分类讨论的思想方法(1)---应用篇

分类讨论的思想方法

一、知识要点概述

1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段.

2. 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：

①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种

情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。

②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。

③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。

二、解题方法指导

1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.

2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；

(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等.

3.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”

4.解题时把好“四关”

(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；

(2)要找准划分标准，把好“分类关”；

(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；

(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.

三、分类讨论的几点注意

1.分类讨论的对象是用字母表示的数,一般为变量,当然也不排除为常量的可能.

【例1】设00且a≠1，比较与的大小.

分析：比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a 分两类情况进行讨论.

解：∵01.

（１）当00，log a（１＋x）<0，所以

＝log a（１－x）－［－log a（１+x）］＝log a（１－x２）>0；

（2）当a>1时，log a（1-x）<0，log a（1+x）>0，所以

＝－log a（１－x２）>0.

由（１）、（２）可知，

【点评】本题要求对对数函数y=log a x的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0

２. 掌握分类讨论的标准

凡是分类都有一个标准，对同一事物，标准不同就形成了不同的分类，必须根据具体情况选择分类的标准.

【例２】在xoy平面上给定曲线y2=2x，设点Ａ（a，0），a∈R，曲线上的点到点Ａ的距离的最小值为f（a），求f（a）的函数表达式.

分析：求两点间距离的最小值问题先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题而引起对参数a的取值讨论.

解：设Ｍ（x，y）为曲线y2=2x上任意一点，则

由于

y2=2x限定x≥0，所以分以下情况讨论：

（１）当a-1≥0时，x=a-1取最小值，即；

（２）当a-1<0时，x=0取最小值，即

综上所述，有

【点评】本题解题的基本思路是先建立目标函数.求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d=f（a）.

3. 找准分类讨论的界点

将讨论的对象分成若干部分，就要准确地选取“界值”，最常见的界值是“０”与“１”，如指数、对数的底a，常分01两种情况讨论；在用根的判别式法求函数的值域时，按首项系数是否为０进行讨论；但要看具体问题的背景，如在求直线方程时，应分直线的斜率存在与否进行讨论，……

【例３】甲、乙两人各射击一次，击中的概率分别是和.假设两人射击是否击中目

标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响.

（Ⅰ）求甲射击４次，至少有一次未击中目标的概率；

（Ⅱ）求两人各射击４次，甲恰好击中目标２次且乙恰好击中目标３次的概率；

（Ⅲ）假设某人连续两次未击中目标，则中止其射击.问：乙恰好射击５次后，被中止射击的概率是多少？

解：

（Ⅲ）“射击５次后，被中止射击”的事件共有三种可能，一一叙述比较麻烦，若利用上面的表格，将各次射击依次编码为“①、②、③、④、⑤”在各次射击中，击中目标记为“１”，

未击中目标记为“０”，则所求概率为

【点评】概率问题中只有“情况”而没有“界值”，必须对事件进行分析，实际上也是进行分类讨论，运用表格来实施这种讨论显得简单明了，操作起来更加方便.

４. 分清分类讨论的“级别”

分类讨论对思维提出了更高的要求，二级讨论的结构模式是：

该模式被称为“树形图”，此外常用的还有例３中的“表格法”，两种模式都能达到条分缕析的要求，精心进行这方面的训练是不断提高思维能力的良策.分级分类讨论中各级的号码要有明确的区别，同级的号码要有统一的格式，以避免混乱而失去条理性.在一级分类中，也可省略编号.

【例４】在１１名学生中，有５名只擅长长跑，有４名只擅长短跑，有２名既擅长长跑又擅长短跑.要选派４名参加长跑比赛，４名参加短跑比赛，有几种选派方法？

解：记长、短跑两样都擅长者为“全能者”，需对各种情况进行一个二级分类讨论，见下表.

则共有１８５种选派方法.

【点评】此题虽不是高考试题，却是一道有利于思维训练的传统好题，题解中将条分缕析演绎到淋漓尽致的境界；如果将“赛跑”换成“做工、划船、打球、翻译、……”，那么题目就有了各种变化，但其实质没有变，这就叫“以不变应万变”.

四、应用

(一) 集合问题的分类讨论

【例5】已知集合Ａ和集合Ｂ各含有１２个元素，Ａ∩Ｂ含有４个元素，试求同时满足下面两个条件的集合Ｃ的个数：

（Ⅰ）Ｃ Ａ∪Ｂ，且Ｃ中含有３个元素；

（Ⅱ）Ｃ∩Ａ≠φ（φ表示空集）.

分析：集合Ｃ的３个元素在Ａ∪Ｂ中取得，Ａ∪Ｂ中的元素包括两类：①属于Ａ的元素；②属于Ｂ而不属于Ａ的元素.因此，组成Ｃ的３个元素的取法有四种：（１）①取０个，②取３个；（２）①取１个，②取２个；（３）①取２个，②取１个；（４）①取３个，②取０个，但由条件（Ⅱ）知，Ｃ∩Ａ≠φ，因此，第一种取法必须排除，故集合Ｃ的个数是（２）、（３）、（４）三种取法之和.

解法１∵A，Ｂ各有１２个元素，

Ａ∩Ｂ含有４个元素，

∴Ａ∪Ｂ中元素的个数是12+12-4=20（个）.其中，属于Ａ的元素１２个，属于Ｂ而不属于Ａ的元素８个.

要使Ｃ∩Ａ≠φ，则组成Ｃ中的元素至少有１个含在Ａ中，故集合Ｃ的个数是（１）只含Ａ中１个元素的有个；

（２）含Ａ中２个元素的有个；

（３）含Ａ中３个元素的有个.

故所求的集合Ｃ的个数共有（个）.

解法２由解法１知，Ａ∪Ｂ有２０个元素，满足条件（Ⅰ）的集合Ｃ的个数是个. 但如果Ｃ中的元素都在属于Ｂ而不属于Ａ的集合中取，则Ｃ∩Ａ≠φ，不满足条件（Ⅱ），属于这种情况的有个，应该排除，故所求的集合Ｃ的个数共有＝1084（个）.

