果称为一个基本事件,它是试验中不能再分的最简单的随机事件,其他事件可以用它们来描绘,这样的事件称为基本事件。如果一次试验中可能出现的结果有n个,那么这个试验由n个基本事件组成。

3.基本事件的特点: (1)不能或不必分解为更小的随机事件; (2)不同的基本事件不可能同时发生; (3)一次试验中的基本事件是彼此互斥的; (4)试验中出现的结果总可以用基本事件来描绘. 知识点二:频率与概率1.频数与频率: 在相同条件下重复次试验,观察某一事件A是否出现,称次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数,称为事件A出现的频率。 2.概率: 对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率稳定在 某个常数上,则这个常数就叫事件A的概率,记作。 概率的基本性质 ①任何事件的概率的取值范围:。 ②P(必然事件)=1,P(不可能事件)=0; 3.频率与概率的区别与联系:①频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数; ②随机事件的频率,指事件发生的次数与试验总次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近 摆动,且随试验次数的不断增多,摆动幅度越来越小,这个常数就是这个随机事件的概率。 ③概率可以看作是频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。 知识点三:古典概型1.定义: 具有如下两个特点的概率模型称为古典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等。 注意:古典概型也称等可能性事件的概率。 2.古典概型的基本特征: (1)有限性:即在一次试验中,可能出现的结果,只有有限个,也就是说,只有有限个不同的基本事 件。 (2)等可能性:每个基本事件发生的可能性是均等的。 3.古典概型的概率计算公式

二项式定理10种题型的解法

二项式定理十种题型及解法 1.二项式定理: 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L , 2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数:共(1)r +项,是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序:注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数:a 的指数从n 逐项减到0,是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ,是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数(包括二项式系数)。 4.常用的结论: 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5.性质: ①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即0n n n C C =, (1) k k n n C C -= ②二项式系数和:令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L , 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令1,1a b ==-,则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L , 从而得到:02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和:

高中数学排列组合与二项式定理知识点总结

排列组合与二项式定理知识点 1.计数原理知识点 ①乘法原理:N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理:N=n1+n2+n3+…+nM (分类) 2.排列(有序)与组合(无序) Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn-m Cnm+Cnm+1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!-k! 3.排列组合混合题的解题原则:先选后排,先分再排 排列组合题的主要解题方法:优先法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素. 以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置. 捆绑法(集团元素法,把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑) 插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时,应注意: (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题; (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理; (3)分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏; (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是: ①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想. 4.二项式定理知识点: ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+ Cn3an-3b3+…+ Cnran-rbr+-…+ Cn n-1abn-1+ Cnnbn 特别地:(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论:对称性Cnm=Cnn-m 最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数,答案是中间一项还是中间两项) 所有二项式系数的和:Cn0+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和 Cn0+Cn2+Cn4+ Cn6+ Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+ Cn7+ Cn9+…=2n -1 ③通项为第r+1项:Tr+1= Cnran-rbr 作用:处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用:解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数,指定项的系数等,指运算结果的系数)的区别,在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。

排列组合 二项式定理知识点

排列组合二项定理考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以有 ..重复 ..的排列. ..元素 从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例

如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解: n m 种) 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ⑷排列数公式: 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ,且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如:已知数字3、2、2,求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如:数字5、5、5、求其排列个数?其排列个数1! 3!3==n .