【点评】本题是：“包含与排除”的基本问题.正确解题的前提是正确的分类，达到分类完整且子域互斥；如果把Ａ∪Ｂ的元素分为属于Ａ的元素与属于Ｂ的元素两类，则子域不能互斥；如果把Ａ∪Ｂ的元素分为既属于Ａ又属于Ｂ，属于Ａ但不属于Ｂ，属于Ｂ但不属于Ａ之类，虽然分类思想方法是对的，但却难以确定集合Ｃ的元素如何取法才能满足题中条件.

在确定集合Ｃ的个数时，要全面考虑，把各种可能的情况都取完，才不会遗漏；把所有不可能的情况都排除，才不致重复.

(二) 立体几何中的分类讨论

【例6】如图１，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、

5a（a>0）.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是.

解：拼成三棱柱时，将第二个放置在第一个上面，并使两底重合，

这时三棱柱的全面积为Ｓ１＝１２a2+48；拼成四棱柱时，将底边长为5a、

高为的面重合，这时四棱柱的全面积最小为Ｓ２＝２４a2+２８，

则Ｓ２－Ｓ１＝４（３a2-5）<0，

解得0

【点评】这是一道富有新意的题目，但只要真正理解题意，熟悉直棱柱的全面积的求法，运用分类讨论，便不难得解.

【例7】线段ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ，且ＡＢ⊥ＢＣ，ＢＣ⊥ＣＤ，若异面直线ＡＢ与ＣＤ所成的角为６０°，则异面直线ＡＤ与ＢＣ所成的角是.

解：在图２中，ＡＢ与ＣＤ１、ＡＢ与ＣＤ２所成的角都为６０°，分别作ＢＥ１、ＢＥ平行且等于ＣＤ１、ＣＤ２，连Ｄ１Ｅ１、Ｄ２Ｅ２、ＡＤ１、ＡＤ２、ＡＥ１、ＡＥ２，则可知∠２

ＡＤ１Ｅ１＝４５°，∠ＡＤ２Ｅ２＝６０°.故异面直线ＡＤ与ＢＣ所成的角是４５°或６０°.

【点评】问题表面上的“简单”极易使人“得意忘形”，稍有疏忽，就不知道应分两种情

况讨论，造成严重的失误.

【例8】过正三棱柱ＡＢC－Ａ１Ｂ１Ｃ１的底面一边Ａ

Ｂ作三棱柱的截面，若三棱柱的底面边长为a，高为h，截

面与底面所成二面角的大小为θ∈（０，）.求截面的面

积.

解：分两种情况讨论（如图３）如下：

１°当截面是等腰三角形时，即当θ∈（０，

arctan］时，可求得截面面积为；

２°当截面是等腰梯形时，

即当θ∈（arctan，）时，

Ｃ１Ｎ＝a-hcotθ，

由三角形相似得ＥＦ＝a-hcotθ，

故可求得

截面面积为

【点评】用运动的方法来研究所求的截面面积，则可得两种不同的情况.

【例9】矩形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上有一动点Ｅ，ＡＢ＝a，ＡＤ＝b，如图４（１）.沿ＡＥ将△ＡＤＥ折起得直二面角Ｄ１－ＡＥ－Ｂ.设ＢＤ１＝d，如图４（２），求d的最小值.

解：作ＤＨ⊥ＡＥ于Ｈ，相应地，有Ｄ１Ｈ⊥ＡＥ于Ｈ.连结ＢＨ.设∠ＤＡＥ＝θ，

则∠ＢＡＨ＝９０°－θ.

在Ｒt△ＡＤＨ中，ＤＨ＝bsinθ，ＡＨ＝bcosθ，则Ｄ１Ｈ＝bsinθ，在△ＡＢＨ中，由余弦定理得

ＢＨ２＝ＡＢ２＋ＡＨ２－２ＡＢ·ＡＨ·cos（９０°－θ）

＝a２+b２cos２θ-absin2θ.

∵D１-AE-B是直二面角，面Ｄ１ＡＥ⊥面ＡＢＣＥ于ＡＥ，Ｄ１Ｈ⊥面ＡＢＣＥ.

∵ＢＨ面ＡＢＣＥ，∴Ｄ１Ｈ⊥ＢＨ.

在Ｒt△Ｄ１ＢＨ中，

d２=b２sin２θ+a２+b２cos２θ-absin2θ

=a２+b２-absin2θ.分类讨论如下：

１°若b≤a，则当θ＝４５°时，

２°若b>a，则当Ｅ点与Ｃ点重合，

即时，

【点评】这是一道极其容易出错的题，“一般仔细”的人都难以避免出错，只有“非常仔细”的人才能避免错误.当b>a时，θ不可能取到４５°，欲使d最小，就要使sin2θ最大，即要使tanθ最大，那么当Ｅ点与Ｃ点重合时满足此条件.不禁使我们联想到二次函数在指定定义域上的最值问题.

(三) 解析几何中的分类讨论

１. 由参数数值变化引起对曲线形状的讨论.

【例10】试讨论关于x、y的方程（m-3）x2＋（5-m）y2=1所表示的曲线.

解：分六种情况讨论如下：

①当m=3或m=5时，方程分别表示两对平行的直线y=±或x=±；

②当m＝４时，方程表示圆x2+y2=1；

③当m<３时，方程表示焦点在y轴上的双曲线；

④当3

⑤当4

⑥当m>5时，方程表示焦点在x轴上的双曲线.

【点评】虽然讨论的难度不算太大，但对实数m却进行了全程讨论，且是“三点四段式的讨论”，只是由于将“m＝３或m=5”合并了，才表现为六种情况，几乎囊括了所有的曲线.在求轨迹方程及其方程曲线的问题中经常会遇到这类问题.

【例11】如图，给出定点Ａ（a，0）（a>0）和定直线l：x=-1，Ｂ是直线l上的动点，∠ＢＯＡ的平分线交ＡＢ于Ｃ.求点Ｃ的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.

解：设Ｂ（－１，b）（b∈R），则直线ＯＡ：y=0，Ｏ

Ｂ：y＝－bx.

设点Ｃ（x，y）（０≤x

由角平分线的性质知

则y2（１＋b2）=（y+bx）2. ①

由Ｃ点在ＡＢ直线上，

则，解得

代入①式化得y2［（１－a）x2-2ax+（1+a）y2］=0.

若y≠0，则（１－a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0

若y=0，则b=0，∠ＡＯＢ＝π，点Ｃ的坐标为（０，０），满足上式.

综上知，点Ｃ的轨迹方程为（１－a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x

（１）当a=1时，轨迹方程化为y2=x（０≤x<1），此时点Ｃ的轨迹为抛物线弧段；

（2）当a≠1时，轨迹方程化为

即

则当0

当a>1时，点Ｃ的轨迹是双曲线一支上的弧段.

【点评】出现了两次分类整合，首先对y的值是否为零进行讨论，为的是将轨迹方程化简；第二次是一个二级分类整合，别忘记a>０这个前提.

2．由参数值变化引起对直线与曲线位置关系的讨论.

【例12】已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为Ｆ，Ａ是抛物线上横坐标为４，且位于x轴上方的点，Ａ到抛物线准线的距离等于５，过Ａ作ＡＢ垂直于y轴，垂足为Ｂ，ＯＢ的中点为Ｍ.

（１）求抛物线的方程；

（２）过Ｍ作ＭＮ⊥ＦＡ，垂足为Ｎ，求点Ｎ的坐标；

（３）以Ｍ为圆心，ＭＢ为半径作圆Ｍ，当Ｋ（m，0）是x轴上的一动点时，讨论直线ＡＫ与圆Ｍ的位置关系.

解：（１）易得抛物线方程y2=4x．

（２）不难求得Ｎ（）.

（３）圆Ｍ的圆心为点（０，２），半径为２，Ａ（４，４）．

①当m=4时，lＡＫ:x＝４，直线ＡＫ与圆Ｍ相离；

②当m≠４时，lＡＫ：y＝（x-m），即4x-（4-m）y-4m=0，圆心Ｍ（０，２）到直线ＡＫ的距离

（i）若d>2，即m>1，则直线ＡＫ与圆Ｍ相离；

（ii）若d=2，即m=1，则直线ＡＫ与圆Ｍ相切；

（iii）若d<2，即m<1，则直线ＡＫ与圆Ｍ相交.

【点评】（３）的难度虽不算大，但却是一个二级分类讨论，条理清晰、层次分明是我们所追求的.数值变化引起直线与圆的位置关系的变化，也体现了“量变引起质变”的哲学原理.

(四) 导数的应用与分类讨论

由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立

即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度.利用导数解决函数的单调性和极值问题，经常需要进行分类讨论所以导数与分类讨论结下了不解之缘，要想获得数学高考的高分，必须占领这块“阵地”.

【例13】设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R.

（Ⅰ）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；

（Ⅱ）若f（x）在（-∞，０）上为增函数，求a的取值范围.

解：（Ⅰ）f ′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）.

∵f（x）在x=3处取得极值，

∴f ′（３）＝１２（３-a）=0，a=3，检验知成立.

（Ⅱ）由f ′（x）=6（x-a）（x-1）=0得x1=a或x2=1.

若a<1，则当x∈（－∞，a）∪（１，＋∞）时，f ′（x）>0，所以f （x）在（－∞，a）和（１，＋∞）上为增函数，而f（x）在（－∞，０）上为增函数，所以０≤a<1；

若a≥1，则当x∈（－∞，1）∪（a，＋∞）时，f ′（x）>0，所以f （x）在∈（－∞，1）和（a，＋∞）上为增函数，f（x）在（－∞，０）上也为增函数.

综上，所求a的取值范围为［０，＋∞）.

【点评】（Ⅱ）中对a的值进行分类讨论，当a<1时很容易忽视a≥0这个条件，注意这时f（x）在（－∞，０）上为增函数，必须有a≥0.

【例14】设函数y=ax5-bx3+c（c≠0）在x=±1时有极值，且极大值为４，极小值为０.求a、b、c的值.

解：令y′=5ax4-3bx2=0，x2（5ax2-3b）=0.所以极值点可能是０和±1.

因为函数x=±1时有极值，所以5a=3b，y′=5ax２（x２-1）=5ax２（x+1）（x-1）.

若a>0，当x变化时，函数递增与递减及极值情况如下表：

若a<0，用同样的方法得a=-3，b=-5，c=2.

【点评】这里实施的是一个二级分类讨论，使用表格简明清晰；在“０”处，为什么没有极值，要深入理解.

【例15】函数y=f（x）在区间（０，＋∞）内可导，导函数f′（x）是减函数，且f ′（x）＞０.设x0∈（０，＋∞），y=kx+m是曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程，并设函数g（x）=kx+m.

（Ⅰ）用x0，f（x0），f′（x0）表示m；

（Ⅱ）证明：当x0∈（０，＋∞）时，g（x）≥f（x）；

（Ⅲ）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥在［０，＋∞）上恒成立，其中a、b为实

数，求b的取值范围及a与b所满足的关系式.

解：（Ⅰ）易知m=f（x0）-x0f′（x0）.

（Ⅱ）令h（x）=g（x）-f（x），则h′（x）=g′（x）-f′（x）= f′（x0）-f′（x），且

h′（x0）=0.

∵f′（x）是减函数，∴h′（x）是增函数，则当x>x0时，

h′（x）>0；当x

（Ⅲ）将x=0代入题设不等式中，得0≤b≤1，则“a>0，且０≤b≤1”是不等式成立的必要条件.

下面在a>0，且0≤b≤1的条件下求a与b所满足的关系式及b的取值范围.

x2+1≥ax+b x2-ax+（1-b）≥0，对任意x ∈［0，＋∞）成立的充要条件是x2-ax+（1-b）在［0，＋∞）上的最小值１－b-≥0，即a≤2

令S（x）=ax+b-，则对于任意x ∈［0，＋∞）不等式ax+b≥恒成立S （x）≥0.

由Ｓ′（x）=a-=0得x=a-3，则当0a-3时，Ｓ′（x）>0，所以当x=a-3时，Ｓ（x）取得最小值.因此Ｓ（x）≥０的充要条件是Ｓ（a-3）≥0，即a·a-3+b-

≥0，解得a≥.