北师大版数学高二选修2素材 1.5用二项式定理证明不等式

1.5 用二项式定理证明不等式 有关不等式证明问题是高考的热点。因不等式的结构变化万千,所以证明方法繁多,技巧性很强。如能根据题目特点,选择合适的方法,往往能出奇制胜。本文仅介绍用二项式定理证明不等式,供同学们参考。 一、直接利用定理 例1、 求证:)2(2 )12(1+>+-n n n (n )2≥∈n N 且 证明:(2+1)n =n 2+C 1 n 12 -n +C 222-n n +1+ >2n + C 1n 12-n =12-n (n+2) 二、创设条件利用定理 例2、 已知a 、b +∈R ,求证:n n n b a b a )2 ()(21+≥+ 证明:设a ,0>≥b 令a=s+t , b=s-t ,则s>0 ,t 0≥ (1)当n=1显然成立;(2)当n ≥2时,有 )(21n n b a +=2 1 =2222s t t s c s n n n n ≥+++- =n b a )2 (+ 例3:已知数列{}n a ,{}数列分别是等差数列和等比n b 且 a 1= b 1, a 2=b 2,a 12a ≠,a )(0+∈>N n n ,求证:当n 3≥时,a n n b < 证明:等差数列{}n a 的公差d= a 2- a 1≠0, 若d<0,必存在某个N ,当n>N 时,00 n 3≥,b n = b 1q 1-n = a 1(112)-n a a = a 1(11 1)-+n a d a = a 1(1+11)-n a d = a 1 =a 1(1+ C 11-n 1 a d )= a 1+(n-1)d=a n 总之:和自然数n 有关的不等式问题,我们用二项式定理(必要时去创设定理的应用条

二项式定理试题类型大全

二项式定理试题类型大全 一.选择题 1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数(B )A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含..4x 项的系数的和为(B )A.-1 B.0 C.1 D.2 3.若S=123100123100A A A A ++++L L ,则S 的个位数字是(C ) A 0 B 3 C 5 D 8 4.已知(x - x a )8展开式中常数项为1120,其中实数a 是常数,则展开式中各项系数的和是( C )A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 5.在3100(25)+的展开式中,有理项的个数是()A.15个B.33个.17个D.16个 6.在2431??? ? ??+x x 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有(C ) A .3项 B .4项 C .5项 D .6项 7.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x 3的项的系数是( C ) A 、-5 B 、 5 C 、10 D 、-10 8.35)1()1(x x +?-的展开式中3x 的系数为( ) A .6B .-6 C .9D .-9 9.若x= 21,则(3+2x)10的展开式中最大的项为(B )A.第一项B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3n x x - 的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为( ) A .7 B .12 C .14 D .5 11.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为(C ) A .1440 B .-1440 C .-2880 D .2880 12.在51(1)x x +-的展开式中,常数项为( B ) (A )51 (B )-51 (C )-11 (D )11 13.若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ,且:3:1a b =,则n 的值为( C ) A.9 B.10 C.11 D.12 14.若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++???+++x a x a x a a ,则=9a ( ) (A ) 9 (B )10 (C )9- (D )10- 故选D 。 17.若二项式6)sin ( x x -θ展开式的常数项为20,则θ值为( B ) A. )(22Z k k ∈+ππ B. )(22z k k ∈-ππ C. 2π D. 2π- 18.5310 被8除的余数是( )A 、1 B 、2 C 、3 D 、7 19已知i x +=2,设444334224141x C x C x C x C M +-+-=,则M 的值为( ) A 4 B -4i C 4i D 20.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近视值是………………………( ) A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44

排列组合与二项式定理知识点

高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容: 分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质. 考试要求: (1)掌握分类计数原理与分步计数原理,并能用它们分析和解决一些简单的应用问题. (2)理解排列的意义,掌握排列数计算公式,并能用它解决一些简单的应用问题. (3)理解组合的意义,掌握组合数计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的应用问题. (4)掌握二项式定理和二项展开式的性质,并能用它们计算和证明一些简单的问题. §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可.以有..重复..元素.. 的排列. 从m 个不同元素中,每次取出n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个,所以从m 个不同元素中,每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如:n 件物品放入m 个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:n m 种) 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义:从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素,按照一定顺序......排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列,称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数,用符号m n A 表示. ?排列数公式: ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意:!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素...... 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S 有k 个不同元素a 1,a 2,…...a n 其中限重复数

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