故a、b所满足的关系式为≤a≤2.

解不等式≤2，得≤b≤，这就是所求的b的取值范围.

【点评】在（Ⅱ）中判断“x0是h（x）惟一的极值点”，在（Ⅲ）中求Ｓ（x）的最小值，都用到了分类讨论

(五) 排列组合中的分类讨论

【例16】某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为６个部分（如下图）.现要栽种４种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.（以数字作答）

解法一：从题意来看６部分种４种颜色的花，又从图形可知必有２组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求解.

（１）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有Ｎ１＝４×３×２×２×１＝４８种；

（２）③与⑤同色，则②④也同色或⑥④同色，所以共有Ｎ２＝４×３×２×２×１＝４８种；

（３）②与④且③与⑥同色，则共有

Ｎ３＝４×３×２×１＝２４种.

所以，共有Ｎ＝Ｎ１＋Ｎ２＋Ｎ３＝４８＋４８＋２４＝１２０种.

解法二：记颜色为Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四色，先安排１、２、３有Ａ种不同的栽法，

不妨设１、２、３已分别栽种Ａ、Ｂ、Ｃ，则４、５、６栽种方法共５种，由以下树状图清晰可见.

根据分步计数原理，不同栽种方法有Ｎ＝×５＝１２０.

答案：１２０.

【点评】解法一是常规解法，解法二安排４、５、６时又用了分类和列举的方法.

【例17】１，２，……，３０这３０个自然数中，每次取不同的三个数，使这三个数的和是３的倍数的取法有多少种？

解：令Ａ＝｛１，４，７，１０，……，２８｝，Ｂ＝｛２，５，８，１１，……，２９｝，Ｃ=｛３，６，９，……，３０｝组成三类数集，有以下四类符合题意：①Ａ，

Ｂ，Ｃ中各取一个数，有种；②仅在Ａ中取３个数，有种；③仅在Ｂ中取３

个数，有种；④仅在Ｃ中取３个数，有种.故由加法原理得共有＝

１３６０种.

【点评】按元素的性质分类是处理带限制条件的组合问题的常用方法，对于某几个数的和能被某数整除一类的问题通常是将整数分类，凡余数相同者归同一类.

【例18】有两排座位，前排１１个座位，后排１２个座位，现安排２人就座，规定前排中间的３个座位不能坐，并且这２人不左右相邻，那么不同排法的种数是……（）.

Ａ. ２３４Ｂ. ３４６

Ｃ. ３５０Ｄ. ３６３

解法一：分类讨论法.

（１）前排一个，后排一个，＝１９２.

（２）后排坐两个（不相邻），２（１０＋９＋８＋……＋1）=110.

（３）前排坐两个，２·（６＋５＋……＋１）＋２=44个.

∴总共有１９２＋１１０＋４４＝３４６个.

解法二：考虑中间三个位置不坐，４号座位与８号座位不算相邻.

∴总共有＋２＋２＝３４６个.

答案：Ｂ

【点评】本题考查分类讨论在解排列组合应用题中的运用.这是一道难度较大的小综合题.

(六)、对未来有关分类讨论的高考试题发展趋势的几点估计

1. 全国和各地的高考试卷中有关分类讨论的问题必将继续出现，且在选择、填空和解答题中都有可能出现，在全卷总分中将占到１０％左右的份额；

２. 在有关分类讨论试题中，一级分类问题居多，二级及二级以上分类的问题较少，但分类讨论这一步在整个题解中却居于重要位置，甚至核心的地位，能否熟练地进行分类讨论

对于解题的成功乃至数学高考成绩是否优秀起着十分关键的作用；

３. 有关分类讨论的试题，其难度一般不会太大；

４. 有关分类讨论的试题涉及的知识面较宽，首先与函数、方程、不等式相结合，还可能与数列、向量、直线、圆、圆锥曲线、排列组合、二项式定理、导数及其应用、空间图形等内容相结合.

基于以上考虑，对成功解答未来高考试卷中有关分类讨论的试题就会有了十足的信心和勇气！

分类讨论思想

分类讨论思想

第三讲分类讨论思想 [思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略. 1.中学数学中可能引起分类讨论的因素： (1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的

结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等. 2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”. 3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论. 常考题型精析 题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论 例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B?A，求实数a的取值范围.

分类讨论思想的应用

分类讨论思想的应用 摘要：“分类”源于生活用于生活，分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻 辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它应贯穿于整个数学教学中。在解 题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。 关键词：分类讨论思想三角形四边形方程 中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2019）11-095-02 分类讨论思想在初中数学中经常用来探究和解决问题，帮助学生更好地理解 和解决问题，并能帮助学生把握解题的思路和技巧，做到举一反三，从而有利于 培养学生的学习兴趣，使他们从数学学习中获得乐趣，所以本文主要从几何图形、代数、函数等方面的内容进行分类讨论。 分类讨论的数学思想，也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下， 其结论并不唯一时，我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根 据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下 得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类，可将一个复杂的 问题大大的简化，达到化繁就简，化难为易，分而治之的目的。 一、在几何图形中的分类讨论思想 （一）在三角形中的分类讨论 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中无论边还是顶角底角，不确 定的情况下要分类，分情况求解，有时要分钝角三角形，直角三角形，锐角三角形，分别讨论解决 1、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角， 所以必须分情况讨论。 例1、若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【】（A）（B） （C）或（D）或 分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的角由 于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论. 解:分为两种情况:（1）当角为顶角时,它的两个底角为 ; （2）当角为底角时,顶角为 . 综上所述,该等腰三角形的顶角为或 ,选择（D）. 拓展:若把题目中的角改为角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗? 2、在等腰三角形中求边： 等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类 讨论。 例2.若等腰三角形的两条边长分别为3cm、6cm,则它的周长为【】 （A）9cm （B）12cm （C）15cm （D）12cm或15cm 分析:两条边长分别为3cm、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍.

初中数学分类讨论思想在教学中的应用

初中数学分类讨论思想在教学中的应用 新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。所以在数学教学中有效地渗透，培养数学思想方法，已逐渐成为数学、课改的热点。所谓数学思想，是指人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。数学思想是数学的精髓。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。 本文从分类讨论思想的概念和特点，引起分类讨论的原因，以及分类讨论思想在数学教学中的应用举例等内容展开，比较系统全面地介绍了分类讨论思想。 一、分类讨论思想的概念 分类讨论思想是一种最基本的解决问题的思维策略，就是把要研究的数学对象按照标准划分为若干不同的类别，然后逐类进行研究，求解的一种数学解题思想。它是问题不能以统一的同一种方法处理或同一形式来表述、概括时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，再按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将对象划分为若干个既有

联系又有区别的部分，进行逐类讨论，最后把几类结论汇总，从而得出问题的答案。分类讨论的实质是化繁为简，将一个复杂的问题分为几个简单的问题，分而治之。 二、引起分类讨论的原因 分类讨论思想贯穿于整个中学数学的全部内容中。初中阶段数学运用分类讨论思想解决的数学问题，其引起分类的原因主要可以归结为以下几个方面： 1.概念本身是分类定义的。如绝对值等。 2.问题中涉及的数学定理、公式或运算性质、法则是有条件或范围是限制的，或者是分类给出的。 3.含有字母系数（参数）的问题，有时需对该字母的不同取值范围进行讨论。 4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置，不确定的结论等都要进行分类讨论。 三、解答分类讨论型问题的步骤 分类讨论型问题常与开放探究型问题综合在一起，不论是在分类中探究，还是在探究中分类，都需要具备扎实的基础知识，和灵活的思维方式，对问题进行全面衡量、统筹兼顾，切忌以偏概全。解答分类讨论型问题的关键是要有分类讨论的意识，克服想当然的错误习惯。 通常解答分类讨论型问题的一般步骤是： 1.确定分类对象。

对数学教学中分类讨论思想的感悟

对数学教学中分类讨论思想的感悟 博兴一小王晓红 分类讨论思想是中学数学中的一种极其重要的数学思想方法，它是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解。它在数学概念的确立，数学事实的发现，数学理论的推导学知识的运用中，能让学生了解数学知识形成的过程，对培养学生思维的创造性，发散性与灵活性以及整体文化素质产生深刻而持久的影响。 数学教学大纲指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心。”因此，要发展学生的思维，培养数学能力，提高文化素质，就应该重视数学思想的方法教学。如果能让学生理解并掌握分类讨论的思想方法，抓住问题的本质，在解题中进行正确、合理、严谨的分类，这既有利于把复杂的问题转化为几个较为简单的问题来处理，同时也可以培养学生的综合分析能力和发展他们思维的条理性、严谨性和完整性。 下面针对数学教学中渗透分类讨论思想谈一下我自己粗浅的认识： （一）在概念教学中渗透分类讨论思想 由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定等，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等。涉及到这些概念是就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。 在概念教学中，我总能注重揭示概念的产生的过程，帮助学生明确概念存在的前提，清楚地理解概念中的关键字，词，尤其对容易出现偏差的、相似的、相近的概念进行比较教学，对含有补充和规定的概念注意强调，必要时，借助于形与数，进行直观、准确地概念理解。 如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-(m-1)x-2(3m-1)=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，很清晰地就a=0与a≠0两种情况作分类讨论。 （二）在法则、定理、公式导出过程中运用分类讨论思想 有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。例如对于正比例函数图像的递减（增）性要取决于k小于0还是大于0，不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。 又如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 为什么要根据 圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如右图） 去证， B C A A C D C

分类讨论思想的应用

分类讨论思想的应用 李增旺 例1 一组数据：2，3，4，x 中，若中位数与平均数相等，则数x 不． 可能是（ ） A.1 B.2 C.3 D.5 解析：因为x 的值不确定，所以中位数也不确定，必须分类求解.结合中位数的确 定方法，可知x 的取值分为三种情况： （1）当x ≤2时，中位数为5.2232=+，平均数为4 432+++x ，所以5.24 432=+++x ，解得x ＝1； （2）当2＜x ＜4时，中位数为23+x ，平均数为4 432+++x ，所以234342 x x ++++=，解得x ＝3； （3）当x ≥4时，中位数为5.3234=+，平均数为4 432+++x ，所以234 3.54 x +++=，解得x ＝5. 故选B . 例 2 为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加数学竞赛，在同等的条件下，老师查看了平时两名同学10次测验的成绩记录，下面是甲、乙两人的测验情况统计记录(其中乙得分为98分、99分的得分次数被墨水污染看不清楚，但是老师仍有印象乙得98分、99分的次数均不为0)： （1）求甲同学在前10次测验中的平均成绩. （2）根据前10次测验的情况，如果你是该班的数学老师，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由.(结果保留到小数点后第1位) 解：（1）甲同学在前10次测验中的平均成绩是 94195296197398299110 ??????＋＋＋＋＋=96.6（分）. （2）①若乙同学得98分的次数为1，得99分的次数为2，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398199210 ??????＋＋＋＋＋=96.7（分）. 在前10次测验中的平均成绩乙比甲好，这时应该选择乙参加数学竞赛. ②若乙同学得98分的次数为2，得99分的次数为1，则乙同学前10次测验中的平均成绩是94095496097398299110 ??????＋＋＋＋＋=96.6（分）. 甲同学在前10次测验中的方差2s 甲= 10 1×［(94－96.6)2＋2×(95－96.6)2＋(96－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98－96.6)2＋ (99－96.6)2］=2.24， 乙同学在前10次测验中的方差2s 乙=101×［4×(95－96.6)2＋3×(97－96.6)2＋2×(98

浅谈数学解题中的分类讨论思想

浅谈数学解题中的分类讨论思想 洪湖市第一中学 付志刚 分类讨论的数学思想方法就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。本文想就分类讨论的原则、方法和步骤等作一些阐述，不妥之处，敬请斧正。 一、科学合理的分类 把一个集合分成若干个非空真子集（、、? ? ?）（≥，∈），使集合中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即 ①∪∪∪?? ? ?∪＝ ②∩＝φ（∈,且≠）。 则称对集进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分） 科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。 二、确定分类标准 在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种： （）根据数学概念来确定分类标准 例如：绝对值的定义是： 所以在解含有绝对值的不等式 (－)≥时，就必须根据确定 ， （－）正负的值和将定义域（，）分成三个区间进行讨论，即＜＜， ≤＜，≤＜三种情形分类讨论。 例、 已知动点到原点的距离为，到直线：＝的距离为，且＝ （）求点的轨迹方程。 （）过原点作倾斜角为α的直线与点的轨迹曲线交于两点，求弦长｜｜的最大值及对应的倾斜角α。 解：（）设点的坐标为（），依题意可得： 根据绝对值的概念,轨迹方程取决于＞还是≤，所以以为标准进行分类讨论可 得轨迹方程为： 解（）如图，由于，的位置变化， 弦长｜｜的表达式不同，故必须分点， 都在曲线()以及一点 在曲线() 上而另一点在曲线－（－）上可求得： 从而知当 或 时 （）根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准。 数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。 ()()()?????-==0000< >a a a a a a 3131 314 222=-++x y x ???()() 3221<

分类讨论思想

分类讨论思想 一、含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略。 二、常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： 1.由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。 2.由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。 3.由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等。 4.由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。 5.由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。 6.由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中。 三、高中数学中相关的知识点 1.绝对值的定义；

1.二次函数对称轴的变化； 2.函数问题中区间的变化； 3.函数图像形状的变化； 4.直线由斜率引起的位置变化； 5.圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化； 6.立体几何中点、线、面的位置变化等。 七、4步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步：确定需分类的目标与对象。即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标。 第二步：根据公式、定理确定分类标准。运用公式、定理对分类对象进行区分。 第三步：分类解决“分目标”问题。对分类出来的“分目标”分别进行处理。 第四步：汇总“分目标”。将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理。

初中数学教学论文：浅谈初中数学分类讨论思想教学

浅谈初中数学分类讨论思想教学 摘要：初中数学多种数学思想方法灵活运用是学习能力的重要体现。其可以提高学生的数学素养。其中分类讨论思想更加有利于学生智力发展，体现素质教育的成果。分类讨论思想是学生学业水平考察的重点。我分两方面进行论述一方面低年级应进行分类教学，另一方面论述指导学生分类讨论问题的方法。 关键词：初中数学分类讨论思想教学 在新课程改革背景下,以前注重学生分数的教学不复存在，学习能力的培养成为重点。而多种数学思想方法灵活运用则是学习能力的重要体现。其可以帮助学生简化某些数学问题,提高学生的数学素养。 初中数学涉及到的思想方法有:消元、降次、换元、配方、待定系数法、类比、抽象、概括、归纳、分析、综合、演绎、特殊化方法、反证法、用字母表示数、数形结合、分类讨论、归纳猜想、化归转换、数学模型等。 在上述的众多思想方法中,由于分类讨论思想有利于学生智力发展，能够充分体现出学生数学能力水平的高低。体现素质教育的成果。因此，从近五年的数学中考试题来看，分类讨论思想是学生学业水平考察的重点。那么，从事初中教学任务的数学教师，要对分类讨论思想加以重视，对学生进行分类讨论

思想的教学，让学生插上飞翔的翅膀。在数学的殿堂里自由翱翔。 一、我们应向低年级的学生明确什么是分类讨论思想。 分类讨论思想应该是初中三个年级都要理解掌握的。个别低年级数学教师感觉分类讨论思想学生难于掌握理解，所以不怎么重视，遇到相关的习题不管学生是否明白，有的教师蜻蜓点水一带而过，有的教师甚至不讲。认为学生到了高年级随着智力的发展，这种问题也就迎刃而解了。为什么要让低年级的学生劳神费力，而且还不明白呢！我认为有这种想法做法是错误的，分类讨论思想是一个由易到难，由简单到复杂的过程，而不是通过高年级稍微一点拨就能掌握的。所以在进行低年级教学时,教师就应该指导学生进行简单的分类。例如,七年级学生刚刚接触几何知识就可以进行简单的分类讨论:根据两条直线的交点个数可以把两条直线的位置关系划分为异面直线（无交点），平行直线(无交点)，相交直线（一个交点）。相交直线又可以划分为一般相交直线和特殊相交直线即垂直；根据点与直线的位置关系可以划分两种:点在直线上,点在直线外，再如角的和差就是通过分类讨论来完成教学的。七年级最典型的习题:已知直线l上三点D、E、F,DE=5,,DF=8,求EF。 学生往往会用DF - DE=8-5=3,这时,教师可以明确的告诉学生这样理解是错误的,让学生继续探究。最后,教师予以正确解答,此题应分三种情况加以讨论:即D、E两点不动,D点在E点左

【2020年高考必备】导数中分类讨论思想的应用及分类

导数中分类讨论思想的应用及分类 导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变的不确定，因此对参数进行讨论进而确定出函数的单调区间、极值、最值、趋势图像是高考中每年必考的内容，分类讨论思想在任何专题中都可能出现，很多老师反复提醒要做到不重不漏，可是要做到不重不漏的前提是在做题之前就应该知道该题目分类讨论的依据是什么，今天我们重点来看看如何把握导数中常见的分类讨论依据。如果没有参数，我们队复杂函数求最值的程序是： 那么既然设置参数了，导函数也必定含有参数，则分类讨论就出现了，因为导函数含有参数，那么对导函数求根的时候有没有根？有几个根？如果有两个根，则两根大小如何确定？如果题目的参数设置不是在函数上而是在定义域上，则函数是能够准确作出趋势图像的，但是定义域有参数就意味着可以左右移动，在移动的过程中单调区间和最值都会发生变化。因此在导数中分类讨论题目主要分成这两大类，第一：参数在函数上，第二：参数在定义域上，若函数和定义域都有参数，如果是相同的参数还好说，如果是不同的参数，题目就麻烦了。 根据高考出题形式，今天主要讨论参数在函数上的类型，在复杂函数形式设置上有两种常见的方向，一种是导函数可以转化为二次函数或者类二次函数的形式，另一种是非二次函数的形式，可能里面涉及了三角函数，指数对数等。 题型一：导函数是二次函数或者类二次函数形式的 既然是二次函数的形式，那么必须考虑二次函数参数的设置，若参数在二次项的系数上则若系数

为零，则导函数就可以转化为一次函数的形式，若不是零，则继续按照二次函数形式求根；若参数在一次项的系数上，则二次函数开口确定，对称轴不确?不确定，因此二次函数定；若参数在常数项上，则开口和对称轴都是确定的，但是是否有根也不确定，故二次函数形式的导函数讨论流程如下： ①如若二次函数或高次函数的最高次系数存在参数，则需对参数是否为零进行讨论，但是有一类除外，即如果二次函数各项符号均相同（同正同负）时则可以直接判定，例'2'0a?1?axa?y?2?y0，再例，可直接判断出当时，'2'0?a?01a2y??ax??y，此时不需要对参数是否，则可直接判断出当时，为零进行讨论，除此之外均需对参数是否为零进行讨论； ②若二次函数最高次不为零时，则需对二次函数的判别式进行讨论，讨论的目的是判断导函数是否有根，从而确定原函数极值点的个数； ③若二次函数能解出两根，但是两根有一个存在参数或两根都存在参数，则需分别讨论两根的大小关系； ④若原函数有限定的定义域，则还需要讨论极值点和定义域端点的位置关系。 例1.已知函数2?1x?ax)?(a?1)ln(fxf(x)的单调性。，讨论函数2?aax?12f(x)(0,??)，的定义域为解析：函数'?)f(x x a?0时，当'(x)?0ff(x)在定义域内单调递增。，故函数a??1 时，当'(x)?f0f(x)在定义域内单调递减。，此时 a?10?1?a?时，令当'??x0?f(x)，解得2a1?1aa?当 ''),??x?[]?x?(0,?(x)f0?0f(x)?时，；当时，2a2a1?a?1a)xf(在故????)(0,x]x?[?,单调递减。单调递增，在a22a注意题目中为什么没有对最高次的参数是否为零进行单独讨论？因为分子部分符a非负状态下的单调性，切记，切记。号相同，很容易判断 例2.已知函数2?x?a ln(x)?xxff(x)在定义域上的单调性。，讨论2?xx?a2解析：'a?8??1?)(x?0)(xf，

数学思想及解题策略分类讨论思想方法

分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0

初中数学论文：分类讨论思想在初中数学中运用的一些思考

初中数学论文：分类讨论思想在初中数学中运用的一些思考摘要：分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。 关键词：初中数学；分类讨论 分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，创设情境，予以强化，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。笔者从以下三个方面谈谈本人对于分类讨论思想的一些思考。 一、为什么分 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的 思想。 二、要分谁 需要运用分类讨论思想解决的数学问题，可大致归纳为：①数学概念的分类定义②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种

情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。 三、怎样分 分类讨论必须遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性、互斥性、层次性、简言之即为不遗漏，不重复，要分清主次。 1.不遗漏 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集i,ai（i=1…n）是i的子集,并以此分类,且a1∪a2∪…an=i,则称这种分类 （a1,a2…an）符合同一性原则。比如,我们若把实数r分成正实数r+与负实数r-,那这种分类不符合同一性原则,因为r=r+∪r-∪{0},则这种分类方法遗漏了零。在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1.右图中有多少个正方形？ 分析：如果一个一个地数难免会重复或遗漏，所以应该设法分类计数。设图中每个小方格的边长为1个单位，则图中包含边长分别为1、2、3的三类正方形，算出这三类正方形的总个即为所求。9＋4＋1＝14，这样运用分类思想方法让初看无法着手的问题变化为简单的三个小问题，让我们的

小学数学解题分类讨论思想运用论文

小学数学解题分类讨论思想运用论文 概要：分类讨论思想运用到小学数学的学习中，首先要让学生确定需要解答的 题目是否需要分类讨论，然后确定使用分类讨论方法能确保结果的合理性，最后引导学生不断总结分类讨论技巧，这样必能使学生在掌握知识的同时提升自身的数学思维及解题能力。 数学思想方法是顺利推进小学数学的重要内容，受到了社会各界的普遍重视， 这和现代教育越来越重视学生能力及素养的提升有着十分重要的联系。长期以来，部分数学老师受传统思想观念的影响较重，总是将知识讲解作为教学的核心环节，忽视了知识发生过程中教学思想方法的教学，许多学生的学习也存在着各种问题。学生为了完成老师布置的大量作业，基本没有时间去进行合理的总结与思考，更无法深入理解所学数学知识，无法对新旧知识进行融会贯通，错题没有时间去总结，思考问题的思路较窄，等等。加上社会各界对于分数的追求因素，使得素质教育没有实施的空间，学习成了学生应付老师及家长的一种方式。试问此种学习背景下学生如何进行自主学习与思考？长此以往，数学学习会越来越无趣，厌学思想会越来越严重，自然更不会对数学思想方法感兴趣，无法实现最终的创新学习与应用数学知识的目的。如，在学习《5的乘法口诀》相關知识时，许多老师会认为这节课内 容和一年级时所学的5连续加5的衔接性较强，只要重点让学生熟练背诵5的乘法口诀即可，并没有和一年级所学的连续加和连续减5的知识结合起来进行分类讨论，例如，⑴5+5×6=，（2）5×8-5=，（3）5×7=时，只是单纯地背诵口诀去进行计算，没有进行总结相关的练习之间的练习，其实在上面的三道练习中，不难看出：第（1）题是可以理解为6个5加1个5就是7个5等于35；第（2）题是8个5 减1个5就是7个5等于35；第（3）题就是7个5等于35，这三道题目的结果都是35。所以许多学生在解答相关数学练习题时便会出现错误率较高的现象。 分类讨论思想从表面来看只是一种数学思想，实则并非如此，它更是一种有效 的解题方式，对于学生数学思维的培养有较大的帮助，能培养与提升每个学生解题的条理性及慎密性，提升学生解题的准确率。教师在解题方法讲解完之后，要给学生明确利用分类讨论思想来解题的原因是什么，然后引导学生对所做题目中需要分类讨论的对象找出来，最后学生才能感受利用分思想解题的快乐。当然，学生利用分类讨论思想来解答数学题，不仅解题能力能更好地提升，还能锻炼与提升学生的思维及逻辑能力。 1.需要遵循的原则 （1）一致性原则。对于某个问题进行分类讨论时，需要坚持一致性的标准来 进行，这样，对问题进行的分类才不会出现混乱的情况。比如，学习《三角形》相

中考数学专题复习专题三大数学思想方法第一节分类讨论思想训练

专题三 5大数学思想方法 第一节 分类讨论思想 类型一 由概念内涵分类 (2018·山东潍坊中考)如图1，抛物线y 1＝ax 2 －12x ＋c 与x 轴交于点A 和点B(1，0)，与y 轴交于 点C(0，3 4)，抛物线y 1的顶点为G ，GM⊥x 轴于点M.将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的 抛物线y 2. (1)求抛物线y 2的表达式； (2)如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R.若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的表达式． 【分析】(1)应用待定系数法求表达式； (2)设出点T 坐标，表示出△TAC 三边，进行分类讨论； (3)设出点P 坐标，表示出Q ，R 坐标及PQ ，QR ，根据以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，分类讨论对应边相等的可能性即可． 【自主解答】

此类题型与概念的条件有关，如等腰三角形有两条边相等(没有明确哪两条边相等)、直角三角形有一个角是直角(没有明确哪个角是直角)等，解决这类问题的关键是对概念内涵的理解，而且在分类讨论后还要判断是否符合概念本身的要求(如能否组成三角形)． 1．(2018·安徽中考改编)若一个数的绝对值是8，则这个数是( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．－18 类型二 由公式条件分类 (2018·浙江嘉兴中考)我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫

浅谈分类讨论思想及其应用

浅谈分类讨论思想及其应用 杨凌高新中学 王旭 2010-1-12 分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境. 一、 分类讨论思想的概念 由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简. 二、 分类讨论的原则 从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”,达到运用知识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则. 1.同一性原则 同一性原则简言之即“不遗漏”,可以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集I ,()n i A i 1=是I 的子集,并以此分类,且A 1∪A 2∪…A n =I ,则称这种分类（A 1,A 2…A n ）符合同一性原则.比如,我们若把实数R 分成正实数R +与负实数R ﹣,那这种分类不符合同一性原则,因为R= R +∪R ﹣∪﹛0﹜,则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原则的应用： 例1：已知直线l :01sin 4=+-θy x ，求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围. 分析：直线l 的方程中y 的系数是θsin ，而θsin 的值域是[]1,1-，θsin 值可取零，但θsin =0时斜率不存在，故视θsin 为研究对象I []1,1-=，{}01=A ，[)(]1,00,12 -=A ， A 1, A 2都是I 的子集，且A 1∪A 2=I ,满足同一性原则,作如下分类讨论：

《分类讨论思想在中学数学中的应用》论文

安阳师范学院本科学生毕业论文分类讨论思想在中学数学中的应用 作者 *** 院 (系) 数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级 ****级 学号 指导老师*** 论文成绩 日期 ****年**月**日

学生诚信承诺书 本人郑重承诺:所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名: 日期: 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即:学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文． 签名: 导师签名: 日期:

分类讨论思想在中学数学中的应用 牛红姣 （安阳师范学院 数学与统计学院， 河南 安阳 455002） 摘 要：在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决． 关键词：正确分类；应用；分类讨论思想；标准 1 简述分类讨论思想 由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略． 分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置． 2 分类讨论的要求、原则及其意义 分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础．应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程． 为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则: ⑴ 同一性原则 分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据．可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集I ，i A 是I 的子集并以此分类，且I A A A n =??K 21，则称这种分类()An A A K ,,２１符合同一性原则． ⑵ 互斥性原则 分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项．即对于研究对象I ，()n i A i K 1=是I 的子集，且作为分类的标准，若()j i n j i A A j i ≠=Φ=?,1,K ，则称这种分类符合互斥性原则． ⑶ 相称性原则 分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等． ⑷ 层次性原则 分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止． 分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答． 3 分类讨论思想在中学数学中的应用 3.1 分类讨论思想在集合中的应用 在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些

数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》

数学总复习之数学思想第2讲《分类讨论》 题型一 根据数学概念分类讨论 【例题1】在△ABC 中，已知sin B ＝154，a ＝6，b ＝8，求边c 的长．． 题型二 根据公式、定理、性质的条件分类讨论 【例题2】数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =+-，则其通项n a ＝ ． 题型三 根据变量或参数的取值情况分类讨论 【例题3】解关于x 的不等式01)1(2 <++-x a ax . 题型四 根据图形位置或形状变化分类讨论 【例题4】在△ABC 中，AB =（2，3），AC =（1,k ），若△ABC 是Rt △，求k 的值.

1． 等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是 ( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12 2．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数 k 组成的集合中所有元素的和与积分别为 ( ) A ．－112，0 B.112，－112 C.112，0 D.14，－112 3．一条直线过点（5，2），且在x 轴，y 轴上截距相等，则这直线方程为（ ） A. x y +-=70 B. 250x y -= C. x y x y +-=-=70250或 D. x y y x ++=-=70250或 4．不等式2 (2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，2] B ．[－2,2] C ．(－2,2] D ．(－∞，－2) 5．若圆柱的侧面展开图是边长为4和2的矩形，则圆柱的体积是 ． 6．函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ． 7．已知a ∈R ,若关于x 的方程2104 x x a a ++- +=有实根,求a 的取值范围． 8． 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )q n －1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .

分类讨论的思想方法

分类讨论的思想方法 慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326) 一、知识要点概述 1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段. 2.引入分类讨论的主要原因 (1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等； (2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等； (3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； (4)由图形的不确定引起的分类讨论； (5)由参数的变化引起的分类讨论； (6)按实际问题的情况而分类讨论. 二、解题方法指导 1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结. 2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形； (6)数形结合；(7)缩小范围等. 3.解题时把好“四关” (1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； (2)要找准划分标准，把好“分类关”； (3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； (4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”. 三、范例剖析 例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2 ＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0 ① 若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1 )(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1 ＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1 )∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当02，∴原不等式的解集为(2，a-2a-1 ). 当a<0时，a-2a-1<2，∴原不等式的解集为(a-2a-1 ，2).